ĐỌC VÀ TÌM HIỂU SẮC XUẤT THEO SÁCH DISCOVERING ADVANCED ALGEBRA

Bạn có thể sử dụng con xúc xắc, tiền xu, sợi hoặc máy phát điện số ngẫu nhiên điện tử để mô phỏng thử nghiệm và khám phá những xác suất của kết quả khác nhau, hoặc kết quả.. Để tìm một x

C & TÌM ỂU XÁC SUẤT T EO SÁC

DISCOVERING ADVANCED ALGEBRA

Giảng viên hướng dẫn SV thực hiện

Nguyễn Đăng Minh Phúc Lê Thị Diệu Hoàng

Võ Thị Phương Thảo

Nguyễn Thị Mộng Cầm

Trần Thị Hòa

Nhóm: 5 Lớp: 3B

LỜI NÓI ĐẦU

Trong thực tiễn,chúng ta thường gặp những hiện tượng ngẫu nhiên Đó là những hiện tượng( biến cố ) mà chúng ta không thể dự đoán một cách chắc chắn là

nó xảy ra hay không xảy ra

Lý thuyết xác suất là bộ môn toán học nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên

Sự ra đời của lý thuyết xác suất bắt đầu từ những thư từ trao đổi giữa hai nhà toán học vĩ đại người Pháp là Pierre de Fermat (1601-1665) và Blaise Pascal (1623-1662) xung quanh cách giải đáp một số vấn đề rắc rối nảy sinh trong các trò chơi cờ bạc mà một nhà quý tộc Pháp đặt ra cho Pascal Năm 1812, nhà toán học Pháp Pierre-Simon Laplace (1774) đã dự báo rằng “ môn khoa học bắt đầu tự việc xem xét các trò chơi may rủi này sẽ hứa hẹn trở thành một đối tượng quan trọng nhất của tri thức loài người”

Ngày nay lý thuyết xác suất đã trở thành một ngành toán học quan trọng, được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã hôi, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học,…

Cuốn sách DISCOVERING ADVANCED ALGEBRA của Jerald Murdock, Ellen Kamischke, Ellen Kamischke đã xem xét chủ đề như một chi nhánh của ngành toán học

MỤC LỤC

A. Ớ T ỆU VỀ TÁC Ả VÀ CUỐN SÁC “DISCOVERING ADVANCED AL EBRA” 4

I Tác giả: Quyển sách này được biên soạn bởi 3 tác giả chính: 4

II Cuốn sách : “Discovering Advanced Algebra”: 4

B NỘ DUN 6

I Bài 12.1: Sự ngẫu nhiên và xác suất 6

II Bài 12.2: Kết quả tính và sơ đồ cây 17

III Bài 12.3: BIẾN CỐ XUNG KHẮC VÀ BIỂU ĐỒ VENN 27

IV Bài 12.4: CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ GIÁ TRỊ KỲ VỌNG 36

IV Bài 12.5: Hoán vị và xác suất 44

VI Bài 12.6:Tổ hợp và xác suất 55

VII Bài 12.7: ĐỊNH LÝ NHỊ THỨC VÀ TAM GIÁC PASCAL 64

Cuối chương: 74

A Ớ T ỆU VỀ TÁC Ả VÀ CUỐN SÁC “DI SCOVERI NG

ADVANCED AL EBRA”

I Tác giả: Quyển sách này được biên soạn bởi 3 tác giả chính:

Theo các tác giả, cuộc sống luôn đặt ra những tình huống quan trọng mà các bạn phải học cách để giải quyết nó, các bạn phải học cách đưa ra quyết định giải quyết tình huống trong đời sống thực chứ không chỉ dựa trên sách vở Giáo viên chỉ là người hướng dẫn, còn lại đòi hỏi tính chủ động sáng tạo của từng học sinh trong quá trình học tập, nghiên cứu của mình

II Cuốn sách : “Discovering Advanced Algebra” :

Discovering Advanced Algebra được hiểu là khám phá đại số nâng cao, được các tác

giả Jerald Murdock, Ellen Kamischke, Eric Kamischke biên soạn giúp cho học sinh làm quen

và nghiên cứu các vấn đề về đại số nâng cao

Cuốn sách gồm 13 chương, được chia theo từng chủ đề cụ thể, ở mỗi chương sẽ gồm 7-8 bài học, trong đó gồm lý thuyết, ví dụ và bài tập được biên soạn xen kẽ nhau Cuối mỗi bài học đều có bài tập cơ bản giúp các bạn rèn kỹ năng giải toán và nắm chắc vấn đề đã được học, cùng với những bài toán đố rèn luyện khả năng tư duy cho các bạn.Cuối mỗi chương là phần ôn tập, giúp bạn củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng suy luận và ứng dụng đại số nâng cao vào thực tế

Tác giả khuyến khích đọc giả tự học và hoạt động nhóm, thông qua việc trao đổi với nhau

về đại số nâng cao, chia sẻ những điều mà mình học được, đưa ra ý kiến của cá nhân, lắng nghe ý kiến của các thành viên trong nhóm sẽ cho các bạn có cơ hội đánh giá lại quá trình học tập của bản thân cũng như khắc phục những thiếu sót trong suốt quá trình học

Ngoài ra, tác giả cũng khuyến khích đọc giả sử dụng các công cụ hỗ trợ cho quá trình tính toán như máy tính, thiết bị thu thập dữ liệu, các phần mềm toán học như Sketchpad đế việc học trở nên thuận tiện hơn

Quyển sách này được xem như một cuốn nhật ký cho hành trình khám phá đại số nâng cao Quyển sách nhằm cung cấp những thông tin và kiến thức cũng như kỹ năng giúp bạn vượt qua những trở ngại và nâng cao hiểu biết sâu sắc hơn về toán học, đặc biệt là đại số nâng cao Từ những kiến thức toán học mà quyển sách này đem lại sẽ tạo cho bạn một sự tự tin trong khả năng giải quyết vấn đề về đại số nâng cao

Quan trọng nhất là đừng bao giờ bỏ cuộc, cố gắng hoàn thành công việc một cách xuất sắc, các bạn sẽ nhận được đầy đủ những gì mà các bạn đã bỏ ra

Đây chính là mục tiêu mà bất cứ cuốn sách nào cũng hướng đến-phát huy tính chủ động của người học.Tuy nhiên, chúng ta sẽ nhận ra điểm khác biệt trong quá trình biên soạn sách

mà nhóm sẽ trình bày ngay sau đây

B NỘ DUN

I Bài 12.1: Sự ngẫu nhiên và xác suất

Các công ty bảo hiểm không thể biết chắc chắn những loại hồ sơ lái xe bạn có Vì vậy, họ

sử dụng hồ sơ lái xe cho những người trong nhóm của bạn tuổi, giới tính, và kinh nghiệm lái

xe trước khi xác định cơ hội của bạn là một tai nạn và, do đó, mức bảo hiểm của bạn Đây chỉ

là một ví dụ về cách lý thuyết xác suất và các khái niệm về tính ngẫu nhiên ảnh hưởng đến cuộc sống của bạn

Lý thuyết xác suất đã được phát triển trong thế kỷ 17 như một phương tiện xác định tính công bằng của trò chơi, và nó vẫn được sử dụng để đảm bảo rằng khách hàng casino mất nhiều tiền hơn họ giành chiến thắng Xác suất cũng rất quan trọng trong việc nghiên cứu các hiện tượng xã hội và tự nhiên

Ở trung tâm của lý thuyết xác suất là ngẫu nhiên Xúc xắc, lật một đồng xu, vẽ một thẻ,

và quay một vòng quay trò chơi hội đồng quản trị là những ví dụ của các quá trình ngẫu nhiên Trong một quá trình ngẫu nhiên, không có kết quả cá nhân có thể dự báo, mặc dù mô hình tầm xa của nhiều kết quả cá nhân thường có thể dự báo.

Trong điều tra này, bạn sẽ khám phá những khả năng dự đoán kết quả ngẫu nhiên Bạn

sẽ sử dụng một quá trình ngẫu nhiên quen thuộc, các lần tung của một đồng xu

Tìm chuỗi dài nhất của liên tiếp của H hoặc T trong cột A Làm tương

tự cho cột B Sau đó, tìm thấy chuỗi thứ hai dài nhất Ghi lại những độ dài cho mỗi người trong lớp như kiểm đếm dấu trong một bảng

Bạn thường sử dụng một quá trình ngẫu nhiên để tạo ra các số ngẫu nhiên Về lâu dài, mỗi số là đều có khả năng xảy ra, và không có một xu

Ví dụ A Sử dụng máy phát điện số ngẫu nhiên của máy tính để tìm xác suất tổng là

300 số nguyên ngẫu nhiên từ 1 đến 6 để mô phỏng 300 tung của chết đầu tiên Lưu trữ nó trong danh sách L1 Lưu trữ một danh sách thứ hai của

300 kết quả trong danh sách L2 Thêm hai danh sách để có được một danh sách các khoản tiền 300 ngẫu nhiên của hai con xúc xắc Lưu trữ nó trong danh sách L3

Tạo một biểu đồ của 300 mục trong Bảng tổng hợp Màn hình máy tính trên cho thấy số lượng của từng khoản tiền từ 2 đến 12 (Danh sách và biểu

đồ của bạn sẽ hiển thị các mục khác nhau.) Cho thấy Tracing rằng chiều cao của thùng "6" bin là 36 Vì vậy, trong tổng số 300 cuộn mô phỏng, P (tổng là 6) =

= 0,12

Lặp đi lặp lại toàn bộ quá trình gấp năm lần cho kết quả hơi khác nhau:

Chứ không phải là thực sự lăn một cặp xúc xắc 1800 lần trong Ví dụ A, bạn thực hiện một mô phỏng, đại diện cho các quá trình ngẫu nhiên điện

tử Bạn có thể sử dụng con xúc xắc, tiền xu, sợi hoặc máy phát điện số ngẫu nhiên điện tử để mô phỏng thử nghiệm và khám phá những xác suất của kết quả khác nhau, hoặc kết quả

Một sự kiện là một tập hợp các kết quả mong muốn Bạn có thể nhớ lại rằng xác suất của một sự kiện, chẳng hạn như "sự tổng hợp của hai con xúc xắc là 6," phải là một số giữa 0 và 1 Xác suất của một sự kiện chắc chắn xảy ra là 1 Xác suất của một sự kiện không thể là 0 Trong ví dụ A, bạn thấy rằng P (tổng là 6) là khoảng 0,14, hoặc 14%

Xác suất dựa trên các thử nghiệm và quan sát như thế này được gọi là xác suất thực nghiệm Một mô hình thường không rõ ràng cho đến khi bạn thực hiện một số lượng lớn các thử nghiệm

Tìm kết quả của riêng bạn cho 300 hoặc 1800 mô phỏng của một tổng của hai con xúc xắc Làm thế nào để họ so sánh với kết quả trong ví dụ A?

Đôi khi bạn có thể xác định xác suất lý thuyết của một biến cố, mà không cần tiến hành một thử nghiệm Để tìm một xác suất lý thuyết, bạn đếm số cách một sự kiện mong muốn có thể xảy ra và so sánh con số này với tổng số các kết quả đều có khả năng có thể Kết quả được "đều có khả năng" có cơ hội cùng xuất hiện Ví dụ, bạn đều có khả năng để lật một đầu hoặc đuôi với một xu công bằng

với hai con xúc xắc?

Bạn có thể lúc đầu nghĩ rằng có 11 khoản tiền có thể của hai con xúc xắc (từ 2 đến 12),

do đó P (tổng là 6) = Nhưng trong 11 khoản tiền không đều có khả năng Hãy tưởng tượng rằng một chết là màu xanh lá cây và khác là màu trắng, ví dụ Sau đó, bạn

có thể nhận được một khoản tiền 5 trong bốn cách:

Nhưng bạn sẽ có được một khoản 12 chỉ khi bạn cuộn một 6 trên cả hai con xúc xắc Vì vậy, một khoản 5 có nhiều khả năng hơn một khoản 12 Vì vậy, kết quả đều có khả năng bạn có thể sử dụng trong tình huống này để tìm xác suất lý thuyết?

Ví dụ B: tính xác suất lý thuyết của 1 cặp xúc xắc có tổng là 6 ?

giải pháp Các kết quả có thể đều có khả năng, hoặc khoản tiền, khi bạn cuộn hai con xúc

xắc được đại diện bởi 36 điểm lưới trong sơ đồ này

Điểm ở góc trên bên trái đại diện cho một cuộn 1 trên xúc xắc đầu tiên và 6 trên xúc xắc thứ hai, với tổng số

7 Năm kết quả có tổng là 6 đánh dấu từ A – E trong sơ

đồ Điểm D, Cho ví dụ , đại diện cho kết quả của 4 chấm của xúc xắc màu xanh và 2 chấm của xúc xắc màu trắng Tìm kết quả đại diện cho điểm A Xác suất lý thuyết là số cách biến cố có thể xảy ra, chia bởi số của biến cố có thể xảy ra.vì vậy , P ( tổng

là 6 ) =

= 0,1389 hoặc 13,89 Trước khi gieo lần khác , so sánh kết quả thực nghiệm và lý thuyết của biến cố Bạn có nghĩ rằng xác suất thực nghiệm của biến cố có thể thay đổi? Nghĩ sao về xác suất lý thuyết của nó ?

Khi bạn tung con xúc xắc, kết quả là số nguyên Nếu kết quả có thể khác các trường hợp của các số

Trong trường hợp đó, bạn thường sử dụng 1 mô hình khu vực để tìm xác suất

những người có một số tiền nhỏ hơn hoặc bằng

5 Đáp ứng các bất bình đẳng n1 + n2 5, trong

đó n là số đầu tiên và n là số thứ hai Diện tích của tam giác này là (0,5) (5) (5)

= 12,5 Diện tích của tất cả các kết quả có thể là (6) (6) = 36 Xác suất là

0,347 hoặc 34,7%

Một khả năng được tìm thấy bằng cách tính toán một tỷ lệ

chiều dài hoặc các khu vực được gọi là một xác suất hình học

Xác suất thực nghiệm có thể giúp bạn đánh giá một xu thế

nếu bạn có đủ các trường hợp Nhưng có được đủ dữ liệu để quan

sát những gì xảy ra trong thời gian dài không phải là luôn luôn khả

thi Tính toán xác suất lý thuyết có thể giúp bạn dự đoán những xu

hướng này Trong phần còn lại của này

chương, bạn sẽ khám phá nhiều cách khác nhau để tính toán số

lượng kết quả để tìm ra xác suất lý thuyết

Trong Skee bóng xác suất nhận được mức điểm khác nhau dựa

trên diện tích hình học của khu vực và khoảng cách của họ từ máy

nghe nhạc

1 Nina đã quan sát thấy rằng huấn luyện viên của mình không phối hợp màu sắc của vớ của

a Xác suất mà ông sẽ mang vớ đen vào ngày hôm sau là gì?

b Xác suất mà ông sẽ đi tất trắng vào ngày hôm sau là gì?

c Xác suất mà ông sẽ mang vớ màu đỏ vào ngày hôm sau là gì?

2 Bảng này cho thấy số lượng sinh viên trong một số hạng mục này là một thử nghiệm trực quan cho mù màu, một ở Ridgeway cao Tìm xác suất được mô tả dưới đây

a Xác suất mà một sinh viên lựa chọn ngẫu nhiên là nữ là gì?

b Xác suất mà một sinh viên lựa chọn ngẫu nhiên là một học sinh lớp 11 là gì?

c Xác suất mà một lựa chọn ngẫu nhiên học sinh lớp 12 là nam là gì?

d Xác suất mà một người đàn ông được chọn ngẫu nhiên là một học sinh lớp 10 là gì?

3 Đồ thị của các khu vực bóng mờ ở bên phải cho thấy tất cả các kết hợp có thể của hai con

số, x và y Sử dụng đồ thị và công thức khu vực cơ bản để trả lời mỗi câu hỏi Thể hiện mỗi câu trả lời cho 0,001 gần nhất

a xác suất mà x là giữa 0 và 2 là bao nhiêu ?

b xác suất mà y là từ 0 đến 2 là bao nhiêu?

c xác suất mà x lớn hơn 3 là bao nhiêu?

d xác suất mà y là lớn hơn 3 là bao nhiêu?

e xác suất mà x + y là ít hơn 2 là bao nhiêu?

4 Tìm mỗi xác suất

a.mỗingày , giáo viên của bạn gọi ngẫu nhiên trên 5 học sinh trong lớp học của bạn là 30 Khả năng bạn sẽ được gọi là ngày hôm nay là gì?

b.nếu 2,5 % của các mặt hàng sản xuất bởi một máy tính cụ thể là khiếm

khuyết , sau đó xác suất mà một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên sẽ không có khuyết điểm là gì?

c xác suất mà tổng của hai con xúc xắc Tossed sẽ không được 6 là gì?

5 Để chuẩn bị bộ dụng cụ sợi dây chuyền định, ba tư vấn trại hè kéo hạt ra khỏi một hộp , một tại một thời điểm Họ thảo luận về những khả năng mà các hạt tiếp theo kéo ra khỏi hộp

sẽ

có màu đỏ Mô tả một khả năng như lý thuyết hay thực nghiệm

a.Claire nói rằng P (màu đỏ) = , bởi vì 15 trong số 30 hạt cuối cùng cô rút ra là màu đỏ b.Sydney nói rằng P (màu đỏ) = ,, bởi vì nhãn

hộp nói rằng 1000 của 2000 hạt có màu đỏ

c.Mavis nói P (màu đỏ) = , , bởi vì 200 của 600

hạt ba người trong số họ đã rút ra cho đến nay đã

có màu đỏ

6 Giả sử bạn đang chơi một trò chơi mà bạn cần phải cuộn một 6 trên một xúc xắc trước khi bạn có thể bắt đầu chơi

a dự đoán số trung bình của cuộn một cầu thủ sẽ phải chờ đợi trước khi bắt đầu chơi

b.giải thích một mô phỏng , sử dụng số ngẫu nhiên, mà bạn có thể sử dụng để mô hình hóa vấn đề này

c.Do mô phỏng mười lần và ghi lại số lượng cuộn bạn cần để bắt đầu chơi trong mỗi trận đấu ( Ví dụ , trình tự của cuộn 4, 3, 3 , 1, 6 có nghĩa là bạn bắt đầu chơi trên các cuộn thứ năm )

d.tìm số trung bình của cuộn cần thiết để bắt đầu trong mười trò chơi

e kết hợp các kết quả từ 6ngày với những người bạn cùng lớp ba , và ước tính số lượng trung bình của cuộn một cầu thủ sẽ phải chờ đợi .

7 Đánh giá i- iii theo phương pháp mà sẽ sản xuất tốt nhất một số nguyên ngẫu nhiên từ 0 đến 9 Hỗ trợ lập luận của bạn với báo cáo đầy đủ

i số lượng của người đứng đầu khi bạn thả chín đồng xu

ii chiều dài , với inch gần nhất , một tiêu chuẩn 9 in bút chì thuộc về người kế tiếp bạn gặp gỡ những người có một bút chì

iii các chữ số cuối của số trang gần nhất với bạn sau khi bạn mở một cuốn sách đến một trang ngẫu nhiên và quay nó

8 Mô phỏng xúc xắc bằng 100 lần với máy phát điện số ngẫu nhiên máy tính của bạn Hiển thị các kết quả trong một biểu đồ để xem số lượng của 1 , 2, 3 , và

vv [ Để tìm hiểu cách để hiển thị số ngẫu nhiên trong một biểu đồ , xem 12A Lưu ý tính ]

Do các mô phỏng 12 lần

a Tạo một bảng lưu trữ kết quả của mỗi mô phỏng Tính toán thực nghiệm

xác suất tổng là 3 sau mỗi 100 cuộn

b Làm những gì bạn nghĩ rằng xác suất thử nghiệm dài hạn sẽ được?

c Làm cho một đồ thị của tỷ lệ tích lũy của 3 của so với số lượng tung Âm mưu điểm ( số tích lũy của tung , tỷ lệ tích lũy của 3 nhân ) Sau đó vẽ thêm ba điểm như bạn mở rộng phạm vi của đồ thị tới 2400 , 3600, và 4800 thử nghiệm bằng cách bổ sung các dữ liệu từ ba bạn cùng lớp Nó sẽ làm cho bất kỳ sự khác biệt nếu bạn đang cân nhắc 5 thay vì 3 không? Giải thích

d P ( 3 ) cho thí nghiệm này là gì?

e Làm những gì bạn nghĩ rằng xác suất lý thuyết , P ( 3 ) , nên được ? Giải thích

9 Xem xét thả xúc xắc màu xanh lá cây và một chết trắng Cuộn ( 1, 5 ) là khác nhau từ ( 5 , 1 )

một Bao nhiêu kết quả khác nhau là có thể cho thử nghiệm hai chết này ?

b Bao nhiêu kết quả khác nhau là có thể trong đó có một 4 trên chết màu xanh lá cây ?

Vẽ một sơ đồ thể hiện vị trí của những điểm này Xác suất của sự kiện này là gì?

c Bao nhiêu kết quả khác nhau là có thể , trong đó có 2 hoặc 3 trên chết trắng ? Xác

10 Tìm số kết quả đều có khả năng của mỗi sự kiện được mô tả trong một cuộn hai chết Sau đó ghi các khả năng của mỗi sự kiện

một Tổng xúc xắc đến 9

b Tổng xúc xắc đến 6

c Các con xúc xắc có một sự khác biệt của 1

d Tổng số các con xúc xắc là 6 , và sự khác biệt của họ là 2

e Tổng số các con xúc xắc nhiều nhất là 5

11 Xem xét các sơ đồ ở bên phải

a Tổng diện tích của quảng trường là gì?

b Diện tích của khu vực bóng mờ là gì?

c Giả sử các tọa độ ngang và dọc là những con số

được chọn ngẫu nhiên từ 0 đến 12 Về lâu dài , những gì tỷ

lệ của những điểm này sẽ trong khu vực bóng mờ ?

d Xác suất mà bất kỳ điểm được chọn ngẫu nhiên

trong vuông sẽ được trong khu vực bóng mờ là gì?

e Xác suất mà các điểm được chọn ngẫu nhiên sẽ

không hạ cánh trong khu vực bóng mờ là gì?

f Xác suất mà bất kỳ điểm được lựa chọn ngẫu

nhiên trong vuông sẽ đất trên một điểm cụ thể là những gì ? Trên một dòng cụ thể ?

12 Giả sử x và y là cả hai con số được chọn ngẫu nhiên giữa 0 và 8 (Các con số này không nhất thiết phải là số nguyên )

một Viết một tuyên bố mang tính biểu tượng mô tả sự kiện là tổng của hai số nhiều nhất là 6

b Vẽ một hình ảnh hai chiều của tất cả các kết quả có thể , và tô màu vùng được mô tả trong 12a

c Xác định xác suất của sự kiện được mô tả trong 12a

13 Sử dụng các biểu đồ bên phải cho 13a - d

một Gần đúng tần số của điểm giữa 80 và 90

b Xấp xỉ tổng của tất cả các tần số

c Tìm P ( điểm giữa 80 và 90 )

d Tìm P ( điểm đó không phải là giữa 80 và 90 )

14 Một 6 in khối sơn bên ngoài được cắt thành 27 khối đồng dạng nhỏ hơn Tìm xác suất

mà một trong những hình khối nhỏ hơn, chọn ngẫu nhiên , sẽ có số quy định của khuôn mặt sơn

điểm nào Khoảng cách được đo bằng picometers (chiều) Một picometer là 10-ngày 12

tháng 1 m Sử dụng đồ thị để trả lời những câu hỏi này

một Mà khoảng cách từ hạt nhân ( điểm A- E ) là xác suất tìm thấy điện tử lớn nhất ?

b Vào những gì khoảng cách là không có xác suất tìm thấy electron ?

c Như khoảng cách từ tăng hạt nhân , mô tả những gì xảy ra với xác suất tìm thấy một điện tử

16 Mở rộng (x - y) 4

17 Viết một đăng nhập - đăng nhập b + 2 log c như là một biểu hiện logarit duy nhất

18 Giải quyết đăng nhập 2 + logx = 4

19 Xem xét hệ thống này của sự bất bình đẳng:

a Đồ thị hình tam giác được xác định bởi hệ thống này

b Cung cấp cho các tọa độ của các đỉnh của tam giác trong 19a

c Tìm diện tích của tam giác trong 19a

Mô hình điện toán đám mây điện tử này cho thấy địa điểm có thể của một electron trong một phân tử hydro Mật độ của các điểm trong một khu vực cụ thể chỉ ra xác suất một điện tử sẽ được đặt tại khu vực đó

i {5, 23, 36, 48, 63} ii {112, 115, 118, 119, 121}

a Mà bộ bạn sẽ mong đợi để có độ lệch chuẩn lớn hơn? Giải thích lý do của bạn

b Tính trung bình và độ lệch chuẩn của mỗi bộ

c Dự đoán giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của mỗi bộ sẽ bị ảnh hưởng nếu bạn nhân mỗi giá trị dữ liệu 10 Sau đó làm các phép tính để xác minh câu trả lời của bạn Làm thế nào để các biện pháp này so sánh với những người mà bạn tìm thấy trong 21b?

d Dự đoán giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của mỗi bộ sẽ bị ảnh hưởng nếu bạn thêm 10 cho tất cả giá trị dữ liệu Sau đó làm các phép tính để xác minh câu trả lời của bạn Làm thế nào để các biện pháp này so sánh với những người mà bạn tìm thấy trong 21b?

II Bài 12.2: Kết quả tính và sơ đồ cây

Ví dụ A Trong Bài 12.1, bạn xác định một số lý thuyết xác xuất bằng cách tìm các tỷ

lệ về số lượng các kết quả mong muốn để số kết quả đều là khả năng có thể Trong một số trường hợp sẽ khó khăn để đếm số lượng các kết quả có thể hoặc mong muốn Bạn có thể thực hiện điều này dễ dàng hơn bằng cách tổ chức thông tin và tính kết quả bằng cách sử dụng sơ đồ cây

Một quảng cáo quốc gia cho biết, mỗi hộp ngũ cốc phồng lúa mạch có chứa một món đồ chơi và đồ chơi được phân bổ đồng đều Talya muốn thu thập một bộ đầy đủ các đồ chơi khác nhau từ các hộp ngũ cốc

a Nếu có hai đồ chơi khác nhau, xác suất để cô sẽ tìm thấy cả hai đò chơi trong hai hộp đầu tiên là bao nhiêu?

b Nếu có ba đồ chơi khác nhau, xác suất rằng cô sẽ có tất cả sau khi mua ba hộp đầu tiên là bao nhiêu?

iải

pháp

Vẽ sơ đồ cây để biểu diễn các kết quả có thể

a Trong sơ đồ cây này, nhánh đầu tiên đại diện cho các

khả năng hộp đầu tiên và nhánh thứ hai đại diện cho các

khả năng hộp thứ hai Như vậy, bốn con đường từ trái

sang phải đại diện cho tất cả các khả năng lựa hai hộp và

hai đồ chơi Đường 2 và đường dẫn 3 chứa cả 2 đồ chơi

Nếu quảng cáo là chính xác về phân phối bằng nhau đồ

chơi, sau đó các con đường đều có khả năng Vì vậy, xác

suất nhận được cả đồ chơi là, hoặc 0,5

b Sơ đồ cây này cho thấy tất cả các khả năng đồ chơi

cho ba hộp Có 27 con đường có thể Bạn có thể xác

định điều này một cách nhanh chóng bằng cách đếm số

, hay xấp xỉ 0,222

Sơ đồ cây có thể đại diện rõ tổng số các kết quả khác nhau và có thể giúp bạn xác định những con đường đại diện cho kết quả mong muốn Mỗi nhánh đơn của cây đại diện cho một trường hợp đơn Một con đường, hoặc một chuỗi các trường hợp đơn, là một trường hợp ghép Sơ đồ cây có thể hữu ích cho việc tổ chức các tình huống phức tạp

Vẽ lại sơ đồ cây cho Ví dụ A, phần b Cho thấy khả năng của mỗi trường hợp đơn, và cũng viết xác suất của mỗi con đường Tổng các xác suất của tất cả các con đường có thể là bao nhiêu? Tổng các xác suất của các đường dẫn đánh dấu là bao nhiêu?

Giả sử các quảng cáo quốc gia trong Ví dụ A niêm yết bốn đồ chơi khác nhau phân bố đều trong một nguồn cung cấp lớn của các hộp Chỉ vẽ một sơ đồ hình cây, bạn cần phải để trả lời những câu hỏi này:

a xác suất để được P (đồ chơi 2) trong hộp đầu tiên của Talya? Hộp thứ hai Talya ? Hộp thứ ba?

b Trong những tình huống này, những đồ chơi cô tìm thấy trong một hộp có ảnh hưởng đến khả năng có được một món đồ chơi đặc biệt trong hộp tiếp theo không?

c Một kết quả bao gồm tất cả bốn đồ chơi là đồ chơi 3, tiếp theo là đồ chơi

2, đồ chơi 4, tiếp theo là đồ chơi 1 Xác suất của kết quả này là gì? Có những kết quả khác biệt nào?

Viết một giải thích cách sử dụng xác suất các nhánh của một con đường để tìm xác suất của con đường

Xác suất của P (có được tập hợp đầy đủ trong bốn hộp đầu tiên) là gì?

Trong một số trường hợp, chẳng hạn như trong bốn đồ chơi và bốn hộp, một sơ đồ cây với các nhánh đều có khả năng là có rất nhiều để vẽ Trong một số trường hợp, như bạn sẽ thấy trong ví dụ B, một cây với nhánh các xác suất khác nhau có thể được thực hiện

Ví dụ B Ông Roark dạy ba lớp Mỗi lớp có 20 học sinh Lớp học đầu tiên có 12 học

sinh năm 2, lớp thứ hai có 8 học sinh năm 2, và lớp thứ ba của ông có 10 học sinh năm 2 Nếu anh ta chọn ngẫu nhiên một sinh viên từ mỗi lớp để tham gia vào một cuộc thi, xác suất mà ông sẽ chọn ba học sinh năm 2 là gì?

iải pháp Bạn có thể xem xét vẽ một cây với 20 nhánh đại diện cho các sinh viên

trong lớp học đầu tiên Điều này sẽ chia thành 20 nhánh cho lớp thứ hai, và mỗi con đường sẽ chia thành 20 nhánh cho lớp thứ ba Đây sẽ là một cây với 8000 con đường!

Thay vào đó, bạn có thể bỏ bớt hai nhánh cho từng giai đoạn của quá trình lựa chọn

Một nhánh đại diện cho một sự lựa chọn của một sinh viên năm hai (S) và một đại diện cho một sự lựa chọn của một sinh viên không phải năm 2 (NS) Cây này cho thấy tất cả tám kết quả có thể Tuy nhiên, kết quả không phải đều có khả năng Cho lớp học đầu tiên, xác suất của việc lựa chọn một sinh viên năm hai là

=0,6, và khả năng lựa chọn một viên không phải năm 2 là 1-0,6 = 0,4 Tính xác suất của các lớp học thứ hai và thứ ba, và đại diện cho họ vào một sơ đồ cây, như được hiển thị

Con đường trên cùng đại diện cho sinh viên năm hai được chọn từ mỗi lớp Trong cuộc điều tra bạn đã học để tìm xác suất của một con đường bằng cách nhân xác suất của các nhánh Vì vậy, khả năng lựa chọn ba sophomores là (0,6) (0,4) (0,5), hoặc 0,12

Trong ví dụ B, khả năng lựa chọn một sinh viên năm hai trong lớp thứ hai là như nhau, bất kể học năm thứ hai đã được lựa chọn trong lớp học đầu tiên Những sự kiện này được gọi

là độc lập Sự kiện độc lập khi khi xảy ra một không ảnh hưởng đến sự xuất hiện của cái kia

Có các sự kiện mà không phải là độc lập Nếu vậy, làm thế nào để bạn tính toán xác suất lý thuyết của nó? một ví dụ khác về tình hình của ông Roark

Ví dụ C Xem xét Ví dụ B một lần nữa

a Xác suất mà ông Roark sẽ lựa chọn chỉ có một sinh viên năm hai để tham gia cuộc thi là gì?

b Giả sử bạn là một sinh viên năm hai trong lớp thứ hai của ông Roark,

và các quy tắc cạnh tranh nói rằng chỉ có một sinh viên năm hai có thể được vào nhóm ba người Xác suất mà bạn sẽ được lựa chọn là gì?

iải pháp Sơ đồ cây sẽ giúp bạn xác định các xác suất

a Ba con đường nổi bật đại diện cho các kết quả khác nhau bao gồm sinh viên năm hai duy nhất Con đường đầu tiên có khả năng (0,6) (0,6) (0,5), hoặc 0,18, con đường thứ hai có khả năng (0,4) (0,4) (0,5), hoặc 0,08, và các đường dẫn mới nhất có xác suất (0,4) (0,6) (0,5), hoặc 0,12 Xác suất của một trong những con đường xảy ra là 0,18 + 0,08 + 0,12 hoặc 0,38 Vì vậy, 38% của tổng số 8000 đường dẫn chứa chính xác một sinh viên năm hai

b Nếu chỉ có một sinh viên năm hai được cho phép, thì xác suất mà bạn

có được lựa chọn phụ thuộc vào những gì xảy ra trong lớp học đầu tiên Nếu một sinh viên năm hai đã được lựa chọn trước đó, sau đó bạn có thể không được lựa chọn Vì vậy, P (bạn) = 0 Bạn có một cơ hội duy nhất

Nếu học sinh năm thứ hai không được lựa chọn trước đó Trong trường hợp đó, P (bạn), bởi vì có 20 học sinh trong lớp học của bạn Có một xác suất 0,4 rằng một khonng phải sinh viên năm 2 sẽ được chọn trong lớp học đầu tiên,

và sau đó một xác suất 0,05 mà bạn sẽ được lựa chọn trong lớp thứ hai Vì vậy, khả năng của bạn được lựa chọn cho cuộc thi là (0,4) (0,05), hoặc 0,02 Bạn có thể cho rằng ông Roark sử dụng một phương pháp hợp lý hơn lựa chọn đội!

Khi xác suất của một biến phụ thuộc vào sự xuất hiện của một biến, các biến phụ thuộc Biến độc lập và phụ thuộc có thể được mô tả bằng xác suất có điều kiện Khi các sự kiện A và B là phụ thuộc, xác suất xảy ra của A cho rằng B xảy ra là khác với xác suất của A của chính nó Xác suất của A B nhất định được biểu thị bằng một đường thẳng đứng:

P (A | B)

Trong ví dụ B và C, xác suất của một sinh viên năm hai ở lớp 2 cho học năm thứ hai ở lớp 1

sẽ được viết như P (S2 | S1) Thực tế là sự kiện S1 và S2 là phụ thuộc trong Ví dụ C có nghĩa

là P (S2 | S1) P (S2) Trong ví dụ B, tuy nhiên, S1 và S2 đã được độc lập, do đó P (S2 | S1) =

P (S2)

Bạn có thể sử dụng sơ đồ cây để chia biến phụ thuộc vào những biến độc lập trong sơ

đồ cây cho Ví dụ C, phần b, ở trên, xác suất của tất cả các ngành khác với nhánh đầu tiên thực sự là xác suất có điều kiện Sự kiện S1 và (S2 S1 được) là độc lập, như là (S1 S2 được)

và (S3 cho S1 và S2) Vì vậy, bạn có thể sử dụng quy tắc nhân để tìm xác suất của các đường dẫn

Trong trường hợp các biến độc lập, kết quả này cũng giống như kết quả trước đó của các quy tắc nhân, bởi vì P ( ) | ( ) = P ( ), P ( | ( và )) = P ( ), và như vậy Trong bài học sau bạn sẽ thấy làm thế nào để tính toán xác suất lý thuyết của các loại khác của sự kiện

1 Tạo ra một sơ đồ cây cho thấy kết quả khác nhau nếu nhà ăn có ba

lựa chọn chính, hai lựa chọn rau, và hai lựa chọn món tráng miệng

2 Tìm xác suất của mỗi con đường, quảng cáo, trong sơ đồ cây ở

bên phải Tổng của các giá trị của a, b, c, d là những gì?

3 Tìm xác suất của mỗi con đường, ag, trong sơ đồ cây dưới đây

4 Ba người bạn đang thử giọng cho các bộ phận khác nhau trong một chương trình hài

kịch Mỗi học sinh có 50% cơ hội thành công Sử dụng sơ đồ cây

ở bên phải để trả lời câu 4a-c

a Tìm xác suất mà cả ba sinh viên sẽ thành công

b Tìm xác suất mà chính xác hai sinh viên sẽ thành công

c Nếu bạn biết rằng chính xác hai sinh viên đã thành công,

nhưng không biết đó là cặp, xác suất mà Celina đã thành công là

gì?

5 Giải thích xác suất nhánh được liệt kê trên sơ đồ cây này, làm mẫu kết quả lựa chọn hai học sinh khác nhau từ một lớp học của 7 đàn em và 14 học sinh năm 2

6 Sử dụng sơ đồ từ tập 5 để trả lời mỗi câu hỏi

a Sử dụng quy tắc nhân để tìm xác suất của mỗi con đường

b Là những con đường đều có khả năng? Giải thích

c Tổng của bốn câu trả lời trong 6a là gì?

7 Một công thức yêu cầu bốn thành phần: Bột mì, bột nở, mỡ, và sữa (F, B, S, M) Nhưng không có hướng dẫn rõ thứ tự mà họ nên được kết hợp Chris chưa bao giờ theo một công thức như thế này và không có ý tưởng mà để là tốt nhất, vì vậy ông chọn thứ tự ngẫu nhiên

a Bao nhiêu đơn đặt hàng khác nhau có thể là có?

b Xác suất mà sữa phải là đầu tiên là gì?

c Xác suất mà theo đúng thứ tự bao gồm bột mì đầu tiên và rút ngắn thứ hai là gì?

d Xác suất mà thứ tự là FBSM là gì?

e Xác suất mà bộ này là không FBSM là gì?

Nguyên nhân và Áp dụng

f Xác suất mà bột mì và sữa là bên cạnh mỗi khác là gì?

8 Vẽ một sơ đồ cây hình ảnh tất cả các kết quả đều có khả năng có thể nếu một đồng

d P (chính xác ba chính xác) e P (tất cả bốn chính xác)

f Những gì cần được tổng của các xác suất trong năm 10a-e?

g.Nếu một lớp đi qua có nghĩa là bạn nhận được ít nhất ba câu trả lời đúng, xác suất

mà bạn đã thông qua các bài kiểm tra là gì?

11 ÁP DỤNG

Tỷ lệ của số điện thoại được sản xuất tại ba địa điểm, M1, M2, và M3, là 20%, 35%, và 45%, tương ứng Biểu đồ bên phải cho thấy một số các tỷ lệ về số lượng khiếm khuyết (D) và (G) điện thoại tốt sản xuất tại mỗi trang web Các chi nhánh trên cho thấy một khả 0,20 mà một điện thoại được thực hiện bởi nhà sản xuất này đã được sản xuất tại trang web của M1

Tỷ lệ của các điện thoại này có khiếm khuyết là 0,05 Do đó, 0,95 của các điện thoại này khả good.The mà một điện thoại lựa chọn ngẫu nhiên là cả từ trang web của M1 và lỗi là (0,20) (0,05), hoặc0,01

a Sao chép các sơ đồ và điền vào các xác suất mất tích

b Tìm P (một điện thoại từ trang web của M2 là khiếm khuyết)

c Tìm P (một chiếc điện thoại được chọn ngẫu nhiên là khiếm khuyết)

12 Pistons và Bulls được gắn, và thời gian đã hết trong các trò chơi Tuy nhiên, các Pistons có một cầu thủ tại ném miễn phí, và anh ấy có hai bức ảnh để thực hiện Ông thường làm cho 83% cú ném phạt ông cố gắng Các bức ảnh là những sự kiện độc lập, vì vậy mỗi người có khả năng tương tự Tìm các xác suất:

a P (anh bỏ lỡ cả hai mũi) b P (ông đã làm cho ít nhất một trong các mũi chích ngừa)

c P (ông đã làm cho cả hai mũi) d P (Pistons giành chiến thắng trong trò chơi)

13 Xác suất là những gì mà có đúng hai cô gái trong a gia đình có bốn trẻ em? Cho rằng nam và nữ đều có khả năng

14 Bảng bên phải cung cấp cho số học sinh trong một

số chuyên mục Là những sự kiện "lớp 10" và "Nữ" phụ

thuộc hay độc lập? Giải thích lý do của bạn

15 ÁP DỤNG

Năm 1963, Bưu điện Hoa Kỳ giới thiệu mã bưu điện

để giúp quá trình mail hiệu quả hơn

a Một mã bưu điện có năm chữ số, 0-9 Bao nhiêu mã

bưu điện có thể là có?

b Năm 1983, Bưu điện Hoa Kỳ giới thiệuZIP + 4 Các

thêm bốn chữ số cuối của mã bưu điện giúp đỡ xác định điểm

đến của lô đất với độ chính xác và hiệu quả hơn.Làm thế nào

có thể có nhiều ZIP + 4 mã nào?

Dịch vụ bưu chính Canada sử dụng một sáu ký tự mã gửi thư

của mẫu thư, chữ số, chữ cái, chữ số, chữ cái, chữ số

c Bao nhiêu mã bưu chính Canada có thể là ở đó nếu không có hạn chế được đặt trên các chữ cái và chữ số?

d Trong các mã bưu chính Canada, các chữ D, F, I, O, Q và U không bao giờ được sử dụng và các chữ cái W và Z không được sử dụng như các ký

tự đầu tiên Bao nhiêu mã bưu chính có thể là hiện nay?

16 Chữ nổi là một hình thức bằng văn bản cho người

khiếm thị giác Mỗi nhân vật Braille bao gồm một tế bào có

chứa sáu vị trí có thể có một dấu chấm cao hoặc không có

một có thể cos Bao nhiêu ký tự Braille khác nhau?

XEM XÉT

17 Viết mỗi biểu thức dưới dạng một bi +

a (2 + 4i) - (5 + 2i) b (2 + 4i) (5 + 2i) c

18 Xác suất mà một điểm lựa chọn ngẫu nhiên

trong hình chữ nhật ở bên phải là trong khu vực màu

cam là gì? Khu vực màu xanh?

19 Một mẫu của 230 học sinh được phân loại như

20 Các mặt của quảng trường lớn nhất trong

sơ đồ bên phải là 4 Mỗi ô vuông mới có chiều dài bên bằng

một nửa của một trong những trước Nếu mô hình tiếp tục vô

hạn, chiều dài dài hạn của xoắn ốc do đường chéo là gì?

Một hiệu suất Lặp lại

Trong hoạt động này, bạn sẽ sử dụng một máy phát điện số ngẫu nhiên để mô phỏng các cuộn khổ chết Sau đó bạn sẽ tìm hiểu tác động của các số khác nhau của các thử nghiệm

Chế độ dữ liệu của bạn là gì? Số lượng tối đa và tối thiểu sự xuất hiện của kết quả là gì? Sự khác biệt giữa các giá trị (phạm vi) là gì?

Chọn Rerandomize từ trình đơn Phân tích để tạo ra một tập hợp các trường hợp Có máy phát điện ngẫu nhiên dường như có lợi cho một số hơn những người khác? Liệu lệnh randomPick dường như để mô phỏng một chết công bằng? Làm thế nào bạn có thể kiểm tra?

Dự đoán hình dạng của một biểu đồ cho 100 trường hợp Làm thế nào để bạn nghĩ rằng nó sẽ so sánh với một biểu đồ cho 10 bản ghi?

Chọn trường hợp mới từ menu dữ liệu một lần nữa và thêm 90 trường hợp mới Biểu đồ của bạn sẽ tự động cập nhật So sánh nó với dự đoán của bạn và biểu đồ cho 10 trường hợp

Chế độ và phạm vi các kết quả có thể là gì? Rerandomize để tạo ra một tập hợp các trường hợp Có máy phát điện ngẫu nhiên dường như có lợi cho một số hơn những người khác?

Dự đoán biểu đồ cho 1000 trường hợp Sau đó thực hiện một biểu đồ và lặp lại Bước 8 Một chết đó không phải là công bằng được gọi là "nạp" Một khuôn nạp được thiết kế để triển khai số lượng nhất định thường xuyên hơn

Tạo một chết nạp bằng cách sử dụng randomPick và bất kỳ lựa chọn các con

số từ 1 đến 6 Cho một người bạn cùng lớp đoán như thế nào chết được nạp bằng cách quan sát chỉ có 10 trường hợp tại một thời điểm

Bây giờ lặp lại bước 10, nhưng cho phép bạn cùng lớp của bạn để sử dụng 1.000 trường hợp tại một thời điểm

Câu hỏi

1 Làm thế nào để tăng số lượng các trường hợp ảnh hưởng đến hình dạng của biểu đồ?

2 Làm thế nào để tăng số lượng các trường hợp ảnh hưởng đến phạm vi của dữ liệu?

3 Những gì chiến lược bạn đã sử dụng để đánh giá xem một chết đã được nạp? Giả sử bạn nghi ngờ rằng một chết được tải Làm thế nào bạn có thể thấy rằng nó là?

4 Luật số lớn nói rằng nếu một thí nghiệm được lặp đi lặp lại nhiều lần, xác suất thử nghiệm

sẽ nhận được gần hơn và gần gũi hơn với xác suất lý thuyết Làm thế nào để Luật số lớn áp dụng cho các hoạt động này?

III Bài 12.3: BIẾN CỐ XUNG KHẮC VÀ BIỂU ĐỒ VENN

Hai kết quả hay biến cố không đồng thời xảy ra được gọi là

hai biến cố xung khắc Bạn đã làm việc với lý thuyết xác suất và

các biến cố xung khắc khi bạn cộng các xác suất khác nhau

Ví dụ,Sơ đồ cây này thể hiện các khả năng của sự thành công trong buổi thử giọng của Abby, Bonita, và Chih-Lin Một đường từ trái sang phải đại diện cho kết quả rằng Abby và Chih-Lin sẽ thành công nhưng không phải là Bonita (kết quả AC) Kết quả khác là sự thành công của cả ba (kết quả ABC) Hai kết quả

có thể không được xảy ra cùng một lúc, vì vậy nó được gọi là biến cố xung khắc

Giả sử rằng mỗi học sinh có một xác suất thành công là 0.5 Sau đó xác suất của bất kỳ con đường duy nhất trong sơ đồ cây

là (0,5) (0,5) (0,5) = 0,125 Vì vậy, xác suất để cả AC hoặc ABC xảy ra là tổng của các xác suất trên hai con đường, 0.125 + 0.125, hoặc 0,25

Sơ đồ cây cho phép phá vỡ chuỗi các sự kiện phụ thuộc vào trình tự của các sự kiện độc lập, có một công cụ để chuyển biến

cố không xung khắc vào trong biến xung khắc Công cụ này là

sơ đồ Venn,bao gồm các vòng tròn chồng chéo lên nhau

Ví dụ A: Melissa đã ghi lại xác suất của các sự

kiện liên quan đến

i Dây đàn guitar của cô ấy bị đứt trong suốt thời gian diễn tập (sự kiện B)

ii Một bài kiểm tra nhanh trong toán học (sự kiện Q)

iii Đội của cô bị thua trong lớp thể dục (sự kiện L)

Mặc dù ba sự kiện trên không xung khắc,nhưng chúng có thể được chia thành tám sự kiện xung khắc Những sự kiện và xác suất của nó được thể hiện trong sơ đồ Venn

a Ý nghĩa của vùng có kí hiệu 0,01?

b Ý nghĩa của vùng có kí hiệu 0,03?

c Xác suất để hôm nay có một bài kiểm tra nhanh, P (Q) là gì

d Tìm xác suất của một ngày khá tốt, P (không B và không Q và không L) Điều này có nghĩa không bị đứt dây đàn và không có bài kiểm tra và không

bị thua thiệt

Giải Ý nghĩa của từng khu vực được xác định bởi các vòng tròn có chứa nó

a Vùng có kí hiệu 0,01 đại diện cho xác suất của một ngày thực sự tồi tệ.Nó

là giao của cả ba vòng tròn dây đàn của Melissa bị đứt, cô nhận được một bài kiểm tra nhanh, và đội của cô bị thua

b.Vùng có kí hiệu 0,03 đại diện cho xác suất khi dây đàn Melissa bị đứt và đội của cô sẽ bị thua, nhưng sẽ không có bài kiểm tra nhanh trong môn toán học

c Bạn có thể tìm thấy xác suất của một bài kiểm tra bằng cộng 4 xác suất trong vòng tròn bài kiểm tra nhanh: 0,02 + 0,09 + 0,01 + 0,04 = 0,16

d Xác suất của một ngày khá tốt, P (không B và không Q và không L) là vùng được vẽ bởi các khu vực bên ngoài vòng tròn, và là 0,57

Nói chung, xác suất mà một trong một tập hợp các biến cố độc lập của cả hai bên sẽ

xuất hiện là tổng của các xác suất của các sự kiện cá nhân

Nói chung, xác suất mà một trong một tập hợp các biến cố độc lập của cả hai bên sẽ

xuất hiện là tổng của các xác suất của các sự kiện cá nhân

Nhưng nếu bạn không biết tất cả các xác suất mà Melissa biết? Trong điều tra dưới đây, bạn

sẽ khám phá một cách để tìm ra xác suất của các biến cố xung khắc khi bạn biết xác suất của các biến không xung khắc

Tạo một công thức tính P (T hoặc S) bao gồm các biểu thức P (T),P (S),

và P (T và S)

QUY TẮC CỘNG

Bước 7

A="tổng là 7 chấm"

B = "mỗi con có số chấm lớn hơn 2"

Tìm xác suất trong phần a-e bằng cách đếm chấm:

Nhưng có một mối liên hệ giữa các biến cố độc lập và biến cố xung khắc.Trong tính toán xác suất của các biến cố không xung khắc, bạn sử dụng xác suất mà cả hai đều sẽ xảy ra Trong trường hợp các biến cố độc lập,thì bạn không thể biết xác suất này

Ví dụ B

Giải

Xác suất mà một con xúc xắc được mặt 3 hoặc 6 là Xác suất mà một xúc xắc được mặt 3 hoặc 6 trong lần gieo đầu tiên hoặc lần hai là bao nhiêu?

Gọi F biểu diễn cho mặt 3 hay 6 trong lần gieo đầu tiên,không kể những

gì xảy ra lần gieo thứ hai.Gọi S biểu diễn cho mặt 3 hay 6 trong lần gieo thứ hai,không kể những gì xảy ra trong lần gieo đầu tiên Chú ý rằng cả

F và S bao gồm các khả năng nhận được mặt 3 hay 6 trong cả hai lần

gieo,điều đó được biểu diễn bởi hai vòng tròn chồng chéo trong biểu đồ Venn.Ta

"không phải là một 1 và không phải là 3 trong lần gieo đầu tiên",kết quả được đại diện bởi các khu vực bên ngoài vòng tròn F Vì P (F) là ,nên xác suất của biến cố đối P (không F), là 1 - , hoặc

Ví dụ C

Giải

Tất cả học sinh trong các chương trình âm nhạc đang ở sau sân khấu,và không có học sinh khác đang có mặt.Dùng O để đại diện cho trường hợp một học sinh trong dàn nhạc, C đại diện cho trường hợp một học sinh trong dàn hợp xướng, và B để đại diện cho trường hợp một học sinh trong ban nhạc Một phóng viên tiếp cận một học sinh một cách ngẫu nhiên ở hậu trường biết các xác suất:

i P (B hoặc C) = 0,8

ii P (không O) = 0,6 iii P (C và không O và không B) = 0,1

iv O và C là biến cố độc lập v.O và C là biến cố xung khắc

a .Giải thích ý nghĩa của những phát biểu trên theo tỷ lệ phần trăm

Tạo ra một biểu đồ Venn của xác suất mô tả tình trạng này

i.P (B hoặc C) = 0,8 có nghĩa là 80% số học sinh trong ban nhạc hoặc trong dàn hợp xướng

ii.P (không O) = 0,6 có nghĩa là 60% số học sinh không phải là trong dàn nhạc

iii.P (C và không O và không B) = 0,1 có nghĩa là 10% số học sinh chỉ

dàn nhạc không nhiều hơn hoặc ít hơn tỷ lệ số học sinh trong dàn hợp xướng, và ngược lại

v."O và B là xung khắc" có nghĩa là không có học sinh trong cả dàn nhạc

Vì O và B là xung khắc,nên T = 0 và V = 0

P (C và không O và không B) = 0,1 có nghĩa là Y = 0,1

P (B, C) = 0,8 có nghĩa là U + W + X + Y = 0,8

P (không O) = 0,6 có nghĩa là U + X + Y = 0,6

Hiệu số của hai phát biểu:

= 0,5

X = 0,2 Cuối cùng quay về U + X + Y = 0,6, thay các giá trị của X và Y để có được U = 0,3

Viết các xác suất vào sơ đồ Venn của bạn

Bài tập 1-4 tham khảo các sơ đồ ở bên phải Cho S biểu diễn cho biến cố là một sinh viên năm thứ hai,và A biểu diễn cho biến cố là một sinh viên học đại số cao cấp

1 Mô tả các biến cố đại diện bởi một trong bốn vùng

2 Tìm xác suất của mỗi biến cố

a P (S)

b P (A và không S)

c P (S | A)

d P (S hoặc A)

3 Giả sử sơ đồ đề cập đến một trường học

với 500 sinh viên Thay đổi mỗi xác suất vào

một tần số (số lượng sinh viên)

4.S và A có phải là hai biến cố độc lập không?Giải thích

5.Biến cố A và B được hình trong sơ đồ Venn ở bên

phải

a.A,B có phải là biến cố xung khắc không? Giải thích

b.A,B có phải là hai biến cố độc lập không? Giả sử

P(A) 0 và P(B) 0 Giải thích

6 Trong số 420 sinh viên tại Trường Middletown, 126 nghiên cứu tiếng Pháp và

275 nghiên cứu âm nhạc.20% sinh viên theo học cả âm nhạc và tiếng Pháp

a Tạo ra một biểu đồ Venn

b Bao nhiêu phần trăm sinh viên không học cả tiếng Pháp và âm nhạc?

c Bao nhiêu học sinh không học tiếng Pháp hoặc âm nhạc?

7 Hai biến cố A và B, có xác suất P (A) = 0,2, P (B) = 0,4, P (A | B) = 0,2

a Tạo ra một biểu đồ Venn

b Tìm giá trị của mỗi xác suất sau:

i P (A và B)

ii P (không B)

iii P (không (A hoặc B))

8 Nếu P (A) = 0,4 và P (B) = 0,5,thì xác suất P (A và B) bằng bao nhiêu?xác suất

P (A hoặc B) bằng bao nhiêu? Sử dụng biểu đồ Venn để giúp giải thích điều trên

9 Cho sơ đồ như bài tập 1-4 nhưng lại đề cập đến một trường học với 800 học

sinh Vẽ một sơ đồ mới cho thấy xác suất nếu 20 sinh viên năm hai chuyển từ hình

học đến đại số cao cấp

10 Bên phải là hai bánh xe màu Hình A thể hiện sự pha trộn của ánh sáng, và hình

a Ánh sáng màu đỏ và màu xanh lá cây được trộn với nhau?

b Ánh sáng màu xanh và màu xanh lá cây được trộn với nhau?

c Ánh sáng màu đỏ, xanh lá cây, và màu xanh được trộn với nhau?

Sử dụng hình B,màu nào được tạo ra khi:

d Màu đỏ tươi và màu lục lam được trộn với nhau?

e Màu vàng và màu lục lam được trộn với nhau?

f Màu đỏ tươi, màu lục lam, và màu vàng được trộn với nhau?

{Ba màu cơ bản của ánh sáng có màu đỏ, xanh lá cây, và

màu xanh,mỗi màu có một bước sóng riêng.Khi các sóng

đó đến mắt của chúng ta, chúng ta nhìn thấy màu sắc kết

hợp với sóng phản xạ Những màu sắc này cũng được sử

dụng để chiếu hình ảnh trên màn hình TV , màn hình

máy tính và màn trình diễn ánh sáng trên sân khấu

Trong sự pha trộn của màu sắc liên quan đến sơn, mực

in, thuốc nhuộm, các màu cơ bản là màu lục lam (màu

xanh lam), đỏ tươi (tím đỏ), và màu vàng Pha trộn các

sắc tố khác không thể lặp lại ba màu sắc cơ bản Sắc tố

màu sắc pha trộn rất quan trọng trong ngành công nghiệp

dệt may cũng như trong nghệ thuật, thiết kế và in ấn.}

11 Kendra cần giúp đỡ về bài tập toán của mình và quyết định gọi một trong

những người bạn của cô,là:Amber, Bob, hoặc Carol Kendra biết rằng thời gian điện thoại cho Amber là 30%,

thời gian điện thoại cho Bob 20%, và thời gian điện thoại cho Carol 25% thời gian

a Nếu thời gian điện thoại cho ba người bạn là độc lập,hãy lập biểu đồ Venn

b Xác suất gặp được mà cả ba người bạn trên điện thoại khi cô gọi là gì?

c Xác suất mà không ai trong số bạn của cô sẽ bắt máy trên điện thoại khi cô gọi là gì?

12 Các cử tri đã đăng ký đại diện trong bảng đã được phỏng vấn và đánh giá Giả

sử rằng mẫu này là đại diện của công chúng bỏ phiếu trong một thị trấn đặc biệt Tìm mỗi xác suất

a P (một cử tri được lựa chọn ngẫu nhiên trên 45 năm

tuổi và tự do)

b P (một cử tri được chọn ngẫu nhiên là bảo thủ)

c P (một cử tri được chọn ngẫu nhiên là bảo thủ nếu

dưới 30 năm tuổi)

d P (một cử tri được chọn ngẫu nhiên là dưới 30 năm

tuổi nếu bảo thủ)

13 Các điểm kiểm tra gần đây nhất trong một lớp hóa học là {74, 71, 87, 89, 73,

82, 55, 78, 80, 83, 72}.Điểm trung bình bằng bao nhiêu?

người gặp nhau?

Tự

do

Bảo thủ

IV Bài 12.4: CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ GIÁ TRỊ KỲ VỌNG

Hãy tưởng tượng rằng bạn đang ngồi gần thác của một con suối Cá hồi đang cố gắng bơi ngược dòng

Chúng phải nhảy ra khỏi nước để vượt qua thác

Trong khi ngồi trên bờ, bạn quan sát 100 cá hồi đang nhảy và trong số đó,có 35 thành công Không có các thông tin khác, bạn có thể ước tính rằng xác suất thành công là 35% cho mỗi bước nhảy

Xác suất mà một cá hồi sẽ nhảy lần thứ hai là gì? Lưu ý rằng tình trạng này đòi hỏi hai điều kiện được đáp ứng: là cá hồi không thành công trên lần nhảy đầu tiên, và rằng nó thành công trên lần nhảy thứ hai Trong sơ

đồ, bạn thấy rằng xác suất này là (0,65)(0,35)= 0,2275, tương đương khoảng 23% Để xác định xác suất mà cá hồi thực hiện lần nhảy đầu tiên hoặc thứ hai, bạn tổng hợp các xác suất cá hồi nhảy lần đầu tiên và nhảy lần thứ hai Xác suất là 0,35 + 0,2275 = 0,5775, tương đương khoảng 58%

Xác suất thành công như thế này thường được sử dụng để dự đoán số lượng các thử nghiệm độc lập yêu cầu trước khi thành công đầu tiên (hoặc thất bại) là đạt được Tình hình cá hồi đã cho xác suất thực nghiệm Trong việc điều tra, bạn sẽ khám phá lý thuyết xác xuất kết hợp với xúc xắc

Mỗi người sẽ cần một xúc xắc [Xem tính Lưu ý 1L để mô phỏng xúc xắc nếu bạn không có] Hãy tưởng tượng rằng bạn đang về để chơi một trò chơi mà trong

đó bạn phải gieo xúc xắc lần lượt

Căn cứ vào thí nghiệm này, bao nhiêu lần gieo có kết quả như bạn đã dự đoán?

Để tính toán kết quả về mặt lý thuyết , hãy tưởng tượng một chuỗi lần gieo

"hoàn hảo " , với kết quả 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 , 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 , và như vậy Trên trung bình , bao nhiêu lần gieora được kết quả là 4?

Một cách tiếp cận lý thuyết sử dụng thực tế là xác suất thành công là 1/ 6 Tính toán xác suất của lần đầu tiên được 4 trong danh sách đầu tiên,lần đầu tiên được

4 trong danh sách thứ hai , lần đầu tiên được 4 trong danh sách thứ ba , và lần đầu tiên 4 trong danh sách thứ tư ( Một sơ đồ cây có thể giúp bạn làm các tính toán )

Tìm một công thức cho xác suất của lần đầu tiên được 4 trong danh sách thứ n Tạo một bảng tính với các số từ 1 đến 100 [ Xem tính Lưu ý 12B] cho một cách nhanh chóng để nhập dữ liệu vào danh sách ] Sử dụng công thức của bạn

từ bước 5 để tạo một danh sách thứ hai của xác suất của các lần đầu tiên được 4 trong danh sách đầu tiên,khi gieo thứ hai , thứ ba trong danh sách , và như vậy, đến khi gieo 100 lần Tạo ra một danh sách thứ ba đó là sản phẩm của hai danh sách này Tính tổng của danh sách thứ ba này [ Xem tính Lưu ý 2B ]

Làm thế nào để biết được kết quả mà bạn tìm thấy trong Bước 6 để ước tính của bạn trong bước 2 và 3?p

Giá trị trung bình mà bạn tìm thấy trong các bước 2 , 3 , 6 và được gọi là giá trị

kỳ vọng Nó còn được gọi là giá trị lâu dài , hoặc giá trị trung bình Nhưng đó là giá trị kỳ vọng của những gì? Một số lượng số có giá trị phụ thuộc vào kết quả của một thử nghiệm cơ hội được gọi là một biến ngẫu nhiên Trong các cuộc điều tra ngẫu nhiên variabl điện tử đã làm cho số lượng các cuộn trước khi nhận được một 4 trên một chết Bạn tìm thấy giá trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiên đó

trong số các phép thử độc lập trước khi một cái gì đó xảy ra ( thành công hay thất bại) Bạn sẽ khám phá ra lý do tại sao các biến này có thể được gọi là hình học trong việc thực hiện thiết lập cho bài học này Ví dụ sau đây cho thấy các biến rời rạc ngẫu nhiên mà không phải là hình học

Ví dụ A Khi hai con xúc xắc được gieo cùng một lúc, tổng các kết quả khác nhau

a Các giá trị có thể có của các biến ngẫu nhiên, xác suất và những gì có liên quan đến những giá trị đó là gì?

b Giá trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiên này là gì?

Giải Biến ngẫu nhiên x có giá trị của nó như tất cả các kết quả có thể của hai con xúc

Nếu bạn phân phối các mẫu trên các điều khoản trong tử số, và nhóm như kết quả, bạn sẽ có được một biểu thức tương đương có sử dụng xác suất:

Lưu ý rằng mỗi hạn trong biểu thức này là tương đương với các sản phẩm của một giá trị của x và xác suất tương ứng, P (x), trong bảng trên trang 688

Ngay cả khi một biến ngẫu nhiên là rời rạc, giá trị kỳ vọng của nó có thể không phải là một số nguyên

Ví dụ B Khi Nate đi thăm ông nội, ông nội của ông luôn mang đến cho anh ta

một lời khuyên và một hóa đơn từ ví của mình Ông nhắm mắt lại và lấy ra một hóa đơn và đưa cho Nate Trong chuyến viếng thăm này, ông sẽ gửi Nate để có được chiếc ví của mình Nate liếc bên trong và thấy 8 hóa đơn: 2

tờ một đô la, 3 hóa đơn năm đô la, 2 hóa đơn mười đô la, và 1 hóa đơn hai mươi đô la Là những gì giá trị kỳ vọng của dự luật Nate sẽ nhận được?

giải Biến ngẫu nhiên x có trên 4 giá trị có thể, và từng có một xác

suất được biết đến

Giá trị kì vọng sẽ là $ 7,125

Cách tiếp cận khác, sử dụng phân chia, cho cùng một kết quả:

Nate không thực sự mong đợi ông nội cho lôi ra tờ $ 7,125