Hình học xạ ảnh 23

Bài tập và bài học môn hình học xạ ảnh

HÌNH HỌC XẠ ẢNHNHÓM 5 Bài tập 23Trong P2 cho tam giác A1A2A3 và một đường thẳng d không đi qua các đỉnh của tam giác. Gọi K1=dxA2A3, K2=dxA3A1, K3=dxA1A2. Giả sử L1,L2,L3 là ba điểm lần lượt nằm trên ba đường thẳng A2A3,A3A1,A1A2 và không trùng với ba đỉnh của tam giác.a. CMR:L1,L2,L3 thẳng hàng khi và chỉ khi (A2A3K1L1).(A3A1K2L2).(A1A2K3L3)=1b. CMR:A1L1,A2L2,A3L3 đồng quy khi và chỉ khi (A2A3K1L1).(A3A1K2L2).(A1A2K3L3)= -1 Bài giải:Trong P2 chọn mục tiêu xạ ảnh {A1,A2,A3,E} với E là điểm đơn vị được chọn sao cho đường thẳng d là đường thẳng đơn vị (tức là d[1,1,1]). Khi đó: A1(1,0,0), A2(0,1,0), A3(0,0,1).Ta có: K1=d x A2A3 với d[1,1,1], A2A3[1,0,0]=> K1(0,1,-1) [K1]=[A2] - [A3] (1)Ta có: K2=d x A3A1 với d[1,1,1], A3A1[0,1,0]=> K2(-1,0,1) [K2]=[A3] - [A1] (2)Ta có: K3=d x A1A2 với d[1,1,1], A1A2[0,0,1]=> K3(1,-1,0) [K3]=[A1] - [A2] (3)⇒⇒⇒( )−+=−1001010110⇔ Mặt khác:L1 A2A3 => [L1]=x1.[A2]+x1.[A3] (1’)=> L1 (0,x1,x2)L2 A3A1 => [L2]=y1.[A3]+y2.[A1] (2’)=> L2 (y2,0,y1)L3 A1A2 => [L3]=z1.[A1]+z2.[A2] (3’)=>L3 (z1,z2,0).∈∈∈ Từ (1) và (1’) (A2A3K1L1)=Từ (2) và (2’) (A3A1K2L2)=Từ (3) và (3’) (A1A2K3L3)= (A2A3K1L1).(A3A1K2L2).(A1A2K3L3)⇒2112xxxx:11−=−2112yyyy:11−=−⇒⇒2112zzzz:11−=−⇒.z.y.xz.y.x222111−= 00zzy0yxx0211221=0zyxzyx222111=+⇔222111zyxzyx−=⇔1zyxzyx222111=−⇔⇔a. L1, L2, L3 thẳng hàng  (A2A3K1L1).(A3A1K2L2).(A1A2K3L3)=1. 00zzy0yxx0122112=−−−⇔0zyxzyx111222=+−⇔222111zyxzyx =⇔1zyxzyx222111=⇔1zyxzyx222111−=−⇔⇔b. Ta có: A1L1[0,-x2,x1], A2L2[y1,0,-y2], A3L3[-z2,z1,0]A1L1, A2L2, A3L3 đồng quy (A2A3K1L1).(A3A1K2L2).(A1A2K3L3)= -1. . HÌNH HỌC XẠ ẢNHNHÓM 5 Bài tập 23Trong P2 cho tam giác A1A2A3 và một đường thẳng d không đi. khi (A2A3K1L1).(A3A1K2L2).(A1A2K3L3)= -1 Bài giải:Trong P2 chọn mục tiêu xạ ảnh {A1,A2,A3,E} với E là điểm đơn vị được chọn sao cho đường thẳng d là đường