, Tứ Giác ) Kh¸i niÖm chung vÒ tø gi¸c: +) §Þnh nghÜa : a) Tø gi¸c ABCD lµ h×nh gåm bèn ®o¹n th¼ng AB, BC, CD, DA trong ®ã bÊt k× hai ®o¹n th¼ng nµo còng kh«ng cïng n»m trªn mét ®êng th¼ng. A, B, C, D lµ c¸c ®Ønh ; AB, BC, CD, DA lµ c¸c c¹nh. Ta chØ xÐt tø gi¸c ®¬n trong ®ã c¸c c¹nh chØ cã thÓ c¾t nhau t¹i c¸c ®Ønh. Trong tø gi¸c ®¬n ABCD, ta ph©n biÖt : hai ®Ønh kÒ nhau (cïng n»m trªn mét c¹nh ) víi hai ®Ønh ®èi nhau(kh«ng kÒ nhau(xuÊt phat tõ mét ®Ønh) víi hai c¹nh ®èi (kh«ng kÒ nhau). §êng chÐo cña tø gi¸c lµ ®o¹n th¼ng nèi hai ®Ønh ®èi nhau. Trong tËp hîp , c¸c ®iÓm cña mÆt ph¼ng chøa mét tø gi¸c ®¬n, ta ph©n biÖt ®iÓm thuéc tø gi¸c, ®iÎm trong tø gi¸c, ®iÓm ngoµi tø gi¸c. b) ABCD lµ tø gi¸c låi ABCD lu«n thuéc nöa mÆt ph¼ng víi bê lµ ®êng th¼ng chøa bÊt kú c¹nh nµo cña nã. Tø gi¸c (®¬n) kh«ng låi lµ tø gi¸c lâm. Trong h×nh, ABCD lµ tø gi¸c låi
Giáo án BDHSG Toán Chuyên đề 3: Tứ Giác hình Thang Hình thang cân Lm tt c cỏc bi sau õy chỳng ta ln lt tỡm hiu nhng dng thc cú chuyờn : Bi 1.Cho t giỏc ABCD cú AB = BC v AC l tia phõn giỏc ca gúc A Chng minh ABCD l hỡnh thang Bi 2.Cho hỡnh thang ABCD ỏy AB=40cm,CD=80cm,BC=50cm,AD=30cm.Chng minh ABCD l hỡnh thang vuụng Bi 3.Hỡnh thang cõn ABCD (AB // CD) cú ng chộo BD chia hỡnh thang thnh hai tam giỏc cõn:tam giỏc ABD cõn ti A v tam giỏc BCD cõn ti D Tớnh cỏc gúc ca hỡnh thang ú Bi 4.Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn, cỏc ng cao BH, CK Gi D, E ln lt l hỡnh chiu ca B v C lờn ng thng HK Gi M l trung im ca BC.Chng minh: a,Tam giỏc MKH cõn b,Chng minh DK = HE Bi 5.Cho tam giỏc ABC, AM l trung tuyn V ng thng d qua trung im I ca AM ct cỏc cnh AB,AC Gi A, B, C theo th t l hỡnh chiu ca A, B, C lờn d Chng minh BB + CC = 2AA Bi 6.Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD) Gi E, F, K ln lt l trung im ca BD, AC, DC Gi H l giao im ca ng thng qua E vuụng gúc vi AD v ng thng qua F vuụng gúc BC Chng minh: a)H l trc tõm tam giỏc EFK b)Tam giỏc HCD cõn Bi 7.Cho tam giỏc ABC u Trờn tia i ca tia AB ly im D, trờn tia i ca tia AC ly im F choAD = AE Gi M, N, P, Q theo th t l trung im ca cỏc on BE, AD, AC, AB Chng minh: a)Tgiỏc BCDE l hỡnh thang cõn b)T giỏc CNEQ l hỡnh thang c)Trờn tia i ca tia MN ly N cho NM = MN Chng minh BN vuụnggúc BD v EB = 2MN Bi 8.Cho hỡnh thang cõn ABCD ( AB// CD; AD = BC), cú ỏy nh AB di ng cao BH bng di ng trung bỡnh MN ( M thuc AD, N thuc BC) ca hỡnh thang ABCD V BE // AC ( E thuc DC) a)Chng minh b)Gi O l giao im ca AC v BD, chng minh tam giỏc OAB cõn c)Tam giỏc DBE vuụng cõn Bi Cho tgiỏc ABCD cú AD = BC ng thng qua trung im M v N ca hai cnh AB v CD ct AD v BC ln lt ti E, F Chng minh gúc AEM bng gúc MFB Giáo án BDHSG Toán I, T Giỏc *) Khái niệm chung tứ giác: +) Định nghĩa : a) Tứ giác ABCD hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA hai đoạn thẳng không nằm đờng thẳng A, B, C, D đỉnh ; AB, BC, CD, DA cạnh Ta xét tứ giác đơn cạnh cắt đỉnh Trong tứ giác đơn ABCD, ta phân biệt : hai đỉnh kề (cùng nằm cạnh ) với hai đỉnh đối nhau(không kề nhau(xuất phat từ đỉnh) với hai cạnh đối (không kề nhau) Đờng chéo tứ giác đoạn thẳng nối hai đỉnh đối Trong tập hợp , điểm mặt phẳng chứa tứ giác đơn, ta phân biệt điểm thuộc tứ giác, điẻm tứ giác, điểm tứ giác b) ABCD tứ giác lồi ABCD thuộc nửa mặt phẳng với bờ đờng thẳng chứa cạnh Tứ giác (đơn) không lồi tứ giác lõm Trong hình, ABCD tứ giác lồi A B Định lí: Tổng gọc tứ giác 3600 *) Tìm hiểu sâu tứ giác giác lồi: Định lí : Trong tứ giác lồi , hai đờng chéo cắt Đảo lại, tứ giác có hai đờng chéo cắt tứ giác lồi ABCD lồi ABCD có hai đờng chéo cắt D C Để chứng minh định lí, cần nhớ lại định lí sau đây: (I) Tia Oz nằm gọc xOy tia Oz cắt đoạn thẳng MN, với M Oz, N Oy (II) Néu tia Oz nằm xOy Oz Oy nằm nửa mặt phẳng bờ chứa Oy; Oz O x nằm nửa mặt phẳng bờ chứa Oy (III) Cho tam giác ABC a) Các trung tuyến xuất phát từ điểm A C cắt điểm M Tứ giác ABCM lồi hay không lồi? Vì sao? b) M điểm tuỳ ý thuộc miền tam giác ABC( không thẳng hàng với hai đỉnh tam giác) Với vị trí điểm M ABCM tứ giác lồi? c) M N hai điểm tuỳ ý thuộc miền tam giác ABC( không thẳng hàng với đỉnh tam giác) Chứng minh năm điểm A, B, M, N, C chọn đợc bốn điểm đỉnh tứ giác lồi B Giải a) ABCM không lồi (lõm), B C nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa AM (h 2a) M b) Kết câu a/ M điểm thuộc miền tam giác ABC Nếu M thuộc miền ABC có hai trờng hợp : A - M góc đối đỉnh góc tam giác h 2b, M góc đối C Giáo án BDHSG Toán đỉnh góc B Dễ thấy lúc đỉng B lại điểm thuộc miền tam giác MAC, AMCB không lồi(lõm) - M góc tam giác hình 2b, M nằm góc A Do AM tia góc A, mà A M nằm hai phía cạnh BC, đoạn Am cắt đoạn thẳng BC ABMC tứ giác lồi Tóm lại, h 2b, miền đợc gạch chéo tập hợp điểm M mà MABC tứ giác lõm Các miền khác (để trắng ) tập hợp điểm M mà M, A, B, C đỉnh tứ giác lồi j M B M' A C c) Đờng thẳng qua hai điểm M N không cắt cạnh tam giác ABC Trong h 2c, đờng thẳng MN không cắt AC Tứ giác MNCA tứ giác lồi(điểm N thuộc miền tam B giác MAC nằm góc MAC) M N C A H 2a Ví dụ 1: ví dụ : Chứng minh tứ giác lồi tổng độ dài cạnh(chu vi) lớn tổng độ dài đờng chéo nhỏ hai lần tổng độ dài đờng chéo *) Nhận xét : Đây toán chứng minh bất đẳng thức độ dài nên kẻ thêm đờng phụ, xét tam giác để áp dụng mệnh đề : Trong tam giác, toỏng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh thứ ba Giải B Cho tứ giác ABCD(h 7) Ta phải chứng minh : AC + BD < AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD) C 1) Chứng minh AC + BD < AB + BC + CD + DA Ta có : o AC < AB +BC (bất đẳng thức ABC) AC < AD + DC (bất đẳng thức ADC) BD < BC + CD (bất đẳng thức BCD) A BD < BA + AD (bất đẳng thức BAD) Từ : 2( AC + BD) < 2(AB +BC + CD + DA) AC + BD < AB + BC + CD + DA 2) Chứng minh AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD) D Giáo án BDHSG Toán Trong tam giác ABO CDO, ta có : AB < BO + OA (1) CD < CO + OD (2) Cộng (1) (2) ta có : AB + CD < BO + OD + CO + OA AB + CD < BD + AC (3) Tơng tự, tam giác BCO ADO, ta có : AD + BC < BD + AC (4) Từ (3) (4) ta đợc : AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD) (đpcm) *) Nhận xét: 1) Từ bất đẳng thức (3) (4) ta thấy vế trái tổng hai cạnh tứ giác, vế phải tổng hai đờng chéo Vậy phát biểu mệnh đề : Trong tứ giác giác lồi, tổng hai cạnh đối nhỏ tổng hai đờng chéo 2) Nếu tứ giác ABCD không lồi, hai bất đẳng thức có không ? sao? Ví dụ 2: Cho tứ giác lồi ABCD, Tronh AB + BD không lớn AC + CD Chứng minh : AB < AC C Giải Gọi giao điểm AC BD O Trong tam giác AOB, ta có : B AB < AO + OB (1) O D Trong tam giác COD, ta có : CD < CO + OD (2) Từ (1) (2) ta có : AB + CD < BO + OD + CO + OA AB + CD < AC + BD (3) Theo giả thiết : A AB + BD AC + CD (4) Từ (3) (4) suy AB < AC.(đpcm) Ví dụ : Cho tứ giác lồi ABCD Gọi P Q trung điểm hai cạnh AD BC Chứng minh : PQ DC + AB Gợi ý : có bất đẳng thức độ dài đoạn thẳng , nên kẻ đờng phụ để có hình tam giác, lại có trung điểm cạnh, nên nhgĩ đến việc áp dụng định lí đờng trung bình tam giác B Giải GT Tứ giác ABCD A PA = PD, QB = QC KL Cm: PQ DC + AB Ta kẻ thêm đờng chéo AC lấy trung điểm P F AC Trong tam giác ACD, PF đờng trung bình, : PF = DC D Q F C Giáo án BDHSG Toán Trong tam giác ACD, PF đờng trung bình : QF = AB Nếu P,Q F không thẳng hàng tam giác PQF ta có: PQ < PF + QF = DC + AB Nếu P, Q, F thẳng hàng F điểm nằm hai đoạn thẳng PQ ta có : PQ = PF + QF = Nh trờng hợp, ta có : PQ DC + AB DC + AB ( đpcm) Nhận xét : Có thể thấy : P, Q, F thẳng hàng Do ta chứng minh đợc : AB//CD DC + AB PQ Trong dấu = xảy AB//CD lí: Nh vậy, qua việc giải toán trên, ta chứng minh lúc hai định CD + AB CD + AB (2) Nếu ABCD không hình thang (AB//CD) PQ DC + AB PQ < (1) Nếu ABCD hình thang (AB//CD) PQ = Bài tập 1: Các tập : Cho A, B, C, D bốn đỉnh tứ giác lồi,E điểm thuộc miền ttam giác OCD, với O giao điểm hai đoạn thẳng AC BD Chỉ tứ giác lồi nhận bốn năm điểm A, B, C, D, E Bài tập 2: Chứng minh từ năm điểm mặt phẳng(không có ba điểm thẳng hàng) Bao chọn đợc bốn điểm đỉnh tứ giác lồi Bài tập 3: Chứng minh tứ giác lồi có góc không có góc tù Bài tập 4: Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD BC kéo dài gặp E, hai cạnh AB CD kéo dài gặp M Kẻ hai phân giác hai góc CED BMC cắt K tính góc EKM theo góc tứ giác ABCD Giáo án BDHSG Toán *) hình thang - hình thang cân: Hình thang: -) Định nghĩa: Hình thang tứ giác có hai cạnh song song AB//CD ABCD hình thang (AB//CD,AD//BC) AD//BC B A A B D C B D Trong hình thang, hai cạnh song song hai cạnh đáy; hai cạnh nối trung điểm hai cạnh bên gọi đờng Định lí (về đờng trung bình) AB//CD A PQ//AB PQ = C D C hai cạnh bên, đoạn thẳng trung bình AB + CD hình thang cân Định nghĩa: Hình thang cân hình thang có hai gọc đáy Tính chất: Định lí 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên Hình thang ABCD (AB//CD) : BC= AD Định lí : Trong hình thang cân hai đờng chéo AC = BD Hình thang ABCD(AB//CD) : Định lí :(đảo định lí 2) Nếu hình thang có hai đờng chéo hình thang cân Dấu hiệu nhận biết hình thang cân: Để chứng minh hình thang cân, ta chứng minh hình thang có tính chất sau : 1) Hai gọc đáy nhau(định nghĩa) 2) Hai đờng chéo Ví dụ : Cho tam giác ABC cân, đỉnh A Lấy điểm E, K lần lợt tia AB AC cho : AE + AK = AB + AC Chứng minh : BC < EK A Giải : Lấy AB điểm L cho AL = AK Lấy AC điểm D cho AD = AE Rõ ràng tam giác ALK AED tam giác cân có chung góc đỉnh A nên góc đáy chúng Suy LK// ED, DELK hình thang cân, có đờng chéo DL = EK (1) Gọi O giao điểm hai đờng chéo DL EK, ta xét tổng : K L O B E C D Giáo án BDHSG Toán EK + DL = (EO + OK) + (DO + OL) = (EO + OD) + (OK + OL) Từ (1) đẳng thức cuối này, ta có : EK = (EO + OD) + (OK + OL) (2) Nhng tam giác OKL, ta có : OK + OL > LK Trong DEO : EO + OD > ED (3) (4) Từ (2), (3) (4) : 2EK > LK + ED Từ giả thiết AE + AK = AB + AC Suy BE = CK Mặt khác dễ thấy BCDE hình thang cân nên BE = CK Vậy DC = CK Tơng tự, ta chứng minh đợc B trung điểm EL Từ đó, BC ;là đờng trung bình hình thang DELK, suy : LK + ED = 2BC Từ (5) (6), ta có : EK > BC ( đ p c m) (5) (6) Ví dụ : Cho hình thang ABCD (AB//CD) có hai đờng chéo vuông góc Biết đờng cao AH = h, Tính tổng hai đáy Giải : Vẽ AE// BD (ECD) Vì AC BD (gt) nên AC AE (quan hệ tính song B A song vuông góc) Ta có AE = BD ; AB = DE (tính chất đoạn chắn) AC = BD (tính chất đờng chéo hình thang cân)Suy O AC = AE ; VAEC vuông cân A ; đờng cao AH trung tuyến, AH = 1 EC = (AB + CD) hay 2 E AB + CD =2h D H Nhận xét: Khi giải toán hình thang, đặc biệt hình thang cân, cần vẽ đờng phụ ta : - Từ đỉng vẽ đờng thẳng song song với đờng chéo (nh ví dụ trên) - Từ đỉnh vẽ đờng thẳng song song với cạnh bên - Từ đỉnh vẽ thêm đờng cao C Ví dụ : +C = 1800 Chứng minh Cho tứ giác ABCD có AD = AB = BC A a) Tia DB tia phân giác góc D b) Tứ giác ABCD hình thang cân K Giải : ả =C (cùng bù với a) Vẽ BH CD, BK AD Ta có A BHC = BKA(cạnh huyền, góc nhọn), suy BH = BK Vậy DB tia phân giác góc D D A B H ả ) A C Giáo án BDHSG Toán b) Góc A1 góc đỉnh A tam giác cân ADB nên ả = 2D ả A ả = ADC ã A AB // CD (vì có cặp góc đồng vị nhau) 1 ã (vì A ả Vậy tứ giác ABCD hình thang Hình thang có ADC =C 1 ) nên hình thang cân Nhận xét : Để chứng minh tứ giác hình thang cân, trớc tiên phải chứng minh tứ giác hình thang, sau chứng minh hai góc kề đáy nhau(theo định nghĩa) hai đờng chéo Trong ví dụ trên, sau chứng minh đợc AB//CD cần tránh sai lầm cho AD = BC (gt) nên ABCD hình thang cân, sai lầm chỗ hình thang có hai cạnh cha hình thang cân Bài tập 5: Các tập vận dụnG Cho tứ giác lồi ABCD AD = DC đờng chéo AC phân giác góc DAB Chứng minh ABCD hình thang Bài tập : Chứng minh hình thang đờng thẳng qua trung điểm cạnh bên song song với hai đáy qua trung điểm cạnh bên Bài tập 7: Cho tứ giác ABCD CD> AB Gọi E, F lần lợt trung điểm BD AC Chứng minh E F = Bài tập 8: CD AB tứ giác ABCD hình thang Cho tam giác ABC AB > AC Gọi H chân đờng cao kẻ từ đỉnh A M, N, P lần lợt trung điểm cạnh AB, AC, BC Chứng minh tứ giác MNHP hình thang cân Bài tập 9: Cho tam giác ABC cân, đỉnh A Lấy điểm E, K lần lợt tia AB AC cho : AE + AK = AB +AC Chứng minh : BC < EK Tiết 13 =>18 Chuyên đề (6tiết): Đờng trung bình tam giác, hình thang *) Kiến thức : Giáo án BDHSG Toán a) Đờng thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba b) Đờng thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang song song với hai đáy qua trung điểm cạnh bên thứ hai a) Đờng trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác (h.8) b) Đờng trung bình hình thang đoạn nối trung điểm hai cạnh bên hình thang.(h.9) A A E D F E F C B D C h.8 h.9 3.a) Đờng trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh b) Đờng trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy Bổ sung : Trong hình thang có hai cạnh bên không song song, đoạn thẳng nối trung điểm hai đờng chéo song song với hai đáy nửa hiệu hai đáy Trong h.10 : A B MN // AB // CD CD AB MN = M N Các ví dụ minh họa D C *) Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N lần lợt trung điểm AD BC Chứng AB + CD minh MN = tứ giác ABCD hình thang Giải : Gọi O trung điểm BD Các đoạn thẳng OM, ON lần lợt đờng trung bình ABD BCD nên B AB OM // AB ; (1) OM = CD ON = ON // CD ; (2) A O N Suy O nằm M N Vậy ba điểm M, O, N thẳng hàng (3) Từ (1), (2), (3) suy AB // CD tứ giác M ABCD hình thang D C +) Nhận xét : Trong giả thiết toán có trung điểm hai cạnh đối tứ giác, nối hai điểm ta cha đợc đờng trung bình tam giác Vì ta vẽ thêm trung điểm đờng chéo BD ( AC ) vận dụng đợc định lí đờng trung bình tam giác để chứng minh Giáo án BDHSG Toán Việc vẽ thêm trung điểm đoạn thẳng để vận dụng đờng trung bình tam giác việc vẽ đờng phụ thờng gặp giải toán hình học *) Ví dụ : Cho hình thang ABCD ( đáy AB nhỏ đáy CD ) Tìm điều kiện hình thang để hai đờng chéo chia đờng trung bình thành ba phần A B Giải : Gọi M, N lần lợt trung điểm AD BC ; MN cắt BD P, cắt AC Q ; MN đờng trung bình N M Q hình thang nên MN // AB // CD P Xét ABD có MA = MD ; MP // AB nên PB = PD Xét ADC có MA = MD ; MQ // CD nên QA = QC D MP NQ lần lợt đờng trung bình ABD ABC nên AB MP = NQ = PQ đoạn nối trung điểm hai đờng chéo hình thang ABCD nên CD AB PQ = AB2 CD AB Ta có : MP = +Q = QN = 2 AB = CD AB CD = 2.AB +) Nhận xét : Nếu điều kiện đáy AB nhỏ đáy CD AB = 2.CD , chứng minh tơng tự nh ta có hai đờng chéo chia đờng trung bình thành ba phần Tóm lại, hình thang có đáy gấp đôi đáy hai đờng chéo chia đờng trung bình làm ba phần *) Ví dụ : Từ ba đỉnh tam giác, hạ đờng vuông góc xuống đờng thẳng d không cắt cạnh tam giác Chứng minh tổng độ dài ba đờng vuông góc gấp ba lần độ dài đoạn thẳng vuông góc hạ từ trọng tâm tam giác xuống đờng thẳng d Giải : Giả sử ABC có ba đờng trung tuyến AD, BE, CF cắt O; đoạn thẳng AG, BH, OI, CK vuông góc với đờng thẳng d Ta phải chứng minh: AG + BH + CK = 3OI A F E O M C Từ trung điểm M BO từ E, ta hạ MN EP vuông góc với d Ta có BH // MN // OI // AG // EP //CK ( chúng vuông góc với d) Vì O tọng tâm tam giác ABC nên BM = MO = OE Ta lại có HN = N I G P K IN = IP (đờng thẳng song song H cách đều) Nh ta đợc ba hình thang vuông BOIH, MEPN, ACKG lần lợt có MN, OI, EP đờng trung bình Từ suy B D C Giáo án BDHSG Toán MN + EP = 2.OI hay 2MN + 2EP = 4.OI (1) Nhng 2MN = BH + OI, 2EP = AG + CK, thay vào (1) ta đợc BH + OI + AG + CK = 4.OI suy AG + BH + CK = 3.OI Ví dụ : Cho điểm C đoạn thẳng AB Dựng tam giác vuông ã AC = CBB' ã cân ACA, BCB tam giác ABC ( A' = 1v ) Chứng minh vị trí điểm M ( trung điểm AB) không phụ thuộc vào vị trí chọn điểm C Giải : Hạ AH, C E BF vuông góc với đờng thẳng AB Ta dễ dàng chứng minh đợc cặp tam giác vuông sau : B' A 'HA = AEC (1) M B'FB = BEC (2) Suy AH = BF = CE Gọi N C A' trung điểm HF N trung điểm AB MN đờng trung bình hình thang vuông AHFB nên F H E N B A A'H + B'F MN AB MN = Nhng từ (1) (2) ta có AH = AE ; BF = BE AE + BE AB nên MN = = 2 AB Vậy MN vuông góc với AB trung điểm N AB MN = , nghĩa vị trí điểm M đợc hoàn toàn xác định không phụ thuộc vào việc chọn điểm C ( C điểm bất kì, C M thuộc nửa mặt phẳng có bờ đờng thẳng AB) tập vận dụng Bài 1: = Trên cạnh CA lấy điểm D cho CD = AB Kẻ Cho tam giác ABC có A đờng thẳng xy qua trung điểm AD BC tính góc đờng thẳng xy tạo với AB Bài : Trên hai cạnh góc nhọn xOy, ta đặt đoạn thẳng AB CD ( A nằm O B, C nằm O D) Các điẻm I E lần lợt trung điểm AC BD Chứng minh đờng thẳng IE song song với tia phân giác góc xOy Cho tam giác ABC Dựng tam giác vuông cân ABD( vuông A, D C thuộc nửa mặt phẳng bờ AB), dựng tam giác vuông cân AEC ( vuông A, E B thuộc nửa mặt phẳng bờ AC) Gọi K, I, M lần lợt trung điểm EC, BD BC Chứng minh tam giác KMI vuông cân Bài 4: Cho hai điểm A B đờng thẳng xy tìm hệ thức khoảng cách từ trung điểm O đoạn thẳng AB đến xy khoảng cách từ A B đến xy Bài5 : Cho tam giác ABC Đờng thẳng xy qua đỉnh A Gọi B C chân đờng vuông góc kẻ từ B C xuống xy Hãy xác định vị trí đờng thẳng xy để tổng BB + CC đặt giá trị lớn Giáo án BDHSG Toán [...]...Giáo án BDHSG Toán 8 MN + EP = 2.OI hay 2MN + 2EP = 4.OI (1) Nhng 2MN = BH + OI, 2EP = AG + CK, thay vào (1) ta đợc BH + OI + AG + CK = 4.OI suy ra AG + BH + CK = 3.OI Ví dụ 4 : Cho một điểm C ở ngoài một đoạn thẳng AB Dựng các tam giác vuông ã AC = CBB' ã cân ACA, BCB ra ngoài tam giác ABC ( A' = 1v ) Chứng minh rằng vị trí của điểm M ( trung điểm... AB Kẻ Cho tam giác ABC có A đờng thẳng xy qua trung điểm của AD và BC tính góc do đờng thẳng xy tạo với AB Bài 2 : Trên hai cạnh của góc nhọn xOy, ta đặt các đoạn thẳng AB và CD bằng nhau ( A nằm giữa O và B, C nằm giữa O và D) Các điẻm I và E lần lợt là trung điểm của AC và BD Chứng minh rằng đờng thẳng IE song song với tia phân giác của góc xOy Cho tam giác ABC Dựng tam giác vuông cân ABD( vuông... thuộc nửa mặt phẳng bờ AB), dựng tam giác vuông cân AEC ( vuông ở A, E và B cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AC) Gọi K, I, M lần lợt là trung điểm của EC, BD và BC Chứng minh rằng tam giác KMI vuông cân Bài 4: Cho hai điểm A và B ở ngoài đờng thẳng xy tìm hệ thức giữa khoảng cách từ trung điểm O của đoạn thẳng AB đến xy và các khoảng cách từ A và B đến xy Bài5 : Cho tam giác ABC Đờng thẳng xy đi qua đỉnh... chọn điểm C Giải : Hạ AH, C E và BF cùng vuông góc với đờng thẳng AB Ta dễ dàng chứng minh đợc các cặp tam giác vuông sau đây bằng nhau : B' A 'HA = AEC (1) M B'FB = BEC (2) Suy ra AH = BF = CE Gọi N là C A' trung điểm của HF thì N cũng là trung điểm của AB MN cũng là đờng trung bình của hình thang vuông AHFB nên F H E N B A A'H + B'F MN AB và MN = 2 Nhng từ (1) và (2) ta có AH = AE ; BF = BE AE... đến xy Bài5 : Cho tam giác ABC Đờng thẳng xy đi qua đỉnh A Gọi B và C là chân đờng vuông góc kẻ từ B và C xuống xy Hãy xác định vị trí của đờng thẳng xy để tổng BB + CC đặt giá trị lớn nhất Giáo án BDHSG Toán 8