Số catalan và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHAN BÍCH HOÀI SỐ CATALAN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHAN BÍCH HOÀI SỐ CATALAN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Lời mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Quan hệ tương đương ánh xạ 1.1.1 Quan hệ tương đương 1.1.2 Ánh xạ phép toán 1.1.3 Nguyên lý Bù-Trừ 1.2 Tổ hợp 1.2.1 Phương pháp quy nạp 1.2.2 Quy tắc đếm 1.2.3 Khái niệm tổ hợp 1.3 Khai triển (x1 + x2 + · · · + xk )n 1.4 Chuỗi Taylor-Maclaurin Chương Số Catalan 2.1 Hàm sinh thường số Catalan 2.1.1 Chuỗi lũy thừa hình thức 2.1.2 Số Catalan 2.2 Cây số Catalan 2.3 Phân hoạch số Catalan 2.4 Tam giác Pascal số Catalan hàm sinh thường 3 8 12 13 13 15 18 18 18 25 31 37 44 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 Lời mở đầu Dãy số Fibonacy dãy Lucas ví “hai sáng bầu trời rộng lớn dãy số nguyên” Các ứng dụng phong phú chúng tạo nên tính hấp dẫn Hơn nữa, với dễ dàng đánh giá dãy số thu hút quan tầm nhà toán học chuyên nghiệp lẫn không chuyên Tuy nhiên, số Catalan chí tuyệt vời Nó ví giống “Ngôi Bắc cực bầu trời đêm”, chúng ánh sáng tuyệt đẹp tỏa sáng bầu trời toán học Chúng tiếp tục cung cấp mảnh đất màu mỡ cho nhà lý thuyết số, đặc biệt người đam mê số Catalan khoa học máy tính Từ xuất Euler toán tam giác phân đa diện lồi (năm 1751) toán dãy dấu ngoặc đơn Catalan (năm 1838), có gần 400 báo vấn đề số Catalan xuất ấn phẩm định kỳ khác Chúng toát vẻ đẹp tính phổ biến số Catalan Nhiều nhà toán học chuyên nghiệp không chuyên biết dãy Catalan, không quen với vô số xuất bất ngờ, ứng dụng thiết thực, tính chất, mối quan hệ thú vị đáng ngạc nhiên số nhiều ví dụ chúng Số Catalan sử dụng nhiều lĩnh vực đại số, số học, hình học, lỹ thuyết đồ thị, Xuất phát từ lí nên mạnh dạn chọn đề tài: “Số Catalan ứng dụng” hướng dẫn PGS TS Đàm Văn Nhỉ Đây tổng quan số Catalan ứng dụng Trong luận văn trình bày lại vài kết chẳng hạn hàm sinh thường, số Catalan, tam giác Pascal, hệ số tổ hợp, Qua đề tài giúp người đọc hiểu sâu nguồn gốc tính chất số Catalan, thấy phổ biến số Catalan nhiều toán đếm khác toán học Nôi dung luận văn gồm hai chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày có hệ thống kiến thức sơ, công cụ hỗ trợ liên tiếp để xây dựng công thức tổng quát dãy đệ quy phương pháp hàm sinh Chương Số Catalan Chương nội dung luận văn, chương này, trình bày đầy đủ tính chất số Catalan Một số ứng dụng tiêu biểu số Catalan bao gồm đếm số đồ thị, đếm số phân hoạch không cắt Mục cuối trình bày nhiều cách khác thu số Catalan từ tam giác Pascal Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình PGS TS Đàm Văn Nhỉ Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy tận tâm truyền đạt kiến thức, giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Trong trình học tập làm luận văn, tác giả nhận quan tâm, giúp đỡ Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, thầy cô tham gia giảng dạy lớp cao học Toán K8YB Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu Thái Nguyên, tháng năm 2016 Học viên Phan Bích Hoài Chương Kiến thức chuẩn bị Chúng bắt đầu luận văn cách trình bày công cụ cần thiết để xây dựng số Catalan Dạng tổng quát số Catalan xây dựng thông qua phương pháp hàm sinh Nhưng trước bắt đầu với phương pháp hàm sinh, ta cần nhắc lại định nghĩa ánh xạ, quy tắc đếm, truy hồi, qui nạp, chuỗi Maclaurin, chuỗi lũy thừa hình thức Nội dung chương tham khảo tài liệu [1, 2] nhiều tài liệu khác 1.1 1.1.1 Quan hệ tương đương ánh xạ Quan hệ tương đương Giả thiết tập X = ∅ Tích Đềcác X × X định nghĩa đây: X × X = {(x, y)|x, y ∈ X} Định nghĩa 1.1.1 Tập S X × X gọi quan hệ hai X (x, y) ∈ S, ta nói x có quan hệ S với y viết xSy Định nghĩa 1.1.2 Giả thiết X = ∅ S = ∅ quan hệ hai X Quan hệ S gọi quan hệ tương đương X thỏa mãn ba điều kiện sau đây: (i) (Phản xạ) Với x ∈ X có xSx (ii) (Đối xứng) Với x, y ∈ X, có xSy có ySx (iii) (Bắc cầu) Với x, y, z ∈ X, có xSy ySz có xSz Khi S quan hệ tương đương X ta thường ký hiệu ∼ thay cho S Đặt C(x) = {y ∈ X|y ∼ x} gọi lớp tương đương với x làm đại diện Dễ dàng tính chất sau: Tính chất 1.1.3 Giả sử ∼ quan hệ tương đương X = ∅ Khi (1) Với x ∈ X có x ∈ C(x) (2) Với y, z ∈ C(x) có y ∼ z y, z ∼ x (3) Với x, y ∈ X, có C(x) ∩ C(y) = ∅ C(x) = C(y) (4) Tập thương X/ ∼ tập lớp tương đương không giao 1.1.2 Ánh xạ phép toán Giả thiết tập X tập Y khác rỗng Tích Đềcác X × Y định nghĩa sau: X × Y = {(x, y)|x ∈ X, y ∈ Y } Số phần tử tập X hữu hạn gọi lực lượng X ký hiệu |X| Mệnh đề 1.1.4 Nếu |X| = m |Y | = n số hữu hạn |X × Y | = |X|.|Y | = mn Định nghĩa 1.1.5 Một quy tắc f đặt tương ứng phần tử x ∈ X với phần tử xác định y ∈ Y gọi ánh xạ biểu diễn thành f : X → Y, x → y = f (x) Tập X gọi tập nguồn hay miền xác định, tập Y gọi tập đích hay miền giá trị ánh xạ f Phần tử y = f (x) gọi ảnh x x gọi tạo ảnh y Định nghĩa 1.1.6 Hai ánh xạ f, g : X → Y gọi viết f = g f (x) = g(x) với x ∈ X Ánh xạ id : X → X, x → x, gọi ánh xạ đồng Với tập A ⊂ X, ánh xạ in : A → X, a → a, gọi phép nhúng chìm Định nghĩa 1.1.7 Ánh xạ f : N → R, n → an = f (n), gọi dãy số Tập tất ảnh an gọi dãy (an ) với số hạng thứ n an Dãy (an ) gọi cấp số cộng có số cố định d để an+1 = an + d với n ∈ N Trong trường hợp d gọi công sai cấp số cộng (an ) Định nghĩa 1.1.8 Xét dãy số (an ) Dãy (an ) gọi cấp số nhân có số cố định q để an+1 = an q với n ∈ N Trong trường hợp q gọi công bội cấp số nhân (an ) Định nghĩa 1.1.9 Cho hai tập hợp khác rỗng X Y Ánh xạ f : X → Y gọi đơn ánh a, b ∈ X, a = b f (a) = f (b) Khi f đơn ánh ta thường nói rằng, f ánh xạ 1-1 từ X vào Y Ánh xạ f : X → Y gọi toàn ánh với y ∈ Y tồn x ∈ X để y = f (x) Khi f toàn ánh ta thường nói rằng, f ánh xạ từ X lên Y Chú ý rằng, trường hợp ta có f (X) = Y hay Imf = Y Định nghĩa 1.1.10 Cho hai tập hợp khác rỗng X Y Ánh xạ f : X → Y gọi song ánh f đồng thời vừa đơn ánh toàn ánh Sự liên quan lực lượng tập hợp ánh xạ qua ý sau đây: Xét ánh xạ f : X → Y với |X|, |Y | < ∞ Khi (1) Nếu f đơn ánh |X| (2) Nếu f toàn ánh |X| |Y | |Y | (3) Nếu f song ánh |X| = |Y | 1.1.3 Nguyên lý Bù-Trừ Khi xét toán tổ hợp, ta thường phải đếm xem có cấu hình tạo với yêu cầu đặt trước Nói chung, để đếm cấu hình cho người ta tìm cách đưa cấu hình loại quen thuộc qua việc phân thành lớp để áp dụng nguyên lý cộng đây: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| Tổng quát nguyên lý cộng ta có Nguyên lý Bù-Trừ Cái khó việc vận dụng nguyên lý Bù-Trừ việc phân lớp để dễ dàng có số đếm Giả sử A1 , , An tập tập A Các số sk xác định qua s0 = |A| s1 = |A1 | + |A2 | + · · · + |An | s2 = |A1 ∩ A2 | + |A1 ∩ A3 | + · · · + |An−1 ∩ An | ··· |Ai1 ∩ Ai2 ∩ · · · ∩ Aik | sk = ··· i1