Đọc và tìm hiểu sách Discovering Advanced Algebra qua chương xác suất

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN & Đề tài: Giảng viên bộ môn: Nhóm 5: Nguyễn Đăng Minh Phúc Lê Thị Diệu Hoàng Võ Thị Phương Thảo Nguyễn Thị Mộng Cầm Trần Thị Hòa Lớp: Toán 3B Huế, tháng 9 năm 2013 1 LỜI NÓI ĐẦU Nhóm chúng tôi sẽ giới thiệu cho các bạn một cuốn sách Toán bằng Tiếng Anh về chủ đề Đại số: Discovering Advanced Algebra (Khám phá Đại số cao cấp) và tập trung phân tích chương 12 – Xác suất để chúng ta thấy được những cái hay, những tư tưởng mới của các tác giả trong cuốn sách này so với sách giáo khoa ở chương trình phổ thông của chúng ta. Chương Xác suất gồm có 7 bài.Về mặt nội dung,lượng kiến thức mà sách cung cấp cho học sinh có thể nói là tương đồng so với sách giáo khoa ở Việt Nam. Do vậy,chúng tôi sẽ không đi vào phân tích cụ thể từng bài mà chỉ trình bày tổng quát các bài học và đưa ra những nhận xét đối với phương pháp giảng dạy và truyền đạt kiến thức cho học sinh đã được áp dụng trong chương đó. Lý thuyết xác suất là bộ môn toán học nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên.Sự ra đời của lý thuyết xác suất bắt đầu từ những thư từ trao đổi giữa hai nhà toán học vĩ đại người Pháp là Pierre de Fermat(1601-1665) và Blaise Pascal (1623-1662) xung quanh cách giải đáp một số vấn đề rắc rối nảy sinh trong các trò chơi cờ bạc mà một nhà quý tộc Pháp đặt ra cho Pascal.Năm 1812, nhà toán học Pháp Pierre-Simon Laplace(1774) đã dự báo rằng “môn khoa học bắt đầu tự việc xem xét các trò chơi may rủi này sẽ hứa hẹn trở thành một đối tượng quan trọng nhất của tri thức loài người”. Ngày nay lý thuyết xác suất đã trở thành một ngành toán học quan trọng,được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã hôi, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học,…. 2 MỤC LỤC 3 A.GIỚI THIỆU CHUNG I.Tác giả: Quyển sách này được biên soạn bởi 3 tác giả chính: Theo các tác giả, cuộc sống luôn đặt ra những tình huống quan trọng mà các bạn phải học cách để giải quyết nó, các bạn phải học cách đưa ra quyết định giải quyết tình huống trong đời sống thực chứ không chỉ dựa trên sách vở. Giáo viên chỉ là người hướng dẫn, còn lại đòi hỏi tính chủ động sáng tạo của từng học sinh trong quá trình học tập, nghiên cứu của mình. II.Quyển sách: “Discovering Advanced Algebra” Quyển sách này được sử dụng trong giảng dạy về Đại số học. Nó đưa ra cho chúng ta một cách tiếp cận kiến thức rất mới, rất tích cực và khác với cách tiếp cận truyền thống trước khi nó chưa xuất hiện. Điều gì đã làm cho nó trở nên khác biệt? Discovering Advanced Algebra được thiết kế để bạn có thể tham gia một cách tích cực vào quá trình học đại số,trong quyển sách này bạn sẽ được học bằng cách vận dụng.Bạn sẽ học cách sử dụng những kỹ thuật,công thức tính toán và áp dụng chúng vào những cuộc khảo sát trong thực tế . Nhiều cuộc khảo sát sẽ được thực hiện theo những nhóm nhỏ,ở đó bạn sẽ phải xây dựng các kế hoạch và tìm ra lời giải cùng với các thành viên khác trong nhóm.Những khảo sát của bạn sẽ giúp bạn khám phá ra những công thức trong đại số.Ngoài ra, bạn cũng sẽ được học về cách chứng minh,cách suy luận để bạn có thể giải thích tại sao những phát hiện của bạn là đúng. 4 Quyển sách này sẽ giúp học sinh có được những giờ học vui vẻ, hào hứng và hiệu quả.Trong sách sẽ có rất nhiều hình ảnh và các minh họa thú vị để tăng hứng thú học tập cho học sinh. Ngoài phần chính là nội dung kiến thức cần truyền đạt, sách còn có nhiều phần phụ như là các ứng dụng thực tế,các phần mở rộng và các câu đố,qua đó sẽ giúp các bạn trau dồi thêm kĩ năng suy luận và cả sự khéo léo. Discovering Advanced Algebra hướng đến nhiều đối tượng sử dụng:học sinh,giáo viên,phụ huynh.Nếu bạn là học sinh,chúng tôi tin rằng khi bạn trải qua khóa học theo quyển sách này thì bạn sẽ thu được nhiều kiến thức cần thiết trong cuộc sống của bạn; nếu bạn là một phụ huynh,bạn sẽ thích xem con bạn phát triển kiến thức toán học của chúng theo phương thức hiện đại này;còn nếu bạn là giáo viên bạn sẽ thấy rằng quyển sách này làm cho giờ học của bạn tích cực,sôi động và hiệu quả hơn. III.Giới thiệu về chương 12 – XÁC SUẤT Bây giờ chúng ta đi vào nội dung chính là đọc và tìm hiểu về chương 12 của cuốn sách: “Probability” (Xác suất). Chương này gồm 7 bài chính: • 12.1:Randomness and Probability(Sự ngẫu nhiên và Xác suất) Giới thiệu về nguồn gốc ra đời của xác suất, cách thức mà các nhà khoa học thời đó thấy được sự cần thiết phải sáng tạo ra xác suất để đáp ứng các trò chơi ngẫu nhiên và tác giả đã đưa ra các ví dụ để dẫn dắt chúng ta đến với các công thức tính xác xuất cơ bản. • 12.2:Counting Outcomes and Tree Diagrams(Quy tắc đếm và Sơ đồ cây) Trình bày cho chúng ta về cách tính xác suất bằng sơ đồ cây và tiếp theo là cung cấp cho chúng ta một công cụ để tính xác suất nữa là quy tắc nhân các biến độc lập và quy tắc nhân tổng quát cho các biến cố không độc lập.Ngoài ra trong phần này tác giả còn giới thiệu cho chúng ta về luật số lớn. • 12.3:Mutually Exclusive Events and Venn Diagrams(Biến cố xung khắc và Biểu đồ Venn) Đưa ra định nghĩa về biến cố xung khắc và giới thiệu một công thức mới là quy tắc cộng các biến độc lập và quy tắc cộng tổng quát.Ngoài ra trong bài này tác giả còn giới thiệu cho chúng ta cách tính xác suất bằng biểu đồ Venn quen thuộc. 5 • 12.4:Random Variables and Expected Value (Các biến ngẫu nhiên và Giá trị kỳ vọng) Thông qua hoạt động gieo súc sắc tác giả giới thiệu cho bạn đọc về định nghĩa của biến ngẫu nhiên và cách tính giá trị kỳ vọng. • 12.5:Permutations and Probability (Hoán vị và Xác suất) Tác giả đã đã đưa ra những ví dụ về trình tự và cách thức sắp xếp để từ đó tìm ra các công thức hoán vị và quy tắc đếm để tính xác suất. • 12.6:Combinations and Probability (Tổ hợp và Xác suất) Bên cạnh định nghĩa về hoán vị đã được trình bày ở chương trước,trong chương này bạn đọc sẽ được tìm hiểu thêm về tổ hợp và công thức liên quan đến tổ hợp. • 12.7:The Binomial Theorem and Pascal’s Triangle (Định lý Nhị thức và Tam giác Pascal) Giới thiệu cho học sinh một số công cụ tính liên quan đến xác suất đó là tam giác pascal và định lý nhị thức. Cuối chương là phần Ôn tập chương 12 đưa ra các bài tập tổng hợp kiến thức trong toàn bộ chương. 6 B.NỘI DUNG I.CÁCH TIẾP CẬN CHƯƠNG XÁC SUẤT CỦA SÁCH 1.Sự ngẫu nhiên và Xác suất Thông qua điều tra tung đồng xu,bạn sẽ khám phá những khả năng dự đoán kết quả ngẫu nhiên.Bạn sẽ sử dụng một quá trình ngẫu nhiên quen thuộc đó là các lần tung của một đồng xu. Bên cạnh đó chúng ta có thể sử dụng máy đo số lần xuất hiện các chấm một cách ngẫu nhiên của hai con súc sắc sao cho có tổng hai mặt là 6 chấm để tính xác suất. Ngoài ra bạn có thể xác định xác suất lý thuyết của một biến cố, mà không cần tiến hành thử nghiệm.Để tìm xác suất lý thuyết, bạn đếm số lần biến cố mong muốn có thể xảy ra và so sánh con số này với tổng số các kết quả có khả năng xảy ra. Xác suất thử nghiệm: Nếu P(E) đại diện cho xác suất của một biến cố,thì: Xác suất lý thuyết: Nếu P(E) đại diện cho xác suất của một biến cố thì: Phần này cho ta thấy tác giả không chỉ đưa ra công thức tính đơn thuần, mà tác giả lại trình bày các điều tra và ví dụ quen thuộc như tung đồng xu hay gieo súc sắc để dẫn dắt ta đến với công thức.Cách tiếp cận này giúp học sinh hiểu rõ hơn về bản chất của xác suất chứ không phải là áp đặt công thức.Nhưng trong sách giáo khoa 11 lại đưa ra các định nghĩa và ký hiệu cụ thể làm cho công thức dễ nhớ hơn. 2.Quy tắc đếm và Sơ đồ cây Trong phần trên, bạn đã xác định một số lý thuyết xác xuất bằng cách tìm các tỷ lệ về số lượng các kết quả mong muốn và số kết quả có thể xảy ra.Trong một số trường hợp sẽ khó khăn để đếm số lượng các kết quả.Bạn có thể thực hiện điều này dễ dàng hơn bằng cách tổ chức thông tin và sử dụng sơ đồ cây. 7 Ví dụ : Một quảng cáo quốc gia cho biết, mỗi hộp ngũ cốc lúa mạch có chứa một món đồ chơi và đồ chơi được phân bổ đồng đều.Nga muốn thu thập một bộ đầy đủ các đồ chơi khác nhau từ các hộp ngũ cốc.Vậy xác suất để cô sẽ tìm thấy cả hai đồ chơi khác nhau trong hai hộp đầu tiên là bao nhiêu? Giải thích:Trong sơ đồ cây này, nhánh đầu tiên đại diện cho khả năng hộp đầu tiên có đồ chơi và nhánh thứ hai đại diện cho hộp thứ hai.Như vậy, bốn con đường từ trái sang phải đại diện cho tất cả các khả năng lựa hai hộp và hai đồ chơi.Đường 2 và đường 3 chứa cả 2 đồ chơi.Nếu quảng cáo là chính xác về phân phối đồ chơi bằng nhau,do đó các con đường đều có khả năng.Vì vậy, xác suất nhận được cả hai đồ chơi là 0,5 Từ đó ta có quy tắc nhân: Quy tắc phép nhân cho các biến cố độc lập Nếu n 1 ,n 2 ,n 3 và…,là các biến cố cùng một con đường,sau đó xác suất mà các biến cố sẽ xảy ra có thể được tìm thấy bằng cách nhân xác suất của các biến: Có các sự kiện mà không phải là độc lập.Nếu vậy,làm thế nào để bạn tính toán xác suất lý thuyết của nó? Để giải quyết câu hỏi này tác giả đã đưa ra công thức: Quy tắc nhân (một lần nữa) Nếu n 1 ,n 2 ,n 3 và…,, đại diện cho các sự kiện cùng một con đường, sau đó xác suất mà chuỗi sự kiện sẽ xảy ra có thể được tìm thấy bằng cách nhân xác suất của các sự kiện: Đây là điểm khác của sách Discovering Advanced Algebra với sách giáo khoa lớp 11.Trong sách giáo khoa chỉ đưa ra công thức phép nhân cho trường hợp đặc biệt còn đối với sách này tác giả đã mở rộng thêm cho chúng ta quy tắc nhân tổng quát. 8 3.Biến cố xung khắc và biểu đồ Venn Hai kết quả hay biến cố không đồng thời xảy ra được gọi là hai biến cố xung khắc. Bạn đã làm việc với lý thuyết xác suất và các biến cố xung khắc khi bạn cộng các xác suất khác nhau. Sơ đồ cây cho phép biểu diễn chuỗi các biến cố phụ thuộc vào trình tự của các biến cố độc lập,tuy nhiên có một công cụ khác giúp người học có cái nhìn trực quan hơn đó là sơ đồ Venn,bao gồm các vòng tròn chồng chéo lên nhau. Ví dụ: Melissa đã ghi lại xác suất của các sự kiện liên quan đến: i. Dây đàn guitar của cô ấy bị đứt trong suốt thời gian diễn tập (sự kiện B). ii. Một bài kiểm tra nhanh trong toán học (sự kiện Q). iii. Đội của cô bị thua trong lớp thể dục (sự kiện L). Mặc dù ba sự kiện trên không xung khắc,nhưng chúng có thể được chia thành 8 sự kiện xung khắc. Những sự kiện và xác suất của nó được thể hiện trong sơ đồ Venn. Nói chung, xác suất mà một trong một tập hợp các biến cố độc lập của cả hai bên sẽ xuất hiện là tổng của các xác suất của các biến cố: Quy tắc cộng biến cố xung khắc Nếu n 1 ,n 2 ,n 3 , là những biến cố xung khắc,thì xác suất mà các biến cố xung khắc là tổng các xác suất của các biến cố độc lập: Ngoài ra tác giả còn cung cấp cho chúng ta công thức tổng quát của quy tắc cộng cho phép bạn tìm xác suất của một "hay" hai biến cố,ngay cả khi hai biến cố này không xung khắc: Quy tắc cộng tổng quát Nếu n 1, n 2 là đại diện cho biến cố 1 và 2, sau đó xác suất có ít nhất một biến cố sẽ xảy ra có thể được tính bằng cách cộng các xác suất của mỗi biến và trừ xác suất của cả hai sẽ xảy ra: 9 Ví dụ: Xác suất mà một con xúc xắc được mặt 3 hoặc 6 là . Xác suất mà một xúc xắc được mặt 3 hoặc 6 trong lần gieo đầu tiên hoặc lần hai là bao nhiêu? Giải: Gọi F biểu diễn cho mặt 3 hay 6 trong lần gieo đầu tiên,không kể những gì xảy ra lần gieo thứ hai.Gọi S biểu diễn cho mặt 3 hay 6 trong lần gieo thứ hai,không kể những gì xảy ra trong lần gieo đầu tiên. Chú ý rằng cả F và S bao gồm các khả năng nhận được mặt 3 hay 6 trong cả hai lần gieo,điều đó được biểu diễn bởi hai vòng tròn chồng chéo trong biểu đồ Venn.Ta áp dụng quy tắc cộng tổng quát P (F hay S) = P (F) + P (S) - P (F và S) P (F hay S) = P (F) + P (S) - P (F) . P(S) P (F hay S) = P (F hay S) = Xác suất được mặt 3 hay 6 trong danh sách đầu tiên hoặc thứ hai là . Trong sách Discovering Advanced Algebra đã trình bày cho chúng ta cả hai công thức cộng nhưng trong sách giao khoa 11 thì công thức cộng tổng quát chỉ được đưa vào phần đọc thêm. 4.Các biến ngẫu nhiên và giá trị kỳ vọng Ví dụ: Khi hai con súc sắc được gieo cùng một lúc, tổng các kết quả khác nhau. a. Các giá trị có thể có của các biến ngẫu nhiên, xác suất và những gì có liên quan đến những giá trị đó là gì? b. Giá trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiên này là gì? Giải: Biến ngẫu nhiên x có giá trị của nó như tất cả các kết quả có thể của hai con súc sắc. a.Các giá trị của x là các số nguyên sao cho 2 x 12. Bảng này cho thấy mỗi giá trị và khả năng của nó(tính toán bằng cách đếm số lượng các kết quả) 10 [...]... trong cuộc sống, giúp cho giờ học càm thấy nhẹ nhàng và thực tế hơn 17 Đối chiếu với sách giáo khoa của chúng ta thì sách Discovering Advanced Algebra trội hơn về phần này Một bài học của sách giáo khoa Toán 11 thiên về thể hiện nội dung chính của bài hơn, chỉ có một số ít bài có phần đọc thêm Ngược lại sách Discovering Advanced Algebra lại đưa vào nhiều những phần này nhằm giúp học sinh rèn luyện... ngẫu nhiên là rời rạc, giá trị kỳ vọng của nó có thể không phải là một số nguyên Sách Discovering Advanced Algebra đã giới thiệu một chách cụ thể về giá trị kỳ vọng trong khi ở phổ thông phần này chỉ được học trong chương trình nâng cao 5.Hoán vị và xác suất Thông qua trò chơi ghép các đồ chơi vào các mẫu giấy sao cho phù hợp và những ví dụ thực tế,tác giả đã dẫn dắt chúng ta đến với quy tắc đếm như sau:... thời gian ba tuần quan sát: đen, trắng, đen, trắng, đen, trắng, đen, đỏ, trắng, đỏ, trắng, trắng, trắng, đen, đen a Xác suất mà ông sẽ mang vớ đen vào ngày hôm sau là bao nhiêu? b Xác suất mà ông sẽ đi tất trắng vào ngày hôm sau là bao nhiêu? c Xác suất mà ông sẽ mang vớ màu đỏ vào ngày hôm sau là bao nhiêu? D.TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Jerald Murdock,Ellen Kamischke, Eric Kamischke, Discovering Geometry”,... đến thứ tự.Tổ hợp chập r (của n đối tượng là: 15 7.Nhị thức Newton và Tam giác Pascal: Xác suất là một phần của toán học, nó là các số liệu phong phú.Nhiều quá trình ngẫu nhiên, chẳng hạn như tung đồng xu trong đó có hai kết quả xảy ra.Trong bài học này, bạn sẽ tìm hiểu về cách sử dụng định lý nhị thức và tam giác Pascal để tìm xác suất trong những trường hợp đó Hình bên là tam giác Pascal.Nó chứa... tức là bằng các điều tra, các ví dụ được đưa ra và một số hướng dẫn nhỏ, học sinh có thể vận dụng tư duy để tìm ra công thức đó Điều này có tác dụng tích cực đến việc rèn luyện khả năng độc lập tư duy của học sinh, và mỗi khi học sinh tự tìm ra được công thức mới thì học sinh đó sẽ hiểu rõ và ghi nhớ tốt hơn bài học, và còn học thêm được cách tìm tòi để tìm ra được các công thức tương tự như thế, nâng... cả những lý thuyết đã học vào thực tiễn cuộc sống Đây là một hướng dạy học đúng đắn của tác giả đáng để học hỏi Trong sách giáo khoa Toán 11 đã được học ta cũng thấy nhiều ví dụ ứng dụng thực tế được đưa ra, nhưng có vẻ như trong sách Discovering Advanced Algebra, tác giả đưa ra một lượng ví dụ đa dạng và thực tế hơn • Tác giả luôn có xu hướng hướng dẫn, khơi gợi cho học sinh tìm ra cái mới Khi trình... lá cây được trộn với nhau? b Ánh sáng màu xanh và màu xanh lá cây được trộn với nhau? c Ánh sáng màu đỏ, xanh lá cây, và màu xanh được trộn với nhau? Sử dụng hình B,màu nào được tạo ra khi: d Màu đỏ tươi và màu lục lam được trộn với nhau? e Màu vàng và màu lục lam được trộn với nhau? f Màu đỏ tươi, màu lục lam, và màu vàng được trộn với nhau? 3 Nina đã quan sát thấy rằng huấn luyện viên của mình phối... giúp học sinh khỏi bỡ ngỡ và tiếp thu kiến thức mới nhẹ nhàng hơn So với sách Toán 11, ta thấy sách giáo khoa của ta chưa có được phần giới thiệu mở đầu như Discovering Advanced Algebra, nhiều học sinh sẽ cảm thấy hơi bỡ ngỡ khi tiếp cận một khái niệm mới của Toán học mà chưa hiểu vì sao người ta lại đưa ra khái niệm đó • Bài học luôn hướng đến ứng dụng thực tế Xuyên suốt cuốn sách chúng ta thấy rõ tư... duy về toán Phương pháp trình bày này cũng có thể tìm thấy trong sách giáo khoa của chúng ta • Nhiều phần đọc thêm, ngoại khóa vô cùng hữu ích và lý thú Ngoài phần nội dung bài học và bài tập, tác giả còn đưa thêm rất nhiều phần kiến thức đọc thêm, những câu đố vui, những dự án cho học sinh tự làm, những kiến thức nâng cao bổ sung cho bài học Ngoài chương trình được học trên lớp, việc tác giả đưa thêm... công bằng, kết quả H và T đều có khả năng.Nhưng bạn có thể sử dụng khai triển nhị thức để tìm xác suất của kết quả mà không phải là đều có khả năng II.SO SÁNH • Tác giả trình bày nguồn gốc và nêu bản chất của môn học trước khi bắt đầu môn học Việc trình bày nguồn gốc và nêu bản chất của môn học giúp cho học sinh có cái nhìn ban đầu về lĩnh vực mà mình sắp tiếp cận, tạo hứng thú và định hướng cho học