toán lý hóa bắc trung nam toán lớp 9 BIẾN đổi đại số ( giải chi tiết)

Chủ đề 1: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ Chương 1: Căn thức 1.1 CĂN THỨC BẬC 2 Kiến thức cần nhớ:  Căn bậc hai của số thực a là số thực x sao cho 2 x a  .  Cho số thực a không âm. Căn bậc hai số học của a kí hiệu là a là một số thực không âm x mà bình phương của nó bằng a : 2 a 0 x 0 a x x a              Với hai số thực không âm a b, ta có: a b a b    .  Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý: + 2 A A A A      nếu 0 0 A A   + 2 A B A B A B   với A B, 0  ; 2 A B A B A B    với A B   0; 0 + 2 A A B A B . . B B B   với AB B   0, 0 + M M A . A A  với A  0 ;(Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu) + M M A B   A B A B     với A B A B , 0,   (Đây gọi là phép trục căn thức ở mẫu) 1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n. 1.2.1 CĂN THỨC BẬC 3. Kiến thức cần nhớ:  Căn bậc 3 của một số a kí hiệu là 3 a là số x sao cho 3 x a   Cho   3 3 3 3 a R a x x a a      ;  Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc 3.  Nếu a  0 thì 3 a  0 .  Nếu a  0 thì 3 a  0 .  Nếu a  0 thì 3 a  0 .  3 3 3 a a b b  với mọi b  0 .  3 3 3 ab a b  . với mọi a b, .  3 3 a b a b    .  3 3 3 A B A B  .  3 2 3 A AB B B  với B  0 Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https:www.facebook.comToanlyhoabactrungnam Admin : https:www.facebook.comtrinhxuan.dam Trang | 2  3 3 3 A A B B   3 3 2 2 3 3 3 1 A AB B A B A B      với A B   . 1.2.2 CĂN THỨC BẬC n. Cho số a R n N n    , ; 2 . Căn bậc n của một số a là một số mà lũy thừa bậc n của nó bằng a.  Trường hợp n là số lẻ: n k k N    2 1, Mọi số thực a đều có một căn bậc lẻ duy nhất: 2 1 k 2 1 k a x x a      , nếu a  0 thì 2 1 0 k a   , nếu a  0 thì 2 1 0 k a   , nếu a  0 thì 2 1 0 k a    Trường hợp n là số chẵn: n k k N   2 , . Mọi số thực a  0 đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc chẵn dương kí hiệu là 2k a (gọi là căn bậc 2k số học của a ). Căn bậc chẵn âm kí hiệu là 2k  a , 2 0 k a x x    và 2k x a  ; 2 0 k     a x x và 2k x a  . Mọi số thực a  0 đều không có căn bậc chẵn. Một số ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích các biểu thức sau thành tích: a) 4 P x   4 b) 3 P x   8 3 3 c) 4 2 P x x   1 Lời giải: a)        2 2 2 P x x x x x        2 2 2 2 2 . b)        3 3 2 P x x x x       2 3 2 3 4 2 3 3 . c)      2 2 2 2 2 P x x x x x x         1 1 1 . Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức: a) 1 4 A x x x     khi x  0 . b) B x x x x       4 2 4 1 4 2 4 1 khi 1 4 x  . c) C      9 5 3 5 8 10 7 4 3 Lời giải: a) 2 1 1 1 4 2 2 A x x x x x x x                 Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https:www.facebook.comToanlyhoabactrungnam Admin : https:www.facebook.comtrinhxuan.dam Trang | 3 + Nếu 1 1 2 4 x x    thì 1 1 1 2 2 2 x x A      . + Nếu 1 1 0 2 4 x x     thì 1 1 1 2 2 2 2 x x A x        b) B x x x x x x x x                 4 2 4 1 4 2 4 1 4 1 2 4 1 1 4 1 2 4 1 1 Hay     2 2 B x x x x             4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1       4 1 1 4 1 1 x x + Nếu 1 4 1 1 0 4 1 1 2 x x x         thì 4 1 1 4 1 1 x x      suy ra B x   2 4 1 . + Nếu 1 1 4 1 1 0 4 1 1 4 2 x x x          thì 4 1 1 4 1 1 x x       suy ra B  2 . c) Để ý rằng:   2 7 4 3 2 3 7 4 3 2 3        Suy ra C          9 5 3 5 8 10(2 3) 9 5 3 5 28 10 3  2     9 5 3 5 5 3 .Hay C           9 5 3 5(5 3) 9 25 9 5 4 2 Ví dụ 3) Chứng minh: a) A     7 2 6 7 2 6 là số nguyên. b) 3 3 84 84 1 1 9 9 B     là một số nguyên ( Trích đề TS vào lớp 10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006). c) Chứng minh rằng: 3 3 1 8 1 1 8 1 3 3 3 3 a a a a x a a         với 1 8 a  là số tự nhiên. d) Tính x y  biết    2 2 x x y y      2015 2015 2015 . Lời giải: a) Dễ thấy A  0, Tacó   2 2 A            7 2 6 7 2 6 7 2 6 7 2 6 2 7 2 6. 7 2 6    14 2.5 4 Suy ra A  2 . b) Áp dụng hằng đẳng thức:     3 3 3 u v u v uv u v      3 . Ta có: 3 3 3 3 3 3 84 84 84 84 84 84 1 1 1 1 3 1 . 1 9 9 9 9 9 9 B                        3 3 84 84 1 1 9 9          . Hay Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https:www.facebook.comToanlyhoabactrungnam Admin : https:www.facebook.comtrinhxuan.dam Trang | 4 3 3 3 3 3 3 84 84 84 2 3 1 1 . 2 3 1 2 2 0 9 9 81 B B B B B B B B                               2      B B B 1 2 0 mà 2 2 1 7 2 0 2 4 B B B            suy ra B 1 . Vậy B là số nguyên. c) Áp dụng hằng đẳng thức:     3 3 3 u v u v uv u v      3 Ta có        3 3 2 x a a x x a x a x x x a              2 1 2 2 1 2 0 1 2 0 Xét đa thức bậc hai 2 x x a   2 với     1 8 0 a + Khi 1 8 a  ta có 3 3 1 1 1 8 8 x    . + Khi 1 , 8 a  ta có   1 8a âm nên đa thức (1) có nghiệm duy nhất x 1 Vậy với mọi 1 8 a  ta có: 3 3 1 8 1 1 8 1 1 3 3 3 3 a a a a x a a          là số tự nhiên. d) Nhận xét:    2 2 2 2 x x x x x x         2015 2015 2015 2015 . Kết hợp với giả thiết ta suy ra 2 2 x x y y      2015 2015 2 2 2 2                y y x x x x y y x y 2015 2015 2015 2015 0 Ví dụ 4) a) Cho x       4 10 2 5 4 10 2 5 . Tính giá trị biểu thức: 4 3 2 2 4 6 12 2 12 x x x x P x x        . b) Cho 3 x  1 2 . Tính giá trị của biểu thức 4 4 3 2 B x x x x      2 3 1942 .(Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC Ngoại Ngữ ĐHQG Hà Nội năm 20152016). c) Cho 3 3 x    1 2 4 . Tính giá trị biểu thức: 5 4 3 2 P x x x x x       4 2 2015 Giải: a) Ta có: 2 2 x 4 10 2 5 4 10 2 5 8 2 4 10 2 5 . 4 10 2 5                         2 2 2               x 8 2 6 2 5 8 2 5 1 8 2 5 1 6 2 5 5 1    x 5 1. Từ đó ta suy ra  2 2 x x x      1 5 2 4 . Ta biến đổi:     2 2 2 2 2 2 2 2 12 4 3.4 12 1 2 12 4 12 x x x x P x x             . b) Ta có  3 3 3 2 x x x x x           1 2 1 2 3 3 3 0 . Ta biến đổi biểu thức P thành:     2 3 2 3 2 3 2 P x x x x x x x x x x x               ( 3 3 3) 3 3 3 3 3 3 1945 1945 Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https:www.facebook.comToanlyhoabactrungnam Admin : https:www.facebook.comtrinhxuan.dam Trang | 5 c) Để ý rằng: 3 2 3 x    2 2 1 ta nhân thêm 2 vế với 3 2 1 để tận dụng hằng đẳng thức:    3 3 2 2 a b a b a ab b      . Khi đó ta có:      3 3 3 3 2 2 1 2 1 2 2 1      x    3 3 3 3 3 2               2 1 1 2 1 2 1 3 3 1 0 x x x x x x x x . Ta biến đổi:    5 4 3 2 2 3 2 P x x x x x x x x x x               4 2 2015 1 3 3 1 2016 2016 Ví dụ

Tốn – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ Chủ đề 1: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ Chương 1: Căn thức 1.1 CĂN THỨC BẬC Kiến thức cần nhớ:  Căn bậc hai số thực a số thực x cho x  a  Cho số thực a không âm Căn bậc hai số học a kí hiệu bình phương a : a số thực không âm x mà x   a    x  a  a  x a  b  a b  Với hai số thực khơng âm a , b ta có:  Khi biến đổi biểu thức liên quan đến thức bậc ta cần lưu ý: + A0 A A2  A   A0  A + A2 B  A B  A B với A, B  ; + A  B + + A.B  B2 A2 B  A B   A B với A  0; B  A.B với AB  0, B  B M M A với A  ;(Đây gọi phép khử thức mẫu)  A A   M A B M  với A, B  0, A  B (Đây gọi phép trục thức mẫu) A B A B 1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n 1.2.1 CĂN THỨC BẬC Kiến thức cần nhớ: a số x cho x  a  Căn bậc số a kí hiệu  Cho a  R; a  x  x   Mỗi số thực a có bậc  Nếu a  a   Nếu a  a   Nếu a  a   a 3 a  a a  với b  b b  ab  a b với a , b  ab a  b  A B  A3 B  A  B AB với B  B Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | - Tốn – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/   A A  B B3  A3 B A2  AB  B với A   B A B 1.2.2 CĂN THỨC BẬC n Cho số a  R, n  N ; n  Căn bậc n số a số mà lũy thừa bậc n a  Trường hợp n số lẻ: n  2k  1, k  N Mọi số thực a có bậc lẻ nhất:  k 1 a  x  x k 1  a , a  k 1 a 0 k 1 a  , a  k 1 a  , a  Trường hợp n số chẵn: n  2k , k  N Mọi số thực a  có hai bậc chẵn đối Căn bậc chẵn dương kí hiệu 2k bậc 2k số học a ) Căn bậc chẵn âm kí hiệu  a , a; 2k 2k a  x  x  x 2k a (gọi  k a  x  x  x k  a Mọi số thực a  khơng có bậc chẵn Một số ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích biểu thức sau thành tích: a) P  x4  b) P  x  3 P  x4  x2  Lời giải: c) a) b) P   x   c)   x    x    x  x  3 P   x   x    x     2x  2 P   x  1  x   x  x  1 x  x  1 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: a) A x  x x  x  b) B  x  x   x  x  x  c) C     10  Lời giải: a) A x  x x  1   x  x   x 2  Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam x - Trang | - Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ x + Nếu x 1  x  1   x  x x 1  x  A 2 + Nếu 1  x  A2 x 2 b) B  4x  4x 1  4x  4x 1  4x 1  4x    4x 1 4x 1   Hay B  + Nếu + Nếu  4x 1 1    4x 1 1  4x 1 1  4x 1 1  4x 1   4x 1  1 x    x   suy B  x  1 x     x     x  x     x   suy B  4x 1 1   4x 1   x   c) Để ý rằng:      74  2 Suy C     10(2  3)    28  10    5   Hay C    5(5  3)   25     Ví dụ 3) Chứng minh: a) A     số nguyên b) B   84 84 số nguyên ( Trích đề TS vào lớp 10 chuyên Trường THPT  1 9 chuyên ĐHQG Hà Nội 2006) c) Chứng minh rằng: x  a   a  8a  a  8a  1 với a  số tự nhiên  a 3 3 d) Tính x  y biết x  x  2015  y   y  2015  2015 Lời giải: a) Dễ thấy A  0, Tacó A2   72  72          14  2.5  Suy A  2 b) Áp dụng đẳng thức:  u  v   u  v  3uv  u  v  Ta có: 3   84 84  84 84 84 84    1  B   1  1 1  3  1   9  9 9       84 84   1  Hay  1  9    Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | - Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/  84   84  84 3 B   3       B  B   3  B  B   B  B  B   9 81    1    B  1  B  B    mà B  B    B     suy B  Vậy B số nguyên 2  2 c) Áp dụng đẳng thức:  u  v   u  v  3uv  u  v  Ta có x  2a  1  2a  x  x   2a  1 x  2a    x  1  x  x  2a   Xét đa thức bậc hai x  x  2a với    8a  1 ta có x    8 1 + Khi a  , ta có    8a âm nên đa thức (1) có nghiệm x  Vậy với a  ta 8 + Khi a  có: x  a  a  8a  a  8a   a  số tự nhiên 3 3 d) Nhận xét:  x  2015  x  x  2015  x  x  2015  x  2015 x  2015  x  Kết hợp với giả thiết ta suy   y  2015  y y  2015  y  x  2015  x  x  2015  x  y  2015  y  x  y  Ví dụ 4) a) Cho x   10    10  Tính giá trị biểu thức: P  x  x  x  x  12 x  x  12 b) Cho x   Tính giá trị biểu thức B  x  x  x  x  1942 (Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC Ngoại Ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015-2016) c) Cho x    Tính giá trị biểu thức: P  x  x  x  x  x  2015 Giải:   a) Ta có: x    10    10      10   10     x2        1  82   1        x   Từ ta suy  x  1   x  x  x Ta biến đổi: P   x    x  x   12 x  x  12  42  3.4  12   12 b) Ta có x     x  1   x  x  x   Ta biến đổi biểu thức P thành: P  x ( x3  x  x  3)  x  x  x  x     x  x  x  3  1945  1945 Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | - Tốn – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ c) Để ý rằng: x  2   ta nhân thêm vế với a  b   a  b   a  ab  b  Khi ta có:       1 x   để tận dụng đẳng thức:  1  22    x   x  x   x3   x  1  x3  3x  3x   Ta biến đổi: P  x5  x  x  x  x  2015   x  x  1 x3  x  x  1  2016  2016 Ví dụ 5) Cho x, y , z  xy  yz  zx  1  y 1  z   y 1  z 1  x   z 1  x 1  y  a) Tính giá trị biểu thức: P  x b) Chứng minh rằng: 2  x2 2 1 y2 x y z    2 1 x 1 y 1 z2 1 z2 xy 1  x 1  y 1  z  2 Lời giải: a) Để ý rằng:  x  x  xy  yz  zx  ( x  y )( x  z ) Tương tự  y ;1  z ta có: 1  y 1  z   x  y  x  y  z  z  x  z  y   x y  z   x  x  y  x  z  P  x  y  z   y  z  x   z  x  y    xy  yz  zx    x2 Suy b) Tương tự câu a) Ta có:  x y z x y z      2 1 x 1 y 1 z  x  y  x  z   x  y  y  z   z  y  z  x  x  y  z  y  z  x  z  x  y  x  y  y  z  z  x   xy  x  y y    z  z  x  1  x 1  y 1  z  x12  12  x2  2   n xn  n  a) Tìm x1 , x2 , , xn thỏa mãn: b) Cho f ( n)  xy Ví dụ 6) x1  x2   xn   4n  4n  với n nguyên dương Tính f (1)  f (2)   f (40) 2n   n  Lời giải: a) Đẳng thức tương đương với:    x12  12    x2  22     xn  n  n  0 Hay x1  2, x2  2.2 , , xn  2.n  x  y  4n  b) Đặt x  2n  1, y  n    xy  4n   2  x  y  Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | - Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ x  xy  y x3  y 3    x  y3   x y x y 2 Suy f (n)  tốn ta có: f 1  f     f  40     1    2n  1    33  13    2n  1   53  33    Áp dụng vào  813  793   813  13  364 Ví dụ 7)  1     Đề thi chuyên ĐHSP 2011 1 3 79  80 a) Chứng minh rằng: b) Chứng minh rằng: 1 1        1   2 3 n n 1 n 1   c) Chứng minh: n   1 1       n  với số nguyên dương n n2 Lời giải: a) Xét A  1 , B    1 3 79  80 1    2 4 80  81 Dễ thấy A  B 1 1      1 2 3 79  80 80  81 Ta có A  B  Mặt khác ta có: k  k 1  Suy A  B    2    3  k 1  k   k   k      81  80   k 1  k  k 1  k 81   Do A  B suy 2A  A  B   A  1 1 b) Để ý rằng: với k nguyên dương    k k 1 2k k  k ( k  1) k   k     1       Suy VT            1     2 2  3 n 1  n 1    n  c) Đặt P  2 với số tự nhiên n    n  n 1 n n n  n 1 2 Từ suy n   n     n  n  hay n 1  n n n  n 1 2 n 1  n   n  n 1 n Ta có: 1 1      n          Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | - Tốn – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/  T     Do đó:          n   n   T  1       n  n     2  Hay n   T  n  Ví dụ 8) a) Cho ba số thực dương a , b, c thỏa mãn a  b  b  c  c  a  a  b2  c  Chứng minh rằng: a) Tìm số thực x , y , z thỏa mãn điều kiện: x  y  y  z  z  x  (Trích đề thi tuyến sinh vào lớp 10 chuyên Toán- Trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2014) Lời giải: a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số khơng âm ta có a  b2  b  c2  c  a  a   b2 b   c c   a    2 2 a   b a   b2    Đẳng thức xảy b   c  b2   c  a  b  c  (đpcm)  c   a 2 c   a   b) Ta viết lại giả thiết thành: x  y  y  z  z  x  Áp dụng bất đẳng thức : 2ab  a  b ta có: x  y  y  z  z  x  x   y  y   z  z   x  Suy VT  VP Dấu xảy khi:  x  y  z  3; x, y, z   x, y , z  x  1 y2   2   x  y  x  y  y   z    x  1; y  0; z  Ví dụ 9) Cho    2 y  z  y  z     2  z   x  z  x2    z  x  A x  x4 x4  x4 x4  với x  x  x  16 a) Rút gọn A Tìm x để A đạt giá trị nhỏ b) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Lời giải: a) Điều kiện để biểu thức A xác định x  Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | - Tốn – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/  x A  x   x4 2     x  4 x4 2 x4 2 2  x4 2  x    x4 2 x4   x4 + Nếu  x  x4 2  x    nên A  x  x4 22 x4 x4  4x 16  4 x4 x4 Do  x  nên  x    A  + Nếu x  x  x    nên x4 2 x4 2   2x x4  x4 2x  x4   16  (Theo bất đẳng x4 x4 x4 thức Cô si) Dấu xảy x    x4   x 8 x4 Vậy GTNN A x  16 16 b) Xét  x  A   , ta thấy A  Z  Z  x  ước số x4 x4 nguyên dương 16 Hay x   1; 2; 4;8;16  x  5;6;8;12; 20 đối chiếu điều kiện suy x  A x  2x , đặt x4 + Xét x  ta có: A  A  m2   m  2m   x  m2  x4  m  ta có: m  suy m  2; 4;8  x  8; 20; 68 m Tóm lại để A nhận giá trị nguyên x  5;6;8; 20;68 MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu (Đề thi vào lớp 10 thành phố Hà Nội – năm học 2013-2014) 2 x B  x 1) Tính giá trị biểu thức A x  64 2) Rút gọn biểu thức B A 3) Tính x để  B Với x  , cho hai biểu thức A  x 1 x   x x x Câu (Đề thi năm học 2012 -2013 thành phố Hà Nội) 1) Cho biểu thức A  x 4 Tính giá trị biểu thức A x 2  x  x 4  2) Rút gọn biểu thức B    x  16 (với x  0, x  16 ) : x   x  Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | - Tốn – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ 3) Với biểu thức A B nói trên, tìm giá trị ngun x để giá trị biểu thức B  A  1 số nguyên Câu (Đề thi năm học 2011 -2012 thành phố Hà Nội) x 10 x , với x  0, x  25   x  x  25 x 5 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị A x  3) Tìm x để A  Cho A  Câu (Đề thi năm học 2010 -2011 thành phố Hà Nội) x x 3x    , với x  0, x  x 3 x 3 x 9 1) Rút gọn P 2) Tìm giá trị x để P  3) Tìm giá trị lớn P Cho P  Câu (Đè thi năm học 2014 – 2015 Thành phố Hồ Chí Minh) Thu gọn biểu thức sau: A 5 5   52 1  x     B    : 1    x  0 x 3  x x3 x   x3 x Câu (Đề thi năm học 2013 – 2014 TPHCM) Thu gọn biểu thức sau:  x  x 3 với x  0, x  A     x   x   x 3 B  21    3   6 2  3  15 15 Câu (Đề thi năm 2014 – 2015 TP Đà Nẵng) x 2x   , với x  0, x  x2 xx Câu (Đề thi năm 2012 – 2013 tỉnh BÌnh Định) 1 1 Cho A      1 2 3 120  121 1 B  1   35 Rút gọn biểu thức P  Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | - Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ Chứng minh B  A Câu (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Ninh Thuận) x3  y3 x y ,x  y 2 x  xy  y x  y 1) Rút gọn biểu thức P Cho biểu thức P  2) Tính giá trị P x   y   Câu 10 (Đề thi năm 2014 – 2015 , ĐHSPHN) Cho số thực dương a , b ; a  b Chứng minh rằng:   a  b a b   b b  2a a  3a  ab 0 ba a a b b Câu 11 (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Hùng Vương Phú Thọ) x  x  x  x  19 x  x   ; x  0, x  x9 x  x  12 x  x Câu 12 (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Tây Ninh) A 1 x    x  0, x   2 x 2 x 4 x Rút gọn A tìm x để A  Câu 13 (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Lê Khiết Quảng Ngãi) Cho biểu thức A  1) Cho biểu thức P  3 x xx   Tìm tất giá trị x để P  x 3  x x3  x x 1 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho  P  : y   x đường thẳng  d  : y  mx  ( m tham số) chứng minh với giá trị m , đường thẳng  d  cắt  P  hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  Câu 14 (Đề thi năm 2014 – 2014 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa) a 2 Cho biểu thức C    a  16 a 4 a 4 1) Tìm điều kiện a để biểu thức C có nghĩa rút gọn C 2) Tính giá trị biểu thức C a   Câu 15 (Đề thi năm 2014 – 2015 chun Thái Bình tỉnh Thái BÌnh)  x 7  x 3 Cho biểu thức A      :  x  2 x  x  x   x  10 x 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm x cho A nhận giá trị số nguyên Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam  x  0, x   - Trang | 10 - Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ Câu 16 (Đề năm 2014 – 2015 Thành Phố Hà nội) x 1 , x  x 1 1) Tính giá trị biểu thức A   x2   x2 x  x 1 với x  x   x   x 1 2) Cho biểu thức P   x 1 x a) Chứng minh P  b) Tìm giá trị x để P  x  Câu 17) Cho a       Chứng minh a  a   Câu 18) Cho a   10    10  a  4a  a  6a  a  2a  12 Câu 19) Giả thiết x, y , z  xy  yz  zx  a Tính giá trị biểu thức: T   a  y  a  z   y  a  z   a  x  Chứng minh rằng: x 2 a  x2 a  y2  a  x  a  y   2a z a  z2 Câu 20 Cho a    61  46  a) Chứng minh rằng: a  14a   b) Giả sử f  x   x  x  14 x  28 x  x  19 Tính f  a  Câu 21 Cho a  38  17  38  17 Giả sử có đa thức f  x    x  x  1940  Câu 22 Cho biểu thức f  n   2016 Hãy tính f  a  2n   n  n  1 n  n 1 Tính tổng S  f 1  f    f  3   f  2016  Câu 23) Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 1 1       n Câu 24) Chứng minh với số nguyên dương n  , ta có 1 1 65      3 n 54 Câu 25) Chứng minh rằng: 43 1 44      44   2002 2001  2001 2002 45 (Đề thi THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2001-2002) Câu 26) Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | 11 - Tốn – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ 1 1     1 2 1 3  2 n 1  n  1 n   n n Câu 27) Chứng minh với số nguyên dương n  , ta có: 10 3n  3n  1  12 3n 3n  3 n  LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN CHỦ ĐỀ 1) Lời giải: 1) Với x  64 ta có A  B      64    64  x 1 x  x  x  x  x x  x Với x  , ta có:   x x  2x  1  x xx x 1 A 2 x 2 x   :   B x x 1 x 2 x 1 x 1  x  x   x  x    x  (do x  ) Lời giải: 36  10   36  1) Với x  36 , ta có A  2) Với x  0, x  16 ta có:     x x 4 x 4 B   x  16 x  16  3) Biểu thức B  A  1      x   x  16  x  x 2    x  16  x  16  x  16  x  16  x 2 x 4 x 2    x  16  x 2  x  16 B  A  1 nguyên, x nguyên x  16 ước , mà U    1; 2 Ta có bảng giá trị tương ứng: Kết hợp điều kiện, để B  A  1 nguyên x  14;15;16;17 3) Lời giải:  x  5  x  5 x  5  x  5  A  x  x  10 x  x  25 x  10 x  25     x  5 x  5  x  5 x  5  x  5 x  5 A x 10 x    x  x  25 x 5 x   x   10 x  có: x  Vậy A  x 5 Với x  ta x 5  2   35 Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | 12 - Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ 4) Lời giải: x 1) P    x 3  x  x 3    x   3x  x 3   x 3   x    x  36 (thỏa mãn ĐKXĐ) x 3 3 3) Với x  0, P     Pmax  x  (TM) x 3 03 2) P   Lời giải: A  5 5   52 1       2  5   2  2   1  1  3      3   1   15    15   5 4  552  x     B    : 1    x  0 x 3  x x3 x   x3 x   x   x 2      : x 3  x x x 3  x 3        x 1   x 3 6 x 1  x   :  x 3  x x 3   Lời giải: Với x  x  ta có:        x  x x    x 3 x 3 x 9  x 3  A    x 3 x x 3  x 9          2 21          15 15 2 2 21 15      3     15 15    15 15  60 2 7) Lời giải: Với điều kiện cho thì: B  P  2x  x 2 x       x x   x     x   2 x x Lời giải: Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | 13 - Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ Ta có: A   1 1     1 2 3 120  121 1 2  1  1    2  2    120  121  120  121  120  121  1 2 120  121       121  120  1  121  10 (1)    1 1 1 2 Với k  * , ta có: Do    k 1  k k k k k  k 1   B  1 1   B2 35           36  35   B    36   1    10  (2) Từ (1) (2) suy B  A Lời giải: 1) P  x3  y3 x y x y  2 x  xy  y  x  y  x  y  x  y 2) Với x     y     Thay vào P ta được: P    1 2      1  3  32 10.Lời giải:  a  b  Ta có: Q      a b  a b   b b  2a a  a a b b  a b a b    3  b b  2a a  a  b a  ab  b   a a  3a b  3b a  b b  2a a   3a  ab ba a  b a  ab  b    a  a b a a b 3a a  3a b  3b a  3a a  3a b  3b a   a  b a  ab  b   a b   a b  0   (ĐPCM) 11 Lời giải: Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | 14 - Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ A  x  x  x  x  19 x  x    x9 x  x  12 x  x x  x   x  x  19  x   x 3  x 4  x 2  x 3 x  x  19   x  3 x   x 1 x  15  x  1 x      x  3 x  4 x  12 Lời giải:  x 5 x 4  1 x x 2 x 2       Với A    4 x 2 x 2 x 4 x 4 x 4 x 2 x 2 x  x   x  16 (nhận) Vậy A  x  16 13 Lời giải: 1) ĐKXĐ: x  A    3 x x  x x   3  x   x x x 1      x  3  x x3  x x 3  x x 1 x 1 P x3  x  x 2 x 3 3 Vì P   x  x     x  3  x       x     x     x    x  Vậy x  x  2) Phương trình hồnh độ giao điểm  P   d  là: x  mx   có   m   với m , nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Theo hệ thức Viet ta có: x1  x2  m x1 x2  1   x1  x2     m   x12  x22  x1 x2  m   x1  x2   x1 x2  m   x1  x2    1  m 2 2   x1  x2   m   với m  x1  x2  với m (ĐPCM) 14 Lời giải: a  a  a  16  a  16   1) Biểu thức C có nghĩa khi:    a  0, a  16  a    a  16  a   a   a 2 a 2 Rút gọn C       a  16 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4      a  4  a  a   a    a  4 a  4   a   a   a2   a 4 2 a4 a a 4 Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam  a 4  - Trang | 15 - Tốn – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/  a   a 4 a 4   a 4 a a 4   2) Giá trị C a    Ta có: a  a        Vậy C   a a 4    a 2    2 2 2  94 24 52  15 Lời giải: 1) Với x  0, x  biểu thức có nghĩa ta có:  x 7  3 A      :  x  2 x  x  x   x  10 x        x  2 x  1 2 x 1  x 2  x 7 Vậy với x  0, x  A  2) Ta có A : x 3 x  x 2    x 3   x  2 x 1 x  x 2 x 3  x x 1 x x 1 x  0, x  0, x  nên A  x  0, x  0, x  x 1 x 5 5    , x  0, x    A  , kết hợp với A nhận giá trị số 2 x 1 2 x 1   nguyên A 1, 2 A   x  x 1  x  1  x  thỏa mãn điều kiện A   x  x   x   x  không thỏa mãn điều kiện Vậy với x  A nhận giá trị nguyên 16 Lời giải: 1) Với x  ta có A  1  1 2) a)  x2 x P  x x 2   b)     x 1    x 1    Theo câu a) P    x 1 x   x   x 1    x 1 x 2   x 1 x x 1 x Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | 16 - Tốn – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/  2P  x     x 2  x  x   x  x  x  x   x  x  1 1  x 2  x  0 x   x  2  17 Giải:    Do a  nên a   Do   a2              62   a  1  hay a  2a    1  62    1     18 Giải:   a   16  10        1  8     Vì a  nên a   Do  a  1  hay a  a  Biểu diễn a T  2a    a  2a   a  2a  12  42  3.4    12 19 Giải: Ta có: a  x  x  xy  yz  zx   x  y  x  z  Tương tự ta có: a  y   y  x  y  z  ; a  z   z  x  z  y   a  y  a  z   x  x  y  y  z  z  x  z  y   x x  y Tương tự:   Từ ta có: x  x  y  x  z  a  x2  a  z  a  x   y  z  x  ; z  a  x  a  y   z  x  y  Vậy y 2 a  y2 a  z2 VT  x  y  z   y  z  x   z  x  y    xy  yz  zx   2a 20 Giải: a) Vì 61  46  1    1 Từ a         a2   2    a   10  a  14a   b) Do f  x   x  14 x    x    x  14a   nên ta f  a   21 Giải: Vì a  38  17  38  17  3.3 38  17 38  17  a  76  3a  a  3a  76  f  a    76  1940  2012  20162016 Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | 17 - Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ 22 Nhân tử mẫu f  n  với n   n , ta được: f  n    n  1 n   n n Cho n từ đến 2016 , ta được: f 1  2  1; f    3  2; ; f  2016   2017 2017  2016 2016 Từ suy ra: S  f 1  f    f  3   f  2016   2017 2017  23 Giải: Vì n số nguyên dương nên:  1 1       (1) Mặt khác, với k  ta 2 n có: 4    2  2   Cho k  2,3, 4, , n ta có: k 4k 4k   2k  k   4 2 2 4 2 2             2 2 2 4.2 4.2  2.2  2.2  4.3 4.3  2.3  2.3  4 2 2       2 4.4 4.4  2.4  2.4  ………… 4 2 2  2     n 4n 4n  2n  n  n  2n  Cộng vế với vế ta được: 1 1 2         1  (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh 2 n 2n  3 24 Giải: 1 1 Đặt P      Thực làm trội phân số vế trái cách làm giảm mẫu, ta n có: 2 1     , k  k k  k  k  1 k  1  k  1 k k  k  1  1   1   1 1  Cho k  4,5, , n P                    3.4 4.5   4.5 5.6    n  1 n n  n  1   65 251 1 251 65      Do P  (đpcm) 108 3.4 n  n  1 108 3.4 27 64 25 Giải: Đặt Sn  1    1   n  1 n  n n  Để ý :  k  1  k  1 k  k k    k  1 k  k k    , k  1  k  k  1 k  k k   k  1 k  k  k  1 k k 1 Cho k  1, 2, , n cộng vế với vế ta có: Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | 18 - Tốn – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ 1 1      2 Do S2001   2002 Như ta phải chứng minh: 43 44  1    44 45 2002 45 Sn  1   1 n n 1 n 1 1  2002 44  44  2002  45  1936  2002  2025 Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh 26 Giải: Để giải tốn ta cần có bổ đề sau: Bổ đề: với số thực dương x, y ta có: x y  y x  x x  y y Chứng minh: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương x y y x x xy y  x x y yx yy x 0 x      y  x     x  y y  x  y   x y y x  x y 0 Bổ đề chứng minh Áp dụng bổ đề ta có:  n  1   n  1 Vì thế:  n   n n  n n    n  1 n 1  n   n n n n    n  1 n 1     2 1 3  2  n  1 n   n n 1 Mà theo kết câu 25 thì:    n 1 1   n  1 n  n 1 1     1 Vậy toán chứng minh 1  n 1  n  1 n  n n  Câu 27) Giải: Để ý phân số có tử mẫu đơn vị, nên ta nghĩ đến đẳng thức n n 1 10 3n  3n    n  n  n   n   Kí hiệu P  Ta có:  n2 n 12 3n 3n   10 3n  3n    10 3n  3n   P      3n 3n    12 3n 3n    12  3n  3n  10 3n  3n       3n 3n    10 3n  3n   12 Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | 19 - Tốn – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ 1 3n  3n  3n 3n  1    3 10 3n  3n 3n  3n  3  3n  3  n  1 P  Từ suy Bất đẳng thức chứng minh n 1 Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | 20 - ...  9  9 9       84 84   1  Hay  1  9    Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | - Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/...  ( PCM) 11 Lời giải: Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | 14 - Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ A  x  x  x  x  19. .. | 12 - Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ 4) Lời giải: x 1) P    x 3  x  x 3    x   3x  x 3   x 3   x    x  36 (thỏa mãn