Hình học xạ ảnh 23

Bài tập và bài học môn hình học xạ ảnh

HÌNH HỌC XẠ ẢNH

NHÓM 5

Bài tập 23

Trong P2 cho tam giác A1A2A3 và một đường thẳng d không

đi qua các đỉnh của tam giác Gọi K1=dxA2A3,

K2=dxA3A1, K3=dxA1A2 Giả sử L1,L2,L3 là ba điểm lần lượt nằm trên ba đường thẳng A2A3,A3A1,A1A2 và không trùng với ba đỉnh của tam giác

a CMR:L1,L2,L3 thẳng hàng khi và chỉ khi (A2A3K1L1)

(A3A1K2L2).(A1A2K3L3)=1

b CMR:A1L1,A2L2,A3L3 đồng quy khi và chỉ khi

(A2A3K1L1).(A3A1K2L2).(A1A2K3L3)= -1

Bài giải:

Trong P2 chọn mục tiêu xạ ảnh {A 1 ,A 2 ,A 3 ,E} với E là điểm đơn vị được chọn sao cho đường thẳng d là đường thẳng đơn vị (tức

là d[1,1,1]) Khi đó: A1(1,0,0), A2(0,1,0), A3(0,0,1).

Ta có: K1=d x A2A3 với d[1,1,1], A2A3[1,0,0]

=> K 1 (0,1,-1) [K 1 ]=[A 2 ] - [A 3 ] (1)

Ta có: K2=d x A3A1 với d[1,1,1], A3A1[0,1,0]

=> K2(-1,0,1) [K2]=[A3] - [A1] (2)

Ta có: K =d x A A với d[1,1,1], A A [0,0,1]





































































0

0 1 0

1

0

1 1 0



Mặt khác:

L1 A2A3 => [L1]=x1.[A2]+x1.[A3] (1’)

=> L1 (0,x1,x2)

L2 A3A1 => [L2]=y1.[A3]+y2.[A1] (2’)

=> L2 (y2,0,y1)

L3 A1A2 => [L3]=z1.[A1]+z2.[A2] (3’)

=>L3 (z1,z2,0)







Từ (1) và (1’) (A2A3K1L1)=

Từ (2) và (2’) (A3A1K2L2)=

Từ (3) và (3’) (A1A2K3L3)=

(A2A3K1L1).(A3A1K2L2).(A1A2K3L3)



2

1 1

2

x

x x

x : 1

1







2

1 1

2

y

y y

y : 1

1











2

1 1

2

z

z z

z : 1

1







z y x

z y x

2 2 2

1 1 1





0 0

z z

y 0

y

x x

0

2 1

1 2

2 1

 0

z y x z

y

x1 1 1  2 2 2 



2 2 2 1

1

1y z x y z

x  



1 z

y x

z y x

2 2 2

1 1 1









a L1, L2, L3 thẳng hàng 

(A2A3K1L1).(A3A1K2L2).(A1A2K3L3)=1

0 0

z z

y 0

y

x x

0

1 2

2 1

1 2











0 z

y x z

y



1 z

y x

z y



z y x

z y x

2 2 2

1 1 1









b Ta có:

A1L1[0,-x2,x1], A2L2[y1,0,-y2], A3L3[-z2,z1,0]

A1L1, A2L2, A3L3 đồng quy