đề cương toán 8×đề cương toán 8 học kì 2×đề cương toán 8 học kì 2 có đáp án×đề cương toán 8 học kỳ i×đề cương toán 8 kỳ 2×đề cương toán 8đề cương toán 8×đề cương toán 8 học kì 2×đề cương toán 8 học kì 2 có đáp án×đề cương toán 8 học kỳ i×đề cương toán 8 kỳ 2×đề cương toán 8đề cương toán 8×đề cương toán 8 học kì 2×đề cương toán 8 học kì 2 có đáp án×đề cương toán 8 học kỳ i×đề cương toán 8 kỳ 2×đề cương toán 8
Th.s Lê Nhật Nguyên 01274806920 CHƯƠNG I: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC I NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC – NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC Bài Thực phép tính sau: a) ( x –1)( x + x ) b) (2 x − 1)(3 x + 2)(3 – x ) d) ( x + 1)( x – x + 1) e) (2 x − x − 1).(5 x + 2) Bài Thực phép tính sau: a) −2 x y(2 x – 3y + 5yz) b) ( x – y )( x y − xy + y ) 2 x y.(3xy – x + y ) e) ( x – y)( x + xy + y ) Bài Chứng minh đẳng thức sau: a) ( x − y )( x + x y + x y + xy + y ) = x − y d) c) ( x + 3)( x + x – 5) f) ( x − x + 3).( x − 4) xy( x y – x + 10 y) 1 f) xy –1÷.( x – x – 6) 2 c) b) ( x + y)( x − x y + x y − xy3 + y ) = x + y c) (a + b)(a3 − a2 b + ab2 − b3 ) = a4 − b4 d) (a + b)(a2 − ab + b2 ) = a3 + b3 Bài Thực phép tính, sau tính giá trị biểu thức: a) A = ( x − 2)( x + x + x + x + 16) với x = b) B = ( x + 1)( x − x + x − x + x − x + x − 1) c) C = ( x + 1)( x − x + x − x + x − x + 1) ĐS: A = 211 với x = ĐS: B = 255 với x = ĐS: C = 129 d) D = x (10 x − x − 2) − x (4 x − x − 1) với x = −5 Bài Thực phép tính, sau tính giá trị biểu thức: a) A = ( x − x y + xy − y3 )( x + y ) với x = 2, y = − 2 b) B = (a − b)(a + a b + a b + ab + b ) với a = 3, b = −2 ĐS: D = −5 255 16 ĐS: B = 275 ĐS: A = 1 c) C = ( x − xy + y )( x + y ) + x y − x y + xy với x = − , y = − ĐS: C = 2 16 Bài Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: a) A = (3 x + 7)(2 x + 3) − (3 x − 5)(2 x + 11) b) B = ( x − 2)( x + x − 1) − x ( x + x − x − 2) c) C = x( x + x − x − 2) − ( x − 2)( x + x − 1) d) D = x (2 x + 1) − x ( x + 2) + x − x + e) E = ( x + 1)( x − x + 1) − ( x − 1)( x + x + 1) Bài * Tính giá trị đa thức: a) P( x ) = x − 80 x + 80 x − 80 x + + 80 x + 15 với x = 79 b) Q( x ) = x14 − 10 x13 + 10 x12 − 10 x11 + + 10 x − 10 x + 10 với x = Trang ĐS: Q(9) = ĐS: R(16) = c) R( x ) = x − 17 x + 17 x − 17 x + 20 với x = 16 d) S ( x ) = x10 − 13 x + 13 x − 13 x + + 13 x − 13 x + 10 ĐS: P(79) = 94 với x = 12 ĐS: S(12) = −2 01274806920 Th.s Lê Nhật Nguyên II HẰNG ĐẲNG THỨC Bài Điền vào chỗ trống cho thích hợp: a) x + x + = b) x − x +16 = c) ( x + 5)( x − 5) = d) x + 12 x + 48 x + 64 = e) x − x + 12 x − = f) ( x + 2)( x − x + 4) = g) ( x − 3)( x + x + 9) = k) x + x + = n) x + x + = Bài Thực phép tính: a) (2 x + 3y )2 2 2 d) x + y ÷ x − y ÷ g) (3 x – y )3 h) x + x + = l) x – = i) x –1 = m) 16 x –8 x + = o) 36 x + 36 x + = p) x + 27 = b) (5 x – y )2 c) (2 x + y )3 1 e) x + ÷ 4 h) ( x − 3y )( x + xy + y ) 2 f) x − y ÷ 3 i) ( x − 3).( x + x + 9) k) ( x + y + z)( x + y – z) l) (2 x –1)(4 x + x + 1) m) (5 + x )3 Bài Tính giá trị biểu thức cách vận dụng đẳng thức: a) A = x + 3x + 3x + với x = 19 b) B = x − x + x với x = 11 ĐS: a) A = 8005 b) B = 1001 Bài Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: a) (2 x + 3)(4 x − x + 9) − 2(4 x − 1) b) (4 x − 1)3 − (4 x − 3)(16 x + 3) c) 2( x + y3 ) − 3( x + y ) với x + y = d) ( x + 1)3 − ( x − 1)3 − 6( x + 1)( x − 1) e) ( x + 5)2 + ( x − 5)2 (2 x + 5)2 + (5 x − 2)2 f) x + 25 x2 + ĐS: a) 29 b) c) –1 d) e) f) 29 Bài Giải phương trình sau: a) ( x − 1)3 + (2 − x )(4 + x + x ) + x( x + 2) = 17 b) ( x + 2)( x − x + 4) − x ( x − 2) = 15 c) ( x − 3)3 − ( x − 3)( x + x + 9) + 9( x + 1)2 = 15 d) x ( x − 5)( x + 5) − ( x + 2)( x − x + 4) = 10 11 ĐS: a) x = b) x = c) x = d) x = − 15 25 Bài So sánh hai số cách vận dụng đẳng thức: a) A = 1999.2001 B = 20002 b) A = 216 B = (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) c) A = 2011.2013 B = 20122 d) A = 4(32 + 1)(34 + 1) (364 + 1) B = 3128 − Bài Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A = x – x b) B = x – x c) C = x – x + d) D = – x + x − 11 e) E = − x − x f) F = x − x + Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = x – x + 11 b) B = x – 20 x + 101 c) C = x − x + 11 d) D = ( x − 1)( x + 2)( x + 3)( x + 6) e) E = x − x + y + y + f) x − x + y − 8y + g) G = x – xy + 5y + 10 x – 22 y + 28 HD: g) G = ( x − y + 5)2 + ( y − 1)2 + ≥ Bài Cho a + b = S ab = P Hãy biểu diễn theo S P, biểu thức sau đây: a) A = a2 + b2 b) B = a3 + b3 c) C = a4 + b4 Trang Th.s Lê Nhật Nguyên 01274806920 III PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VẤN ĐỀ I Phương pháp đặt nhân tử chung Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x − x b) x y3 + x y d) x ( x − 1) + 5( x − 1) e) x ( x + 1) + 4( x + 1) Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x y − xy + xy c) x y − x y − x y + 18 xy e) a3 x y − a3 x + a x y 2 c) x − x + x f) −3 x − xy + xz b) x y − x y3 + x y d) x y − 21xy z + xyz − 14 xy VẤN ĐỀ II Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x − x + x − b) x y + xy + x + d) x − (a + b) x + ab e) x y + xy − x − y Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) ax − x − a2 + 2a b) x + x − ax − a d) xy − ax + x − 2ay e) x + ax + x + a Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x − x − y − y b) x + x − x − c) ax + by + ay + bx f) ax + ay − bx − by c) x + 4ax + x + 2a f) x y + y3 + zx + yz c) x + x y − x − y d) x − 3y − 2( x − y )2 e) x − x − x + 36 f) x − y − x − y Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) ( x − 3)( x − 1) − 3( x − 3) b) ( x − 1)(2 x + 1) + 3( x − 1)( x + 2)(2 x + 1) c) (6 x + 3) − (2 x − 5)(2 x + 1) d) ( x − 5)2 + ( x + 5)( x − 5) − (5 − x )(2 x + 1) e) (3 x − 2)(4 x − 3) − (2 − x )( x − 1) − 2(3 x − 2)( x + 1) Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) (a − b)(a + 2b) − (b − a)(2a − b) − (a − b)(a + 3b) b) xy3 − xyz − 15y + 6z c) ( x + y)(2 x − y ) + (2 x − y)(3 x − y) − ( y − x ) e) x ( y − z) + y (z − x ) + z2 ( x − y ) Trang d) ab3c2 − a2b2c + ab2c3 − a2bc3 01274806920 Th.s Lê Nhật Nguyên VẤN ĐỀ III Phương pháp dùng đẳng thức Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x − 12 x + b) x + x + d) x − 24 xy + 16 y e) x2 + xy + y g) −16a 4b6 − 24a5b5 − 9a6b h) 25 x − 20 xy + y Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) (3 x − 1)2 − 16 b) (5 x − 4)2 − 49 x d) (3 x + 1)2 − 4( x − 2)2 e) 9(2 x + 3)2 − 4( x + 1)2 c) + 12 x + 36 x f) − x + 10 x − 25 i) 25 x − 10 x y + y c) (2 x + 5)2 − ( x − 9)2 f) 4b2c2 − (b2 + c2 − a2 )2 g) (ax + by)2 − (ay + bx )2 h) (a2 + b2 − 5)2 − 4(ab + 2)2 i) (4 x − x − 18)2 − (4 x + x )2 k) 9( x + y − 1)2 − 4(2 x + 3y + 1)2 l) −4 x + 12 xy − y + 25 Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x − 64 b) + x y d) x − 27 e) 27 x + m) x − xy + y − 4m + 4mn − n2 y3 c) 125 x + f) 125 x + 27 y Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x + x + 12 x + b) x − x + x − c) − x + 27 x − 27 x 3 d) x + x + x + e) 27 x − 54 x y + 36 xy − 8y3 Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x − x y + y + xy b) x − y c) 25 − a2 + 2ab − b2 d) 4b2c2 − (b2 + c2 − a2 )2 e) (a + b + c)2 + (a + b − c)2 − 4c2 Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) ( x − 25)2 − ( x − 5)2 b) (4 x − 25)2 − 9(2 x − 5)2 c) 4(2 x − 3)2 − 9(4 x − 9)2 d) a6 − a + 2a3 + 2a2 e) (3 x + x + 2)2 − (3 x + x − 2)2 Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) ( xy + 1)2 − ( x + y )2 b) ( x + y)3 − ( x − y )3 c) x y + 3x y + 3xy + 3y d) 4( x − y ) − 8( x − ay ) − 4(a2 − 1) e) ( x + y)3 − − xy( x + y − 1) Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x − + x − + x − b) a5 + a + a3 + a2 + a + c) x − x + x − − y3 d) x − x y − 45 xy + 27 y e) x (a − b + c) + 36 xy(a − b + c) + 108y (a − b + c) Trang Th.s Lê Nhật Nguyên 01274806920 VẤN ĐỀ IV Một số phương pháp khác Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (tách hạng tử thành nhiều hạng tử) a) x − x + b) x + x − 30 c) x − x + d) x − x + 18 e) x − x + f) x − x − 14 g) x + x + h) x − x + 12 i) x − x + 10 Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (tách hạng tử thành nhiều hạng tử) a) x − x − b) x + x − c) x + 50 x + d) 12 x + x − 12 e) 15 x + x − f) a2 − 5a − 14 g) 2m2 + 10m + h) p2 − 36 p + 56 i) x + x + Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (tách hạng tử thành nhiều hạng tử) a) x + xy − 21y b) x + xy + y c) x + xy − 15y d) ( x − y )2 + 4( x − y) − 12 e) x − xy + 10 y f) x yz + xyz − 14 yz Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (tách hạng tử thành nhiều hạng tử) a) a + a2 + b) a + a2 − c) x + x − d) x − 19 x − 30 e) x − x − f) x − x − 14 x Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (thêm bớt hạng tử) a) x + b) x + 64 c) x + x + d) x + x + g) x + x − 24 HD: Số hạng cần thêm bớt: a) x b) 16 x e) x + x + h) x − x − c) x + x f) x + x + i) a + 4b d) x e) x f) x g) x h) x + x i) 4a2 b2 Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (đặt biến phụ) a) ( x + x )2 − 14( x + x ) + 24 b) ( x + x )2 + x + x − 12 c) e) Bài a) d) ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) + x + x + x + x − 12 ( x + 1)( x + 3)( x + 5)( x + 7) + 15 f) ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) − 24 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (đặt biến phụ) b) ( x + x + 1)( x + x + 2) − 12 ( x + x + 8)2 + x ( x + x + 8) + x c) ( x + x + 7)( x + x + 15) + 15 d) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) − 24 Trang 01274806920 Th.s Lê Nhật Nguyên VẤN ĐỀ V Tổng hợp Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x + x + b) 16 x − x − d) x + x − e) x − x + − x g) (a2 + 1)2 − 4a2 c) x 2 + x + f) x − x − h) x − x – x + 12 i) x + x + x + k) x – x – x + l) (2 x + 1)2 –( x –1)2 Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) − x − y + x − y b) x ( x + y ) − x − 5y m) x + x – c) x − x + 5y − y d) x − x y − 10 x + 10 xy e) 27 x − 8y f) x – y – x – y g) x − y − xy + y 2 h) x − y + − x i) x − y k) x + x + x + – 27z3 l) x + x – y + Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x − 10 xy + 5y − 20 z2 b) x − z2 + y − xy m) x – x + xy –3y c) a3 − ay − a2 x + xy d) x − xy − 4z2 + y e) x − xy + 3y − 12 z2 f) x − xy − 25z2 + y g) x − y + yz − z2 h) x – xy + y – xz + yz i) x – xy + tx – 2ty k) xy + 3z + y + xz l) x + xz + xy + yz m) ( x + y + z)3 – x – y – z3 Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x + x z + y z − xyz + y b) bc(b + c) + ca(c − a) − ab(a + b) c) a2 (b − c) + b2 (c − a) + c2 (a − b) d) a6 − a + 2a3 + 2a2 e) x − x − x − x + x + x + x − f) ( x + y + z)3 − x − y − z3 g) (a + b + c)3 − (a + b − c)3 − (b + c − a)3 − (c + a − b)3 h) x + y3 + z3 − 3xyz Bài Giải phương trình sau: a) ( x − 2)2 –( x –3)( x + 3) = b) ( x + 3)2 + (4 + x )(4 – x ) = 10 c) ( x + 4)2 + (1 – x )(1 + x ) = d) ( x – 4)2 – ( x – 2)( x + 2) = e) 4( x – 3)2 – (2 x –1)(2 x + 1) = 10 f) 25( x + 3)2 + (1 – x )(1 + x ) = g) 9( x + 1)2 –(3 x – 2)(3 x + 2) = 10 h) −4( x –1)2 + (2 x –1)(2 x + 1) = −3 Bài Chứng minh rằng: a) a2 (a + 1) + 2a(a + 1) chia hết cho với a ∈ Z b) a(2a − 3) − 2a(a + 1) chia hết cho với a ∈ Z c) x + x + > với x ∈ Z d) − x + x − < với x ∈ Z Trang Th.s Lê Nhật Nguyên 01274806920 IV CHIA ĐA THỨC VẤN ĐỀ I Chia đa thức cho đơn thức Bài Thực phép tính: a) (−2)5 : (−2)3 d) (2 x ) : (2 x )3 Bài Thực phép tính: a) ( x + 2)9 : ( x + 2)6 d) 2( x + 1)3 : ( x + 1) Bài Thực phép tính: a) xy : 3y d) x y : xy g) k) 3 2 x y :− x y ÷ (3a2 b)3 (ab3 )2 c) x12 : (− x10 ) e) (−3 x )5 : ( −3 x )2 f) ( xy )4 : ( xy )2 b) ( x − y )4 : ( x − 2)3 e) 5( x − y )5 : ( x − y )2 c) ( x + x + 4)5 : ( x + x + 4) b) x y : xy c) x y : xy e) (−4 x y ) : x y f) xy 3z4 : (−2 xz3 ) h) x y z :12 xy3 i) (2 x y )(3 xy ) : x y l) (a b )4 Bài Thực phép tính: a) (2 x − x + x ) : x (2 xy )3 (3 x y )2 (2 x y )2 b) (3 x − x + x ) : (−2 x ) 2 d) ( x – x y + xy ) : − x ÷ b) (− y )7 : (− y)3 c) (−2 x + x – x ) : x e) 3( x − y )5 − 2( x − y )4 + 3( x − y )2 : 5( x − y )2 Bài Thực phép tính: a) (3 x y + x y3 − x y ) : x y 3 3 b) a6 x + a3 x − ax ÷: ax 10 5 c) (9 x y3 − 15 x y ) : x y − (2 − x y) y d) (6 x − xy ) : x + (2 x y + xy ) : xy − (2 x − 1) x e) ( x − xy) : x + (6 x y − x y + 15 x y ) : 3 x y Trang 01274806920 Th.s Lê Nhật Nguyên VẤN ĐỀ II Chia đa thức cho đa thức Bài Thực phép tính: a) ( x – x ) : ( x –3) b) (2 x + x − 4) : ( x + 2) c) ( x – x –14) : ( x – 2) d) ( x − x + x − 3) : ( x − 3) e) ( x + x –12) : ( x – 2) f) (2 x − x + x –15) : (2 x – 5) g) (−3 x + x − x + 15) : (5 − x ) Bài Thực phép tính: a) (2 x − x + x − − x ) : ( x − 3) h) (− x + x − 26 x + 21) : (2 x − 3) b) ( x + x + x + 1) : ( x + 1) c) (2 x + x – x + 3) : (2 x – x + 1) d) (8 x − x − 10 x + x − 5) : (3 x − x + 1) e) (− x + x − − x + x ) : ( x + x − 1) Bài Thực phép tính: a) (5 x + xy − y ) : ( x + y) b) ( x − x y + x y − xy3 ) : ( x + y ) c) (4 x + xy − y + x y − x y ) : (2 x + y3 − xy ) d) (2a3 + 7ab2 − 7a2b − 2b3 ) : (2a − b) Bài Thực phép tính: a) (2 x + y)2 : ( x + y ) − (9 x − 12 x − x ) : (−3 x ) − 3( x + 3) b) (13 x y − x + y − 13 x y − 13 xy3 ) : (2 y − x − xy ) Bài Tìm a, b để đa thức f ( x ) chia hết cho đa thức g( x ) , với: a) f ( x ) = x − x + 21x + ax + b , g( x ) = x − x − b) f ( x ) = x − x + x − x + a , g( x ) = x − x + c) f ( x ) = x + 10 x − + a , g( x ) = x + d) f ( x ) = x –3 x + a , g( x ) = ( x –1)2 ĐS: a) a = 1, b = −30 Bài Thực phép chia f ( x ) cho g( x ) để tìm thương dư: a) f ( x ) = x − x + , g( x ) = x + x − b) f ( x ) = − x + x + x − x , g( x ) = + x − x c) f ( x ) = 19 x − 11x + − 20 x + x , g( x ) = + x − x d) f ( x ) = x y − x − x 3y + x y3 − x y + xy − y , g( x ) = x − x y + y Trang Th.s Lê Nhật Nguyên 01274806920 VẤN ĐỀ III Tìm đa thức phương pháp hệ số bất định Bài Cho biết đa thức f ( x ) chia hết cho đa thức g( x ) Tìm đa thức thương: a) f ( x ) = x − x + 11x − 10 , g( x ) = x − ĐS: q( x ) = x − x + b) f ( x ) = x − x + x − , g( x ) = x − ĐS: q( x ) = x − x + Bài Phân tích đa thức P( x ) = x − x − x − thành nhân tử, biết nhân tử có dạng: x + dx + ĐS: P( x ) = ( x − x + 2)( x − 2) Bài Với giá trị a b đa thức x + ax + x + b chia hết cho đa thức x + x + ĐS: a = 2, b = Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x − x − 14 x + 24 b) x + x + x + c) x − x − d) x − 19 x − 30 e) a3 − 6a2 + 11a − Bài Tìm giá trị a, b, k để đa thức f ( x ) chia hết cho đa thức g( x ) : a) f ( x ) = x − x + 21x + x + k , g( x ) = x − x − ĐS: k = −30 b) f ( x ) = x − x + x + ax + b , g( x ) = x − 3x + ĐS: a = 3, b = −4 Bài Tìm tất số tự nhiên k đa thức f (k ) = k + 2k + 15 chia hết cho nhị thức g(k ) = k + ĐS: k = 0, k = BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I Trang 01274806920 Th.s Lê Nhật Nguyên Bài Thực phép tính: a) (3 x − x + x + 2).(5 x ) b) (a2 x − x + 3a).(−2 a3 x ) c) (3 x + x − 2)(2 x − x + 3) Bài Rút gọn biểu thức sau: a) (a2 + a − 1)(a2 − a + 1) d) (a + a3b + a2 b2 + ab3 + b4 )(a − b) b) (a + 2)(a − 2)(a2 + 2a + 4)(a2 − a + 4) c) (2 + 3y)2 − (2 x − y)2 − 12 xy d) ( x + 1)3 − ( x − 1)3 − ( x − 1) − ( x − 1)( x + x + 1) Bài Trong biểu thức sau, biểu thức không phụ thuộc vào x: a) ( x − 1)3 − ( x + 1)3 + 6( x + 1)( x − 1) b) ( x + 1)( x − x + 1) − ( x − 1)( x + x + 1) c) ( x − 2)2 − ( x − 3)( x − 1) e) Bài a) Bài a) d) ( x + 1)( x − x + 1) − ( x − 1)( x + x + 1) f) ( x + 3)2 − ( x − 3)2 − 12 x ( x − 1)3 − ( x + 1)3 + 6( x + 1)( x − 1) Tính giá trị biểu thức sau: b) B = 2( x + y ) − 3( x + y ) với x + y = A = a3 − 3a2 + 3a + với a = 11 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: b) a2 + b2 − c2 − d − 2ab + 2cd + xy − x − y c) a3b3 − d) x ( y − z) + y (z − x ) + z2 ( x − y ) e) x − 15 x + 36 f) x12 − x y + y12 g) x − 64 x h) ( x − 8)2 − 784 Bài Thực phép chia đa thức sau: (đặt phép chia vào bài) a) (35 x + 41x + 13 x − 5) : (5 x − 2) b) ( x − x + 16 x − 22 x + 15) : ( x − x + 3) c) ( x − x y + x y − xy3 ) : ( x + y ) d) (4 x − 14 x y − 24 x y − 54 y ) : ( x − xy − y ) Bài Thực phép chia đa thức sau: a) (3 x − x − 10 x + x − 5) : (3 x − x + 1) b) (2 x − x + 19 x − 15) : ( x − x + 5) c) (15 x − x − x + 41x − 70) : (3 x − x + 7) d) (6 x − x y + x y + x y − xy + y ) : (3 x − xy + y3 ) Bài Giải phương trình sau: a) x − 16 x = b) x − 50 x = c) x − x − x + 36 = d) x − 4( x − x + 1) − = e) ( x − 9)2 − ( x − 3)2 = f) x − x + = g) (2 x − 3)( x + 1) + (4 x − x − x ) : (−2 x ) = 18 Bài Chứng minh rằng: a) a2 + 2a + b2 + ≥ với giá trị a b b) x + y + xy + > với giá trị x y c) ( x − 3)( x − 5) + > với giá trị x Bài 10.Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau: a) x + x + b) + x − x c) x − x + d) x + x + 11 g) h(h + 1)(h + 2)(h + 3) e) x − x + Trang 10 f) x − x + y − y + Th.s Lê Nhật Nguyên 01274806920 VI HÌNH BÌNH HÀNH Định nghĩa: Hình bình hành tứ giác có cặp cạnh đối song song Tính chất: Trong hình bình hành: • Các cạnh đối • Các góc đối • Hai đường chéo cắt trung điểm đường Dấu hiệu nhận biết: • Tứ giác có cạnh đối song song hình bình hành • Tứ giác có cạnh đối hình bình hành • Tứ giác có hai cạnh đối song song hình bình hành • Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường hình bình hành VẤN ĐỀ I Vận dụng tính chất hình bình hành để chứng minh tính chất hình học Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi E trung điểm AD, F trung điểm BC a) Chứng minh BE = DF ·ABE = ·CDF b) Chứng minh tứ giác EBFD hình bình hành c) Chứng minh đường thẳng EF, DB AC đồng qui Bài Cho hình bình hành ABCD (AB > BC) Tia phân giác góc D cắt AB E, tia phân giác góc B cắt CD F a) Chứng minh DE P BF b) Tứ giác DEBF hình gì? Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi K, I trung điểm cạnh AB vad CD, M N giao điểm AI CK với BD a) Chứng minh: AI P CK b) Chứng minh: DM = MN = NB VẤN ĐỀ II Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình bình hành Bài Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD Kẻ AH vng góc với BD H, CK vng góc với BD K Chứng minh tứ giác AHCK hình bình hành Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Qua điểm O, vẽ đường thẳng a cắt hai đường thẳng AD, BC E, F, vẽ đường thẳng b cắt hai cạnh AB, CD K, H Chứng minh tứ giác EKFH hình bình hành Bài Cho tam giác ABC Từ điểm E cạnh AC vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB F đường thẳng song song với AB cắt BC D Giả sử AE = BF a) Chứng minh tam giác AED cân b) Chứng minh AD phân giác góc A Bài Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA I, K trung điểm đường chéo AC, BD Chứng minh: a) Các tứ giác MNPQ, INKQ hình bình hành b) Các đường thẳng MP, NQ, IK đồng qui Bài Cho tam giác ABC H trực tâm Các đường thẳng vng góc với AB B, vng góc với AC C cắt D a) Chứng minh tứ giác BDCH hình bình hành b) Tính số đo góc ·BDC , biết ·BAC = 600 Trang 25 01274806920 Th.s Lê Nhật Nguyên Bài Cho hình bình hành ABCD, AD = AB Từ C vẽ CE vng góc với AB Nối E với trung điểm M AD Từ M vẽ MF vng góc với CE, MF cắt BC N a) Tứ giác MNCD hình gì? b) Tam giác EMC tam giác gì? c) Chứng minh: ·BAD = 2·AEM Bài Cho tứ giác ABCD Gọi E, F giao điểm AB CD, AD BC; M, N, P, Q trung điểm AE, EC, CF, FA Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành Bài Cho hình bình hành ABCD Các điểm E, F thuộc đường chéo AC cho AE = EF = FC Gọi M giao điểm BF CD; N giao điểm DE AB Chứng minh rằng: a) M, N theo thứ tự trung điểm CD, AB b) EMFN hình bình hành Bài Cho hình thang vng ABCD, có µA = µB = 900 AD = 2BC Kẻ AH vng góc với BD (H thuộc BD) Gọi I trung điểm HD Chứng minh rằng: CI ⊥ AI Bài 10.Cho tam giác ABC O điểm thuộc miền tam giác Gọi D, E, F trung điểm cạnh AB, BC, CA L, M, N trung điểm đoạn OA, OB, OC Chứng minh rằng: đoạn thẳng EL, FM DN đồng qui VII ĐỐI XỨNG TÂM Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi E điểm đối xứng với D qua A, F điểm đối xứng với D qua C Chứng minh: a) AC P EF b) Điểm E đối xứng với điểm F qua điểm B Bài Cho tam giác ABC, trung tuyến BD, CE Gọi H điểm đối xứng với B qua D, K điểm đối xứng với C qua E Chứng minh điểm H đối xứng với điểm K qua điểm A Bài Cho hình bình hành ABCD điểm E cạnh AB, I K trung điểm cạnh AD BC Gọi điểm M, N đối xứng với điểm E qua điểm I điểm K a) Chứng minh điểm M, N thuộc đường thẳng CD b) Chứng minh MN = 2CD Bài Cho góc vng ·xOy , điểm A nằm góc Gọi B điểm đối xứng với A qua Ox , C điểm đối xứng với A qua Oy Chứng minh B đối xứng với C qua O Bài Cho hình bình hành ABCD, O giao điểm hai đường chéo Một đường thẳng qua O cắt cạnh AB CD theo thứ tự M N Chứng minh điểm M đối xứng với điểm N qua O Bài Cho hình bình hành ABCD có tâm đối xứng O, điểm E đoạn OD Gọi F điểm đối xứng điểm C qua E a) Chứng minh tứ giác ODFA hình thang b) Xác định vị trí điểm E OD để hình thang ODFA hình bình hành Bài Cho tam giác ABC, trọng tâm G Gọi M, N, P theo thứ tự điểm đối xứng A, B, C qua tâm G a) Chứng minh tứ giác BPNC hình bình hành b) Chứng minh tam giác ABC, MNP c) Chứng minh tam giác ABC, MNP có trọng tâm Bài Cho tam giác ABC, H trực tâm, I giao điểm đường trung trực K điểm đối xứng với H qua trung điểm đoạn thẳng BC Chứng minh K đối xứng với A qua I Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Trên AB lấy điểm E, CD lấy điểm F cho AE = CF a) Chứng minh E đối xứng với F qua O b) Từ E dựng Ex // AC cắt BC I, dựng Fy // AC cắt AD K Chứng minh rằng: EF = FK; I K đối xứng với qua O Trang 26 Th.s Lê Nhật Nguyên 01274806920 Bài 10 Cho tam giác ABC Gọi A' điểm đối xứng với A qua C, B' điểm đối xứng với B qua A, C' điểm đối xứng với C qua B Gọi BM trung tuyến tam giác ABC, B'M' trung tuyến tam giác A'B'C' a) Chứng minh ABM'M hình bình hành b) Gọi G giao điểm BM B'M' Chứng minh G trọng tâm hai tam giác ABC tam giác A'B'C' VIII HÌNH CHỮ NHẬT Định nghĩa: Hình chữ nhật tứ giác có bốn góc vng Tính chất: Trong hình chữ nhật, hai đường chéo cắt trung điểm đường Dấu hiệu nhận biết: • Tứ giác có ba góc vng hình chữ nhật • Hình thang cân có góc vng hình chữ nhật • Hình bình hành có góc vng hình chữ nhật • Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật Áp dụng vào tam giác: • Trong tam giác vng, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền • Nếu tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh tam giác tam giác vng VẤN ĐỀ I Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình chữ nhật Bài Cho tam giác ABC, đường cao AH Gọi I trung điểm AC, E điểm đối xứng với H qua I Gọi M, N trung điểm HC, CE Các đường thẳng AM, AN cắt HE G K a) Chứng minh tứ giác AHCE hình chữ nhật b) Chứng minh HG = GK = KE Bài Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc với Gọi E, F, G, H theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Tứ giác EFGH hình gì? ĐS: EFGH hình chữ nhật Bài Cho tam giác ABC vng A Về phía ngồi tam giác ABC, vẽ hai tam giác vuông cân ADB (DA = DB) ACE (EA = EC) Gọi M trung điểm BC, I giao điểm DM với AB, K giao điểm EM với AC Chứng minh: a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng b) Tứ giác IAKM hình chữ nhật c) Tam giác DME tam giác vng cân Bài Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD) Gọi M, N, P, Q trung điểm đoạn thẳng AD, BD, AC, BC a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác ABPN hình thang cân Trang 27 01274806920 Th.s Lê Nhật Nguyên c) Tìm hệ thức liên hệ AB CD để ABPN hình chữ nhật ĐS: c) DC = AB ABPN hình chữ nhật Bài Cho tam giác ABC Gọi O điểm thuộc miền tam giác, M, N, P, Q trung điểm đoạn thẳng OB, OC, AC, AB a) Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành b) Xác định vị trí điểm O đế tứ giác MNPQ hình chữ nhật ĐS: b) O thuộc đường cao AH ∆ABC Bài Cho tam giác ABC vuông cân C Trên cạnh AC, BC lấy điểm P, Q cho AP = CQ Từ điểm P vẽ PM song song với BC (M ∈ AB) a) Chứng minh tứ giác PCQM hình chữ nhật b) Gọi I trung điểm PQ Chứng minh P di chuyển cạnh AC, Q di chuyển cạnh BC điểm I di chuyển đoạn thẳng cố định ĐS: b) I di chuyển đường trung bình ∆ABC Bài Cho hình chữ nhật ABCD Nối C với điểm E đường chéo BD Trên tia đối tia EC lấy điểm F cho EF = EC Vẽ FH FK vng góc với AB AD Chứng minh rằng: a) Tứ giác AHFK hình chữ nhật b) AF song song với BD KH song song với AC c) Ba điểm E, H, K thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC H trực tâm Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, BC CA; D, E, F trung điểm đoạn HA, HB HC a) Chứng minh tứ giác MNFD MEFP hình chữ nhật b) Để đoạn MD, ME DP tam giác ABC phải tam giác gì? VẤN ĐỀ II Vận dụng kiến thức hình chữ nhật để giải tốn Bài Tính độ dài trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng có cạnh góc vng 7cm 24cm Bài ĐS: AM = 12,5(cm) Bài Cho tam giác ABC cân A, CH đường cao (H ∈ AB) Gọi D điểm đối xứng với điểm B qua A a) Chứng minh tam giác DCB tam giác vuông b) Chứng minh ·DCA = ·HCB Bài Cho hình chữ nhật ABCD Vẽ BH ⊥ AC (H ∈ AC) Gọi M, K trung điểm AH DC; I, O trung điểm AB IC a) Chứng minh IC = KB MO = IC b) Tính số đo góc ·BMK ĐS: b) ·BMK = 900 Bài Cho tam giác ABC vuông A M điểm thuộc cạnh BC Vẽ MD ⊥ AB, ME ⊥ AC O trung điểm DE a) Chứng minh ba điểm A, O, M thẳng hàng Trang 28 Th.s Lê Nhật Nguyên 01274806920 b) Khi điểm M di chuyển cạnh BC điểm O di chuyển đường nào? c) Điểm M vị trí cạnh BC AM có độ dài ngắn ĐS: b) O di chuyển đường trung bình ∆ABC c) M ≡ H (AH ⊥ BC) Bài Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 2AD Vẽ tia AM (M thuộc cạnh DC) cho ·DAM = 150 Chứng minh tam giác ABM tam giác cân Bài Cho tam giác ABC vuông A, AC > AB AH đường cao Trên tia HC lấy HD = HA, đường vng góc với BC D cắt AC E a) Chứng minh AE = AB b) Gọi M trung điểm BE Tính số đo góc ·AHM Bài Cho tam giác ABC vng A AC = 3AB Trên cạnh góc vng AC lấy điểm D E cho AD = DE = EC Tính ·ACB + ·AEB Bài Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ AH ⊥ BD Gọi I trung điểm DH Kẻ đường thẳng vng góc với AI I cắt cạnh BC K Chứng minh K trung điểm cạnh BC IX HÌNH THOI Định nghĩa: Hình thoi tứ giác có bốn cạnh Tính chất: Trong hình thoi: • Hai đường chéo vng góc với • Hai đường chéo đường phân giác góc hình thoi Dấu hiệu nhận biết: • Tứ giác có bốn cạnh hình thoi • Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi • Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với hình thoi • Hình bình hành có đường chéo đường phân giác góc hình thoi VẤN ĐỀ I Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình thoi Bài Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, AD Chứng minh tứ giác MNPQ hình thoi Bài Cho tứ giác ABCD có µC = 400 , µD = 800 , AD = BC Gọi E, F, M, N trung điểm AB, DC, DB, AC Trang 29 01274806920 Th.s Lê Nhật Nguyên a) Chứng minh tứ giác EMFN hình thoi b) Tính góc ·MFN ĐS: b) ·MFN = 600 Bài Cho hình bình hành ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi E, F, G, H giao điểm phân giác tam giác OAB, OBC, ODC, ODA a) Chứng minh: ba điểm E, O, G thẳng hàng, ba điểm H, O, F thẳng hàng b) Chứng minh tam giác AEB CGD c) Chứng minh tứ giác EFGH hình thoi Bài Cho tam giác ABC điểm M thuộc cạnh BC Qua M vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC E đường thẳng song song với AC, cắt AB F a) Chứng minh tứ giác AFME hình bình hành b) Xác định vị trí điểm M cạnh BC để tứ giác AFME hình thoi ĐS: b) M chân đường phân giác góc B ∆ABC Bài Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD, µD = 700 Vẽ BH ⊥ AD (H ∈ AD) Gọi M, N trung điểm cạnh CD, AB a) Chứng minh tứ giác ANMD hình thoi b) Tính góc ·HMC ĐS: b) ·HMC = 1050 Bài Cho tam giác ABC Gọi H trực tâm tam giác, AD đường cao Trên cạnh BC lấy điểm M Từ M vẽ ME ⊥ AB (E ∈ AB) MF ⊥ AC (F ∈ AC) Gọi I trung điểm AM a) Chứng minh tứ giác DEIF hình thoi b) Chứng minh đường thẳng MH, ID, EF đồng qui Bài Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt O Hai đường thẳng d d2 qua O vng góc với Đường thẳng d cắt cạnh AB CD M P Đường thẳng d2 cắt cạnh BC AD N Q Chứng minh tứ giác MNPQ hình thoi VẤN ĐỀ II Vận dụng kiến thức hình thoi để giải tốn Bài Cho hình thoi ABCD có AC = 8cm, BD = 10cm Tính độ dài cạnh hình thoi ĐS: AB = 41 (cm) Bài Cho hình thoi ABCD có µA = 600 Trên cạnh AB, AC lấy hai điểm M, N cho BM = CN Chứng minh tam giác MDN tam giác Bài Cho hình thoi ABCD có µA = 600 Trên AD CD lấy điểm M, N cho AM + CN = AD Gọi P điểm đối xứng N qua BC, MP cắt BC Q Tứ giác MDCQ hình ? Bài Cho P điểm chuyển động tam giác ABC cho ·PBA = ·PCA Hạ PM ⊥ AB; PN ⊥ AC (M ∈ AB; N ∈ AC) Gọi K, S hai đỉnh khác hình thoi KMSN Chứng minh KS qua điểm cố định Trang 30 Th.s Lê Nhật Ngun 01274806920 X HÌNH VNG Định nghĩa: Hình vng tứ giác có bốn góc vng có bốn cạnh Tính chất: Hình vng có tất tính chất hình chữ nhật hình thoi Dấu hiệu nhận biết: • Hình chữ nhật có hai cạnh kề hình vng • Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với hình vng • Hình chữ nhật có đường chéo đường phân giác góc hình vng • Hình thoi có góc vng hình vng • Hình thoi có hai đường chéo hình vng • Một tứ giác vừa hình chữ nhật, vừa hình thoi tứ giác hình vng VẤN ĐỀ I Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình vng Bài Cho tam giác ABC vng A Phân giác AD góc A (D ∈ BC) Vẽ DF ⊥ AC, DE ⊥ AB Chứng minh tứ giác AEDF hình vng Bài Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy điểm E, F, G, H cho AE = BF = CG = DH Chứng minh tứ giác EFGH hình vng Bài Cho tam giác ABC vuông A, M điểm thuộc cạnh BC Qua M vẽ đường thẳng song song với AB AC, chúng cắt cạnh AB, AC theo thứ tự E F a) Tứ giác AFME hình gì? b) Xác định vị trí điểm M cạnh BC để tứ giác AFME hình vng Bài Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AB, CD Gọi M giao điểm AF DE, N giao điểm BF CE a) Tứ giác ADFE hình gì? b) Tứ giác EMFN hình gì? Bài Cho tam giác ABC Dựng phía ngồi tam giác hình vng ABCD ACEF Gọi Q, N giao điểm đường chéo ABCD ACEF; M, P trung điểm BC DF Chứng minh tứ giác MNPQ hình vng VẤN ĐỀ II Vận dụng kiến thức hình vng để giải tốn Bài Cho hình vng ABCD Trên cạnh AD, DC lấy điểm E, F cho AE = DF Gọi M, N trung điểm EF, BF a) Chứng minh tam giác ADF BAE b) Chứng minh MN vng góc với AF Bài Cho hình vng ABCD Trên tia đối tia BA lấy điểm E, tia đối tia CB lấy điểm F cho AE = CF a) Chứng minh tam giác EDF vuông cân b) Gọi I trung điểm EF Chứng minh BI = DI c) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Chứng minh O, C, I thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC, dựng phía ngồi tam giác hình vng ABCD ACEF Vẽ đường cao AH kéo dài HA gặp DF E Chứng minh DI = IF Bài Cho hình bình hành ABCD Vẽ phía ngồi hình bình hành, hai hình vng ABEF ADGH Chứng minh: a) AC = FH AC ⊥ FH b) Tam giác CEG tam giác vuông cân Bài Cho đoạn thẳng AB điểm M thuộc đoạn thẳng Vẽ phía AB, hình vng AMCD, BMEF a) Chứng minh AE vng góc với BC Trang 31 01274806920 Th.s Lê Nhật Nguyên b) Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng c) Chứng minh đường thẳng DF qua điểm cố định M di chuyển đoạn thẳng cố định AB ĐS: c) DF qua K (K = AF ∩ AC) Bài Cho hình vng ABCD Trên cạnh CD lấy điểm M Tia phân giác góc ·ABM cắt AD I Chứng minh rằng: BI ≤ MI Bài Cho hình vng ABCD Lấy điểm E thuộc đường chéo AC Kẻ EF ⊥ AD, EG ⊥ CD a) Chứng minh rằng: EB = FG EB ⊥ FG b) Chứng minh rằng: Các đường thẳng BE, AG, CF đồng qui Bài Cho tam giác ABC Vẽ phía ngồi tam giác ABC, hình vng ABDE ACFG Vẽ hình bình hành EAGH Chứng minh rằng: a) AK = BC AH ⊥ BC b) Các đường thẳng KA, BF, CD đồng qui BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I Bài Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H trung điểm AB, BC, CD, DA Các đường chéo AC, BD tứ giác ABCD thoả điều kiện tứ giác EFGH là: a) Hình chữ nhật ĐS: AC ⊥ BD b) Hình thoi ĐS: AC = BD c) Hình vng ĐS: AC = BD AC ⊥ BD Bài Cho tam giác ABC cân A, trung tuyến AM Gọi I trung điểm AC, K điểm đối xứng điểm M qua điểm I a) Tứ giác AMCK hình gì? b) Tứ giác AKMB hình gì? c) Có trường hợp tam giác ABC để tứ giác AKMB hình thoi ĐS: a) AMCK hình chữ nhật b) AKMB hình bình hành c) Khơng Bài Cho tam giác ABC vuông A Về phia ngồi tam giác, vẽ hình vng ABDE, ACGH a) Chứng minh tứ giác BCHE hình thang cân b) Vẽ đường cao AK tam giác ABC Chứng minh AK, DE, GH đồng qui ĐS: b) Đồng qui F với F = DE ∩ GH Bài Cho hình thang cân ABCD với AB // CD Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA a) Tứ giác MNPQ hình gì? Trang 32 Th.s Lê Nhật Nguyên 01274806920 b) Cho biết diện tích tứ giác ABCD 30cm Tính diện tích tứ giác MNPQ ĐS: a) MNPQ hình thoi b) SMNPQ = 15cm Bài Cho tam giác ABC vuông A, trung tuyến AM Gọi D trung điểm AB, E điểm đối xứng điểm M qua điểm D a) Chứng minh điểm E đối xứng với điểm M qua đường thẳng AB b) Các tứ giác AEMC, AEBM hình gì? c) Cho BC = 4cm Tính chu vi tứ giác AEBM d) Tam giác vng thoả điều kiện AEBM hình vng ĐS: b) AEMC hình bình hành, AEBM hình thoi c) PAEBM = 8cm d) ∆ABC vng cân Bài Cho hình bình hành ABCD, O giao điểm hai đường chéo Gọi M, N trung điểm cạnh AD, BC Các đường thẳng BM, DN cắt đường chéo AC P, Q a) Chứng minh AP = PQ = QC b) Tứ giác MPNQ hình gì? CA c) Xác định tỉ số để MPNQ hình chữ nhật CD d) Xác định góc ·ACD để MPNQ hình thoi e) Tam giác ACD thoả mãn điều kiện để MPNQ hình vng CA =3 ĐS: b) MPNQ hình bình hành c) d) ·ACD = 900 CD e) ∆ACD vuông C CA = 3CD Bài Cho hình thoi ABCD, O giao điểm hai đường chéo Vẽ đường thẳng qua B song song với AC, đường thẳng qua C song song với BD, hai đường thẳng cắt K a) Tứ giác OBKC hình gì? b) Chứng minh AB = OK c) Tìm điều kiện hình thoi ABCD để OBKC hình vng ĐS: a) OBKC hình chữ nhật c) ABCD hình vng Bài Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB µA = 600 Gọi E, F trung điểm BC AD a) Tứ giác ECDF hình gì? b) Tứ giác ABED hình gì? c) Tính số đo góc ·AED ĐS: a) ECDF hình thoi b) ABED hình thang cân c) ·AED = 900 Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AB, CD Gọi O trung điểm EF Qua O vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AD BC theo thứ tự M N a) Tứ giác EMFN hình gì? b) Hình thang ABCD có thêm điều kiện để EMFN hình thoi c) Hình thang ABCD có thêm điều kiện để EMFN hình vng ĐS: a) EMFN hình bình hành b) ABCD hình thang cân c) ABCD hình thang cân có hai đường chéo vng góc Bài 10 Cho tam giác ABC vng A với AB = AC = a a) Lấy điểm D cạnh AC điểm E cạnh AB cho AD = AE Các đường thẳng vuông góc với EC vẽ từ A D cắt cạnh BC K L Chứng minh BK = KL b) Một hình chữ nhật APMN thay đổi có đỉnh P cạnh AB, đỉnh N cạnh AC có chu vi ln 2a Điểm M di chuyển đường nào? c) Chứng minh hình chữ nhật APMN thay đổi đường vng góc vẽ từ M xuống đường chéo PN qua điểm cố định ĐS: b) M di chuyển cạnh BC c) HM qua điểm I cố định (với ACIB hình vng) Bài 11 Cho hình vng ABCD E điểm cạnh DC, F điểm tia đối tia BC cho BF = DE Trang 33 01274806920 Th.s Lê Nhật Nguyên a) Chứng minh tam giác AEF vuông cân b) Gọi I trung điểm EF Chứng minh I thuộc BD c) Lấy điểm K đối xứng với A qua I Chứng minh tứ giác AEKF hình vng Bài 12 Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB, µA = 600 Gọi E F trung điểm BC AD a) Chứng minh AE ⊥ BF b) Chứng minh tứ giác BFDC hình thang cân c) Lấy điểm M đối xứng A qua B Chứng minh tứ giác BMCD hình chữ nhật d) Chứng minh ba điểm M, E, D thẳng hàng Bài 13 Cho tam giác ABC vng A có ·BAC = 600 Kẻ tia Ax song song với BC Trên Ax lấy điểm D cho AD = DC a) Tính số đo góc ·BAD , ·DAC b) Chứng minh tứ giác ABCD hình thang cân c) Gọi E trung điểm BC Chứng minh tứ giác ADEB hình thoi Bài 14 Cho ABCD hình bình hành Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Gọi K giao điểm AC DM, L trung điểm BD CM a) Tứ giác MNPQ hình gì? b) Tứ giác MDPB hình gì? c) Chứng minh: AK = KL = LC Bài 15 Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD Gọi E, F thứ tự trung điểm AB CD a) Các tứ giác AEFD, AECF hình gì? b) Gọi M giao điểm AF DE, N giao điểm BF CE Chứng minh tứ giác EMFN hình chữ nhật c) Hình bình hành ABCD nói có thêm điều kiện để EMFN hình vng? Bài 16 Cho tam giác ABC vuông A, đường trung tuyến AM Gọi H điểm đối xứng với M qua AB, E giao điểm MH AB Gọi K điểm đối xứng với M qua AC, F giao điểm MK AC a) Xác định dạng tứ giác AEMF, AMBH, AMCK b) Chứng minh H đối xứng với K qua A c) Tam giác vuông ABC có thêm điều kiện AEMF hình vng? CHƯƠNG II: ĐA GIÁC Định nghĩa • Đa giác lồi đa giác nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng chứa cạnh đa giác • Đa giác đa giác có tất cạnh tất góc Một số kết • Tổng góc đa giác n cạnh (n − 2).180 (n − 2).1800 n n(n − 3) • Số đường chéo đa giác n cạnh Diện tích • Mỗi góc đa giác n cạnh • Diện tích tam giác nửa tích cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó: S = a.h Trang 34 Th.s Lê Nhật Nguyên 01274806920 • Diện tích tam giác vng nửa tích hai cạnh góc vng: S = ab • Diện tích hình chữ nhật tích hai kích thước nó: S = ab • Diện tích hình vng bình phương cạnh nó: S = a2 • Diện tích hình thang nửa tích tổng hai đáy với chiều cao: S = (a + b)h • Diện tích hình bình hành tích cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó: S = ah • Diện tích hình thoi nửa tích hai đường chéo: S = d1d2 Bài 18.Cho hình thoi ABCD có µA = 600 Gọi E, F, G, H trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh đa giác EBFGDH lục giác Bài 19.Cho tam giác ABC, O trọng tâm tam giác Gọi E, F, G điểm đối xứng với điểm O qua trung điểm AB, BC, AC Chứng minh lục giác AEBFCG lục giác Bài 20.Cho ngũ giác ABCDE có cạnh µA = µB = µC a) Chứng minh tứ giác ABCD hình thang cân b) Chứng minh ngũ giác ABCDEF ngũ giác Bài 21.Cho ngũ giác ABCDE Gọi K giao điểm hai đường chéo AC BE a) Tính số đo góc ngũ giác b) Chứng minh CKED hình thoi Bài 22.Cho hình chữ nhật ABCD E điểm nằm đường chéo AC Đường thẳng qua E, song song với AD cắt AB, DC F, G Đường thẳng qua E, song song với AB cắt AD, BC H, K Chứng minh hai hình chữ nhật EFBK EGDH có diện tích Bài 23.Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm cạnh AB, AC Vẽ BP ⊥ MN, CQ ⊥ MN (P, Q ∈ MN) a) Chứng minh tứ giác BPQC hình chữ nhật b) Chứng minh SBPQC = S ABC Bài 24.Cho hình vng ABCD Gọi M, N trung điểm AB, CD Chứng minh tứ giác ADCM ABCN có diện tích Bài 25.Cho hình thang vng ABCD ( µA = µD = 900 ), AB = 3cm, AD = 4cm ·ABC = 1350 Tính diện tích hình thang ĐS: S ABCD = 20cm2 Bài 26.Cho tam giác ABC vng A Về phía ngồi tam giác, vẽ hình vng ABDE, ACFG, BCHI Chứng minh SBCHI = S ABDE + S ACFG Bài 27 Diện tích hình bình hành 24cm2 Khoảng cách từ giao điểm hai đường chéo đến đường thẳng chứa cạnh hình bình hành 2cm 3cm Tính chu vi hình bình hành ĐS: PABCD = 20cm Bài 28 Cho hình bình hành ABCD Gọi K, O, E, N trung điểm AB, BC, CD, DA Các đoạn thẳng AO, BE, CN DK cắt L, M, R, P Chứng minh S ABCD = 5.SMLPR Bài 29 Cho tam giác ABC Gọi E, F trung điểm BA, BC Lấy điểm M đoạn thẳng EF (M ≠ E, M ≠ F) Chứng minh S AMB + SBMC = SMAC Bài 30 Cho tam giác ABC cân A, điểm M thuộc đáy BC Gọi BD đường cao tam giác ABC; H K chân đường vng góc kẻ từ M đến AB AC Chứng minh: MH + MK = BD Bài 31 Cho hình bình hành ABCD Gọi K L hai điểm thuộc cạnh BC cho BK = KL = LC Tính tỉ số diện tích của: a) Các tam giác DAC DCK Trang 35 01274806920 Th.s Lê Nhật Nguyên b) Tam giác DAC tứ giác ADLB c) Các tứ giác ABKD ABLD SDAC SDAC S = = ĐS: a) b) c) ABKD = SDCK S ADLB S ABLD Bài 32 Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến AM, BN cắt G Diện tích tam giác AGB 336cm Tính diện tích tam giác ABC ĐS: S ABC = 1008cm2 Bài 33 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D cho BD = 3DA, cạnh BC lấy điểm E cho BE = 4EC Gọi F giao điểm AE CD a) Chứng minh: FD = FC b) Chứng minh: S ABC = 2S AFB Bài 34 Cho tam giác ABC, đường cao AH điểm M thuộc miền tam giác Gọi P, Q, R chân đường vng góc kẻ từ M đến BC, AC, AB Chứng minh: MP + MQ + MR = AH Bài 35 Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm cạnh AC, AB Từ N kẻ đường thẳng song song với BM cắt đwòng thẳng BC D Biết diện tích tam giác ABC a (cm ) a) Tính diện tích hình thang CMND theo a b) Cho a = 128cm2 BC = 32cm Tính chiều cao hình thang CMND ĐS: a) SCMND = a (cm2 ) b) h = 4(cm) Bài 36.* Cho tứ giác ABCD Kéo dài AB đoạn BM = AB, kéo dài BC đoạn CN = BC, kéo dài CD đoạn DP = CD kéo dài DA đoạn AQ = DA Chứng minh SMNPQ = 5.S ABCD HD: Từ SPDQ = 2SDAC , SMNB = 2S ABC , SQAM = 2SDAB , SPNC = 2SDBC ⇒ đpcm Bài 37 * Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c ba đường cao ứng với ba cạnh có độ dài , hb , hc Gọi r khoảng cách từ giao điểm ba đường phân giác tam giác 1 1 + + = hb hc r Bài 38 * Cho tam giác ABC Gọi M, N, P điểm nằm cạnh BC, CA, AB tam giác cho đường thẳng AM, BN, CP đồng qui điểm O Chứng minh AP BM CN = Chứng minh: PB MC NA S ACP SAOP AP S AOC AP S AOB BM SBOC CN = = = = = HD: Từ ⇒ (1) Tương tự (2), (3) SBCP SBOP PB SBOC PB S AOC MC S AOB NA đến cạnh tam giác Chứng minh Nhân (1), (2), (3), vế theo vế, ta đpcm Bài 39 Cho tứ giác ABCD Gọi M, P, N, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, AD; O giao điểm MN PQ Chứng minh: a) S AOQ + SBOP = SMPQ S ABCD HD: Vẽ AA′, BB′, MM′ vng góc với PQ Bài 40 Cho tứ giác ABCD Qua điểm B vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC Đường thẳng cắt cạnh DC E Chứng minh: S ADE = S ABCD b) S AOD + SBOC = HD: Chú ý: SBAC = SEAC Trang 36 Th.s Lê Nhật Nguyên 01274806920 Bài 41 Cho tứ giác ABCD có AC = 10cm, BD = 12cm Hai đường chéo AC BD cắt O Biết ·AOB = 300 Tính diện tích tứ giác ABCD ĐS: S ABCD = 30cm2 Bài 42 Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) Gọi I, J, K, L trung điểm AB, BC, CD, DA a) Tứ giác IJKL hình gì? b) Cho biết diện tích hình thang ABCD 20 cm Tính diện tích tứ giác IJKL ĐS: a) IJKL hình thoi b) SIJKL = 10 cm Bài 43 Cho hình bình hành ABCD Vẽ phân giác AM góc A (M ∈ CD), phân giác CN góc C (N ∈ AB) Các phân giác AM, CN cắt BD E F Chứng minh diện tích hai tứ giác AEFN CFEM HD: AEFN CFEM hai hình thang có cạnh đáy tương ứng chiều cao nên có diện tích BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG II Bài Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12 cm, AD = 6,8 cm Gọi H, I, E, K trung điểm tương ứng BC, HC, DC, EC a) Tính diện tích tam giác DBE b) Tính diện tích tứ giác EHIK ĐS: a) SDBE = 20,4 cm2 b) SEHIK = 8,55 cm2 Bài Cho hình vng ABCD có tâm đối xứng O, cạnh a Một góc vng xOy có tia Ox cắt cạnh AB E, tia Oy cắt cạnh BC F Tính diện tích tứ giác OEBF a2 Bài Tính diện tích hình thang vng, biết hai đáy có độ dài cm cm, góc tạo cạnh bên đáy lớn có số đo 450 ĐS: SOEBF = S AOB = ĐS: S ABCD = 22,5 cm2 Bài Cho hình thang ABCD có độ dài hai đáy AB = 5cm, CD = 15cm, độ dài hai đường chéo AC = 16cm, BD = 12cm Từ A vẽ đường thẳng song song với BD, cắt CD E Trang 37 01274806920 Th.s Lê Nhật Nguyên a) Chứng minh tam giác ACE tam giác vng b) Tính diện tích hình thang ABCD ĐS: b) S ABCD = 96 cm Bài Gọi O điểm nằm hình bình hành ABCD Chứng minh: S ABO + SCDO = SBCO + SDAO S ABCD Bài Cho hình chữ nhật ABCD, O điểm nằm hình chữ nhật, AB = a, AD = b Tính tổng diện tích tam giác OAB OCD theo a b 1 HD: SOAB + SODC = AB AD = ab 2 Bài Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm cạnh AB Trên cạnh AC, lấy điểm B cho AN = 2NC Gọi I giao điểm BN CM Chứng minh: a) SBIC = SAIC b) BI = 3IN Bài Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm AC, BC Chứng minh S ABNM = S ABC 1 HD: Từ S ABM = S ABC , SBMN = S ABC ⇒ đpcm Bài Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E, F hai điểm hai cạnh AB DC cho AE = CF; I điểm cạnh AD; IB IC cắt EF M N Chứng minh: SIMN = SMEB + SNFC HD: S ABO + SCDO = SBCO + SDAO = S ⇒ đpcm ABCD Bài 10.Cho tứ giác ABCD Chứng minh ta vẽ tam giác mà diện tích diện tích tứ giác ABCD HD: Qua B, vẽ đường thẳng song song với AC, cắt DC E Suy S ADE = S ABCD Bài 11.Cho tam giác ABC điểm D cạnh BC Hãy chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích đường thẳng qua D HD: Xét hai trường hợp: – Nếu D trung điểm BC AD đường thẳng cần tìm – Nếu D khơng trung điểm BC Gọi I trung điểm BC, vẽ IH // AD (H ∈ AB) Từ S ADH = S ADI ⇒ DH đường thẳng cần tìm Bài 12 Cho tam giác ABC có BC = a, đường cao AH = h Từ điểm I đường cáo AH, vẽ đường thẳng song song với BC, cắt hai cạnh AB, AC M N Vẽ MQ, NP vng góc với BC Đặt AI = x a) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a, h, x b) Xác định vị trí điểm I AH để diện tích tứ giác MNPQ lớn ax (h − x ) ah h x = ⇒ I trung điểm AH ĐS: a) SMNPQ = b) max S = h Bài 13 Cho tam giác ABC ba đường trung tuyến AM, BN, CP Chứng minh sáu tam giác tạo thành tam giác ABC có diện tích Bài 14 Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi M, N trung điểm AB, CD Một đường thẳng song song với hai đáy cắt AD E, MN I, BC F Chứng minh IE = IF HD: Từ S AMND = SBMNC , SEAM = SFBM , SEDN = SFCN ⇒ SEMN = SFMN ⇒ EK = FH ⇒ ∆EKI = ∆FHI ⇒ EI = FI Bài 15 Cho tứ giác ABCD Qua trung điểm K đường chéo BD, vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt AD E Chứng minh CE chia tứ giác thành hai phần có diện tích HD: Từ SBEFC = SIBC = SDBC = Trang 38 Th.s Lê Nhật Nguyên 01274806920 HD: Xét trường hợp: a) E thuộc đoạn AD b) AC qua trung điểm K BD c) E nằm đoạn thẳng AD Bài 16 Cho tam giác ABC Trên cạnh AC lấy điểm M, N cho AM = MN = NC Đường thẳng qua M, song song với AB, cắt đường thẳng qua N song song với BC O Chứng minh OA, OB, OC chia tam giác ABC thành ba phần có diện tích Bài 17.* Cho ngũ giác ABCDE Hãy vẽ tam giác có diện tích diện tích ngũ giác ABCDE HD: Vẽ BH // AC (H ∈ DC), EI // AD (I ∈ DC) ⇒ S ABCDE = S AIH Trang 39