ĐỌC VÀ TÌM SẮC XUẤT THEO SÁCH DISCOVERING ADVANCED ALGEBRA

TR ỜN CS P M K OA TOÁN C - - UẾ RÈN LUYỆN NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM THƯỜNG XUYÊN ề tài: C & TÌM ỂU XÁC SUẤT T EO SÁC DISCOVERING ADVANCED ALGEBRA SV thực Lê Thị Diệu Hoàng Giảng viên hướng dẫn Nguyễn Đăng Minh Phúc Võ Thị Phương Thảo Nguyễn Thị Mộng Cầm Trần Thị Hòa Nhóm: Lớp: 3B uế, 09/2013 LỜI NÓI ĐẦU Trong thực tiễn,chúng ta thường gặp tượng ngẫu nhiên Đó tượng( biến cố ) mà dự đoán cách chắn xảy hay không xảy Lý thuyết xác suất môn toán học nghiên cứu tượng ngẫu nhiên Sự đời lý thuyết xác suất thư từ trao đổi hai nhà toán học vĩ đại người Pháp Pierre de Fermat (1601-1665) Blaise Pascal (1623-1662) xung quanh cách giải đáp số vấn đề rắc rối nảy sinh trò chơi cờ bạc mà nhà quý tộc Pháp đặt cho Pascal Năm 1812, nhà toán học Pháp Pierre-Simon Laplace (1774) dự báo “ môn khoa học bắt đầu tự việc xem xét trò chơi may rủi hứa hẹn trở thành đối tượng quan trọng tri thức loài người” Ngày lý thuyết xác suất trở thành ngành toán học quan trọng, ứng dụng nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên, khoa học xã hôi, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học,… Cuốn sách DISCOVERING ADVANCED ALGEBRA Jerald Murdock, Ellen Kamischke, Ellen Kamischke xem xét chủ đề chi nhánh ngành toán học MỤC LỤC A Ớ T ỆU VỀ TÁC Ả VÀ CUỐN SÁC “DISCOVERING ADVANCED AL EBRA” I Tác giả: Quyển sách biên soạn tác giả chính: II Cuốn sách : “Discovering Advanced Algebra”: .4 B I NỘ DUN Bài 12.1: Sự ngẫu nhiên xác suất II Bài 12.2: Kết tính sơ đồ .17 III Bài 12.3: BIẾN CỐ XUNG KHẮC VÀ BIỂU ĐỒ VENN .27 IV Bài 12.4: CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ GIÁ TRỊ KỲ VỌNG .36 IV Bài 12.5: Hoán vị xác suất 44 VI Bài 12.6:Tổ hợp xác suất 55 VII Bài 12.7: ĐỊNH LÝ NHỊ THỨC VÀ TAM GIÁC PASCAL 64 Cuối chương: 74 A Ớ T ỆU VỀ TÁC ADVANCED AL EBRA” I Ả VÀ CUỐN SÁC “DISCOVERING Tác giả: Quyển sách biên soạn tác giả chính: Theo tác giả, sống đặt tình quan trọng mà bạn phải học cách để giải nó, bạn phải học cách đưa định giải tình đời sống thực không dựa sách Giáo viên người hướng dẫn, lại đòi hỏi tính chủ động sáng tạo học sinh trình học tập, nghiên cứu II Cuốn sách : “Discovering Advanced Algebra” : Discovering Advanced Algebra hiểu khám phá đại số nâng cao, tác giả Jerald Murdock, Ellen Kamischke, Eric Kamischke biên soạn giúp cho học sinh làm quen nghiên cứu vấn đề đại số nâng cao Cuốn sách gồm 13 chương, chia theo chủ đề cụ thể, chương gồm 7-8 học, gồm lý thuyết, ví dụ tập biên soạn xen kẽ Cuối học có tập giúp bạn rèn kỹ giải toán nắm vấn đề học, với toán đố rèn luyện khả tư cho bạn.Cuối chương phần ôn tập, giúp bạn củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ suy luận ứng dụng đại số nâng cao vào thực tế Tác giả khuyến khích đọc giả tự học hoạt động nhóm, thông qua việc trao đổi với đại số nâng cao, chia sẻ điều mà học được, đưa ý kiến cá nhân, lắng nghe ý kiến thành viên nhóm cho bạn có hội đánh giá lại trình học tập thân khắc phục thiếu sót suốt trình học Ngoài ra, tác giả khuyến khích đọc giả sử dụng công cụ hỗ trợ cho trình tính toán máy tính, thiết bị thu thập liệu, phần mềm toán học Sketchpad đế việc học trở nên thuận tiện Quyển sách xem nhật ký cho hành trình khám phá đại số nâng cao Quyển sách nhằm cung cấp thông tin kiến thức kỹ giúp bạn vượt qua trở ngại nâng cao hiểu biết sâu sắc toán học, đặc biệt đại số nâng cao Từ kiến thức toán học mà sách đem lại tạo cho bạn tự tin khả giải vấn đề đại số nâng cao Quan trọng đừng bỏ cuộc, cố gắng hoàn thành công việc cách xuất sắc, bạn nhận đầy đủ mà bạn bỏ Đây mục tiêu mà sách hướng đến-phát huy tính chủ động người học.Tuy nhiên, nhận điểm khác biệt trình biên soạn sách mà nhóm trình bày sau B NỘ DUN I Bài 12.1: Sự ngẫu nhiên xác suất Các công ty bảo hiểm biết chắn loại hồ sơ lái xe bạn có Vì vậy, họ sử dụng hồ sơ lái xe cho người nhóm bạn tuổi, giới tính, kinh nghiệm lái xe trước xác định hội bạn tai nạn và, đó, mức bảo hiểm bạn Đây ví dụ cách lý thuyết xác suất khái niệm tính ngẫu nhiên ảnh hưởng đến sống bạn Lý thuyết xác suất phát triển kỷ 17 phương tiện xác định tính công trò chơi, sử dụng để đảm bảo khách hàng casino nhiều tiền họ giành chiến thắng Xác suất quan trọng việc nghiên cứu tượng xã hội tự nhiên Ở trung tâm lý thuyết xác suất ngẫu nhiên Xúc xắc, lật đồng xu, vẽ thẻ, quay vòng quay trò chơi hội đồng quản trị ví dụ trình ngẫu nhiên Trong trình ngẫu nhiên, kết cá nhân dự báo, mô hình tầm xa nhiều kết cá nhân thường dự báo Trong điều tra này, bạn khám phá khả dự đoán kết ngẫu nhiên Bạn sử dụng trình ngẫu nhiên quen thuộc, lần tung đồng xu Bước Bước Bước Bước Bước5 Bước Hãy tưởng tượng bạn tung đồng xu đồng chất, xuất hai trường hợp xấp ngữa.Không tung đồng xu, bạn dự đoán kết bạn tung đông xu 10 lần Ghi cột A Bây lật đồng xu mười lần ghi lại kết Ghi cột B Tung lại đồng xu 10 lần để lấy kết khác Ghi cột A Tìm chuỗi dài liên tiếp H T cột A Làm tương tự cho cột B Sau đó, tìm thấy chuỗi thứ hai dài Ghi lại độ dài cho người lớp kiểm đếm dấu bảng Đếm số H trình tự B Ghi lại kết lớp bảng Nếu bạn yêu cầu viết chuỗi ngẫu nhiên H làm khác với bạn ghi trình tự A? Bạn thường sử dụng trình ngẫu nhiên để tạo số ngẫu nhiên Về lâu dài, số có khả xảy ra, xu chuỗi số tạo [Xem 1] Lưu ý Máy tính để hiểu làm để tạo số ngẫu nhiên] Ví dụ A Sử dụng máy phát điện số ngẫu nhiên máy tính để tìm xác suất tổng tổng với cặp xúc xắc Giải pháp Khi bạn nghiên cứu giải pháp này, thực theo máy tính riêng bạn Kết bạn khác [Để tìm hiểu làm để mô việc tung hai xúc xắc, xem 12A Lưu ý tính ] Để tìm xác suất kiện "số tiền 6," viết P (tổng 6), mô số lượng lớn cuộn cặp xúc xắc Đầu tiên, tạo danh sách 300 số nguyên ngẫu nhiên từ đến để mô 300 tung chết Lưu trữ danh sách L1 Lưu trữ danh sách thứ hai 300 kết danh sách L2 Thêm hai danh sách để có danh sách khoản tiền 300 ngẫu nhiên hai xúc xắc Lưu trữ danh sách L3 Tạo biểu đồ 300 mục Bảng tổng hợp Màn hình máy tính cho thấy số lượng khoản tiền từ đến 12 (Danh sách biểu đồ bạn hiển thị mục khác nhau.) Cho thấy Tracing chiều cao thùng "6" bin 36 Vì vậy, tổng số 300 cuộn mô phỏng, P (tổng 6) = = 0,12 Lặp lặp lại toàn trình gấp năm lần cho kết khác nhau: Chứ thực lăn cặp xúc xắc 1800 lần Ví dụ A, bạn thực mô phỏng, đại diện cho trình ngẫu nhiên điện tử Bạn sử dụng xúc xắc, tiền xu, sợi máy phát điện số ngẫu nhiên điện tử để mô thử nghiệm khám phá xác suất kết khác nhau, kết Một kiện tập hợp kết mong muốn Bạn nhớ lại xác suất kiện, chẳng hạn "sự tổng hợp hai xúc xắc 6," phải số Xác suất kiện chắn xảy Xác suất kiện Trong ví dụ A, bạn thấy P (tổng 6) khoảng 0,14, 14% Xác suất dựa thử nghiệm quan sát gọi xác suất thực nghiệm Một mô hình thường không rõ ràng bạn thực số lượng lớn thử nghiệm Tìm kết riêng bạn cho 300 1800 mô tổng hai xúc xắc Làm để họ so sánh với kết ví dụ A? Đôi bạn xác định xác suất lý thuyết biến cố, mà không cần tiến hành thử nghiệm Để tìm xác suất lý thuyết, bạn đếm số cách kiện mong muốn xảy so sánh số với tổng số kết có khả Kết "đều có khả năng" có hội xuất Ví dụ, bạn có khả để lật đầu đuôi với xu công Làm bạn tính toán xác suất lý thuyết tổng tổng với hai xúc xắc? Bạn lúc đầu nghĩ có 11 khoản tiền hai xúc xắc (từ đến 12), P (tổng 6) = Nhưng 11 khoản tiền khả Hãy tưởng tượng chết màu xanh khác màu trắng, ví dụ Sau đó, bạn nhận khoản tiền bốn cách: Nhưng bạn có khoản 12 bạn cuộn hai xúc xắc Vì vậy, khoản có nhiều khả khoản 12 Vì vậy, kết có khả bạn sử dụng tình để tìm xác suất lý thuyết? Ví dụ B: tính xác suất lý thuyết cặp xúc xắc có tổng ? giải pháp Các kết có khả năng, khoản tiền, bạn cuộn hai xúc xắc đại diện 36 điểm lưới sơ đồ Điểm góc bên trái đại diện cho cuộn xúc xắc xúc xắc thứ hai, với tổng số Năm kết có tổng đánh dấu từ A – E sơ đồ Điểm D, Cho ví dụ , đại diện cho kết chấm xúc xắc màu xanh chấm xúc xắc màu trắng Tìm kết đại diện cho điểm A Xác suất lý thuyết số cách biến cố xảy ra, chia số biến cố xảy ra.vì , P ( tổng ) = = 0,1389 13,89 Trước gieo lần khác , so sánh kết thực nghiệm lý thuyết biến cố Bạn có nghĩ xác suất thực nghiệm biến cố thay đổi? Nghĩ xác suất lý thuyết ? Khi bạn tung xúc xắc, kết số nguyên Nếu kết khác trường hợp số Trong trường hợp đó, bạn thường sử dụng mô hình khu vực để tìm xác suất 10 VII Bài 12.7: ĐỊNH LÝ NHỊ THỨC VÀ TAM GIÁC PASCAL Xác suất phần toán học, số liệu phong phú Nhiều trình ngẫu nhiên, chẳng hạn tung đồng xu, liên quan đến mô hình có hai kết xảy Trong học này, bạn tìm hiểu cách sử dụng định lý nhị thức tam giác Pascal để tìm xác suất trường hợp Hiển thị bên trái tam giác Pascal Nó chứa nhiều hàng khác nghiên cứu nhiều kỷ Tam giác bắt đầu với 1, sau có hai số Mỗi hàng liên tiếp điền vào với số hình thành cách thêm hai số Ví dụ, tổng hàng trước Mỗi dòng bắt đầu kết thúc với Trong Bài học 12,6, bạn nghiên cứu tổ hợp số Những số xảy hàng tam giác Pascal Ví dụ, số 1, 5, 10, 10, 5, hàng thứ sáu giá trị 5Cr :5C0=1 , 5C1=5 , 5C2=10 , 5C3=10 , 5C4=5 , 5C5=1 Đây trường hợp tất hàng? Nếu vậy, sao? Trong điều tra đây, bạn khám phá câu hỏi TAM Bước 1: Bước 2: Bước 3: Bước 4: ÁC PASCAL VÀ TỔ ỢP Một nhóm năm sinh viên thường xuyên ăn trưa với nhau, ngày có ba người số họ có mặt Có nhóm ba sinh viên có? Thể câu trả lời bạn dạng nCr số Nếu Leora chắn có mặt,vậy có học sinh khác có mặt đó? Có sinh viên học để lựa chọn? Tìm Tổ hợp số sinh viên có trường hợp Thể câu trả lời bạn dạng nCr số Có tổ hợp mà không bao gồm Leora? Xét xem có học sinh lựa chọn chọn Thể câu trả lời bạn dạng nCr số Lặp lại bước 1-3 cho nhóm bốn số năm sinh 64 Bước 5: Bước 6: viên Bạn nhận thấy câu trả lời bạn từ bước 1-3 cho nhóm ba học sinh bốn học sinh? Viết quy tắc chung dạng nCr thể tổng tổ hợp Làm để quy tắc liên quan đến tam giác Pascal? Tam giác Pascal cung cấp phím tắt cho việc khai triển nhị thức.Việc khai triển nhị thức có số bậc tăng dần thể số bậc đa thức Ví dụ,khai triển (x + y)3 = 1x3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3 Lưu ý hệ số khai triển số hàng thứ tư tam giác Pascal Tại số tam giác Pascal hệ số nhị thức mở rộng? Hãy nhớ số tam giác Pascal giá trị nCr Vì vậy, câu hỏi hỏi, hệ số nhị thức mở rộng tương đương với giá trị nCr ? VD A: Khai triển (H + T)3.Liên quan đến hệ số khai triển tổ hợp Giải: Bạn viết (H + T) = (H + T) (H + T) (H + T) Để khai triển tích này,ta nhân bước Trước tiên, bạn nhân nhị thức (H + T) với nhị thức thứ hai (H + T): (H + T) (H + T) = (HH + HT + TH + TT) Sau đó, bạn nhân hạng tử với H T nhị thức thứ ba: (HH + HT + TH + TT) (H + T) = HHH + HHT + H + HTT + THH + THT + TTH + TTT Chú ý rằng: Nếu H đại diện cho tung mặt ngửa,và T tung mặt sấp, kết hiển thị tất kết có tung đồng xu ba lần Nếu không kể thứ tự, bạn viết biểu thức sau: 1H + 3H2T + 3HT2 + 1T3 Biểu thức cho thấy có cách để nhận ba mặt ngửa,có ba cách để nhận hai ngửa sấp, tiếp tục Bạn biểu diễn tổ hợp 3C3 , 3C2 65 Dưới bảng khai triển nhị thức vài bậc (H + T) Chú ý hệ số giống hàng tam giác Pascal.Khai triển gợi cho bạn suy nghĩ kết tung đồng xu 0, 1, 2, lần (H+T)0 = (hàng thứ 1) (H+T)1 = 1H + 1T (hàng thứ 2) (H+T)2 = 1H2 + 2HT + 1T2 (hàng thứ 3) (H+T)3 = 1H3 + 3H2T + 3HT2 + 1T3 (hàng thứ 4) Chú ý mô hình hệ số Bạn sử dụng tam giác Pascal, giá trị nCr, để khai triển nhị thức mà không cần nhân tất thành phần với Bạn sử dụng khai triển nhị thức để đại diện cho kết trình ngẫu nhiên với hai kết Trong ví dụ A, bạn thấy đồng xu tung ba lần, kết là: kết cho mặt ngửa , kết ngửa sấp, kết cho ngửa sấp kết cho sấp Khi bạn tung đồng xu công bằng, kết H T có khả Ví dụ B cho thấy bạn sử dụng khai triển nhị thức để tìm xác suất kết mà có khả Ví dụ B: Giả sử chim gõ kiến có xác suất sống sót đến tuổi trưởng thành 0.58 Nếu tổ có trứng, xác suất 0, 1, 2, 3,4, 5, chim tồn gì? iải: S đại diện cho trường hợp sống sót, thành công N đại diện cho trường hợp không sống sót Sau đó,P (S) đại diện cho khả sống sót 66 chim, P (N) đại diện cho n Kết chim tồn lại sống sót cho S N2 Số tổ hợp có loài chim sống sót cho 6C4 Bạn thấy biểu diễn việc khai triển (S + N)6: (S+N)6 = 6C6S6N0 + 6C5S5N1 + 6C4S4N2 + 6C3S3N3 + 6C2S2N4 + 6C1S1N5 + 6C0S N Trong thực tế, hạng tử việc khai triển nhị thức cho biết số lượng chim tồn không tồn Bạn viết khai triển tương tự sử dụng s n để tìm xác suất tổ hợp Sau bạn thay 0,58 cho s 0,42 cho n để tìm xác suất kết (s+n)6 = 6C6s6n0 + 6C5s5n1 + 6C4s4n2 + 6C3s3n3 + 6C2s2n4 + 6C1s1n5 + 6C0s n = 1(0.58)6(0.42)0 + 6(0.58)5(0.42)1 + 15(0.58)4(0.42)2 + 20(0.58)3(0.42)3 + 15(0.58)2(0.42)4 + 6(0.58)1(0.42)5 + 1(0.58)0(0.42)6  0.038+0.165+0.299+0.289+0.157+0.045+0.005 Bạn đưa số vào bảng sau: Vì vậy,rất có chim tồn trường hợp không tồn có lẽ không xảy Bạn biểu diễn xác suất thành biểu đồ, hình bên phải.Biểu đồ cho phép bạn so sánh xác suất kết khác cách nhanh chóng.Chú ý đến hình dạng chung biểu đồ Bạn tìm hiểu thêm sơ đồ xác suất Chương 13 Trong tình Ví dụ B, bạn muốn biết xác suất tối đa chim sống sót chim sống sót Làm bạn tính toán giá trị bảng sau? Bạn tính toán giá trị thiếu bảng tập Số chim Xác suất 0.038 0.165 0.289 0.157 0.045 0.005 Nhiều 0.962 0.207 0.050 0.005 Ít 0.038 0.949 0.995 67 Bạn nghĩ chim mẫu lấy từ quần thể nhiều loài chim.Bạn biết xác suất thành công quần thể bạn muốn tính toán xác suất khác thành công mẫu Theo ví dụ B bạn thấy tỷ lệ sống sót loài chim Nếu tình hình đảo ngược Giả sử bạn xác suất thành công quần thể, bạn biết trung bình có chim sống sót đến tuổi trưởng thành Tỷ lệ cho thấy xác suất thành công quần thể 4/6 0,67, bạn thấy ví dụ,tỷ lệ có khả 0,58.Tỷ lệ biểu diễn cho khả có xác suất cao sống sót con? Vấn đề thường có xuất thăm dò ý kiến cử tri.Thăm dò câu hỏi mẫu cử tri, toàn dân số Thống kê sau phải giải thích liệu từ mẫu để đưa dự đoán dân số Ví dụ C: Một mẫu ngẫu nhiên 32 cử tri lấy từ dân số lớn Trong mẫu, 24 cử tri ủng hộ việc thông qua đề nghị Xác suất mà thành viên lựa chọn ngẫu nhiên toàn dân ủng hộ đề xuất gì? Những bạn dự đoán dân số nước Giải: Tỷ lệ ủng hộ để cử tri mẫu 24 0,75 Tỷ lệ 32 mẫu xác suất thành viên chọn ngẫu nhiên ủng hộ đề xuất 0,75 Nhưng xảy với xác suất thành công khác dân số Bạn đặt p đại diện cho xác suất ủng hộ dân số q đại diện cho xác suất không ủng hộ Vì p+q=1, nên giá trị q - p Xác suất n người ủng hộ mẫu 32 người 32Cnpnq32-n Nếu n = 24, mẫu thực hiện, giá trị có khả p 0,75 Trong thực tế, đồ thị y = 32C24p24(1-p)8 , giá trị lớn hàm p = 0,75 Nhưng có giá trị khác p có 24 người ủng hộ Những khác giá trị p cho xác suất cao 24 người ủng hộ 23 25 người ủng hộ? Có nghĩa là, giá trị p đáp ứng hai bất đẳng thức này? 24 23 24 25 32C24p q >32C23p q 32C24p q >32C25p q Bạn giải bất đẳng thức thứ phương pháp đại số 24 32C24p q >32C23p23q9  32C24p >32C23q  9p > 24(1-p)  33p > 24  p > 32! 32! p> q  9p > 24q  24!8! 23!9! 24 33 68 Giải tương tự cho bất đẳng thức thứ hai,ta p < 25 33 24 25