Lý thuyết điều khiển tự động

lý thuyết điều khiển tự động×tài liệu Cơ sở lý thuyết điều khiển tự động×Cơ sở lý thuyết điều khiển tự động×giáo trình Cơ sở lý thuyết điều khiển tự động×bài tập Cơ sở lý thuyết điều khiển tự động×bài giảng Cơ sở lý thuyết điều khiển tự độnglý thuyết điều khiển tự động×tài liệu Cơ sở lý thuyết điều khiển tự động×Cơ sở lý thuyết điều khiển tự động×giáo trình Cơ sở lý thuyết điều khiển tự động×bài tập Cơ sở lý thuyết điều khiển tự động×bài giảng Cơ sở lý thuyết điều khiển tự động

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM TPHCM KHOA CƠ KHÍ CÔNG NGHỆ BỘ MÔN CƠ ĐiỆN TỬ BÀI GiẢNG : LÝ THUYẾT ĐiỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG GV: Th.S Nguyễn Tấn Phúc phucpfiev1@gmail.com •1 Mô tả toán học Phần tử hệ thống liên tục Chương 2: 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 Phương trình vi phân Phép biến đổi Laplace Hàm truyền Sơ đồ khối Hàm truyền khâu vật lý điển hình Graph tín hiệu Phương trình trạng thái •2 Mô tả toán học Phần tử hệ thống liên tục Chương 2: 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 Phương trình vi phân Phép biến đổi Laplace Hàm truyền Sơ đồ khối Hàm truyền khâu vật lý điển hình Graph tín hiệu Phương trình trạng thái •3 2.1 Phương trình vi phân Tổng quát, quan hệ tín hiệu vào, tín hiệu hệ thống liên tục tuyến tính bất biến SISO mô tả phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng: dn y dn1y dmr dm1r an n  an1 n1   a0 y(t)  bm m  bm1 m1   b0r(t) dt dt dt dt , bi : thông số hệ thống (khối lượng, ma sát, R,L,C,…) r(t) : tín hiệu vào y(t) : tín hiệu n = bậc hệ thống = bậc ph.trình vi phân Với hệ thống thực tế : m  n (nguyên lý nhân quả) •4 Ví dụ 2.1: Hệ lò xo – khối lượng – giảm chấn m : khối lượng, [kg] b : hệ số ma sát nhớt, [N.s/m] k : độ cứng lo xo, [N/m]  Tín hiệu vào: lực tác dụng F(t), [N]  Tín hiệu ra: lượng di động y(t), [m] Áp dụng Định luật II Newton : F(t) (+) m Flx Fms d2 y m   Fi  F(t)  Fms  Flx dt dy F  b Lực giảm chấn : ms dt Lực lò xo : Flx  ky(t)  d2 y dy m b  ky(t)  F(t) dt dt •5 Ví dụ 2.2: Mạch điện RLC nối tiếp Theo định luật Kirchhoff : uR  uL  uC  u Trong đó: uC   idt C duC iC dt duC uR  Ri  RC dt di d2uC uL  L  LC dt dt Tín hiệu vào: điện áp u Tín hiệu ra: điện áp uc  d2uC du LC  RC C  uC  u dt dt •6 Ví dụ 2.3: Đặc tính động học vận tốc xe ôtô v(t) b f(t) m dv  bv(t)  f(t) dt m : khối lượng xe b : hệ số cản không khí (ma sát nhớt)  Tín hiệu vào: Lực đẩy động cơ, f(t)  Tín hiệu ra: vận tốc xe , v(t) •7 Ví dụ 2.4: Bộ giảm xóc xe ôtô, xe máy m : khối lượng, [kg] b : hệ số ma sát nhớt, [N.s/m] k : độ cứng lo xo, [N/m]  Tín hiệu vào: lượng di động r(t), [m]  Tín hiệu ra: lượng di động y(t), [m] d2 y dy dr m b  ky(t)  b  kr(t) dt dt dt •8 Ví dụ 2.5: Mạch điện RLC i i d2uC du RLC  L C  RuC  Ru dt dt d2uC duC du RLC L  RuC  L dt dt dt •9 Mô tả toán học Phần tử hệ thống liên tục Chương 2: 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 Phương trình vi phân Phép biến đổi Laplace Hàm truyền Sơ đồ khối Hàm truyền khâu vật lý điển hình Graph tín hiệu Phương trình trạng thái •10 Ví dụ 2.15 (trang 63) x1  x x2  x4 k2 b1  b b2 x  y1   (k1  k )x1  x2  x3  x4 m1 m1 m1 m1 k2 k2 b2 b2 F(t) x  y2  x1  x2  x3  x4  m2 m2 m2 m2 m2   x1    x   k1  k      m1  x3    x   k   m2 x 0 k2 m1 k  m2 b1  b  m1 b2 m2 A •Bộ môn : Cơ Điện Tử      x1     b2   x         F m1   x     b  x     m2    m2  x B r •68 Ví dụ 2.15 (trang 63)  x1     y1  1 0   x   x1   y   0 0   x    x    2   2   x4  y C x  x(t)  Ax(t)  B.F(t)  Dạng tổng quát : y(t)  Cx(t)  D.F(t) Trong A, B, C xác định Hằng số D=0 •Bộ môn : Cơ Điện Tử •69 2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân 1) Ph.trình vi phân không chứa đạo hàm tín hiệu vào  Xét hệ thống tuyến tính SISO có ph.trình vi phân: dn y d n 1y  a n 1 n 1   a y(t)  b0 r(t) n dt dt (Nếu an≠ ta chia hai vế cho an để đưa dạng trên) Quy tắc đặt biến trạng thái: -Biến thứ tín hiệu ra: x1 =y -Biến sau đạo hàm biến trước: xi= xi-1 (i=2, ,n) Áp dụng cách đặt biến trên, ta tìm phương trình trạng thái mô tả hệ thống (trường hợp có D=0):  x  Ax  Br   y  Cx •Bộ môn : Cơ Điện Tử •70 2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân 2) Ph.trình vi phân có chứa đạo hàm tín hiệu vào  Xét hệ thống tuyến tính SISO có ph.trình vi phân: dn y d n 1y dn r d n 1r  a n 1 n 1   a y(t)  b n n  b n 1 n 1   b0 r(t) n dt dt dt dt (Nếu an≠ ta chia hai vế cho an để đưa dạng trên) Quy tắc đặt biến trạng thái: - Nếu bậc vế phải = vế trái (tức bn≠0), đặt x1 =y-  0r Nếu bậc vế phải < vế trái (tức bn=0), đặt x1 =y xi  xi1  i1r - Đặt biến thứ i (i=2,3,…,n): - Và đặt x n  a n 1x n  a n 2 x n 1   a1x  a x1  n r Áp dụng cách đặt biến trên, ta xác định hệ số  Từ lập ph.trình trạng thái mô tả hệ thống, đó: B  [1 2 n ]T ; D  0  bn •Bộ môn : Cơ Điện Tử •71 2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân Ví dụ 1: Lập phương trình trạng thái hệ có ph.trình vi phân: 5y(t)  2y(t)  7y(t)  r(t) Giải Đặt hai biến trạng thái: x1  y ; x  x1 x2  y  x  x2 Phương trình trạng thái:   x   x  x  r x 2 Ax5 Br 5  Viết theo dạng ma trận:   y  Cx   x1     x1     x   7 / 2 / 5  x   1/ 5 r x1   y  1 0   x2   •Bộ môn : Cơ Điện Tử •72 2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân Ví dụ 2: Lập phương trình trạng thái hệ có ph.trình vi phân: y  5y  6y  8y  8r  24r Giải Đặt biến trạng thái:  x1  y   x  x1  1r  x  x  2 r x  a x  a1x  a x1  3r  5x  6x  8x1  3r Và đặt y  x1 Ta được: y  x1  x  1r y  x  1r  x  2 r  1r y  x  2 r  1r  5x  6x  8x1  3r  2r  1r  y  5y  6y  8y  (5x  6x  8x1  3r  2r  1r) (5x  52 r  51r)  (6x  61r)  8x1 •Bộ môn : Cơ Điện Tử •73 2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân  y  5y  6y  8y  1r  (2  51 )r  (3  52  61 )r So sánh ph.trình với ph.trình cho, ta được: 1   2  51   2  3  52  61  24  3  24  52  61  16 Hệ phương trình trạng thái hệ thống là:  x1  x  1r  x   x  x  2 r  x  8r  x  5x  6x  8x   r  8x  6x  5x  16r  3 3 Dạng ma trận:  x1     x1    x2    0  x     r  x   8 6 5  x   16   3    3  •Bộ môn : Cơ Điện Tử •74 2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân Đáp ứng ngõ ra:  x1  y  x1  1 0  x  x   3 Ví dụ 3: Lập phương trình trạng thái hệ có ph.trình vi phân: y  7y  4y  2r  8r  3r Giải Đặt biến trạng thái sau: x1  y  0 r x  x1  1r  x  a1x  a x1  2 r  7x  4x1  2r y  x1  0 r Ta được:    y  x1  0 r  x  1r  0 r  y  x  1r  0 r  7x  4x1  2 r  1r  0 r y  7y  4y  (7x  4x1  2r  1r  0 r)  Và đặt: (7x  71r  70 r)  (4x1  40r) •Bộ môn : Cơ Điện Tử •75 2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân  y  7y  4y  0 r  (1  70 )r  (2  71  40 )r So sánh ph.trình với ph.trình cho, ta được: 0   1  70   1  6 2  71  40   2   71  40  37 Hệ phương trình trạng thái hệ thống là:  x1  x1  0 r  x  x  7x  4x1  2 r  4x1  7x  37r Dạng ma trận:  x1      x1    6  r  x   4 7   x  37  x1   y   1    2r x2  •Bộ môn : Cơ Điện Tử •76 2.7.3 Lập ph.trình trạng thái từ hàm truyền, sơ đồ khối Cách 1: Hàm truyền  ph.trình vi phân  ph.trình trạng thái Y(s) 8s  24 G(s)   R(s) s  5s  6s   (s3  5s2  6s  8).Y(s)  (8s  24).R(s) Lấy Laplace ngược vế  y  5y  6y  8y  8r  24r Ví dụ: (tiếp tục giải ví dụ mục 2.7.2 ) Cách 2: Đặt biến trạng thái trực tiếp sơ đồ khối Ví dụ: (Xem cách giải ví dụ 2.19 trang 69 sách ĐKTĐ ) •Bộ môn : Cơ Điện Tử •77 2.7.4 Tìm hàm truyền từ phương trình trạng thái  Xét hệ thống tuyến tính SISO có ph.trình trạng thái:  x  Ax  Br   y  Cx  Dr Hệ thống có hàm truyền: G(s)  Y(s)  C(sI  A) 1 B  D R(s) (xem chứng minh tr 71_sách ĐKTĐ) - Để tránh phải tính ma trận nghịch đảo, dùng công thức: G(s)  C(sI  A) 1 B  D  det(sI  A  BC) 1  D det(sI  A) - Phương trình đặc tính hệ thống: det(sI  A)  •Bộ môn : Cơ Điện Tử •78 2.7.4 Tìm hàm truyền từ phương trình trạng thái Ví dụ 2.21 (trang 71) Xét hệ thống có ph.trình trạng thái:  x1 (t)   5 1  x1   2  x (t)      x     r(t)  2       x1 (t)  y(t)  1 0,5   x (t)   Cách 1: Hàm truyền  Hàm truyền hệ thống =? G(s)  C(sI  A)1 B  D 1 0  5 1 s  1 (sI  A)  s       0     1 s  1 a b   d b  1 M     c a  c d det(M)     s 1  s 1  1 1 (sI  A)     det(sI  A) 1 s  5 s  5s  1 s  5 •Bộ môn : Cơ Điện Tử •79 2.7.4 Tìm hàm truyền từ phương trình trạng thái (sI  A) 1 s 1  s 1  1     det(sI  A) 1 s  5 s  5s  1 s  5 s 1   2  2s  1 (sI  A) B       s  5s  1 s  5 0  s  5s    1  2s  2s  C(sI  A) B  1 0,5    s  5s    s  5s  1 2s  G(s)  C(sI  A) B  D  s  5s  1 •Bộ môn : Cơ Điện Tử •80 2.7.4 Tìm hàm truyền từ phương trình trạng thái Cách 2: Hàm truyền det(sI  A  BC) G(s)  C(sI  A) B  1 det(sI  A) 1 1 0  5 1 s  1 sI  A  s       1  s       s  1   sI  A  BC      1 0,5   1 s    s  1   s          1 s   0   1 s   s  7s  2s  G(s)  1  s  5s  s  5s  •Bộ môn : Cơ Điện Tử •81 Tổng kết chương  Một hệ thống mô tả ba dạng mô hình: Ph.trình vi phân, hàm truyền ph.trình trạng thái Ba dạng mô hình chuyển đổi qua lại Ph.trình vi phân L L-1 Đặt x Ph.trình trạng thái Hàm truyền G (s)  C(sI  A)1 B  D •Bộ môn : Cơ Điện Tử •82 [...]... s  4   s  3 3(s  3) 2 4t 1 3t 3t y(t)   e  3te  e 3 3 •Bộ môn : Cơ Điện Tử •31 3s  40 Y(s)  s(s  5)(s  3) 2 8 5 5t 31 3t 13 3t y(t)  - e - te  e 9 4 6 36 •Bài giảng : Lý Thuyết Điều Khiển Tự Động •32 2.2.4 Tìm biến đổi Laplace ngược 3) Mẫu số của Y(s) có nghiệm phức Giả sử Q(s) có (n-2) nghiệm đơn s1 , s2 ,…, sn-2 và 2 nghiệm phức p1,2 = a  j Khi đó có thể phân tích : Q(s) ... 2) Ảnh của đạo hàm Giải phương trình vi phân bậc n cần n điều kiện đầu: f (0), f (0), f (0), , f (n 1) (0) Ví dụ : Giải ph.trình vi phân mô tả chuyển động bậc hai: 300y(t)  5y(t)  20y(t)  100 2 điều kiện đầu: y(0) là vị trí ban đầu (tại t=0) y(0) là vận tốc ban đầu (tại t=0) •Bộ môn : Cơ Điện Tử •14 2.2 Phép biến đổi Laplace 2a) Nếu các điều kiện đầu khác 0 n L[f ( n ) (t )]  sn F(s)   sni... Laplace 6) Nhân hàm f(t) với e-t  L[et f (t )]   et f (t )est dt  L[f (t  )]  F (s  ) 0 Nhân f(t) với e-t  thay s bằng (s+) trong ảnh Laplace 7) Định lý giá trị cuối f ()  lim f (t)  lim [s.F(s)] t  s0 8) Định lý giá trị đầu f (0)  limf (t)  lim [s.F(s)] t 0 s •17 2.2 Phép biến đổi Laplace 2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản 1) Hàm bậc thang (hàm bước) đơn vị  1 st... r(t)  t.1(t)   0 khi t < 0 t.1(t) 0 t Lấy tích phân từng phần est ut ; v  udv  uv   vdu s   st    st te e 1 1 L[t.1(t)]   test dt   dt  0  2  2 s 0 0 s s s 0 Theo cách tương tự, ta tính được ảnh của t2, t3, tn … Cũng có thể dùng tính chất ảnh của tích phân: t  L[1(t)] 1 L[t.1(t)]  L  1(t)dt    2 s s 0  •20 2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản 5) Hàm lượng giác... biến đổi Laplace 2a) Nếu các điều kiện đầu khác 0 n L[f ( n ) (t )]  sn F(s)   sni f ( i1) (0) i 1 L[f (t)]  s 2 F(s)  sf (0)  f (0) L[f (3) (t)]  s3F(s)  s 2f (0)  sf (0)  f (0) 2b) Nếu các điều kiện đầu = 0 Ví dụ, xét ptvp: L[f ( n ) (t )]  sn F(s) 300y(t)  5y(t)  20y(t)  100r(t) Biến đổi Laplace 2 vế với ĐKĐ =0 ta được: 300s2 Y(s)  5sY(s)  20Y(s)  100R(s) (300s2  5s  20)Y(s) 