Chủ đề 1: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ Chương 1: Căn thức 1.1 CĂN THỨC BẬC 2 Kiến thức cần nhớ: Căn bậc hai của số thực a là số thực x sao cho 2 x a . Cho số thực a không âm. Căn bậc hai số học của a kí hiệu là a là một số thực không âm x mà bình phương của nó bằng a : 2 a 0 x 0 a x x a Với hai số thực không âm a b, ta có: a b a b . Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý: + 2 A A A A nếu 0 0 A A + 2 A B A B A B với A B, 0 ; 2 A B A B A B với A B 0; 0 + 2 A A B A B . . B B B với AB B 0, 0 + M M A . A A với A 0 ;(Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu) + M M A B A B A B với A B A B , 0, (Đây gọi là phép trục căn thức ở mẫu) 1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n. 1.2.1 CĂN THỨC BẬC 3. Kiến thức cần nhớ: Căn bậc 3 của một số a kí hiệu là 3 a là số x sao cho 3 x a Cho 3 3 3 3 a R a x x a a ; Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc 3. Nếu a 0 thì 3 a 0 . Nếu a 0 thì 3 a 0 . Nếu a 0 thì 3 a 0 . 3 3 3 a a b b với mọi b 0 . 3 3 3 ab a b . với mọi a b, . 3 3 a b a b . 3 3 3 A B A B . 3 2 3 A AB B B với B 0 Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https:www.facebook.comToanlyhoabactrungnam Admin : https:www.facebook.comtrinhxuan.dam Trang | 2 3 3 3 A A B B 3 3 2 2 3 3 3 1 A AB B A B A B với A B . 1.2.2 CĂN THỨC BẬC n. Cho số a R n N n , ; 2 . Căn bậc n của một số a là một số mà lũy thừa bậc n của nó bằng a. Trường hợp n là số lẻ: n k k N 2 1, Mọi số thực a đều có một căn bậc lẻ duy nhất: 2 1 k 2 1 k a x x a , nếu a 0 thì 2 1 0 k a , nếu a 0 thì 2 1 0 k a , nếu a 0 thì 2 1 0 k a Trường hợp n là số chẵn: n k k N 2 , . Mọi số thực a 0 đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc chẵn dương kí hiệu là 2k a (gọi là căn bậc 2k số học của a ). Căn bậc chẵn âm kí hiệu là 2k a , 2 0 k a x x và 2k x a ; 2 0 k a x x và 2k x a . Mọi số thực a 0 đều không có căn bậc chẵn. Một số ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích các biểu thức sau thành tích: a) 4 P x 4 b) 3 P x 8 3 3 c) 4 2 P x x 1 Lời giải: a) 2 2 2 P x x x x x 2 2 2 2 2 . b) 3 3 2 P x x x x 2 3 2 3 4 2 3 3 . c) 2 2 2 2 2 P x x x x x x 1 1 1 . Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức: a) 1 4 A x x x khi x 0 . b) B x x x x 4 2 4 1 4 2 4 1 khi 1 4 x . c) C 9 5 3 5 8 10 7 4 3 Lời giải: a) 2 1 1 1 4 2 2 A x x x x x x x Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https:www.facebook.comToanlyhoabactrungnam Admin : https:www.facebook.comtrinhxuan.dam Trang | 3 + Nếu 1 1 2 4 x x thì 1 1 1 2 2 2 x x A . + Nếu 1 1 0 2 4 x x thì 1 1 1 2 2 2 2 x x A x b) B x x x x x x x x 4 2 4 1 4 2 4 1 4 1 2 4 1 1 4 1 2 4 1 1 Hay 2 2 B x x x x 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 x x + Nếu 1 4 1 1 0 4 1 1 2 x x x thì 4 1 1 4 1 1 x x suy ra B x 2 4 1 . + Nếu 1 1 4 1 1 0 4 1 1 4 2 x x x thì 4 1 1 4 1 1 x x suy ra B 2 . c) Để ý rằng: 2 7 4 3 2 3 7 4 3 2 3 Suy ra C 9 5 3 5 8 10(2 3) 9 5 3 5 28 10 3 2 9 5 3 5 5 3 .Hay C 9 5 3 5(5 3) 9 25 9 5 4 2 Ví dụ 3) Chứng minh: a) A 7 2 6 7 2 6 là số nguyên. b) 3 3 84 84 1 1 9 9 B là một số nguyên ( Trích đề TS vào lớp 10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006). c) Chứng minh rằng: 3 3 1 8 1 1 8 1 3 3 3 3 a a a a x a a với 1 8 a là số tự nhiên. d) Tính x y biết 2 2 x x y y 2015 2015 2015 . Lời giải: a) Dễ thấy A 0, Tacó 2 2 A 7 2 6 7 2 6 7 2 6 7 2 6 2 7 2 6. 7 2 6 14 2.5 4 Suy ra A 2 . b) Áp dụng hằng đẳng thức: 3 3 3 u v u v uv u v 3 . Ta có: 3 3 3 3 3 3 84 84 84 84 84 84 1 1 1 1 3 1 . 1 9 9 9 9 9 9 B 3 3 84 84 1 1 9 9 . Hay Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https:www.facebook.comToanlyhoabactrungnam Admin : https:www.facebook.comtrinhxuan.dam Trang | 4 3 3 3 3 3 3 84 84 84 2 3 1 1 . 2 3 1 2 2 0 9 9 81 B B B B B B B B 2 B B B 1 2 0 mà 2 2 1 7 2 0 2 4 B B B suy ra B 1 . Vậy B là số nguyên. c) Áp dụng hằng đẳng thức: 3 3 3 u v u v uv u v 3 Ta có 3 3 2 x a a x x a x a x x x a 2 1 2 2 1 2 0 1 2 0 Xét đa thức bậc hai 2 x x a 2 với 1 8 0 a + Khi 1 8 a ta có 3 3 1 1 1 8 8 x . + Khi 1 , 8 a ta có 1 8a âm nên đa thức (1) có nghiệm duy nhất x 1 Vậy với mọi 1 8 a ta có: 3 3 1 8 1 1 8 1 1 3 3 3 3 a a a a x a a là số tự nhiên. d) Nhận xét: 2 2 2 2 x x x x x x 2015 2015 2015 2015 . Kết hợp với giả thiết ta suy ra 2 2 x x y y 2015 2015 2 2 2 2 y y x x x x y y x y 2015 2015 2015 2015 0 Ví dụ 4) a) Cho x 4 10 2 5 4 10 2 5 . Tính giá trị biểu thức: 4 3 2 2 4 6 12 2 12 x x x x P x x . b) Cho 3 x 1 2 . Tính giá trị của biểu thức 4 4 3 2 B x x x x 2 3 1942 .(Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC Ngoại Ngữ ĐHQG Hà Nội năm 20152016). c) Cho 3 3 x 1 2 4 . Tính giá trị biểu thức: 5 4 3 2 P x x x x x 4 2 2015 Giải: a) Ta có: 2 2 x 4 10 2 5 4 10 2 5 8 2 4 10 2 5 . 4 10 2 5 2 2 2 x 8 2 6 2 5 8 2 5 1 8 2 5 1 6 2 5 5 1 x 5 1. Từ đó ta suy ra 2 2 x x x 1 5 2 4 . Ta biến đổi: 2 2 2 2 2 2 2 2 12 4 3.4 12 1 2 12 4 12 x x x x P x x . b) Ta có 3 3 3 2 x x x x x 1 2 1 2 3 3 3 0 . Ta biến đổi biểu thức P thành: 2 3 2 3 2 3 2 P x x x x x x x x x x x ( 3 3 3) 3 3 3 3 3 3 1945 1945 Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https:www.facebook.comToanlyhoabactrungnam Admin : https:www.facebook.comtrinhxuan.dam Trang | 5 c) Để ý rằng: 3 2 3 x 2 2 1 ta nhân thêm 2 vế với 3 2 1 để tận dụng hằng đẳng thức: 3 3 2 2 a b a b a ab b . Khi đó ta có: 3 3 3 3 2 2 1 2 1 2 2 1 x 3 3 3 3 3 2 2 1 1 2 1 2 1 3 3 1 0 x x x x x x x x . Ta biến đổi: 5 4 3 2 2 3 2 P x x x x x x x x x x 4 2 2015 1 3 3 1 2016 2016 Ví dụ
Tốn – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ Chủ đề 1: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ Chương 1: Căn thức 1.1 CĂN THỨC BẬC Kiến thức cần nhớ: Căn bậc hai số thực a số thực x cho x a Cho số thực a không âm Căn bậc hai số học a kí hiệu bình phương a : a số thực không âm x mà x a x a a x a b a b Với hai số thực khơng âm a , b ta có: Khi biến đổi biểu thức liên quan đến thức bậc ta cần lưu ý: + A0 A A2 A A0 A + A2 B A B A B với A, B ; + A B + + A.B B2 A2 B A B A B với A 0; B A.B với AB 0, B B M M A với A ;(Đây gọi phép khử thức mẫu) A A M A B M với A, B 0, A B (Đây gọi phép trục thức mẫu) A B A B 1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n 1.2.1 CĂN THỨC BẬC Kiến thức cần nhớ: a số x cho x a Căn bậc số a kí hiệu Cho a R; a x x Mỗi số thực a có bậc Nếu a a Nếu a a Nếu a a a 3 a a a với b b b ab a b với a , b ab a b A B A3 B A B AB với B B Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | - Tốn – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ A A B B3 A3 B A2 AB B với A B A B 1.2.2 CĂN THỨC BẬC n Cho số a R, n N ; n Căn bậc n số a số mà lũy thừa bậc n a Trường hợp n số lẻ: n 2k 1, k N Mọi số thực a có bậc lẻ nhất: k 1 a x x k 1 a , a k 1 a 0 k 1 a , a k 1 a , a Trường hợp n số chẵn: n 2k , k N Mọi số thực a có hai bậc chẵn đối Căn bậc chẵn dương kí hiệu 2k bậc 2k số học a ) Căn bậc chẵn âm kí hiệu a , a; 2k 2k a x x x 2k a (gọi k a x x x k a Mọi số thực a khơng có bậc chẵn Một số ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích biểu thức sau thành tích: a) P x4 b) P x 3 P x4 x2 Lời giải: c) a) b) P x c) x x x x 3 P x x x 2x 2 P x 1 x x x 1 x x 1 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: a) A x x x x b) B x x x x x c) C 10 Lời giải: a) A x x x 1 x x x 2 Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam x - Trang | - Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ x + Nếu x 1 x 1 x x x 1 x A 2 + Nếu 1 x A2 x 2 b) B 4x 4x 1 4x 4x 1 4x 1 4x 4x 1 4x 1 Hay B + Nếu + Nếu 4x 1 1 4x 1 1 4x 1 1 4x 1 1 4x 1 4x 1 1 x x suy B x 1 x x x x x suy B 4x 1 1 4x 1 x c) Để ý rằng: 74 2 Suy C 10(2 3) 28 10 5 Hay C 5(5 3) 25 Ví dụ 3) Chứng minh: a) A số nguyên b) B 84 84 số nguyên ( Trích đề TS vào lớp 10 chuyên Trường THPT 1 9 chuyên ĐHQG Hà Nội 2006) c) Chứng minh rằng: x a a 8a a 8a 1 với a số tự nhiên a 3 3 d) Tính x y biết x x 2015 y y 2015 2015 Lời giải: a) Dễ thấy A 0, Tacó A2 72 72 14 2.5 Suy A 2 b) Áp dụng đẳng thức: u v u v 3uv u v Ta có: 3 84 84 84 84 84 84 1 B 1 1 1 3 1 9 9 9 84 84 1 Hay 1 9 Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | - Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ 84 84 84 3 B 3 B B 3 B B B B B 9 81 1 B 1 B B mà B B B suy B Vậy B số nguyên 2 2 c) Áp dụng đẳng thức: u v u v 3uv u v Ta có x 2a 1 2a x x 2a 1 x 2a x 1 x x 2a Xét đa thức bậc hai x x 2a với 8a 1 ta có x 8 1 + Khi a , ta có 8a âm nên đa thức (1) có nghiệm x Vậy với a ta 8 + Khi a có: x a a 8a a 8a a số tự nhiên 3 3 d) Nhận xét: x 2015 x x 2015 x x 2015 x 2015 x 2015 x Kết hợp với giả thiết ta suy y 2015 y y 2015 y x 2015 x x 2015 x y 2015 y x y Ví dụ 4) a) Cho x 10 10 Tính giá trị biểu thức: P x x x x 12 x x 12 b) Cho x Tính giá trị biểu thức B x x x x 1942 (Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC Ngoại Ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015-2016) c) Cho x Tính giá trị biểu thức: P x x x x x 2015 Giải: a) Ta có: x 10 10 10 10 x2 1 82 1 x Từ ta suy x 1 x x x Ta biến đổi: P x x x 12 x x 12 42 3.4 12 12 b) Ta có x x 1 x x x Ta biến đổi biểu thức P thành: P x ( x3 x x 3) x x x x x x x 3 1945 1945 Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | - Tốn – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ c) Để ý rằng: x 2 ta nhân thêm vế với a b a b a ab b Khi ta có: 1 x để tận dụng đẳng thức: 1 22 x x x x3 x 1 x3 3x 3x Ta biến đổi: P x5 x x x x 2015 x x 1 x3 x x 1 2016 2016 Ví dụ 5) Cho x, y , z xy yz zx 1 y 1 z y 1 z 1 x z 1 x 1 y a) Tính giá trị biểu thức: P x b) Chứng minh rằng: 2 x2 2 1 y2 x y z 2 1 x 1 y 1 z2 1 z2 xy 1 x 1 y 1 z 2 Lời giải: a) Để ý rằng: x x xy yz zx ( x y )( x z ) Tương tự y ;1 z ta có: 1 y 1 z x y x y z z x z y x y z x x y x z P x y z y z x z x y xy yz zx x2 Suy b) Tương tự câu a) Ta có: x y z x y z 2 1 x 1 y 1 z x y x z x y y z z y z x x y z y z x z x y x y y z z x xy x y y z z x 1 x 1 y 1 z x12 12 x2 2 n xn n a) Tìm x1 , x2 , , xn thỏa mãn: b) Cho f ( n) xy Ví dụ 6) x1 x2 xn 4n 4n với n nguyên dương Tính f (1) f (2) f (40) 2n n Lời giải: a) Đẳng thức tương đương với: x12 12 x2 22 xn n n 0 Hay x1 2, x2 2.2 , , xn 2.n x y 4n b) Đặt x 2n 1, y n xy 4n 2 x y Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | - Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ x xy y x3 y 3 x y3 x y x y 2 Suy f (n) tốn ta có: f 1 f f 40 1 2n 1 33 13 2n 1 53 33 Áp dụng vào 813 793 813 13 364 Ví dụ 7) 1 Đề thi chuyên ĐHSP 2011 1 3 79 80 a) Chứng minh rằng: b) Chứng minh rằng: 1 1 1 2 3 n n 1 n 1 c) Chứng minh: n 1 1 n với số nguyên dương n n2 Lời giải: a) Xét A 1 , B 1 3 79 80 1 2 4 80 81 Dễ thấy A B 1 1 1 2 3 79 80 80 81 Ta có A B Mặt khác ta có: k k 1 Suy A B 2 3 k 1 k k k 81 80 k 1 k k 1 k 81 Do A B suy 2A A B A 1 1 b) Để ý rằng: với k nguyên dương k k 1 2k k k ( k 1) k k 1 Suy VT 1 2 2 3 n 1 n 1 n c) Đặt P 2 với số tự nhiên n n n 1 n n n n 1 2 Từ suy n n n n hay n 1 n n n n 1 2 n 1 n n n 1 n Ta có: 1 1 n Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | - Tốn – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ T Do đó: n n T 1 n n 2 Hay n T n Ví dụ 8) a) Cho ba số thực dương a , b, c thỏa mãn a b b c c a a b2 c Chứng minh rằng: a) Tìm số thực x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y y z z x (Trích đề thi tuyến sinh vào lớp 10 chuyên Toán- Trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2014) Lời giải: a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số khơng âm ta có a b2 b c2 c a a b2 b c c a 2 2 a b a b2 Đẳng thức xảy b c b2 c a b c (đpcm) c a 2 c a b) Ta viết lại giả thiết thành: x y y z z x Áp dụng bất đẳng thức : 2ab a b ta có: x y y z z x x y y z z x Suy VT VP Dấu xảy khi: x y z 3; x, y, z x, y , z x 1 y2 2 x y x y y z x 1; y 0; z Ví dụ 9) Cho 2 y z y z 2 z x z x2 z x A x x4 x4 x4 x4 với x x x 16 a) Rút gọn A Tìm x để A đạt giá trị nhỏ b) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Lời giải: a) Điều kiện để biểu thức A xác định x Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | - Tốn – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ x A x x4 2 x 4 x4 2 x4 2 2 x4 2 x x4 2 x4 x4 + Nếu x x4 2 x nên A x x4 22 x4 x4 4x 16 4 x4 x4 Do x nên x A + Nếu x x x nên x4 2 x4 2 2x x4 x4 2x x4 16 (Theo bất đẳng x4 x4 x4 thức Cô si) Dấu xảy x x4 x 8 x4 Vậy GTNN A x 16 16 b) Xét x A , ta thấy A Z Z x ước số x4 x4 nguyên dương 16 Hay x 1; 2; 4;8;16 x 5;6;8;12; 20 đối chiếu điều kiện suy x A x 2x , đặt x4 + Xét x ta có: A A m2 m 2m x m2 x4 m ta có: m suy m 2; 4;8 x 8; 20; 68 m Tóm lại để A nhận giá trị nguyên x 5;6;8; 20;68 MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu (Đề thi vào lớp 10 thành phố Hà Nội – năm học 2013-2014) 2 x B x 1) Tính giá trị biểu thức A x 64 2) Rút gọn biểu thức B A 3) Tính x để B Với x , cho hai biểu thức A x 1 x x x x Câu (Đề thi năm học 2012 -2013 thành phố Hà Nội) 1) Cho biểu thức A x 4 Tính giá trị biểu thức A x 2 x x 4 2) Rút gọn biểu thức B x 16 (với x 0, x 16 ) : x x Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | - Tốn – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ 3) Với biểu thức A B nói trên, tìm giá trị ngun x để giá trị biểu thức B A 1 số nguyên Câu (Đề thi năm học 2011 -2012 thành phố Hà Nội) x 10 x , với x 0, x 25 x x 25 x 5 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị A x 3) Tìm x để A Cho A Câu (Đề thi năm học 2010 -2011 thành phố Hà Nội) x x 3x , với x 0, x x 3 x 3 x 9 1) Rút gọn P 2) Tìm giá trị x để P 3) Tìm giá trị lớn P Cho P Câu (Đè thi năm học 2014 – 2015 Thành phố Hồ Chí Minh) Thu gọn biểu thức sau: A 5 5 52 1 x B : 1 x 0 x 3 x x3 x x3 x Câu (Đề thi năm học 2013 – 2014 TPHCM) Thu gọn biểu thức sau: x x 3 với x 0, x A x x x 3 B 21 3 6 2 3 15 15 Câu (Đề thi năm 2014 – 2015 TP Đà Nẵng) x 2x , với x 0, x x2 xx Câu (Đề thi năm 2012 – 2013 tỉnh BÌnh Định) 1 1 Cho A 1 2 3 120 121 1 B 1 35 Rút gọn biểu thức P Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | - Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ Chứng minh B A Câu (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Ninh Thuận) x3 y3 x y ,x y 2 x xy y x y 1) Rút gọn biểu thức P Cho biểu thức P 2) Tính giá trị P x y Câu 10 (Đề thi năm 2014 – 2015 , ĐHSPHN) Cho số thực dương a , b ; a b Chứng minh rằng: a b a b b b 2a a 3a ab 0 ba a a b b Câu 11 (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Hùng Vương Phú Thọ) x x x x 19 x x ; x 0, x x9 x x 12 x x Câu 12 (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Tây Ninh) A 1 x x 0, x 2 x 2 x 4 x Rút gọn A tìm x để A Câu 13 (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Lê Khiết Quảng Ngãi) Cho biểu thức A 1) Cho biểu thức P 3 x xx Tìm tất giá trị x để P x 3 x x3 x x 1 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho P : y x đường thẳng d : y mx ( m tham số) chứng minh với giá trị m , đường thẳng d cắt P hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 Câu 14 (Đề thi năm 2014 – 2014 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa) a 2 Cho biểu thức C a 16 a 4 a 4 1) Tìm điều kiện a để biểu thức C có nghĩa rút gọn C 2) Tính giá trị biểu thức C a Câu 15 (Đề thi năm 2014 – 2015 chun Thái Bình tỉnh Thái BÌnh) x 7 x 3 Cho biểu thức A : x 2 x x x x 10 x 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm x cho A nhận giá trị số nguyên Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam x 0, x - Trang | 10 - Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ Câu 16 (Đề năm 2014 – 2015 Thành Phố Hà nội) x 1 , x x 1 1) Tính giá trị biểu thức A x2 x2 x x 1 với x x x x 1 2) Cho biểu thức P x 1 x a) Chứng minh P b) Tìm giá trị x để P x Câu 17) Cho a Chứng minh a a Câu 18) Cho a 10 10 a 4a a 6a a 2a 12 Câu 19) Giả thiết x, y , z xy yz zx a Tính giá trị biểu thức: T a y a z y a z a x Chứng minh rằng: x 2 a x2 a y2 a x a y 2a z a z2 Câu 20 Cho a 61 46 a) Chứng minh rằng: a 14a b) Giả sử f x x x 14 x 28 x x 19 Tính f a Câu 21 Cho a 38 17 38 17 Giả sử có đa thức f x x x 1940 Câu 22 Cho biểu thức f n 2016 Hãy tính f a 2n n n 1 n n 1 Tính tổng S f 1 f f 3 f 2016 Câu 23) Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 1 1 n Câu 24) Chứng minh với số nguyên dương n , ta có 1 1 65 3 n 54 Câu 25) Chứng minh rằng: 43 1 44 44 2002 2001 2001 2002 45 (Đề thi THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2001-2002) Câu 26) Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | 11 - Tốn – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ 1 1 1 2 1 3 2 n 1 n 1 n n n Câu 27) Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 10 3n 3n 1 12 3n 3n 3 n LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN CHỦ ĐỀ 1) Lời giải: 1) Với x 64 ta có A B 64 64 x 1 x x x x x x x Với x , ta có: x x 2x 1 x xx x 1 A 2 x 2 x : B x x 1 x 2 x 1 x 1 x x x x x (do x ) Lời giải: 36 10 36 1) Với x 36 , ta có A 2) Với x 0, x 16 ta có: x x 4 x 4 B x 16 x 16 3) Biểu thức B A 1 x x 16 x x 2 x 16 x 16 x 16 x 16 x 2 x 4 x 2 x 16 x 2 x 16 B A 1 nguyên, x nguyên x 16 ước , mà U 1; 2 Ta có bảng giá trị tương ứng: Kết hợp điều kiện, để B A 1 nguyên x 14;15;16;17 3) Lời giải: x 5 x 5 x 5 x 5 A x x 10 x x 25 x 10 x 25 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 A x 10 x x x 25 x 5 x x 10 x có: x Vậy A x 5 Với x ta x 5 2 35 Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | 12 - Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ 4) Lời giải: x 1) P x 3 x x 3 x 3x x 3 x 3 x x 36 (thỏa mãn ĐKXĐ) x 3 3 3) Với x 0, P Pmax x (TM) x 3 03 2) P Lời giải: A 5 5 52 1 2 5 2 2 1 1 3 3 1 15 15 5 4 552 x B : 1 x 0 x 3 x x3 x x3 x x x 2 : x 3 x x x 3 x 3 x 1 x 3 6 x 1 x : x 3 x x 3 Lời giải: Với x x ta có: x x x x 3 x 3 x 9 x 3 A x 3 x x 3 x 9 2 21 15 15 2 2 21 15 3 15 15 15 15 60 2 7) Lời giải: Với điều kiện cho thì: B P 2x x 2 x x x x x 2 x x Lời giải: Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | 13 - Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ Ta có: A 1 1 1 2 3 120 121 1 2 1 1 2 2 120 121 120 121 120 121 1 2 120 121 121 120 1 121 10 (1) 1 1 1 2 Với k * , ta có: Do k 1 k k k k k k 1 B 1 1 B2 35 36 35 B 36 1 10 (2) Từ (1) (2) suy B A Lời giải: 1) P x3 y3 x y x y 2 x xy y x y x y x y 2) Với x y Thay vào P ta được: P 1 2 1 3 32 10.Lời giải: a b Ta có: Q a b a b b b 2a a a a b b a b a b 3 b b 2a a a b a ab b a a 3a b 3b a b b 2a a 3a ab ba a b a ab b a a b a a b 3a a 3a b 3b a 3a a 3a b 3b a a b a ab b a b a b 0 (ĐPCM) 11 Lời giải: Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | 14 - Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ A x x x x 19 x x x9 x x 12 x x x x x x 19 x x 3 x 4 x 2 x 3 x x 19 x 3 x x 1 x 15 x 1 x x 3 x 4 x 12 Lời giải: x 5 x 4 1 x x 2 x 2 Với A 4 x 2 x 2 x 4 x 4 x 4 x 2 x 2 x x x 16 (nhận) Vậy A x 16 13 Lời giải: 1) ĐKXĐ: x A 3 x x x x 3 x x x x 1 x 3 x x3 x x 3 x x 1 x 1 P x3 x x 2 x 3 3 Vì P x x x 3 x x x x x Vậy x x 2) Phương trình hồnh độ giao điểm P d là: x mx có m với m , nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Theo hệ thức Viet ta có: x1 x2 m x1 x2 1 x1 x2 m x12 x22 x1 x2 m x1 x2 x1 x2 m x1 x2 1 m 2 2 x1 x2 m với m x1 x2 với m (ĐPCM) 14 Lời giải: a a a 16 a 16 1) Biểu thức C có nghĩa khi: a 0, a 16 a a 16 a a a 2 a 2 Rút gọn C a 16 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a a a a 4 a 4 a a a2 a 4 2 a4 a a 4 Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam a 4 - Trang | 15 - Tốn – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ a a 4 a 4 a 4 a a 4 2) Giá trị C a Ta có: a a Vậy C a a 4 a 2 2 2 2 94 24 52 15 Lời giải: 1) Với x 0, x biểu thức có nghĩa ta có: x 7 3 A : x 2 x x x x 10 x x 2 x 1 2 x 1 x 2 x 7 Vậy với x 0, x A 2) Ta có A : x 3 x x 2 x 3 x 2 x 1 x x 2 x 3 x x 1 x x 1 x 0, x 0, x nên A x 0, x 0, x x 1 x 5 5 , x 0, x A , kết hợp với A nhận giá trị số 2 x 1 2 x 1 nguyên A 1, 2 A x x 1 x 1 x thỏa mãn điều kiện A x x x x không thỏa mãn điều kiện Vậy với x A nhận giá trị nguyên 16 Lời giải: 1) Với x ta có A 1 1 2) a) x2 x P x x 2 b) x 1 x 1 Theo câu a) P x 1 x x x 1 x 1 x 2 x 1 x x 1 x Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | 16 - Tốn – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ 2P x x 2 x x x x x x x x 1 1 x 2 x 0 x x 2 17 Giải: Do a nên a Do a2 62 a 1 hay a 2a 1 62 1 18 Giải: a 16 10 1 8 Vì a nên a Do a 1 hay a a Biểu diễn a T 2a a 2a a 2a 12 42 3.4 12 19 Giải: Ta có: a x x xy yz zx x y x z Tương tự ta có: a y y x y z ; a z z x z y a y a z x x y y z z x z y x x y Tương tự: Từ ta có: x x y x z a x2 a z a x y z x ; z a x a y z x y Vậy y 2 a y2 a z2 VT x y z y z x z x y xy yz zx 2a 20 Giải: a) Vì 61 46 1 1 Từ a a2 2 a 10 a 14a b) Do f x x 14 x x x 14a nên ta f a 21 Giải: Vì a 38 17 38 17 3.3 38 17 38 17 a 76 3a a 3a 76 f a 76 1940 2012 20162016 Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | 17 - Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ 22 Nhân tử mẫu f n với n n , ta được: f n n 1 n n n Cho n từ đến 2016 , ta được: f 1 2 1; f 3 2; ; f 2016 2017 2017 2016 2016 Từ suy ra: S f 1 f f 3 f 2016 2017 2017 23 Giải: Vì n số nguyên dương nên: 1 1 (1) Mặt khác, với k ta 2 n có: 4 2 2 Cho k 2,3, 4, , n ta có: k 4k 4k 2k k 4 2 2 4 2 2 2 2 2 4.2 4.2 2.2 2.2 4.3 4.3 2.3 2.3 4 2 2 2 4.4 4.4 2.4 2.4 ………… 4 2 2 2 n 4n 4n 2n n n 2n Cộng vế với vế ta được: 1 1 2 1 (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh 2 n 2n 3 24 Giải: 1 1 Đặt P Thực làm trội phân số vế trái cách làm giảm mẫu, ta n có: 2 1 , k k k k k 1 k 1 k 1 k k k 1 1 1 1 1 Cho k 4,5, , n P 3.4 4.5 4.5 5.6 n 1 n n n 1 65 251 1 251 65 Do P (đpcm) 108 3.4 n n 1 108 3.4 27 64 25 Giải: Đặt Sn 1 1 n 1 n n n Để ý : k 1 k 1 k k k k 1 k k k , k 1 k k 1 k k k k 1 k k k 1 k k 1 Cho k 1, 2, , n cộng vế với vế ta có: Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | 18 - Tốn – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ 1 1 2 Do S2001 2002 Như ta phải chứng minh: 43 44 1 44 45 2002 45 Sn 1 1 n n 1 n 1 1 2002 44 44 2002 45 1936 2002 2025 Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh 26 Giải: Để giải tốn ta cần có bổ đề sau: Bổ đề: với số thực dương x, y ta có: x y y x x x y y Chứng minh: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương x y y x x xy y x x y yx yy x 0 x y x x y y x y x y y x x y 0 Bổ đề chứng minh Áp dụng bổ đề ta có: n 1 n 1 Vì thế: n n n n n n 1 n 1 n n n n n n 1 n 1 2 1 3 2 n 1 n n n 1 Mà theo kết câu 25 thì: n 1 1 n 1 n n 1 1 1 Vậy toán chứng minh 1 n 1 n 1 n n n Câu 27) Giải: Để ý phân số có tử mẫu đơn vị, nên ta nghĩ đến đẳng thức n n 1 10 3n 3n n n n n Kí hiệu P Ta có: n2 n 12 3n 3n 10 3n 3n 10 3n 3n P 3n 3n 12 3n 3n 12 3n 3n 10 3n 3n 3n 3n 10 3n 3n 12 Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | 19 - Tốn – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ 1 3n 3n 3n 3n 1 3 10 3n 3n 3n 3n 3 3n 3 n 1 P Từ suy Bất đẳng thức chứng minh n 1 Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | 20 - ... 9 9 9 84 84 1 Hay 1 9 Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | - Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/... ( PCM) 11 Lời giải: Admin : https://www.facebook.com/trinhxuan.dam - Trang | 14 - Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ A x x x x 19. .. | 12 - Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam Page: https://www.facebook.com/Toanlyhoabactrungnam/ 4) Lời giải: x 1) P x 3 x x 3 x 3x x 3 x 3 x x 36 (thỏa mãn