Luận văn đối ngẫu trong quy hoạch phân thức đa mục tiêu

Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN LÊ NG C BIÊN Đ I NG U TRONG QUY HO CH PHÂN TH C ĐA M C TIÊU Chuyên ngành : TOÁN GI I TÍCH Mã s : 60 46 01 02 LU N VĂN TH C S TOÁN H C Ngư i hư ng d n khoa h c: GS.TS Tr n Vũ Thi u Hà N i- 2015 M cl c M ĐU KI N TH C CHU N B 1.1 T p l i t p đa di n l i 51.2 Hàm l i hàm phân th c afin 1.3 Hàm liên h p 10 1.4 Bài toán t i ưu đa m c tiêu 11 Đ I NG U TRONG QUY HO CH PHÂN TUY N TÍNH 2.1 Bài toán quy ho ch phân n tính 13 2.2 Bài toán đ i ng u 14 2.3 đ i ng u 15 2.4 13 Đ nh lý Ví d minh h a 19 QUY HO CH PHÂN TH C ĐA M C TIÊU 3.1 Bài toán g c toán tham s hóa 21 3.1.1 21 Bài toán g c 21 3.1.2 Tham s hóa theo Dinkelbach 22 3.2 Đ i ng u Fenchel-Lagrange c a toán vô hư ng 24 3.3 Đ i ng u Fenchel-Lagrange đa m c tiêu 27 3.4 Ví d 35 K T LU N 38 TÀI LI U THAM KH O 38 M ĐU Lý thuy t đ i ng u đ i v i toán t i ưu, v i m t hay nhi u hàm m c tiêu, m t nh ng ch đ quan tr ng c a lý thuy t t i ưu hóa Lý thuy t đ i ng u toán t i ưu v i hàm m c tiêu hàm phân th c (t s c a hai hàm s ) đư c phát tri n m nh m vài ch c năm g n b i Wolfe (1991), Weir - Mond (1989), Nakayama (1984), Jahn (1983) Wanka - Bot (2002) Trư ng h p t i ưu phân th c đư c Charnes Cooper ([6], 1962) nghiên c u cho hàm m c tiêu phân n tính Dinkelbach ([7], 1967) ch m i liên h gi a toán phân th c toán tham s hóa Schaible ([9], 1976) đưa m t phép bi n đ i cho phép x lý toán phân th c Đáng ý Wanka Bot [10] đưa đ i ng u liên h p m i d a cách ti p c n nhi u Sau tác gi [4], [5] nghiên c u quan h gi a khái ni m đ i ng u qui ho ch phân th c Bot R I., Charesy R Wanka G ([3], 2006) xét quan h đ i ng u cho m t l p toán t i ưu phân th c đa m c tiêu c th toán v i nhi u hàm m c tiêu, m i m c tiêu t s c a hàm l i hàm lõm Trên th c t , ki u toán t o m t l p riêng có đ c m toán nói chung không l i Kaul Lyall ([8], 1989) xây d ng toán đ i ng u k t qu đ i ng u cho toán t i ưu phân th c đa m c tiêu, v i gi thiêt hàm kh vi Ohlendorf Tammer (1994) đưa đ i ng u ki u Fenchel cho toán t i ưu véctơ v i hàm m c tiêu phân th c Đ phát tri n ki n th c gi i tích h c, ch n đ tài lu n văn: "Đ i ng u toán t i ưu phân th c đa m c tiêu" M c đích c a lu n văn tìm hi u trình bày v m t s k t qu có v đ i ng u toán qui ho ch phân th c, c th đ i ng u quy ho ch phân n tính m t m c tiêu đ i ng u toán quy ho ch phân th c đa m c tiêu không l i Lu n văn đư c vi t d a ch y u tài li u tham kh o [1] - [3] [7] N i dung c a lu n văn g m ba chương • Chương "Ki n th c chu n b " nh c l i ki n th c v t p l i, t p l i đa di n tính ch t c a t p này; nh c l i khái ni m hàm l i, hàm afin tính ch t đáng ý c a hàm afin, hàm liên hơp gi i thi u toán t i ưu đa m c tiêu m t s khái ni m có liên quan • Chương "Đ i ng u quy ho ch phân n tính"trình bày toán quy ho ch phân n tính g c đ i ng u, k t qu c a lý thuy t đ i ng u quy ho ch phân n tính, tương t quy ho ch n tính Cu i chương nêu m t s ví d minh h a • Chương "Quy ho ch phân th c đa m c tiêu" trình bày cách ti p c n tham s c a Dinkelbach ([7]) đ đ t tương ng toán ban đ u (g i toán g c) v i toán t i ưu l i, đa m c tiêu trung gian Sau vô hư ng hóa toán đa m c tiêu trung gian xây d ng toán đ i ng u đa m c tiêu tương ng Trình bày k t qu v tính đ i ng u y u, đ i ng u m nh đ i ng u đ o c a c p toán đ i ng u T cho phép nh n đư c đ c trưng đ i ng u đ i v i nghi m h u hi u c a toán t i ưu phân th c đa m c tiêu ban đ u Do th i gian ki n th c h n ch nên ch c ch n lu n văn có nh ng thi u sót nh t đ nh, kính mong quí th y cô b n đóng góp ý ki n đ tác gi ti p t c hoàn thi n lu n văn sau Nhân d p này, tác gi lu n văn xin bày t lòng bi t ơn sâu s c t i GS.TS Tr n Vũ Thi u, t n tình giúp đ su t trình làm lu n văn Tác gi chân thành c m ơn th y giáo, cô giáo Trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên - Đ i h c Qu c gia Hà N i, nhi t tình gi ng d y t o m i u ki n thu n l i trình tác gi h c t p nghiên c u t i Khoa Toán - Cơ - Tin h c c a nhà trư ng Chương KI N TH C CHU N B Chương nh c l i m t s ki n th c v t p l i, t p l i đa di n, hàm l i, hàm phân th c afin (t s c a hai hàm n tính afin), hàm liên h p gi i thi u toán t i ưu đa m c tiêu khái ni m có liên quan N i dung c a chương đư c tham kh o ch y u t tài li u [1], [2] [3] 1.1 T p l i t p đa di n l i A.T p l i m t khái ni m quan tr ng đư c dùng r ng rãi t i ưu hoá Đ nh nghĩa 1.1 T p C Rn đư c g i t p l i n u C ch a tr n đo n th ng n i hai m b t kỳ thu c Nói cách khác, t p C l i n u λa+(1−λ)b ∈ C v i m i a, b ∈ C m i ≤ λ ≤ Ví d 1.1 Các t p sau đ u t p l i: a) T p afin, t c t p ch a tr n đư ng th ng qua hai m b t kỳ thu c b) Siêu ph ng, t c t p có d ng H = {x ∈ Rn : aT x = α, a ∈ Rn ∴ {0}, α ∈ R} c) Các n a không gian đóng H1 = {x ∈ Rn : aT x ≤ α}, H2 = {x ∈ Rn : aT x ≥ α} d) Hình c u đóng B(a, r) = {x ∈ Rn : ||x − a|| ≤ r}(a ∈ Rn, r > 0cho trư c) T đ nh nghĩa c a t p l i tr c ti p suy m t s tính ch t đơn gi n sau đây: a) Giao c a m t h b t kỳ t p l i m t t p l i (nhưng h p không đúng!) b) T ng c a hai t p l i hi u c a hai t p l i t p l i c) N u C ⊂ Rm, D ⊂ Rn tích C ⋅ D = {(x, y) : x ∈ C, y ∈ D} m t t p l i Rm+n (Có th m r ng cho tích nhi u t p l i) Đ nh nghĩa 1.2 a) Đi m x ∈ Rn có d ng x = λ1a1 + λ2a2 + + λkak v i ∈ Rn, λi ≥ 0, λ1 +λ2 + +λk = 1, g i m t t h p l i c a m a1, a2, , ak b) Đi m x ∈ Rn có d ng x = λ1a1 + λ2a2 + + λkak v i ∈ Rn, λi ≥ 0, g i m t t h p n tính không âm hay t h p nón c a m a1, a2, , ak Đ nh nghĩa 1.3 Cho E m t t p b t kỳ Rn a) Giao c a t t c t p afin ch a E g i bao afin c a E, ký hi u aff E Đó t p afin nh nh t ch a E b) Giao c a t t c t p l i ch a E g i bao l i c a E, ký hi u conv E Đó t p l i nh nh t ch a E Đ nh nghĩa 1.4 a) Th nguyên (hay s chi u) c a m t t p afin M, ký hi u dim M, th nguyên (s chi u) c a không gian song song v i b) Th nguyên (hay s chi u) c a m t t p l i C, ký hi u dim C, th nguyên hay s chi u c a bao afin aff C c a B T p l i đa di n m t d ng t p l i có c u trúc đơn gi n r t hay g p lý thuy t t i ưu n tính Đ nh nghĩa 1.5 M t t p l i mà giao c a m t s h u h n n a không gian đóng g i m t t p l i đa di n Nói cách khác, t p nghi m c a m t h h u h n b t phương trình n tính: ai1x1 + ai2x2 + + ainxn ≤ bi, i = 1, 2, , m, nghĩa t p x nghi m Ax ≤ b v i A = (aij) ∈ Rm⋅n, b = (b1, , bm)T Nh n xét 1.1 Do m t phương trình n tính có th bi u di n tương đương b ng hai b t phương trình n tính, nên t p nghi m c a m t h (h u h n) phương trình b t phương trình n tính m t t p l i đa di n: ai1x1 + ai2x2 + + ainxn = bi, i = 1, 2, , k, ai1x1 + ai2x2 + + ainxn ≤ bi, i = k + 1, , m, M t t p l i đa di n có th b ch n (gi i n i) ho c không b ch n (không gi i n i) M t t p l i đa di n b ch n đư c g i m t đa di n l i Các đa giác (1.1) l i theo nghĩa thông thư ng m t ph ng hai chi u (tam giác, hình vuông, hình tròn, ) nh ng ví d c th v đa di n l i R Đ nh nghĩa 1.6 T p l i đa di n K ⊆ Rn đư c g i m t nón l i đa di n n u K có thêm tính ch t x ∈ K ⇒ λx ∈ K v i m i x ∈ K m i λ ≥ 0.(Ví d nón Rn ) Cho D m t t p l i đa di n xác đ nh b i h b t phương trình n tính (1.1) Sau đ đơn gi n, ta gi thi t D không ch a đư ng th ng + (t c a, b ∈ D cho λa + (1 − λ)b ∈ D v i m i λ ∈ R) Hai y u t t o nên t p l i đa di n D đ nh c nh vô h n c a D Theo gi i tích l i, có th hi u khái ni m sau Đ nh nghĩa 1.7 Đi m x0 ∈ D đư c g i m t đ nh c a D n u rank{ai : ai, x0 = bi} = n (v i = (ai1, , ain)T , i = 1, , m) Đ nh nghĩa tương đương: x0 ∈ D m t đ nh c a D n u x1, x2 ∈ D, x1 = x0 ho c x2 = x0, λ ∈ (0, 1) cho x0 = λx1 + (1 − λ)x2, nói m t cách khác: x0 không th m n m m t đo n th ng n i hai m thu c D Đ nh nghĩa 1.8 Đo n th ng [x1, x2], x1 = x2, đư c g i m t c nh h u h n c a D n u x1, x2 đ nh c a D rank{ai : ai, x1 = ai, x2 = bi} = n − Đ nh nghĩa 1.9 Tia Γ = {x0 + λd : λ ≥ 0} ⊆ D, x0 ∈ D, d ∈ Rn, đư c g i m t c nh vô h n c a D n u rank{ai : ai, x = bi, ∀x ∈ Γ} = n − Đ hi u rõ v t p l i đa di n ta c n bi t m t s khái ni m sau Đ nh nghĩa 1.10 Véctơ d ∈ Rn, d = 0, đư c g i m t hư ng lùi xa c a D n u ∃x0 ∈ D cho {x0 + λd : λ ≥ 0} ⊆ D T p h p hư ng lùi xa c a D c ng v i g c t o thành m t nón l i đóng, g i nón lùi xa c a D, ký hi u rec D Đ nh nghĩa 1.11 Hư ng lùi xa d c a D đư c g i m t hư ng c c biên n u không t n t i hai hư ng lùi xa khác d1, d2 cho d = λ1d1 + λ2d2 v i λ1, λ2 > Có th ch ng minh đư c r ng t p l i đa di n D không b ch n ch rec D = {0}, nghĩa ch D có nh t m t hư ng lùi xa Trong toán t i ưu, ta thư ng g p t p l i đa di n có d ng S = {x ∈ Rn : Ax ≤ b, x ≥ 0}v i A ∈ Rm⋅n, b ∈ Rm, t c S t p nghi m không âm c a m t h (h u h n) b t phương trình n tính T p không ch a đư ng th ng (do x ≥ 0) nên S có đ nh T đ nh nghĩa nêu cho th y: a) Đi m x0 ∈ S m t đ nh c a S ch h véctơ {ak : ak, x0 = bk}∪{ek : x0k = 0} có h ng b ng n b) Các hư ng c c biên (chu n hóa) c a S nghi m s c a h Ay ≤ 0, eT y = 1, y ≥ 0, eT = (1, , 1) c) Gi s tia Γ = {x0 + λd : λ ≥ 0}, x0 m t đ nh d m t hư ng c c biên c a S Khi Γ m t c nh vô h n c a S ch rank({ak : ak, x = bk, ∀x ∈ Γ} ∪ {ek : xk = 0, ∀x ∈ Γ}) = n − 1.2 Hàm l i hàm phân th c afin Đ nh nghĩa 1.12 a) f : C → R xác đ nh t p l i C ⊆ Rn đư c g i m t hàm l i C n u v i m i x1, x2 ∈ C m i s th c λ ∈ [0, 1] ta có f [λx1 + (1 − λ)x2] ≤ λf (x1) + (1 − λ)f (x2) b) g : C → R g i hàm lõm C n u f = −g hàm l i C Sau m t s ví d quen thu c v hàm l i v i ∅ = C ⊆ Rn t p l i: + Hàm chu n Euclid ||x|| = + Hàm ch đ nh c a t p l i C : x, x , x ∈ Rn δC(x) =  0 x ∈ C +∞ x ∈ C / + Hàm t a c a C: sC(x) = sup yT x (c n c a xT y t p l i C) y ∈C x−y + Hàm kho ng cách t m x ∈ Rn t i C: dC(x) = yinf ∈C • Hàm phân th c afin thư ng g p toán t i ưu Hàm có d ng f (x) = p(x) = pT x + α , T q(x) q x+β p, q ∈ Rn, α, β ∈ R dom f = {x ∈ Rn : qT x + β > 0} Ký hi u S t p l i cho q(x) = qT x + β = v i m i x ∈ S N u q(x) có d u khác S, t c có x, y ∈ S cho qT x + β > qT y + β < hàm q(x) liên t c nên t n t i z ∈ [x, y], t c z ∈ S, cho q(z) = 0.Vì th , không gi m t ng quát, ta có th gi thi t q(x) > v i m i x ∈ S Trư ng h p q(x) < v i m i x ∈ S nhân c t s p(x) m u s q(x) c a hàm f(x) v i (- 1) s có q(x) > v i m i x ∈ S Đ nh lý sau nêu tính ch t đơn u theo phương c a hàm phân th c afin Đ nh lý 1.1 ([1], tr 78) f(x) = hàm đơn u m i đo n th ng p(x) q(x) n m tr n t p l i S = {x : qT x + β > 0} Ch ng minh L y hai m tùy ý a, b ∈ S tính giá tr hàm f t i m x b t kỳ đo n th ng n i a b, t c x = λa + (1 − λ)b v i ≤ λ ≤ Ta th y f (x) = p[[λa + (1 − λ))bb] = λp(a) + (1 − λ)p(b) q λa + (1 − λ λq(a) + (1 − λ)q(b) Đ o hàm c a f theo λ : df (x) = ⋅ dλ q2(x) p(a) p(b) q(a) q(b) = p(a)q(bq)2−xp(b)q(a) () D u c a đ o hàm ph thu c d u c a bi u th c [p(a)q(b) − p(b)q(a)] Vì th , λ thay đ i đo n [0, 1] hàm f(x) ho c tăng ho c gi m ho c đ ng nh t b ng h ng s [a, b] Ta nh c l i r ng hàm kh vi f : R n → R đư c g i gi l i n u v i m i x, y ∈ S ta có f (x)T (y − x) ≥ kéo theo f (y) ≥ f (x), nghĩa n u f (y) < f (x) f (x)T (y − x) < Hàm f đư c g i gi lõm n u −f gi l i Đ nh lý sau nêu m t tính ch t quan tr ng khác c a hàm phân th c afin pT x+α qT x+β Đ nh lý 1.2 ([2], tr 703) Gi s f(x) = S t p l i cho (qT x + β) = S Khi đó, hàm f(x) v a gi l i, v a gi lõm S Ch ng minh Ta đ ý r ng ho c qT x + β > v i m i x ∈ S ho c qT x + β < v i m i x ∈ S, n u trái l i s có a ∈ S, b ∈ S cho qT a + β > qT b + β < 0, có qT z + β = v i z m t t h p l i c a a b, trái v i gi thi t đ nh lý Trư c h t ta ch ng minh f gi l i Th t v y, gi s x, y ∈ S th a mãn f (x)T (y − x) ≥ Ta c n ch rõ f (y) ≥ f (x) Ta có f ( x) = Do (qT x + β)p − (pT x + α)q (qT x + β)2 f (x)T (y − x) ≥ (qT x + β)2 > nên ≤ [(qT x + β)p − (pT x + α)q]T (y − x) = (pT y + α)(qT x + β) − (qT y + β)(pT x + α) Vì th , (pT y + α)(qT x + β) ≥ (qT y + β)(pT x + α) Nhưng (qT x + β) (qT y + β) dương ho c âm nên chia c hai v cho (qT x + β)(qT y + β) > ta nh n đư c pT y + α ≥ pT x + α , t c f (y) ≥ f (x) qT y + β qT x + β Vì th , f gi l i Tương t , có th ch ng minh đư c r ng f (x)T (y − x) ≤ kéo theo f(y) ≤ f(x) Vì th , f gi lõm đ nh lý đư c ch ng minh 1.3 Hàm liên h p Đ nh nghĩa 1.13 Cho m t hàm tùy ý f : Rn → R ∪ {±∞} Hàm liên h p c a f đư c đ nh nghĩa hàm f ∗(p) = supn{pT x − f (x)}, p ∈ Rn x∈R Th c ra, supremum (1.2) ch c n l y x ∈ domf, b i f(x) = +∞ ∀x ∈ / dom f H th c (1.2) đư c g i phép bi n đ i Young - Fenchel T đ nh nghĩa suy f ∗∗(x) ≡ (f ∗)∗(x) = supn{pT x − f ∗(p)}, x ∈ Rn p∈R M nh đ 1.1 f∗ : Rn → R ∪ {±∞} hàm l i, đóng 10 (1.2) Ch ng minh (xem [3], tr 195) Ti p theo ta đ c p t i đ nh lý đ i ng u đ o Ta c n u ki n sau Đ nh nghĩa 3.6 Cho λ ∈ Rp Đi u ki n (Cµ,λ) đư c th a mãn n u t + p λkΦ(kµ) (x) > −∞ inf x∈A k=1 suy t n t i xλ ∈ A cho p λkΦ(kµ) (x) = inf x∈A p λkΦ(kµ) (xλ) k=1 k=1 Đ nh Lý đ i ng u đ o c a (Pµ) sau đ nh lý m r ng Đ nh lý nêu [8] Đ nh lý 3.8 Gi thi t u ki n (CQ) đư c th a mãn gi s có u ki n (Cµ,λ) v i m i λ ∈ int(Rp ) + (i) Gi s (¯, ¯ ¯, ¯ ¯) m t nghi p h u hi u c a ( Dµ) Khi r s, v λ, t a) Ψ(µ) ¯, ¯ ¯, ¯ ¯ ∈ cl Φ(µ) (A) + Rp ; + r s, v λ, t b) T n t i nghi m h u hi u chân ¯¯ ∈ A c a (Pµ) cho xλ p λk Φ(kµ) (¯¯) − Ψ(kµ) ¯, ¯ ¯, ¯ ¯ xλ r s, v λ, t = k=1 (ii) Hơn n a, n u Φ(µ) (A) + Rp t p đóng t n t i nghiêm h u hi u th c s + x¯ ∈ A c a (Pµ) cho p k=1 p ( ) ¯kΦ kµ (¯¯) = λ xλ ¯kΦ(kµ) (¯) k=1 λ x Φ(µ) (¯) = Ψ(µ) ¯, ¯ ¯, ¯ ¯ x r s, v λ, t Ch ng minh a) Ký hi u α = Ψ(µ) ¯, ¯ ¯, ¯ ¯ Do α c c đ i Ψ(µ) (Bµ) ¯ r s, v λ, t ¯ nên ta có α ∈ Ψ(µ) (Bµ) ∩ Rp = M ¯ Gi s α ∈ cl Φ(µ) (A) + Rp Khi đó, t n t i λ1 ∈ Rp ∴ {0} s α ∈ R cho ¯/ + p k=1 p λ1¯k 0, vk ≥ 0, k = 1, 2, λiti = 0, 2λ1v1 = 2λ2v2 = λ1 (5 − 2µ1) + λ2 (2 − 5µ2 i=1 Ch n ¯ = (2, 1)T ta th y r ng (¯, ¯ ¯) ch p nh n đư c đ i v i (D¯) v i ¯ = µ µ v λ, t (1 , )T , ¯ = (5, 2)T , ¯ = (0, 0)T Hơn n a, giá tr hàm m c tiêu Ψ(¯) ¯, ¯ ¯ = [0, 0]T 52 µ v λ, t λ t không th c i ti n đư c n a (theo nghĩa h u hi u) mà không vi ph m ràng v bu c, nghĩa (¯, ¯ ¯) nghi m h u hi u c a ( D¯) V i ¯ = (2, 1)T hàm m c µ v λ, t µ tiêu g c Φ(¯) có th đư c vi t sau: µ x Φ(¯) (x) = µ −3x Ta th y r ng ¯ = ∈ A ph n t nh t th a mãn Φ(¯) (x) = [0, 0]T Rõ ràng, x µ u ki n (CQ) đư c th a mãn, C¯ v i m i λ ∈ int(R2 ) Φ(¯) (A) + R2 µ µ,λ + + t p đóng Theo Đ nh lý 4.5, ¯ = nghi m h u hi u th c s c a (P¯) Hơn n a, ta có x F (0) = 2 =¯ µ µ đ nh lý đ m b o r ng ¯ nghi m h u hi u th c s theo nghĩa Geoff- x rion c a (P) Tóm l i, chương trình bày k t qu nghiên c u c a tác gi [3] v đ i ng u c a toán t i ưu phân th c đa m c tiêu, không l i (P) Dùng cách ti p c n tham s c a Dinkelbach, đưa (P) v toán đa m c tiêu l i (Pµ) Trình bày cách xây d ng toán đ i ng u c a toán t i ưu l i này, d a hàm liên h p c a hàm t s m u s c a thành ph n m c tiêu, c a hàm ràng bu c k t qu v đ i ng u y u, đ i ng u m nh đ i ng u đ o c a c p toán đ i ng u T rút đ c trưng đ i ng u đ i v i nghi m h u hi u c a toán t i ưu phân th c, đa m c tiêu không l i ban đ u 37 K T LU N Lu n văn đ c p t i m t s k t qu lý thuy t v đ i ng u quy ho ch phân n tính m t m c tiêu t i ưu phân th c đa m c tiêu Đây m t ch đ có tính th i s đư c nhi u ngư i quan tâm nghiên c u Lu n văn trình bày n i dung sau: Các ki n th c c n thi t v gi i tích l i như: t p l i, t p l i đa di n, hàm l i, hàm phân th c afin, v hàm liên h p gi i thi u toán t i ưu đa m c tiêu v i khái ni m có liên quan Bài toán quy ho ch phân n tính toán quy ho ch phân n tính đ i ng u tương ng Các đ nh lý đ i ng u y u, đ i ng u thu n đ i ng u đ o v m i liên h gi a nghi m t i ưu c a toán g c toán đ i ng u tương ng M t s k t qu v quan h đ i ng u cho m t l p toán t i ưu phân th c đa m c tiêu, d a cách ti p c n tham s c a Dinkelbach, cách xây d ng toán đ i ng u theo hàm liên h p theo đ i ng u Fenchen - Lagrange đa m c tiêu Đây nh ng ki n th c m i, chuyên sâu gi i tích t i ưu hóa Tác gi hy v ng sau s có có d p đư c tìm hi u sâu v ch đ 38 Tài li u tham kh o [1] Bajalinov E B (2003), Linear - Fractional Programming: Theory, Methods, Applications and Software Kluwer Academic Publishers [2] Bazara M.S et al (2006), Nonlinear Programming: Theory and Algorithms 3rd Edition A John Willey & Sons, Inc., Publication [3] Bot R I., Charesy R Wanka G (2006), Duality for multiobjective fractional programming problems, Nonlinear Analysis Forum 11(2), pp 185 - 201 [4] Bot R I., Wanka G (2004), An analysis of some dual problems in multiobjective optimization (I) Optimization, Volume 53, Number 3, Pages 281300 [5] Bot R I., Wanka G (2004), An analysis of some dual problems in multiobjective optimization (II) Optimization, Volume 53, Number 3, Pages 301-324 [6] Charnes A,Cooper W W.(1962), Programming with linear fractional functionals Naval Research Logistics Quarterly, Volume 9, Pages 181-186 [7] Dinkelbach W (1967), On nonlinear fractional programming Management Science, Volume 13, Number 7, Pages 492-497 39 [8] Kaul R N., Lyall V (1989), A note on nonlinear fractional vector maximization OPSearch, Volume 26, Number 2, Pages 108-121, 1989 Schaible S (1976), Fractional rogramming I: Duality Management Science, Volume 22B, Pages 858-867 [9] Seshan C R (1980), On duality in linear fractional programming, Proc Indian Aead Sci (Math Sci.), Vol 80, N0 1, pp 35-42 [10] Wanka G., Bot R I (2002), A new duality approach for multi objective convex optimization problems Journal of Nonlinear and Convex Analysis, Volume 3, Number 1, Pages 41 - 57 [11] Wanka G., Bot R I (2002), On the relations between different dual problems in convex mathematical programming In: Chamoni P., Leisten R., Martin A., Minnemann J and Stadler A., editors, Operations Research Proceedings 2001, Pages 255 - 265, Springer-V erlag, Berlin 40 ... văn: "Đ i ng u toán t i ưu phân th c đa m c tiêu" M c đích c a lu n văn tìm hi u trình bày v m t s k t qu có v đ i ng u toán qui ho ch phân th c, c th đ i ng u quy ho ch phân n tính m t m c tiêu. .. hàm n tính afin, toán đư c g i quy ho ch phân n tính đa m c tiêu • T i ưu đa m c tiêu phi n, không l i: fk, k = 1, , p, hàm phi n nói chung Trong toán t i ưu đa m c tiêu, ngư i ta thư ng dùng đ... n tính đa m c tiêu đư c vi t thành (MOLP) min{Cx : Ax ≤ b, x ≥ 0} • T i ưu l i đa m c tiêu: fk, k = 1, , p hàm l i, t p X l i đóng ) u (x , k = 1, , p, uk, vk • T i ưu phân th c đa m c tiêu: fk(x)