đọc và tìm hiểu sách precalculus qua trương trình hàm lượng giác

đọc và tìm hiểu sách precalculus qua trương trình hàm lượng giác

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN - - Đề tài: Họ tên:Lê Thị Diệu Hoàng Lớp:Toán 3B Huế,tháng 11 năm 2013    TỔNG QUAN VỀ TOÁN HỌC: Khi hai xe tốc độ đường cao tốc, âm kết hợp động dường thay đổi theo nhịp Điều tương tự xảy hai động máy bay với tốc độ Hiện tượng gọi nhịp đập Sử dụng khái niệm nhịp đập, âm rung tạo đàn piano cách điều chỉnh hai phím đàn có tần số.Trong chương này, bạn tìm hiểu kết hợp hai sóng, bạn phân tích tượng điều hòa Trong chương bạn học định lý Pythagore,thương nghịch đảo hàm lượng giác.Một số có liên quan đến hàm số đối số.Trong chương này, bạn học đặc tính khác xuất hàm lượng giác.Các đặc tính cho phép bạn phân tích hàm lượng giác phức tạp tổng hay tích sóng Bạn tìm hiểu điều ba cách: Đồ thị :Hàm lượng giác có biên độ thay đổi Đại số :Bạn biểu diễn cho đồ thị bên tích tổng hai sóng sau: y = sin 21x + sin 19x Hình y = sin x · cos 20x Bằng lời nói:Tôi học hai hàm lượng giác có biên độ khác đồ thị tích hai sóng.Ngoài viết tổng hai sóng Đối với tích hai sóng có chu kỳ khác nhau.Còn tổng lại có chu kỳ Tôi sử dụng tích tổng để chuyển đổi biểu thức khác ứng dụng giải nhiều vấn đề thực tế khác,nhưng cần phải nghiên cứu nhiều để hiểu đầy đủ 5.1 GIỚI THIỆU VỀ CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC Bạn biết âm nhạc , giống âm khác,được truyền qua sóng.Một nốt nhạc " tinh khiết " đại diện đồ thị sin hay cosin Tần số nốt nhạc đại diện chu kỳ đồ thị, độ to nốt nhạc đại diện biên độ đồ thị Hình đại diện cho hai nốt nhạc tần số chơi lúc,có phương trình y = cos θ y = sin Hình Đồ thị hình sin đại diện cho sóng âm thành lập cách thêm hai âm này, y=3cos θ + 4sin θ Trong phần này, bạn khám phá đồ thị sóng kết hợp cho thấy hình sin Mục Tiêu:Điều tra đồ thị hình thành tổng sin cosin Vẽ đồ thị y1 = cosθ, y2 = sinθ, y3 = y1 + y2 hình Đồ thị bạn giống với đồ thị hình 5-1a chưa? Đồ thị y3 mục hình sin Ước tính chu kỳ,biên độ giai đoạn chuyển dịch (cho y = cos x) Tìm số lượng biên độ chu kỳ cách sử dụng đồ thị bạn để tìm thấy điểm cao Làm để xác nhận kết ước tính bạn mục xác? Vẽ hình sin y4 = A cos (θ- D), A D biên độ chu kỳ,bạn tìm giá trị mục Sử dụng kí hiệu hay màu sắc khác cho biểu đồ để bạn phân biệt với đồ thị y3.Đồ thị y4 có phải hình sin? Lập bảng giá trị y3 y4 cho giá trị khác θ Làm để chứng minh y3 hình sin dựa vào giá trị đó? Bạn tìm thấy số A D mục không?Hãy sử dụng yếu tố mục cho phương trình y1 y2 Thay góc khác cho θ D cho biết cos (θ - D) có cos θ – cos D không? Dựa quan sát bạn mục 7, tính phân phối phép nhân phép trừ áp dụng trường hợp không? Ghi chép lại bạn học vấn đề thiết lập 5.2 CÔNG THỨC TỔNG HỢP Trong 5-1 bạn nhìn thấy đồ thị đại diện cho sóng âm tạo hai nhạc cụ khác chơi lúc.Phương trình y = cosθ + sinθ Hình cho thấy sóng âm cá nhân có biên độ ,thì biên độ sóng âm kết hợp biên độ 3, , 7.Trong phần này, bạn tìm hiểu cách thức đại số để tìm biên độ pha di chuyển kết hợp cosin sin,có nghĩa là, phương trình dạng y = acosθ + bsinθ Bạn làm điều với giúp đỡ công thức tổng hợp, bạn đưa cos ( A - B) cosin sin A B Hình Mục Tiêu:Rút công thức tổng hợp đưa cos ( A - B) cosin sin A B sử dụng để tìm phương trình kết hợp cho hai sóng Công thức kết hợp: Hình Đồ thị y = cosθ +4 sin θ thể hình hình sin.Bạn viết phương trình hình thức y = A cos ( θ - D ),trong A biên độ D chu kỳ chuyển dịch cho y = cos x Nếu vẽ đồ thị bạn thấy rằng: A=5 D = 53.1301 ° Trên thực tế , D góc vị trí tiêu chuẩn với u = (hệ số cos) v = (hệ số sin), hình Một bạn có công thức tổng hợp đề cập mục tiêu , bạn chứng minh biên độ A chiều dài cạnh huyền tam giác vuông góc D Bạn tìm thấy A cách sử dụng định lý Pythagore D cách áp dụng khái niệm arctangent A =√ =5 D= (Chọn n = nên D góc phần tư thứ I) Vì vậy, y = cos (θ - 53.1301 °) tương đương với y = cosθ + sinθ Ví dụ 1: Khai triển y = -8 cosθ + sinθ thành hàm chứa cosin Giải: Phác họa góc D vị trí chuẩn với u = -8 v = (các hệ số cosin sin), hình A =√( ) √ (Tìm A theo định lý Pythagore.) D= (Tìm D cách sử dụng định nghĩa arctangent chọn n = 1) y=√ ( ) Hình Công thức: kết hợp cosin sin với chu kỳ ( với A =√ ) D = Góc phần tư cho D = phụ thuộc vào dấu b c xác định cách phác thảo D vị trí chuẩn.A cạnh huyền tam giác vuông Công thức tổng hợp cho cosin (A - B): Tại 5-1 bạn thấy hàm cosin không phân phối cộng trừ.Xét ví dụ, cos (58 ° - 20 °) = cos 38 ° = 0,7880 cos 58 ° - cos20 ° = 0,5299 - 0,9396 = -0,4097 cos (58 ° - 20 °) cos 58 ° - 20 ° cos Tuy nhiên, bạn đưa cos (58 ° - 20 °) sin cosin 58 ° 20 Kết cos (58 ° - 20 °)= cos 58 ° cos 20 ° + sin 58 ° sin 20 ° Tiếp theo, bạn thấy công thức khái quát cho góc A B Hình 6,cho góc A B vị trí chuẩn cho thấy khác biệt góc A B với góc (A - B) Tọa độ hai điểm xuất phát từ hai tia tạo nên góc (A - B) cắt vòng tròn đơn vị (cos A, sin A) (B cos, sin B).Khoảng cách hai điểm chiều dài d Hình Chiều dài d viết cách sử dụng công thức tính khoảng cách (định lý Pythagore) d2 =( ) ( u1, v1 ) (u2 , v2):d =( ) (Công thức khoảng cách hai điểm ( ( ) ) ) Suy ra: d2 = Bây xem hình7, góc ( A - B) vị trí tiêu chuẩn Tọa độ hai điểm tạo hai tia góc(A-B) với đường tròn đơn vị là: ( cos (A-B) ,sin (A-B) ) ( , ) Hình Theo công thức khoảng cách,ta có: ( = ( ) ( ) ( ) ( ( ( ) ) ) ( ) Cân hai biểu thức d2 để có được: - cos ( A - B) = - cos A cos B - sin A sinB -2 cos ( A - B) = -2 cos A cos B – 2sin A sin B ) cos ( A - B) = cosA cosB + sin A sinB Đây công thức minh họa ví dụ số với A = 58 ° B = 20 ° Bạn nhớ công thức dễ dàng cách thể lời nói: "Cosin góc trừ góc thứ hai cos (góc đầu tiên) nhân cosin (góc thứ hai) cộng với sin (góc đầu tiên) nhân sin (góc thứ hai)" Công thức tổng hợp cho cosin (A - B):cos (A - B) = cos A cos B + sinA sin B Ví dụ 2: Khai triển cos (θ-23 °) thành biểu thức chứa cos θ sinθ Giải: cos (θ-23 °) = (cos θ cos 23 ° + sinθ sin 23 °).(Áp dụng công thức tổng hợp) = cosθ cos 23 ° + sin θsin 23 ° = (7 cos 23 °) cosθ + (7 sin 23 °) sinθ cos (θ - 23 °) = 6,4435 cosθ + 2,7351 sinθ Giải phương trình phương pháp đại số: Bạn sử dụng công thức tổng hợp để giải số phương trình lượng giác đại số Ví dụ 3:Giải phương trình: -2 cos x + sin x = với x cách giải đồ thị [ -2 , ].Chứng minh Giải: Chuyển vế trái, -2 cos x + sin x,về dạng A cos ( x - D ) Vẽ góc D vị trí chuẩn (hình 8) Hình √( ) √ ( Sử dụng định lý Pythagore để tính A) (Chọn n = sử dụng cho giá trị arctangent thích hợp) Ta có: -2 cos x + sin x = √ cos ( x – 2.1587 ) = ( Viết lại phương trình sử dụng A cos ( x - D ) ) cos ( x – 2.1587 ) = √ ( x – 2.1587 )= √ (Viết lại phương trình đánh giá arccosin) x= x = 3.141 + n 1.1760 + n ( Đánh giá 2,1587 + 0,9827 2.1587 – 0.9827 ) S = { -5.1071 , -3.1415 , 1.1760 , 3.1415 }( Chọn giá trị n để thỏa điều kiện x) Hình cho thấy đồ thị y = -2 cos x + sin x đường y = Lưu ý đồ thị hình sin.Bằng cách sử dụng tính giao nhau, bạn thấy bốn nghiệm xác chúng nghiệm miền [ -2 , ].Đồ thị cho thấy dịch chuyển chu kỳ 2.1587 biên độ √ 3.6 Hình Đặt vấn đề 5.2: Q1 Nêu định lý Pythagore secant tan,với secant = Q Nêu rõ tính chất cosec,với cosec = Q3 Đưa cotan sin cosin Q4 cos2 x = - sin2 x có phải tính chất không ? Q5 cot x.tan x = có phải tính chất không? Q6 cos x sin x = có phải tính chất không? Q7 Tìm giá trị xác (không có chữ số thập phân ) cos Q8 Tìm giá trị xác (không có chữ số thập phân ) tan 30 ° Q9 Tìm ba góc độ tích cực θ = arccos 0.5 Q10 Yếu tố : x2 - 5x - Đối với vấn đề 1-12 , viết kết hợp tuyến tính cosin sin thành cosin với chu kỳ y = 12 cos θ sinθ y = cos θ sinθ y = -7 cos θ 24 sinθ y = -15 cosθ+ sinθ y = -8 cosθ - 11 sinθ y = -7 cos θ-10 sinθ y = cosθ - sinθ y = cos θ - sinθ y =√ cos θ sinθ 10.y = (√ √ ) cosθ +( √ √ ) sinθ 11 y = -3 cos x sin x ( chế độ radian ) 12 y = -5 cos x - 12 sin x ( chế độ radian ) 13 Xác nhận đồ họa cho câu trả lời vấn đề xác 14 Xác nhận đồ họa cho câu trả lời vấn đề 15 Thể chức thông tư y = cos 3x + sin 3x cosin với chuyển giai đoạn Tác động "3 " có công việc bạn ? 16 Hình - 2h cho thấy đồ thị cos đồ thị hình sin Tìm phương trình cho hai xoang Sau tìm phương trình với tổng số tiền hai xoang cosin với chuyển giai đoạn Xác minh câu trả lời bạn cách vẽ chúng Grapher bạn 17 Chứng minh counterexample cosin không phân phối trừ Đó là,cho ví dụ số thấy rằng: cos ( A - B) # cos A - cos B 18 Làm cho bảng giá trị để hiển thị số lượng mà:cos ( A - B) = cos A cos B sinAsin B Đối với vấn đề 19-22 , thể phương trình kết hợp tuyến tính cosin sin 19 y = 10 cos ( θ - 30 ° ) Xác nhận đồ họa mà câu trả lời bạn 20 y = 20 cos ( θ- 60 ° ) Xác nhận đồ họa mà câu trả lời bạn 21 y = cos ( 3θ - 150 ° ) 22 y = cos ( 2θ- 120 ° ) Đối với vấn đề 23-26, giải phương trình đại số Sử dụng tên miền x [0, 2] hay [0 °, 360 °] 23 cosθ + sinθ = 24 cos x + sin x = 25 -8 Cos x - sin x = 26 cosθ - sinθ = 27 Sử dụng tài sản lập luận tổng hợp thấy phương trình sắc: 10 Hình 28 cho thấy đồ thị hai sóng với chu kỳ khác Hình 29 cho thấy hai sóng với chu kỳ Các tích hai sóng hình 28 hàm có biên độ thay đổi hình 30 Đáng ngạc nhiên, tổng hai sóng gần hình 29 tạo mô hình sóng hình 30! Các giá trị y tăng lên đâu sóng đoạn loại khỏi đoạn Hiện tượng nghe gọi nhịp đập Ví dụ, hai phím đàn piano có giai điệu điều chỉnh tần số khác để tạo hiệu ứng rung Đây chỉnh đàn piano thực Trong phần bạn tìm hiểu tính chất đại số cho phép bạn để chứng minh đồ thị tổng đồ thị tích tương đương Mục tiêu: Chuyển đổi tổng hai sóng thành tích hai sóng, ngược lại Tích sang Tổng: Từ hình 30,ta có: cos 12θ + cos 10θ = cos 11θ · cosθ Hãy giải thích lý sao, viết 12θ ( 11θ+θ ) 10θ (11 –θ ) sử dụng công thức tổng hợp: cos 12θ= cos (11θ +θ ) = cos11θ cosθ – sin 11θ sinθ cos 10θ = cos (11θ – θ) = cos11θ cosθ + sin 11θ sinθ Cộng hai phương trình để có được: cos 12θ+ cos 10θ = cos 11θ cosθ Nếu bạn chuyển dấu cho phương trình,bạn có được: cos 12θ – cos 10θ = –2 sin 11θ sinθ Sử dụng bước tương tự, bạn lấy công thức tổng quát Sử dụng A B thay 11θ θ, bạn nhận tổng hai cosin tích hai sin hay cosin sau: cos (A + B) + cos (A – B) = cos A cos B cos (A + B) – cos (A – B) = –2 sin A sin B Hai tổng tích hai sin có từ việc cộng trừ công thức tổng hợp cho sin sin (A + B) + sin (A – B) = sin A cos B sin (A + B) – sin (A – B) = cos A sin B sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B (Bằng cách cộng hai phương trình) sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B (Bằng cách trừ hai phương trình) 30 Bảng tóm tắt thể bốn công thức – Tích thành tổng: cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B) –2 sin A sin B = cos (A + B) – cos (A – B) sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B) cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B) Ví dụ 1:Chuyển sin13 ° cos 48 ° thành tổng hàm với đối số dương.Điều nghĩa câu trả lời số lượng xác Giải: Nhân sin cho cosin Vì vậy, câu trả lời tổng hai sin Nếu bạn không ghi nhớ công thức tổng tích hai hàm, bạn viết: sin (13° + 48°) = sin 13° cos 48° + cos 13° sin 48° sin (13° – 48°) = sin 13° cos 48° – cos 13° sin 48° sin 61° + sin (–35°) = sin 13° cos 48° (Cộng phương trình) sin 13° cos 48° = sin 61° – sin 35° (Sử dụng thuộc tính đối xứng Ngoài ra, sin hàm lẻ) Kiểm tra: 0,3010 = 0,3010 Tổng thành tích: Ví dụ cho bạn thấy làm để đảo ngược trình chuyển đổi tổng hai sóng thành tích hai sóng Ví dụ :Chuyển đổi cos 7θ - cos 3θ thành tích với đối số dương Giải: Đầu tiên,hãy nghĩ cos7θ cos 3θ cosin hai đối số tổng hợp,sau sử dụng tính toán thích hợp để tìm hiểu hai đối số cho: cos 7θ= cos (A + B) cos 3θ = cos (A – B) { { Bây giờ, thay giá trị A B vào công thức tổng hợp cho cosin cos 7θ= cos (5θ + 2θ ) = cos 5θ cos 2θ – sin 5θ sin 2θ cos 3θ = cos (5θ – 2θ ) = cos 5θ cos 2θ + sin 5θ sin 2θ Vậy: cos 7θ – cos 3θ = –2 sin 5θ sin 2θ Các đối số dấu âm, bạn không cần thay đổi 31 Từ bước Ví dụ 2, bạn thấy A nửa Tổng đối số B nửa Hiệu đối số Vì vậy, công thức thể hiệu hai cosin là:cos x – cos y = –2 sin (x + y) sin (x – y) Bạn viết tổng tích hai sin theo hình thức Kết thể bảng sin x + sin y = sin (x + y) cos (x – y) sin x – sin y = cos (x + y) sin (x – y) cos x + cos y = cos (x + y) cos (x – y) cos x – cos y = –2 sin (x + y) sin (x – y) Ví dụ 3:Hình 31 cho thấy hàm lượng giác với trục sin thay đổi Sử dụng phân tích hàm điều hòa,hãy tìm phương trình cụ thể hàm tổng hai sóng Sau biến đổi tổng thành tích Vẽ đồ thị hai phương trình Xác định hàm hình 31 Hình 31 Giải: Sao chép hình 31, phác thảo trục sin Hình 32 cho thấy kết Hình 32 Bằng công thức 5-4: y = sin 2x + sin 10x Chuyển đổi phương trình thành tích: 32 y = sin (2x + 10x) cos (2x – 10x y = sin 6x cos (–4x) y = sin 6x cos 4x Cả hai phương trình thể qua đồ thị hình 33 Hình 33 Đặt vấn đề 5-5: Q1 Tìm giá trị x y x + y = 20 x - y = 12 Q2 Tìm giá trị x y x + y = A x - y = B Q3 Phác họa đồ thị hàm lượng giác y = cos θ Q4 Phác họa đồ thị hàm y = sin x Q5 1độ =-?- radian Q6 radian=-?- 180 Q7 Giá trị xác (không thập phân) cos ( ) gì? Q8 Giá trị xác (không thập phân) tan 30 ° gì? Q9 cos (3x + 5x) =-?Q10 cot-1 ( ) =-?- độ Vấn đề chuyển đổi: Đối với vấn đề 1-8, biến đổi tích thành tổng hiệu sin hay cosin với đối số dương sin 41° cos 24° 2 cos 73° sin 62° cos 53°cos 49° sin 29° sin 16° cos 3.8 sin 4.1 33 cos cos sin 3x sin 7.2 sin 8x cos 2x Đối với vấn đề 9-16, chuyển đổi tổng hiệu thành tích sin cosin với đối số dương cos 46°+ cos 12° 10 cos 56° – cos 24° 11 sin + si n 12 si n – sin 13 cos 2.4 – cos 4.4 14 sin 1.8 + sin 6.4 15 sin 3x – sin 8x 16 cos 9x + cos 11x Vấn đề đồ thị: Đối với vấn đề 17-20, sử dụng phân tích hàm điều hòa để vẽ đồ thị phương trình cho dạng tích hay tổng hai sóng Sau biến đổi tích thành tổng tổng thành tích Giải pháp phương trình đại số 1: Bạn sử dụng tổng tích đại số để tìm giải pháp xác cho số phương trình Đối với vấn đề 21-24, giải phương trình,đầu tiên chuyển đổi thành tích không sau cho thừa số không Sử dụng miền x[0 °, 360 °] x [0, 2] 21 sin 3x – sin x = 22 sin 3θ+ sinθ = 23 cos 5θ+ cos 3θ = 24 cos 5x – cos x = Nhận dạng vấn đề: Đối với vấn đề 25-30, chứng minh rằng:các phương trình sau đồng 25 cos x – cos 5x = sin 3x sin x cos x 34 26 .= tan 6x 27 cos x + cos 2x + cos 3x = cos 2x(1 + cos x) 28 sin (x + y) sin (x – y) = sin2 x – sin2 y 29 cos (x + y) cos (x – y) = cos2 x – sin2 y 30 sin (x + y) cos (x – y) = 1/2 sin 2x + 1/2 sin 2y Vấn đề Điều chỉnh đàn piano: Lưu ý:Đàn piano có tần số 220 chu kỳ / giây Khi chơi đàn,búa gắn liền với khoá chạm vào phím đàn bắt đầu phát âm Giả sử có hai phím điều chỉnh để 221 chu kỳ / giây phím lại điều chỉnh đến 219 chu kỳ / giây a Âm kết hợp hai phím tổng hai sóng âm viết phương trình cho sóng âm kết hợp đó, trường hợp biến độc lập t,giây.Giả định sóng có biên độ b Chuyển tổng thành tích hai sóng c Giải thích âm kết hợp tương đương với âm với tần số 220 chu kỳ / giây biên độ khác Tần số biên độ thay đổi gì? 32 Vấn đề xe xe tải: Giả sử bạn lái xe 18 bánh xe đầu kéo rơ moóc dọc theo đường cao tốc Một xe lên bên cạnh sau di chuyển phía trước chậm Khi đi, âm kết hợp xe động xe tải to nhẹ nhàng Âm kết hợp tổng tích hai sóng a Các đồng hồ xe nói động xe bạn chạy 3000 vòng phút (vòng / phút), tất tương đương với 50 vòng giây (vòng / giây).Viết phương trình cho cường độ âm tích hai sóng b Chuyển tích thành tổng hai sóng 33 Dự án Radio AM / FM: AM ("biên độ điều chế") đài phát hoạt động cách có âm ba tần số tương đối thấp (thời gian dài) thay đổi biên độ "nhà cung cấp sóng" có tần số cao (VHF) Vì vậy, sóng âm nhân với sóng mang Một ví dụ kết sóng mẫu thể hình 5-5g Trong dự án này, bạn tìm phương trình hai sóng mẫu nhân với biểu đồ Sau đó, bạn xem làm bạn hình 35 thành mô hình sóng tương tự cách thêm hai sóng có tần số (FM tần số điều chế phát thanh) a Tìm phương trình hai sóng b Bạn thêm hai sóng có tần số để hình thành mô hình sóng giống hình 5-5g Sử dụng tổng tích để tìm phương trình cho hai sóng c Xác nhận đồthị tích sóng tổng sóng giống hình 5-5g d Trục t hình 5-5g mili giây Tìm tần số sóng mang kilocycles giây (Con số này, chia cho 10, sóng xuất đài phát AM) e Nghiên cứu để tìm tần số sử dụng sóng radio để "chu kỳ giây." 5-6 CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI VÀ CHIA ĐÔI: Nếu bạn viết cos 2x=cos (x + x) sử dụng công thức tổng hợp, bạn có công thức đưa cos 2x sin cosin x Bằng cách thực phép toán đại số tham số, bạn lấy thuộc tính tương tự cho lập luận chia đôi Trong phần này, bạn học thuộc công thức tích hai sóng hình sin với nửa chu kỳ nửa biên độ Mục Tiêu: • Chứng minh tích hai sóng với chu kỳ có đồ thị hình sin • Rút công thức cho cos 2A,sin 2A tan 2A • Rút công thức cho cos A, sin A, tan A điều kiện A 36 Tích hai sóng chu kỳ: Hình 34 cho thấy đồ thị y = sin x cos x hình sin với nửa chu kỳ nửa biên độ sin cosin.Nó có phương trình y = 0,5 sin 2x Tính toán sau cho thấy điều sin 2x = sin (x + x) = (sin x cos x + cos x sin x) = (2 sin x cos x) = sin x cos x Vậy: sin x cos x = sin 2x Hình 34 Bình phương cosin sin tương tự Hình 35 cho thấy đồ thị Hình 35 Cả hai y=cos2 x y = sin2 x hai sóng với biên độ , chu kỳ , trục sin y = Chú ý hai đồ thị nửa chu kỳ.Đây lý cos2 x + sin2 x =1 Bảng công thức: sin x cos x = sin 2x (Tích sin cosin) cos 2x = + sin2 x = cos 2x (Bình phương cosin) – cos 2x (Bình phương sin) 37 Lưu ý: Bạn quan sát tích hai sóng với chu kỳ nhau, biên độ có đồ thị hình sin với chu kỳ nửa nửa biên độ Công thức nhân đôi: Nhân cho hai vế phương trình: sin x cos x = sin 2x sin x cos x = sin 2x Lập luận cho cosin: cos 2x = cos (x + x) = cos x cos x – sin x sin x = cos2 x – sin2 x Bảng tóm tắt tính chất tham số kép Bạn chứng minh lập luận cho tan 2x Công thức nhân đôi: Đối số sin: sin 2A = sin A cos A Đối số cosin: cos 2A = cos2 A – sin2 A cos 2A = cos2 A – cos 2A = – sin2 A Đối số tan: tan 2A = Ví dụ 1:Nếu cos x = 0,3, tìm giá trị xác cos 2x Kiểm tra câu trả lời bạn cách tìm giá trị x, tăng gấp đôi nó, tìm kiếm cosin kết Giải: cos 2x = cos2 x - = 2(0.3)2 – = –0.82 Kiểm tra: x = cos-1 0.3 = 1.2661 38 cos 2(1.2661 ) = cos 2.5322 = –0.82 (Câu trả lời đúng) Ví dụ 2:Viết phương trình đưa cos 10x sin 5x Giải: cos 10x = cos 2(5x) = – sin2 5x Vậy: cos 10x = 1– sin2 5x Ví dụ 3:Làm Ví dụ cách sử dụng trực tiếp từ công thức tổng hợp cho cosin Giải: cos 10x = cos (5x + 5x) (Chuyển đổi để sử dụng công thức tổng hợp) = cos 5x cos 5x – sin 5x sin 5x (Sử dụng công thức tổng hợp cho cosin) = cos2 5x – sin2 5x = (1 – sin2 5x) – sin5x (Sử dụng công thức Pythagore) = – sin2 5x Công thức chia đôi: Bình phương cosin bình phương sin: cos2 x = + cos 2x sin2 x = – cos 2x Các đối số x bên trái nửa đối số 2x bên phải.Thay A cho 2x dẫn đến: cos2 A = (1 + cos A) and sin2 A = (1 – cos A) Lấy bậc hai ta được: √ ( ) √ ( Ta có bảng tóm tắt sau: √ ( ) 39 ) √ ( ) √ Lưu ý: Dấu “ ” không xác định góc phần tư A kết thúc Ví dụ cho thấy bạn làm sử dụng công thức để tính toán hàm nửa góc hai lần góc làm để kiểm tra kết cách tính toán trực tiếp Ví dụ 4:Nếu cos A = A thuộc khoảng mở (270 °, 360 °) a Tìm giá trị xác cos b Tìm giá trị xác cos 2A c Xác minh câu trả lời bạn số lượng tính toán giá trị 2A A lấy cosin Giải: Phác họa góc A vị trí chuẩn, hình 36 Chọn điểm trục ngang có tọa độ 15 bán kính 17 Vẽ đường thẳng vuông góc với trục ngang Theo định lý Pythagore cách ghi nhận kết góc phần tư thứ IV, bạn xác định điểm theo chiều dọc có tọa độ -8 a 270° < A < 360° (Viết điều kiện thành bất đẳng thức) 135° < A < 180° (Chia cho hai vế để tìm góc phần tư A nửa) Do đó, A góc phần tư thứ II, cosin âm √ ( ) √ (Sử dụng công thức nửa dấu trừ) Hình 36 b cos 2A = cos2 A – = –1= (Sử dụng công thức cos 2A) 40 c.A = = 28.0724 ° + 360n°( Sử dụng định nghĩa arccosine để ghi đáp án cho A) A = –28.0724 ° + 360° = 331.9275 ° (Ghi đáp án cụ thể Xem hình 37) = 165.9637 ° 2A = 663.8550 ° cos 165.9637 ° = –0.9701 = – cos 663.8550 ° = 0.5570 = √ (Câu trả lời xác) Đặt vấn đề 5.6: Q1 Bằng công thức tổng hợp,hãy tính cos (x - y) Q2 Bằng công thức tổng hợp, tính sin x cos y - cos x sin y Q3 tan (x + y) = tan x + tan y Đúng hay sai? Q4 log x + log y = log (-?-) Q5 Phương trình (x + y) = 3x + 3y ví dụ -?- công thức nhân đôi Q6 Tìm biên độ hình sin: y = cosθ+5 sinθ Q7 Tìm chu kỳ thay đổi y = cos x y = cos θ+5sinθ Q8 Tình góc nhọn tam giác vuông với độ dài cạnh góc vuông 13 28 cm Q9 Chu kỳ vủa hàm y = sin 5x gì? Q10 Đồ thị hàm tham số x = cos t y = sin t a(n)-?= Giải thích sao: cos 2x không cos x Xem xét khác biệt đồ thị y1 = cos 2x y2 = cos x Chứng minh ví dụ tan x tan x Đối với vấn đề 3-6, minh họa ví dụ rằng: công thức nhân đôi với giá trị sin 2x = sin x cos x 41 cos 2x = cos2 x – sin2 x cos 2x = + cos2 x tan 2x = Đối với vấn đề 7-10, minh họa ví dụ số lập luận nửa tài sản cách làm bảng giá trị sin A với A [0 , 180 ] cos A với A [0 , 180 ] cos A với A [360 , 540 ] 10 sin A với A [180 , 360 ] 5-7 ĐÁNH GIÁ VÀ KIỂM TRA Trong chương này, bạn nghiên cứu tính chất hàm lượng giác mà bạn bắt đầu học Chương Đặc biệt, bạn học công thức cos (x - y) = cos x cos y - sin x sin y biết áp dụng cho hàm có nhiều đối số Bạn thấy công thức cho phép bạn phân tích đồ thị bao gồm tổng tích hai sóng Đôi đồ thị bao gồm nhiều hình sin khác, hàm với biên độ khác chu kỳ khác trục sin Cuối cùng, bạn biết áp dụng công thức để lấy hai nửa góc.Đó đặc tính lý luận, ví dụ, sin 2A sin A Để dễ tham khảo sau,sách có bảng công thức liệt kê 10 công thức bạn học Chương Chương Công thức Nghịch đảo: hoặc Công thức Thương: 42 Công thức Pythagore: Hàm chẵn – lẻ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Công thức góc phụ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Công thức tính chu kỳ Biên độ: Ta có phương trình: Thì: √ Công thức tổng hợp: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Công thức Tổng thành Tích: ( ) ( ) ( ) ( ) 43 ( ) ( ) ( ) ( ) Công thức Tích thành Tổng: ( ) ( ) ( ) ( ) Công thức nhân đôi: ( ) ( ( ( ) ) ) Công thức chia đôi: √ ( ) √ ( ) √ 44