Bài tập và bài học môn hình học xạ ảnh
BÀI 36 Hãy dựng thêm số điểm đýờng conic S biết: •Năm điểm thuộc S •Bốn điểm thuộc S tiếp tuyến điểm thuộc S •Ba điểm thuộc S tiếp tuyến điểm Phát biểu tốn đối ngẫu giải tốn Bài Làm Câu a: A3 R A1 Q A6 A4 A5 P d A2 Giả sử điểm A1,A2,A3,A4,A5 của(S) Ta cần dựng thêm A6 (S) Cách dựng: • B1:Dựng điểm P =A1A2 x A4A5 • B2:Qua P dựng đường thẳng d • B3:Dựng Q = d x A2A3 R = d x A3A4 • B4:Dựng A6 = A5Q x A3R điểm cần dựng A1 A5 A3 R A6 Q A4 d P A2 • (S’) trùng (S) Conic S’ Tui ChứngQminh Đây A P Đây Xét lục giác tạo Đây A A A1A2A3A4A5 A6 R P =A1A2 x A4A5 Q = A2A3 x A5 A6 A R = A3A4 xA6A1 Do P, Q, R thẳng hàng nên theo định lý Pascal lục giác nội tiêp conic (S’) Mà qua điểm A1,A2,A3,A4,A5 có đường conic (S) nên (S’) trùng (S) Suy A6 thuộc (S) • • • • • • Q A4 d P A2 Bài toán đối ngẫu: Hãy dựng thêm số tiếp tuyến đường bậc (S) biết tiếp tuyến thuộc (S) Giải toán đối ngẫu: Giả sử (S) có tiếp tuyến a1, a2, a3, a4, a5, Ta cần dựng thêm tiếp tuyến a6 (S) a2 a6 a1 a3 d1 a4 d2 a5 Cách dựng a1x a2 a1x d2 B1:Dựng d =(a1x a2,a2x a4x a5a3 ) a a B2:Trên d lấy điểm O aa d B3:Dựng d1= (O, a2x a4 a3) a3x a d2 = (O, a3x a4) B4: Khi đường thẳng a a6 = (a1 x d2, a5 x d1) đường thẳng cần tìm d2 O a5x d1 a4x a5 a5 d1 Chứng minh aa1 d • Xét lục giác tạo a1a2a3a4a5 a6 • d qua (a1x a2, a4x a5) a2 a6 a3 O a d1 qua (a2x a3 ,a5x a6) d d2 qua (a3x a4 ,a6x a1) • Do d , d1, d2 đồng quy nên theo định lý Briăngsông lục giác ngoại tiếp conic (S’) • Mà qua đường thẳng a1a2a3a4a5 a6 có đường conic (S) nên (S’) trùng (S) • Suy a6 thuộc (S) a5 Câu b a A P D C R E Q B A • Giả sử A,B,C,D thuộc conic (S) tiếp tuyến a qua A • Ta cần dựng E thuộc (S) d Cách dựng B1: Dựng P = a x CD B2: Qua P dựng đường thẳng d Dựng a x, CD B3: Dựng Q = dPx=AB R = d x BC B4: Khi E = AR x DQ điểm cần dựng a Dựng Q =d d x AB kỳ DựngDựng R = d dx bất BC A qua P P D C R E Dựng E = AR x DQ Q B Chứng minh: • Xét lục giác tạo AABCDE có : • P = a x CD = AAxCD • Q = AB x DE • R = BC x EA • Do P, Q, R thẳng hàng nên theo định lý Pascal lục giác nội tiêp conic (S’) • Mà qua điểm A,B,C,D đường thẳng a qua A có đường conic (S) nên P = a x CD • (S’) trùng (S) suy E thuộc (S) = AAxCD A a Q = AB x DE d R = BC x EA P D C R E Q B A Bài tốn đối ngẫu •Hãy dựng thêm số tiếp tuyến đường bậc (S) biết tiếp tuyến (S) tiếp điểm p •Giải tốn đối b a ngẫu: giả sử ta M dựng tiếp c tuyến a,b,c,d M r O tiếp điểm a Ta cần dựng tiếp d tuyến e (S) e q Cách dựng • B1:Dựng p qua (M, c x d) • B2:Trên p lấy điểm O • B3:Dựng q qua (O,a x b) r qua (O, b x c) • Khi e = (a x r, d x q) tiếp tuyến cần dựng p qua M, cxd b p a M c r O d e cxd q Chứng minh • Xét lục giác tạo cạnh aabcde có : p qua (M, c x d) (M=axa) q qua (axb,exd) d r qua (bxc,axe) • Do p, q, r đồng quy O nên theo định lý Briăngsơng truờng hợp ngũ giắc ngũ giác nội tiêp conic (S’) • Mà qua đường thẳng a,b,c,d 1tiếp điểm M a có đường conic (S) nên • (S’) trùng (S) suy e tiếp tuyến (S) p b a M c r O e q Câu c • Giả sử A,B,C thuộc (S) , tiếp tuyến a qua A tiếp tuyến c qua C Ta cần dựng D (S) a A P B R D C c Q Cách dựng • B1: Dựng P = a x c • B2: Qua P dựng đường thẳng d • B3: Dựng Q = d x AB R = d x BC • B4: Khi D = AR x CQ điểm cần dựng a A P B R D C c Q Chứng minh: A B P •Xét lục giác tạo cạnh: a,AB,BC,c,CD,DA có: • P=axc • Q = ABxCD • R = BDxDA •Do P,Q,R thẳng hàng nên theo định lý Pascal lục giác nội tiếp conic (S’) •Mà qua điểm A,B,C tiếp tuyến a,b qua A,B xác định đường conic (S) nên (S’) trùng (S) suy D thuộc (S) a R C c D Q Bài tốn đối ngẫu •Hãy dựng thêm số tiếp tuyến đường bậc (S) biết tiếp tuyến (S) tiếp điểm •Giải tốn đối ngẫu: •Giả sử có tiếp tuyến a,b,c (S) A,B tiếp điểm a,b.Ta dựng tiếp tuyến d (S) b A r p B O c a q d Dựng q qua O & axb Cách dựng • Dựng p qua (A, b x c) • Trên p lấy điểm O bất Dựng q qua B & O b Dựng p = (A, b x c) kỳ A • Dựng q qua B,O a B q O r = (O, a x b) r p d • Khi đường thẳng cần dựng c d = (a x q , c x r) Chứng minh • Xét lục giác tạo cạnh: aabbcd có: • p qua b x c A (axa) • q qua axd B (bxb) • r qua axb cxd • Do p,q,r đồng quy O nên theo định lý Briăngsông lục giác nội tiếp conic (S’) • Mà qua tiếp tuyến a,b,c tiếp điểm A,B a,b xác định đường conic (S) • Nên (S’) trùng (S) suy D thuộc (S) b A q p B O r a d c ...BÀI 36 Hãy dựng thêm số điểm đýờng conic S biết: •Năm điểm thuộc S •Bốn điểm thuộc S tiếp tuyến điểm