TOÁN ỨNG DỤNG SPKT TP.HCM

Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI MÔN: TOÁN ỨNG DỤNG TRONG KỸ THUẬT Mã môn học: MATH131501 Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi gồm trang Được phép sử dụng tài liệu Bài (2,5 điểm) Một vật khối lượng m (kg) rơi theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu v0 (m/s) mơi trường có sức cản khơng khí tỷ lệ với vận tốc (hệ số tỷ lệ k ), gia tốc trọng trường g (m/s2) Biết vận tốc v(t ) (m / s ) vật thỏa phương trình phương trình vi phân v ' (t ) = g − k v (t ) , v ( ) = m Cho g = 10, m = 0,5 , k = a) Áp dụng phương pháp Ơle với h = 0,1 , tính v(0,2) ≈ (1) v(0,5) ≈ (2) b) Áp dụng phương pháp Ơle cải tiến, với h = 0,1 , tính v(0,2) ≈ (3) v(0,6) ≈ (4) Từ kết suy gia tốc điểm t = 0,2s v ' (0,2) ≈ (5) Bài (2 điểm) (trong bỏ qua đơn vò) Một vật chuyển động thẳng trục x từ a đến b tác động ngoại lực biến thiên F(x) hướng chuyển động vật Khi cơng W lực F(x) tính công thức b W = ∫ F ( x ) dx a Cho a = 0, b = 1,2 F ( x) = x x + a) Áp dụng cơng thức hình thang đoạn chia Khi W ≈ (6) với sai số tuyệt đối Δ ≤ (7) b) Áp dụng cơng thức Simpson đoạn chia: y2 = F(x2) = (8), W ≈ (9) Bài (1,5 điểm) (trong bỏ qua đơn vò) Khảo sát độ bền uốn y(x) loại vật liệu cách tác động một(loại)lực lên diện tích bề mặt miếng vật liệu giống có bề dày x thay đổi Chúng ta có bảng số liệu x y 0,1 515 0,2 518 0,3 522 0,4 525 0,5 528 0,6 531 Áp dụng phương pháp Bình phương bé với dạng phương trình y = A + B x , suy A = (10) B= (11) Dự đốn y x = 0,25 y( 0,25 ) = (12) Bài (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân t y (t ) = 12e −5t + 5∫ y (u ) cos 2(t − u )du Bài (2,5 điểm) Cho phương trình vi phân y ' ' (t ) + y ' (t ) + 18 y (t ) = sin 2t , y (0) = , y ' (0) = a) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân b) Giả sử y (t ) phương trình chuyển động thẳng chất điểm theo thời gian t Xác đònh giá trò (gần đúng) biên độ chuyển động t đủ lớn ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ? Ghi : Cán coi thi không giải thích đề thi Ngày tháng năm 2014 Bộ môn duyệt Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI MÔN: TOÁN ỨNG DỤNG TRONG KỸ THUẬT Mã môn học: MATH131501 Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi gồm trang Được phép sử dụng tài liệu Bài (2,5 điểm) Một vật khối lượng m (kg) rơi theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu v0 (m/s) mơi trường có sức cản khơng khí tỷ lệ với vận tốc (hệ số tỷ lệ k ), gia tốc trọng trường g (m/s2) Biết vận tốc v(t ) (m / s ) vật thỏa phương trình phương trình vi phân v ' (t ) = g − k v (t ) , v ( ) = m Cho g = 10, m = 1, k = a) Áp dụng phương pháp Ơle với h = 0,1 , tính v(0,2) ≈ (1) v(0,5) ≈ (2) b) Áp dụng phương pháp Ơle cải tiến, với h = 0,1 , tính v(0,2) ≈ (3) v(0,6) ≈ (4) Từ kết suy gia tốc điểm t = 0,2s v ' (0,2) ≈ (5) Bài (2 điểm) (trong bỏ qua đơn vò) Một vật chuyển động thẳng trục x từ a đến b tác động ngoại lực biến thiên F(x) hướng chuyển động vật Khi cơng W lực F(x) tính công thức b W = ∫ F ( x ) dx a Cho a = 0, b = 1,2 F ( x) = x x + a) Áp dụng cơng thức hình thang đoạn chia Khi W ≈ (6) với sai số tuyệt đối Δ ≤ (7) b) Áp dụng cơng thức Simpson đoạn chia: y2 = F(x2) = (8), W ≈ (9) Bài (1,5 điểm) (trong bỏ qua đơn vò) Khảo sát độ bền uốn y(x) loại vật liệu cách tác động (loại)lực lên diện tích bề mặt miếng vật liệu giống có bề dày x thay đổi Chúng ta có bảng số liệu x  y  0,1 415 0,2  421  0,3 428 0,4 435 0,5 438 0,6 441 Áp dụng phương pháp Bình phương bé với dạng phương trình y = A + B x , suy A = (10) B= (11) Dự đốn y x = 0,25 y( 0,25 ) = (12) Bài (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân y (t ) = 12e −5t t + 5∫ y (u ) cos 2(t − u )du Bài (2,5 điểm) Cho phương trình vi phân y ' ' (t ) + y ' (t ) + 18 y (t ) = sin 2t , y (0) = , y ' (0) = a) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân b) Giả sử y (t ) phương trình chuyển động thẳng chất điểm theo thời gian t Xác đònh giá trò (gầng đúng) biên độ chuyển động t đủ lớn ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ? Ghi : Cán coi thi không giải thích đề thi Ngày tháng năm 2014 Bộ môn duyệt ĐÁP ÁN MƠN TỐN ỨNG DỤNG TRONG KỸ THUẬT Mã mơn: MATH131501 Bảng trả lời 1, 2, 3: Đề 1: (Bài 1: m = 0,5 ; k = 4) Câu Đáp án Điểm Câu (1) v(0,2) ≈ 1,2 0,5 (7) (2) v(0,5) ≈ 1,2496 0,5 (8) (3) v(0,2) ≈ 0,912 0,5 (9) (4) v(0,6) ≈ 1,225287 0,5 (10) (5) v’(0,2) ≈ 2,704 0,5 (11) (6) W ≈ 0,97456 0,5 (12) Đáp án Δ ≤ 0,016 y2 = F(x2) = 0,7589 W ≈ 0,96276 A ≈ 502,97126 B ≈ 35,37548 y(0,25) ≈ 520,659 Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Đề 2: (Bài 1: m = ; k = 3) Câu Đáp án (1) v(0,2) ≈ 1,7 (2) v(0,5) ≈ 2,7731 (3) v(0,2) ≈ 1,48325 (4) v(0,6) ≈ 2,76341 (5) v’(0,2) ≈ 5,55025 (6) W ≈ 0,97456 Đáp án Δ ≤ 0,016 y2 = F(x2) = 0,7589 W ≈ 0,96276 A ≈ 395,62652 B ≈ 59,62675 y(0,25) ≈ 425,439895 Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu (7) (8) (9) (10) (11) (12) Ngày thi: 6/6/2014 Bài 4: Áp dụng tích chập, phương trình tương đương với y (t ) = 12e −5t  + y (t ) * cos 2t   Đặt Y = Y(p) = L [y(t)] , biến đổi Laplace hai vế phương trình áp dụng đònh lý Borel ta Y= 12 p + 5Y p+5 p +4 (0,5 điểm) (*) 12( p + 4) A B C = + + (0,5 điểm) ( p + 5)( p − 1)( p − 4) p + p − p − Biến đổi Laplace ngược ta y (t ) = Ae −5t + Be t + Ce 4t (0,25 điểm) Từ đẳng thức (*) tính A = 58/9 , B = -10/3 , C = 80/9 (0,25 điểm)   Bài 5: a) Đặt Y = Y(p) = L [y(t)] , biến đổi Laplace hai vế phương trình áp dụng tính chất đạo hàm gốc ta (0,5 điểm) p 2Y + pY + 18Y = p +4 ⇔Y= (0,5 điểm) ( p + 4)[( p + 3) + 9] ⇔Y = = Ap + B C ( p + 3) + 3D Ap 2B C ( p + 3) 3D + = + (0,5 điểm) + + 2 p +4 ( p + 3) + p + p + ( p + 3) + ( p + 3) + Biến đổi Laplace ngược ta y (t ) = A cos 2t + B sin 2t + e −3t (C cos 3t + D sin 3t ) với A = -9/85 , B = 21/170 , C = 9/85 , D = 2/85 b) Khi t đủ lớn: e −3t (C cos 3t + D sin 3t ) ≈ , đặt sin α = Khi y (t ) ≈ A cos 2t + B sin 2t = A2 + B sin(α + 2t ) A A2 + B (0,25 điểm) (0,25 điểm) ∧ cos α = A + B , với A = -9/85 , B = 21/170   Hết A2 + B (0,25)   Đây phương trình chuyển động dao động điều hòa có biên độ dao động Vậy biên độ chuyển động gần B A2 + B   (0,25 điểm)  ... Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI MÔN: TOÁN ỨNG DỤNG TRONG KỸ THUẬT Mã môn học: MATH131501 Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi gồm trang Được phép sử dụng tài liệu Bài... (t ) = g − k v (t ) , v ( ) = m Cho g = 10, m = 1, k = a) Áp dụng phương pháp Ơle với h = 0,1 , tính v(0,2) ≈ (1) v(0,5) ≈ (2) b) Áp dụng phương pháp Ơle cải tiến, với h = 0,1 , tính v(0,2) ≈ (3)... F ( x ) dx a Cho a = 0, b = 1,2 F ( x) = x x + a) Áp dụng cơng thức hình thang đoạn chia Khi W ≈ (6) với sai số tuyệt đối Δ ≤ (7) b) Áp dụng cơng thức Simpson đoạn chia: y2 = F(x2) = (8), W