Khám phá Chuỗi số qua sách Discovering Advanced Algebra

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN  BÀI THU HOẠCH Rèn luyện nghiêp vụ sư phạm thường xuyên Đề tài: Khám phá Chuỗi số qua sách Discovering Advanced Algebra Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Đăng Minh Phúc Sinh viên thực hiện: Trần Kha Lớp Toán 3B Huế,11/2012 Lời nói đầu Ngày nay, việc đào tạo Đại học theo hệ thống tín trở thành xu hướng phổ biến có nhiều trường Đại học Việt Nam thực cách đào tạo Điều đặt cho sinh viên phải thay đổi cách học để phù hợp hơn, phải nỗ lực nhiều hơn, tự học nhiều mong đạt kết cao Và yếu tố góp phần vào thành công không nhắc đến việc tìm đọc sách, tìm hiểu nguồn tài liệu để tự trang bị, nâng cao kiến thức cho thân Điều lại quan trọng người học toán Nguồn tài liệu Toán học nước dồi dào, phong phú Nhưng không mà việc tìm đọc nguồn tài liệu nước không quan trọng Qua việc tìm hiểu nguồn tài liệu học kiến thức, trau dồi thêm vốn tiếng nước mà giúp học hỏi phương pháp tiếp cận tri thức mới, cách học, cách dạy… nước tiên tiến Thế giới để vận dụng vào giáo dục nước ta Điều lại quan trọng sinh viên sư phạm giáo viên giảng dạy Vì xu tìm đọc nguồn tài liệu nước phổ biến trường Đại học trường THPT Cho nên việc tìm kiếm đọc sách Toán nước cần thiết cho sinh viên giáo viên để trau dồi thêm kiến thức, kĩ cần thiết Chính mà muốn giới thiệu sách tiếng Anh Discovering Advanced Algebra - ( Khám phá Đại số nâng cao) tác giả Jerald Murdock, Ellen Kamischke, Eric Kamischke mà cho bổ ích cho giáo viên phương pháp dạy giúp cho học sinh, sinh viên học toán có phương pháp tiếp cận khoa học, tạo hứng thú học toán qua phát huy tính tích cực, chủ động rèn luyện tư toán học Sách Discovering Advanced Algebra có 13 chương Bài thu hoạch chọn chương 11 liên quan đến lý thuyết Chuỗi số để giới thiệu Đây kiến thức gắn liền với bạn sinh viên Đại học Nội dung thu hoạch gồm chương: Chương I: Giới thiệu tác giả tóm tắt nội dung sách Discovering Advanced Algebra Chương II: Nội dung chương 11 sách: Chuỗi số Chương III: Kết luận Tôi hy vọng nội dung thu hoạch đem đến điều thú vị bổ ích cho người đọc Huế, tháng 11 năm 2012 TRẦN KHA Mục lục Lời nói đầu Chương I: Giới thiệu tác giả tóm tắt nội dung sách Discovering Advanced Algebra Giới thiệu tác giả Tóm tắt nội dung sách Discovering Advanced Algebra Chương III Nội dung chương 11 sách Bài 11.1 Chuỗi số học Tìm hiểu chuỗi số học Sự nghiên cứu Bài tập Bài 11.2 Chuỗi hình học vô hạn 13 Tìm hiểu chuỗi hình học vô hạn 13 Sự nghiên cứu 14 Bài tập 17 Bài 11.3 Tổng riêng chuỗi số hình học 20 Đặt vấn đề 20 Sự nghiên cứu 21 Bài tập 22 Chương III: Kết luận 25 Ưu điểm, nhược điểm sách Discovering Advanced Algebra 25 So sánh với sách toán nước ta 25 Biện pháp 26 Tài liệu tham khảo: 26 Chương I: Giới thiệu tác giả tóm tắt nội dung sách Discovering Advanced Algebra Giới thiệu tác giả Tác giả Jerald Murdock, Ellen Eric Kamischke bắt đầu làm việc Interlochen Arts Academy Interlochen, Michigan Họ bắt đầu làm việc với học trò cách sử dụng liệu thực tế thực hành thí nghiệm Kết công bố nhà xuất Key Curriculum Press qua sách Advanced Algebra Through Data Exploration: A Graphing Calculator Approach sau sửa đổi thành Discovering Advanced Algebra: An Investigative Approach Jerald Murdock Tổng thống Awardee for Excellence trao giải xuất sắc Viện Toán học Uỷ viên Woodrow Wilson Ông giảng dạy hai trường trung học công tư Ông diễn giả giàu kinh nghiệm mộ nhà lãnh đạo hội thảo Ellen Kamischke có cử nhân toán học vật lý Cô thích tìm cách để kết hợp tranh ảnh giảng dạy Cô nhà lãnh đạo hội thảo thuyết trình hội nghị toán học khu vực quốc gia chủ đề khác nhau, từ văn toán học đại số giải tích Eric Kamischke ủy viên Woodrow Wilson Một giáo viên hóa học trước Một chuyên gia công nghệ lớp học sử dụng để điều tra phòng thí nghiệm giảng dạy toán học thuyết trình cho giáo viên Tóm tắt nội dung sách Discovering Advanced Algebra 2.1 Khái quát chung Cuốn sách Discovering Advanced Algebra ba tác giả Jerald Murdock, Ellen Kamischke Eric Kamischke xuất vào tháng năm 2003 Sách gồm 14 chương từ chương đến chương 13 chủ yếu trình bày đại số Nội dung chương sau: Chương 0: Giải vấn đề Chương 1: Các mô hình phép truy hồi Chương 2: Mô tả liệu Chương 3: Các mô hình hệ thống tuyến tính Chương 4: Hàm số, mối tương quan phép biến đổi Chương 5: Các hàm số mũ, lũy thừa lôgarit Chương 6: Ma trận hệ thống tuyến tính Chương 7: Hàm bậc hai hàm đa thức khác Chương 8: Phương trình tham số lượng giác Chương 9: Các đường conic hàm số hữu tỷ Chương 10: Hàm số lượng giác Chương 11: Chuỗi số Hình Trang bìa sách Chương 12: Xác suất Chương 13: Các ứng dụng Thống kê Trong chương giới thiệu cho nhiều khái niệm, định nghĩa, định lý, tính chất…cơ Đại số có nhiều ví dụ minh họa, tập áp dụng thực tế 2.2 Khái quát nội dung chương XI sách Discovering Advanced Algebra Chương XI sách đề cập đến lý thuyết chuỗi số Nội dung chương gồm bài: Bài 11.1 giới thiệu chuỗi số học, công thức tính tổng riêng chuỗi số học Bài 11.2 giới thiệu chuỗi hình học vô hạn, công thức tính tổng chuỗi hình học vô hạn hội tụ Bài 11.3 giới thiệu tổng riêng chuỗi hình học, công thức tính tổng riêng chuỗi hình học Mở đầu có hoạt động, tình cụ thể gợi mở vấn đề giúp bạn đọc tự khám phá, tìm tòi kiến thức.Cuối có phần tập thực hành vận dụng kiến thức học Bài thu hoạch tập trung giới thiệu chương XI sách Dưới nội dung chương XI sách Discovering Advanced Algebra Chương III Nội dung chương 11 sách Bài 11.1 Chuỗi số học Tìm hiểu chuỗi số học Theo Cơ quan Bảo vệ Môi trường Mỹ, người Mỹ sản xuất trung bình 978 lb rác thải vào năm 1960.Điều tăng lên đến 1336 lb vào năm 1980.Đến năm 2000, sản xuất rác tăng lên đến 1646 lb / năm cho người Bạn học chương trước làm để viết dãy số để mô tả số lượng rác sản xuất cho người năm Nếu bạn cộng tất số hạng dãy số này, bạn tìm thấy số lượng rác người sản xuất suốt đời  Liên hệ môi trường Núi Everest, phần dãy Himalaya thuộc miền nam châu Á, đạt đến độ cao 29.035 ft núi cao giới mực nước biển Nó mệnh danh "bãi rác thải cao giới" nhiều thập kỷ-xả rác người leo núi , nhựa, thủy tinh, kim loại chất đống dọc theo núi Everest đường mòn bãi cắm trại Ước tính có khoảng 50 rác Các tổ chức môi trường Quỹ Động vật Hoang dã Thế giới (WWF) dọn rác từ chân núi, loại bỏ chất thải từ độ cao khó khăn Hình Một dọn núi Everest năm 1998 Chuỗi số Một tổng số hạng dãy chuỗi số Tổng n số hạng dãy số biễu diễn Sn Bạn tính Sn cách cộng số hạng u1 + u2 + u3 + · · · + un Tìm giá trị chuỗi số vấn đề hấp dẫn nhà toán học nhiều kỷ Nhà toán học Trung Quốc Chu Shih-chieh gọi tổng + + + · · · + n "đống lau sậy" hình dung sơ đồ bên phải Sơ đồ cho thấy S9, tổng chín số hạng dãy số này, + + + · · · + Tổng hữu hạn bất kì, giới hạn số lượng số hạng gọi tổng riêng chuỗi số Các biểu thức S9  u n cách viết tắt việc viết u1 + u2 + u3 + · · · + un n 1 Bạn biểu diễn tổng riêng S9 với ký hiệu sigma  n n 1 Biểu thức  n nói cho bạn biết thay số nguyên đến cho n công n 1 thức tường minh un = n, sau thu kết tổng giá trị Bạn nhận + + + …+ = 45 Làm bạn tìm tổng số nguyên từ đến 100? Phương pháp hiển nhiên cộng số hạng lại, số Bạn sử dụng công thức truy hồi máy tính để làm điều cách nhanh chóng Đầu tiên, viết dãy số theo công thức truy hồi sau: un = un = un – + với n  Bạn viết công thức truy hồi cho chuỗi Sn này: S1 = Sn = Sn – + un với n  Điều nói tổng n số hạng tổng (n - 1) số hạng đầu tiên, cộng với số hạng thứ n Từ công thức truy hồi cho dãy số, bạn biết un tương đương với un – + 1, công thức truy hồi cho chuỗi số là: S1 = Sn = Sn – + un – + với n  Nhập công thức truy hồi vào máy tính bạn hiển thị Một bảng cho thấy số hạng dãy số dãy tổng riêng tương ứng Đồ thị Sn xuất có dạng đường cong liên tục, thực tập hợp rời rạc 100 điểm đại diện cho tổng riêng từ S1 đến S100 Mỗi điểm dạng (n, Sn) cho giá trị nguyên n, với  n  100 Bạn phát tổng 100 số hạng đầu tiên, S100, 5050 ( Xem máy tính Note 11A để biết thêm thông tin đồ thị tính toán tổng riêng ) [ 0, 110, 10, –3000, 10000, 1000 ] Khi bạn tính tổng theo công thức truy hồi này, bạn máy tính phải tính toán số hạng riêng lẻ Sự nghiên cứu cung cấp cho bạn hội để khám phá công thức tường minh để tính tổng riêng chuỗi số học mà không cần tìm tất số hạng cộng lại Sự nghiên cứu  Công thức Chuỗi số học Chọn ba số nguyên cho nhóm bạn để sử dụng Mỗi người nên viết dãy số học riêng cách sử dụng ba giá trị cho số hạng đầu giá trị khác cho công sai dãy Hãy chắn người viết dãy số khác Bước 1: Tìm mười số hạng dãy số bạn Sau tìm mười tổng riêng chuỗi tương ứng Ví dụ, sử dụng u1 = d = 8, bạn viết: Dãy số: un = {7, 15, 23, 31, } Tổng riêng: Sn = {7, 22, 45, 76, } Bước 2: Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn để tìm bậc hàm đa thức mà phù hợp với điểm liệu dạng (n, Sn) Sau tìm hàm đa thức để phù hợp với liệu Bước 3: Tạo chuỗi số cách thay số hạng đầu công sai dãy với số khác ba số nguyên mà nhóm bạn chọn Lặp lại Bước Bước 4: Kết hợp với kết từ tất thành viên nhóm bạn vào bảng bảng đây.Đối với cột tổng riêng, điền hàm đa thức tìm thấy Bước Số hạng đầu u1 Công sai d Tổng riêng Sn Bước 5: Hãy tìm mối liên hệ hệ số đa thức giá trị u1 d Sau viết công thức tường minh cho Sn từ số hạng u1, d, n Qua việc nghiên cứu, bạn tìm công thức cho tổng riêng chuỗi số học.Sử dụng công thức bạn để kiểm tra xem bạn cộng + + + · · · + 100 bạn nhận kết 5050  Liên hệ lịch sử Theo truyền thuyết, nhà toán học thiên văn học người Đức tên Carl Friedrich Gauss (1777-1855) tuổi ,thầy giáo bắt lớp học tìm tổng số nguyên từ đến 100 Thầy giáo hy vọng để giữ cho học sinh bận rộn, Gauss nhanh chóng viết đáp án đúng, 5050 Ví dụ cho thấy cách giải Gauss Hình Con tem Gauss phát hành Nicaragua vào năm 1994 phần chuỗi số thiên văn học Ví dụ: Tìm tổng số nguyên từ đến 100, mà không cần sử dụng máy tính bỏ túi Cách giải: Carl Friedrich Gauss giải vấn đề cách cộng số hạng theo cặp Hãy lưu ý đến cách viết chuỗi số theo thứ tự tăng giảm dần, sau: 100 101 + + +··· + + 99 + 98 + · · · + + 101 + 101 + · · · + 98 + 99 + 100 + + 101 + 101 + 101 = = = S100 S100 2S100 Tổng cột 101, có tất 100 cột Như vậy, tổng số nguyên từ đến 100 là: 100(101)  5050 Bạn phải chia tích 100(101) cho chuỗi số tính hai lần Bạn mở rộng phương pháp ví dụ cho chuỗi số học nào.Trước tiếp tục, phải chút thời gian để xem xét lý tổng sậy đống ban đầu tính cách sử dụng biểu thức: 9(1  9) Các số hạng 9, 1, 9, trường hợp đại diện cho gì? Tổng riêng chuỗi số học Tổng riêng chuỗi số học cho công thức: d d   Sn =   n +  u1  n 2 2  n số số hạng, u1 số hạng đầu, d công sai Một công thức thay là: nu1  u n  Sn  n số số hạng, u1 số hạng đầu, un số hạng cuối Trong tập, bạn sử dụng công thức cho tổng riêng để tìm tổng số hạng liên tiếp chuỗi số học Bài tập 3.1 Luyện tập kĩ Liệt kê năm số hạng dãy số này.Xác định số hạng đầu công sai u1 = -3 un = un – + 1.5 với n  14 Xét hai dãy số hình học: 1 ii 2, 1, , , , … i 2, 4, 8, 16, 32, … a Giá trị giới hạn dãy gì? b Tỷ lệ chung (hay công bội) dãy mấy? c Điều xảy bạn thử tính tổng tất số hạng dãy? 15 SỰ ỨNG DỤNG: Có 650.000 người thành phố.Cứ 15 phút, rađiô đài truyền hình địa phương phát lời cảnh báo lốc xoáy.Trong khoảng thời gian 15 phút, có 42% người không nghe lời cảnh báo trở nên nhận thức lốc xoáy đến gần.Có người nghe tin này: a Sau ? b Sau ? Hình Tại trung tâm Hoa Kỳ, trung bình 800 đến 1000 lốc xoáy xảy năm Đồng hồ lốc xoáy, dự báo, cảnh báo công bố tới công chúng trung tâm dự báo National Weather Service 3.3 Nhìn lại 16 Giả sử bạn đầu tư 500 USD vào ngân hàng trả lãi kép hàng năm 5,5% theo quý a Bạn có tiền sau năm? b Giả sử bạn gửi thêm 150 USD vào cuối ba tháng Bạn có tiền sau năm? n 1 1 17 Xét công thức u n  81  3 a Liệt kê số hạng đầu tiên, u1 đến u6 b Viết công thức truy hồi cho dãy số 18 Xét công thức truy hồi u1  0.39 u n  0.01  u n1 với n  a Liệt kê số hạng b Viết công thức tường minh cho dãy số 19 Tìm giá trị cho: a cos 15 ° b cos 75 ° 12 W e a t h e r S e r v i c e 20 Xét phương trình hàm hữu tỷ y  4x  2x  a Viết lại phương trình phép biến đổi hàm y  x 4x  gì? 2x  1 c Điểm (1, 1) nằm đồ thị hàm y  Ảnh đồ thị hàm x biến đổi gì? b Các đường tiệm cận hàm y  Bài 11.2 Chuỗi hình học vô hạn Tìm hiểu chuỗi hình học vô hạn Ở học 11.1, bạn xây dựng công thức rõ ràng cho tổng riêng chuỗi số học Công thức dùng bạn có hữu hạn số lượng số hạng giới hạn chúng hữu hạn Bạn thấy số lượng số hạng n tăng, độ lớn tổng riêng Sn tăng theo Nếu số lượng số hạng chuỗi số học vô hạn, vô tận, độ lớn tổng vô hạn Tuy nhiên, số dãy hình học có số hạng trở nên nhỏ Điều xảy với tổng riêng dãy số này? Ví dụ, dãy số hình học: 0,4 ; 0,04 ; 0,004 ; … có công bội , số hạng trở nên nhỏ 10 Cộng số hạng tạo chuỗi hình học Chú ý mô hình lặp lặp lại số thập phân Hình Những ảnh lồng hình thành đại diện cho dãy vô hạn S3 = 0,4 + 0,04 + 0,004 = 0,444 S4 = 0,4 + 0,04 + 0,004 + 0,0004 = 0,4444 S5 = 0,4 + 0,04 + 0,004 + 0,0004 + 0,00004 = 0,44444 Nếu bạn tính tổng vô hạn số hạng dãy này, kết vô lớn? Một chuỗi hình học vô hạn chuỗi hình học với vô hạn số hạng Trong học này, bạn đặc biệt quan tâm tới chuỗi hội tụ, mà dãy tổng riêng tiến tới giá trị giới hạn số lượng số hạng tăng lên 13 Ví dụ a: Jack nướng bánh nhanh chóng ăn nửa nó.Xác định để dành miếng bánh cuối cùng, sau ông định ăn nửa miếng bánh lại ngày a Ghi lại số lượng bánh ăn ngày ngày b Đối với ngày ngày, ghi lại tổng số lượng bánh ăn kể từ nướng c Nếu Jack sống mãi, ông ăn bánh này? Lời giải: Số lượng bánh ăn ngày dãy số hình học với số 1 công bội 2 a Bảy số hạng dãy số là: 1 1 1 , , , , , , 16 32 64 128 b Tìm tổng riêng, S1 đến S7, số hạng câu a ta được: 15 31 63 127 , , , , , , 16 32 64 128 c Nó ăn bánh "mãi mãi" cho kết ăn nhiều bánh Tuy nhiên, bạn nhìn vào mô hình tổng riêng, thể cho số lượng hữu hạn tổng ngày Jack nhỏ Điều đưa đến kết luận Jack ăn bánh thời gian dài Đây chuỗi hình học vô hạn hội tụ với giá trị tiến tới hạng đầu Nhớ lại dãy số hình học biểu diễn công thức tường minh dạng u n  u1  r n 1 u n  u  r n , r tỷ lệ chung số hạng (còn gọi công bội) Sự nghiên cứu giúp bạn xây dựng công thức tường minh cho tổng chuỗi hình học vô hạn hội tụ Sự nghiên cứu  Công thức Chuỗi hình học vô hạn Chọn ba số nguyên cho nhóm bạn để sử dụng Mỗi người nên viết dãy số hình học riêng cách sử dụng ba giá trị cho số hạng đầu phần mười giá trị khác cho công bội Hãy chắn người viết dãy số khác Bước 1: Sử dụng máy tính bạn để tìm tổng riêng 400 số hạng 500 số hạng dãy số bạn.Nếu máy tính bạn làm tròn tổng riêng cho giá trị nhau, dùng số giá trị tiến tới dãy.Nếu không, tiếp tục tính tổng số hạng bạn tìm giá trị tiến tới dãy.(Xem lại máy tính Note 11A để biết cách tính toán tổng riêng.) 14 Bước 2: Tạo chuỗi số cách thay số hạng đầu công bội với số khác ba số nguyên mà nhóm bạn chọn Hãy nhớ công bội phần mười số nguyên Lặp lại Bước Bước 3: Kết hợp kết từ tất thành viên nhóm bạn vào bảng bảng đây.Giá trị tiến tới dãy tương đương với tổng vô hạn số hạng, biểu diễn S số Số hạng đầu u1 Công bội r Tổng S Bước 4: Tìm công thức cho S theo u1 r (Gợi ý: Bao gồm cột khác u cho tỷ lệ tìm mối liên hệ) Công thức bạn phù hợp tỷ lệ S gần 1? Nếu tỷ lệ lớn 1? Khẳng định câu trả lời bạn với ví dụ Trong việc nghiên cứu, bạn dùng tổng riêng với giá trị n lớn để xác định giá trị tiến tới tổng số hạng vô hạn Đồ thị dãy tổng riêng công cụ khác bạn sử dụng Hình Infinity tạo nhà điêu khắc người Mỹ José de Rivera (1904-1985) Ví dụ b: Xét bóng (ma sát) lý tưởng nảy lên sau bị rơi Khoảng cách tính inch bóng rơi xuống đến nảy lên biểu diễn 200, 2000,8 , 2000,8 , 2000,8 , … Tính tổng khoảng cách tạo chuỗi số.Hãy tìm tổng số khoảng cách bóng rơi trình bóng nảy lên số lần vô hạn Lời giải: Dãy tổng riêng biểu diễn công thức truy hồi: S1  200 S n  S n1  u n với n  Công thức tường minh cho dãy số hạng un = 200 (0,8) n1 Vì vậy, công thức truy hồi cho chuỗi số tương đương với S1  200 S n  S n1  2000,8 n 1 với n  Đồ thị cấp Sn số lượng lần nảy tăng lên Điều có nghĩa tổng số tất khoảng cách tiếp tục tăng lên, dường tiến gần đến giá trị giới hạn cho giá trị n đủ lớn 15 [-5, 30, 5, -200, 1200, 100] Bởi nhìn vào giá trị n ngày lớn, bạn tìm tổng chuỗi số 1000 inch Vì vậy, tổng khoảng cách bóng rơi 1000 inch Sử dụng công thức mà bạn tìm nghiên cứu để kiểm tra câu trả lời Bây bạn có số cách để xác định giá trị tiến tới chuỗi hình học vô hạn Nếu chuỗi hội tụ, công thức mà bạn tìm nghiên cứu cung cấp cho bạn tổng vô hạn số hạng Chuỗi hình học vô hạn hội tụ Một chuỗi hình học vô hạn gọi chuỗi hội tụ giá trị tuyệt đối công bội nhỏ 1, | r | [...]... y  Bài 11.2 Chuỗi hình học vô hạn 1 Tìm hiểu về chuỗi hình học vô hạn Ở bài học 11.1, bạn đã xây dựng một công thức rõ ràng cho tổng riêng của một chuỗi số học Công thức này dùng khi bạn có hữu hạn số lượng các số hạng hoặc giới hạn của chúng hữu hạn Bạn cũng thấy rằng nếu số lượng các số hạng n tăng, thì độ lớn của tổng riêng Sn cũng tăng theo Nếu số lượng các số hạng của một chuỗi số học là vô hạn,... nghiên cứu, bạn thành lập một công chi tiết cho tổng riêng của một chuỗi số hình học mà chỉ sử dụng ba mẩu thông tin số hạng đầu, công bội và số lượng các số hạng Bây giờ bạn không cần phải viết ra các số hạng để tìm một tổng Ví dụ b: Tìm S10 cho chuỗi số 16 + 24 + 36 + · · · Lời giải: Số hạng đầu u1 là 16 Công bội r là 1,5 Số lượng các số hạng n là 10 Sử dụng công thức bạn đã xây dựng được trong cuộc... bạn đã sử dụng một phương pháp đệ quy để tìm tổng riêng của một chuỗi số hình học Đối với một số tổng riêng, đặc biệt là những tổng liên quan đến một số lượng lớn các số hạng, nó có thể được tìm nhanh hơn và dễ dàng hơn khi sử dụng một công thức tường minh Cuộc nghiên cứu sẽ giúp bạn xây dựng một công thức tường minh 20 2 Sự nghiên cứu  Công thức Chuỗi số hình học Chọn ba số nguyên giữa 2 và 9 cho... tập 1 cho số thập phân lặp đi lặp lại 0,123123123 , hoặc 0,123 4 Một dãy hình học vô hạn có số hạng đầu là 20 và có tổng là 400 Năm số hạng đầu tiên là gì? 3.2 Áp dụng 5 Một dãy số hình học vô hạn gồm các số hạng liên tiếp là 128, 32, 8, và 2 Tổng của chuỗi số là 43 690, 6 Số hạng đầu là gì? 6 Xét dãy số u1  47 và u n  0,8u n1 với n  2 Tìm: 10 a 20  un b n 1  un  30 c n 1 7 Xét dãy số un ... Ưu điểm, nhược điểm của sách Discovering Advanced Algebra a Ưu điểm - Cuốn sách Discovering Advanced Algebra nói chung và chương 11 nói riêng có bố cục bắt mắt, màu sắc sinh động với nhiều hình ảnh minh họa thực tế giúp bài học trở nên sinh động, gây ấn tượng và lôi cuốn người đọc - Mở đầu mỗi bài đều có các hoạt động, tình huống gợi mở hướng người học chủ động tìm hiểu khám phá tri thức mới, nhất là... lời này Bây giờ bạn có một số cách để xác định giá trị tiến tới của một chuỗi hình học vô hạn Nếu chuỗi hội tụ, công thức mà bạn tìm được trong cuộc nghiên cứu cung cấp cho bạn tổng của vô hạn các số hạng Chuỗi hình học vô hạn hội tụ Một chuỗi hình học vô hạn gọi là một chuỗi hội tụ nếu giá trị tuyệt đối của công bội nhỏ hơn 1, | r |