Hình học xạ ảnh 2

Bài tập và bài học môn hình học xạ ảnh

HÌNH HỌC XẠ ẢNHLỚP SƯ PHẠM TOÁN K32NHÓM II BÀI TẬP 2, TRANG 42Đề bài: Gọi S và S’ là các tập ở bài 1. Còn B là tập hợp các điểm nằm trong siêu cầu. Hãy làm cho B* = B ∪ S’ trở thành một không gian xạ ảnh (n + 1) – chiều. BÀI LÀMGọi S là một siêu cầu trong En+1 có tâm O và S’ là tập các điểm xuyên tâm đối của S.Gọi Sn+2 là siêu cầu tâm O trong En+2 và chứa S.Khi  đó:  S  =  Sn+2 ∩  (α)  với  (α)  là  siêu  phẳng qua O và có phương Vn+1.Gọi S’’ là nửa siêu cầu giới hạn bởi Sn+2 và (α).MM’AA’ Lập ánh xạ p:     →  B* xác định như sau:Gọi d là đường thẳng qua O và có phương V1∈ +  Nếu d ∈ (α)  thì d cắt S tại 2 điểm xuyên tâm đối A và A’ => (A, A’ ) ∈ S’. Đặt p(V1) = (A, A’ ).V2n+V2n+MM’AA’ +  Nếu d ∉ (α) thì d cắt S” tại một điểm M.Gọi M’ là hình chiếu vuông góc của M lên (α) => M’ ∈ B. Đặt p(V1) = M’.MM’AA’ Ta chứng minh p là song ánh:*  Lấy V1 ∈       => ∃! đường thẳng d qua O và có phương V1.+  Nếu d ∈ (α) => ∃! (A, A’ ) ∈ S’ : d ∩ S = (A, A’ ) = p(V1).+  Nếu d ∉ (α) => ∃! M : d ∩ S’’ = {M}=> ∃! M’ là hình chiếu vuông góc của M lên (α). Hiển nhiên M’ ∈ BDo đó p(V1) = M’.MM’AA’V2n+ *  Lấy M’ ∈ B, gọi d là đường thẳng qua M’ và vuông góc với (α). Khi đó tồn tại duy nhất M : d ∩ S’’ = M => ∃!   ∈ Vn+2  :    =   =>  ∃! V1 = L 〈{  } 〉.Hiển nhiên p(V1) = M’.MM’AA’xxxOM +  Lấy (A, A’ ) ∈ S’   =>∃!   ∈ Vn+2  :   =  =>∃! V1’ = L 〈{  } 〉.Dễ thấy p(V’1) = (A, A’)Vậy ( B*,p,      ) lập thành không gian xạ ảnh n+1­ chiều.V2n+MMM’AA’yy'AAy . HÌNH HỌC XẠ ẢNHLỚP SƯ PHẠM TOÁN K32NHÓM II BÀI TẬP 2,  TRANG  42 ề bài: Gọi S và S’ là các tập ở bài 1. Còn. một không gian xạ ảnh (n + 1) – chiều. BÀI LÀMGọi S là một siêu cầu trong En+1 có tâm O và S’ là tập các điểm xuyên tâm đối của S.Gọi Sn +2 là siêu cầu tâm O trong En +2 và chứa S.Khi