Hình hoc xạ ảnh 18

Bài tập và bài học môn hình học xạ ảnh

BÀI 18

Tìm phương trình của phép biến đổi xạ

ảnh của Pn biến các đỉnh Ai , i=1,…,n+1

của mục tiêu {Ai,E}1,n+1 thành chính nó và biến các điểm của siêu phẳng xn+1 = 0

thành chính nó Chứng minh rằng: mỗi

phép như thế biến các đường thẳng đi

qua An+1 thành chính nó

* Tìm phương trình của phép biến đổi xạ ảnh:

Gọi f là phép biến đổi xạ ảnh cần tìm

φ là đẳng cấu tuyến tính sinh ra f

Vì f(Ai) = Ai , i=1,…,n+1 với Ai là các đỉnh

của mục tiêu nên theo bài 17, phương trình

f có dạng: x’i = kixi , ki ≠ 0 , i=1,…,n+1 (1)

Gọi (β) là siêu phẳng có phương trình xn+1 = 0 Lấy M(x1, ,xn,0) thuộc (β)

Khi đó f(M)=M

Thay vào (1) ta được

Kết hợp với (1) ta suy ra phương trình của

f là:

































'

n 1, ,

i 0, k

, '

1 n 1

1

n

i

i

x k

x

kx x

) 0 (

, , , 1

,

0

1 0

, , 1

,





































k n

i

k i

k n

k

n

i i

x i

k i

kx

* Chứng minh f biến các đường thẳng đi

qua An+1 thành chính nó

Gọi d là đường thẳng đi qua An+1, khi đó d luôn cắt (β) tại một điểm duy nhất, ta kí

hiệu là N

Dễ thấy f(An+1) = An+1 và f(N) = N

Giả sử d’ là ảnh của d qua f, khi đó d’ đi qua

An+1 và N Suy ra d’ trùng d