Bài tập và bài học môn hình học xạ ảnh
BÀI 18BÀI 18 Tìm phương trình của phép biến đổi xạ Tìm phương trình của phép biến đổi xạ ảnh của ảnh của PPn n biến các đỉnh Abiến các đỉnh Aii , i=1,…,n+1 , i=1,…,n+1 của mục tiêu của mục tiêu {{AAi,i,EE}}1,n+1 1,n+1 thành chính nó và thành chính nó và biến các điểm của siêu phẳng xbiến các điểm của siêu phẳng xn+1n+1 = 0 = 0 thành chính nó. Chứng minh rằng: mỗi thành chính nó. Chứng minh rằng: mỗi phép như thế biến các đường thẳng đi phép như thế biến các đường thẳng đi qua Aqua An+1n+1 thành chính nó. thành chính nó. GIẢIGIẢI* Tìm phương trình của phép biến đổi xạ ảnh:* Tìm phương trình của phép biến đổi xạ ảnh:Gọi f là phép biến đổi xạ ảnh cần tìm. Gọi f là phép biến đổi xạ ảnh cần tìm. φφ là đẳng cấu tuyến tính sinh ra f. là đẳng cấu tuyến tính sinh ra f.Vì f(AVì f(Aii) = A) = Aii , i=1,…,n+1 với A , i=1,…,n+1 với Aii là các đỉnh là các đỉnhcủa mục tiêu nên theo bài 17, phương trình của mục tiêu nên theo bài 17, phương trình f có dạng: x’f có dạng: x’ii = k = kiixxi i , k, kii ≠ 0 , i=1,…,n+1 (1)≠ 0 , i=1,…,n+1 (1)Gọi (Gọi (ββ) là siêu phẳng có phương trình x) là siêu phẳng có phương trình xn+1n+1 = 0 = 0Lấy M(xLấy M(x11, .,x, .,xnn,0) thuộc (,0) thuộc (ββ) ) Khi đó f(M)=M Khi đó f(M)=M Thay vào (1) ta đượcThay vào (1) ta đượcKết hợp với (1) ta suy ra phương trình củaKết hợp với (1) ta suy ra phương trình củaf là:f là:≠==≠=++++0k , 'n1, .,i 0,k , '1n111 nnniixkxkxx)0( , , .,1 , 010, .,1 , ≠=∀=⇒+===knikiknkniixikikx * * Chứng minh f biến các đường thẳng điChứng minh f biến các đường thẳng điqua Aqua An+1n+1 thành chính nó thành chính nóGọi d là đường thẳng đi qua AGọi d là đường thẳng đi qua An+1n+1, khi đó d , khi đó d luôn cắt (luôn cắt (ββ) tại một điểm duy nhất, ta kí) tại một điểm duy nhất, ta kíhiệu là N.hiệu là N. Dễ thấy f(ADễ thấy f(An+1n+1) = A) = An+1 n+1 và f(N) = Nvà f(N) = NGiả sử d’ là ảnh của d qua f, khi đó d’ đi quaGiả sử d’ là ảnh của d qua f, khi đó d’ đi quaAAn+1 n+1 và N. Suy ra d’ trùng d.và N. Suy ra d’ trùng d. . của phép biến đổi xạ ảnh: * Tìm phương trình của phép biến đổi xạ ảnh: Gọi f là phép biến đổi xạ ảnh cần tìm. Gọi f là phép biến đổi xạ ảnh cần tìm. . BÀI 18BÀI 18 Tìm phương trình của phép biến đổi xạ Tìm phương trình của phép biến đổi xạ ảnh của ảnh của PPn n biến các đỉnh