Bài tập và bài học môn hình học xạ ảnh
Trang 1BÀI TẬP HÌNH HỌC
XẠ ẢNH
NHÓM 4 BÀI 20
Trang 2Tìm điểm kép của phép biến đổi xạ ảnh sau đây: x’1 = ax1 + a1xn+1
x’2 = ax2 + a2xn+1
……
x’n+1 = axn+1 + an+1xn+1
(1)
Trang 3Bài giải:
{A i , E}1 , n+1
{A i , E}1 , n+1
n
P
n
P
{ i }1 , n 1 1
n 2
1, kx , , kx ) / A , E kx
)(
M (
⇒
+
=
+
=
+
=
⇔
+ +
+ +
+ +
1 n 1 n 1
n 1
n
1 n 2 2
2
1 n 1 1
1
x a
ax kx
x a ax
kx
x a ax
kx
= +
−
= +
−
= +
−
⇔
+ +
+
+ +
0 x
a x
) k a
(
0 x
a x
) k a
(
0 x
a x
) k a
(
1 n 1 n 1
n
1 n 2 2
1 n 1 1
(2)
Trang 4Để f có điểm kép thì (2) phải có nghiệm không tầm thường
0 a
k a
0 0
a 0
k a
0
a 0
0 k
a
1 n
2
1
= +
−
−
−
⇔
+
0 )
a k
a ( ) k a
= +
−
−
= +
−
=
−
⇔
0 a
k a
0 k
a
Trang 5Trường hợp 1: a – k = 0 ⇔ a = k.
Khi đó mọi điểm của đều là điểm kép.
+ Tồn tại ít nhất aj ≠ 0, 1≤ j ≤ n+1
(3) ⇒ xn+1 = 0 là siêu phẳng chứa toàn bộ điểm kép.
) 3 ( 0
x a
0 x
a
0 x
a )
2
(
1 n 1 n
1 n 2
1 n 1
=
=
=
⇔
+ +
+ +
1 n
, 1 i
, 0
∀
n
P
Trang 6Trường hợp 2: a – k + an+1 = 0 ⇔ k = a + an+1
= +
−
− +
−
= +
−
⇔
+ +
+ +
+ +
+ +
0 x
a x
a
0 x
a x
a
0 x
a x
a )
2
(
1 n 1 n 1
n 1 n
1 n 2 2
1 n
1 n 1 1
1 n
Trang 7Vậy ta có kết quả sau:
+ Nếu mọi ai = 0, thì ta có mọi điểm của Pn
đều là điểm kép.
+ Nếu có một ai ≠ 0 và an+1 = 0 thì siêu phẳng xn+1 = 0 chứa toàn điểm kép.
+ Nếu an+1 ≠ 0 thì siêu phẳng xn+1 = 0 chứa toàn điểm kép
và một điểm có tọa độ (a1,a2, ,an+1) Điểm kép này không thuộc siêu phẳng.
1 n
, 1
i = +
