GIỚI THIỆU VỀ CÁC ĐƯỜNG CONIC THEO SÁCH “DISCOVERING ADVANCED ALGEBRA

NHẬN XÉT VÀ SO SÁNH CÁCH TIẾP CẬN VÀ TRÌNH BÀY VỀ CÁC ĐƯỜNG CONIC CỦA CUỐN SÁCH VỚI MỘT SỐ SÁCH Ở VIỆT NAM 17... LỜI MỞ ĐẦU Như chúng ta đã biết, quỹ đạo của các hành tinh quay quanh Mặ

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ

KHOA TOÁN

- -

BÀI KIỂM TRA

Môn: Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm thường xuyên 3

GIỚI THIỆU VỀ CÁC ĐƯỜNG CONIC THEO

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ

MỤC LỤC

I, GIỚI THIỆU VỀ TÁC GIẢ VÀ CUỐN SÁCH 4

II, GIỚI THIỆU VỀ CÁC ĐƯỜNG CONIC 6

III NHẬN XÉT VÀ SO SÁNH CÁCH TIẾP CẬN VÀ TRÌNH BÀY VỀ CÁC

ĐƯỜNG CONIC CỦA CUỐN SÁCH VỚI MỘT SỐ SÁCH Ở VIỆT NAM 17

LỜI MỞ ĐẦU

Như chúng ta đã biết, quỹ đạo của các hành tinh quay quanh Mặt trời là một đường gần tròn, đây là ví dụ về một loại đường quan trọng trong Toán học – Elip (Hình 1) Hình ảnh các tia nước bắn ra từ một đài phun nước (Hình 2), đường đi của một quả bóng được đá vào không trung, và hình dạng của cáp treo nối giữa hai tòa tháp của Cầu cổng vàng là các

ví dụ về Parabol Tháp làm lạnh hạt nhân, bánh răng truyền động, hệ thống định vị mặt đất – LORAN có nguyên lý hoạt động dựa vào đường Hypebol (Hình 3) Tất cả các đường này đều thuộc một họ các đường cong trong mặt phẳng gọi là các đường Conic Nhờ có một số tính chất đặc biệt mà chúng được ứng dụng rất nhiều trong thực tế

Hình 3

Cuốn sách “Discovering Advanced Algebra - Khám phá đại số nâng cao” sẽ giúp bạn tìm hiểu về khái niệm các đường Conic, một số tính chất và ứng dụng của chúng trong cuộc sống Thông qua một cách tiếp cận vấn đề mới: tiếp cận qua khảo sát, cuốn sách sẽ cung cấp cho bạn một cách nhìn mới hơn về các đường Conic so với những gì bạn đã được học ở chương trình phổ thông Từ đó, hi vọng các bạn sẽ khám phá ra nhiều điều thú vị và

bổ ích về Đại số nói chung cũng như về các đường Conic nói riêng

Huế, tháng 11 năm 2012 Người thực hiện

I, GIỚI THIỆU VỀ TÁC GIẢ VÀ CUỐN SÁCH

1, Giới thiệu về tác giả

Jerry Murduck, Ellen Kamischke và Eric Kamischke đều là các chuyên gia nổi tiếng của nền khoa học giáo dục Mỹ Họ đều đã được vinh danh tại nhiều cuộc thi, giải thưởng lớn ở Mỹ và được xem là những người đi đầu trong công tác dạy học Toán Cả ba đều là những giáo viên có nhiều năm kinh nghiệm và tham gia cộng tác viết rất nhiều sách phục

vụ cho việc dạy học Toán Trong đó ba người là đồng tác giả của bộ sách “Discovering Algebra – Tìm hiểu về Đại số” cơ bản, nâng cao bao gồm cả lý thuyết và bài tập

Jerry Urdock

Jerry Urdock là nguyên chủ tịch của Hội đồng các giáo viên Toán ở

bang Michigan, được giải thưởng Woodrow Wilson, và là một giáo sư danh dự T3 (Teachers Teaching with Technology - giáo viên dạy học bằng công nghệ) Ông được nhận Giải thưởng do Tồng thống Mỹ trao tặng vì sự xuất sắc trong sự nghiệp giảng dạy môn Toán Năm

2001, ông đã kết thúc 40 năm sự nghiệp dạy học của mình ở các trường học trong cộng đồng và học viện nghệ thuật Interlochen, Interlochen, Michigan

Ellen Kamischke

Ellen Kamischke là giáo viên đã có 23 năm kinh nghiệm đứng lớp tại

các khóa học Toán về Đại số, các phép tính nâng cao cũng như Vật lí

Bà hiện tại là giáo viên tại học viện nghệ thuật Interlochen ở Interlochen, bang Michigan Bà là tác giả của cuốn sách “Key Curriculum Press’ Discovering Algebra– Hướng dẫn chương trình giảng dạy khám phá Đại số” và sách bài tập “Discovering Advanced Algebra – khám phá Đại số nâng cao”

Eric Kamischke

Eric Kamischke là một giáo viên đã có 25 năm kinh nghiệm đứng lớp

tại các khóa học Toán về Đại số, toán thống kê, tính toán nâng cao cũng như Hóa học Ông là tác giả của cuốn sách “Key Curriculum Press’ Discovering Algebra– Hướng dẫn chương trình giảng dạy khám phá Đại số” và sách bài tập “Discovering Advanced Algebra – khám phá Đại số nâng cao”

2, Giới thiệu chung về cuốn sách

Cuốn sách “Discovering Advanced Algebra: An Investigative Approach” tạm dịch

là “Khám phá Đại số nâng cao: Cách tiếp cận bằng khảo sát ” được viết bởi ba nhà giáo

có uy tín và kinh nghiệm Jerry Urdock, Ellen Kamischke và Eric Kamischke Cuốn sách

này là một trong ba quyển của bộ sách “Discovering Mathematics – Khám phá Toán học”

viết về các vấn đề nâng cao của đại số Kiến thức được trình bày trong cuốn sách là những

kiến thức bổ sung và nâng cao hơn so với cuốn sách “Discovering Algebra: An Investigative Approach” (của cùng tác giả)

Cuốn sách gồm có 13 chương:

Chương 0: Các cách giải quyết vấn đề

Chương 1: Các mô hình và phương pháp đệ quy

Chương 2: Mô tả dữ liệu

Chương 3: Mô hình và hệ thống tuyến tính

Chương 4: Ánh xạ, quan hệ và các phép biến đổi

Chương 5: Hàm mũ, hàm lũy thừa và hàm Lô-ga-rit

Chương 6: Ma trận và hệ thống tuyến tính

Chương 7: Hàm bậc hai và các hàm đa thức khác

Chương 8: Phương trình tham số và Lượng giác

Chương 9: Các đường Conic và Hàm phân thức

Chương 10: Hàm lượng giác

Chương 11: Chuỗi

Chương 12: Xác suất

Chương 13: Ứng dụng của Khoa học thống kê

Bên cạnh những vấn đề Đại số cơ bản trong chương trình phổ thông thì những kiến thức Đại số nâng cao được trình bày trong cuốn sách này chính là những ứng dụng cao hơn của đại số Tuy là kiến thức đại số nâng cao nhưng đã được các tác giả trình bày một cách

có hệ thống với nhiều ví dụ minh họa sinh động, trực quan và thực tế nên bạn có thể nắm bắt được kiến thức một cách tự nhiên và chắc chắn mà không phải gặp quá nhiều khó khăn

Đặc biệt, cuốn sách này trình bày một cách tiếp cận kiến thức mới đó là

“Investigative Approach – cách tiếp cận bằng khảo sát” Do đó, trọng tâm của cuốn sách chính là phần “Ivestigations – Nghiên cứu, khảo sát” Thông qua phần này, bạn sẽ khám

phá những vấn đề thực tế rất thú vị hoặc là các bài tập thực nghiệm để từ đó liên hệ đến kiến thức của bài học Nếu bạn quên một khái niệm, công thức, hay là một quy tắc nào đó, bạn sẽ luôn có thể tự tái tạo lại kiến thức đó bởi vì khi đọc cuốn sách này bạn đã tự mình phát hiện và hình thành những khái niệm, công thức hay phương pháp đó Với cách tiếp cận kiến thức như vậy, bạn sẽ có thể hiểu được bản chất của vấn đề và nắm chắc được từng nội dung đã được trình bày

II, GIỚI THIỆU VỀ CÁC ĐƯỜNG CONIC

Trong chương 9: “Conic sections and Rational fuctions”, tác giả giới thiệu về các

đường Conic và hàm phân thức hữu tỷ Ở đây, chúng ta sẽ tìm hiểu kĩ hơn về các đường conic và một số tính chất của chúng

Ở phần này, ta sẽ:

 Sử dụng công thức khoảng cách để tìm khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng

và giải các bài toán về khoảng cách và tỉ lệ

 Tìm hiểu về các đường Conic được tạo ra khi cắt một mặt nón tròn xoay bởi một mặt phẳng: Đường tròn, Đường Elip, Đường Parapol, Đường Hypepol

 Nghiên cứu các tính chất của các đường Conic

 Viết phương trình của các đường conic theo một công thức khác

Sau đây, ta sẽ lần lượt tìm hiểu về con đường đi đến các định nghĩa về các đường conic Trong lịch sử, con người đã được học về các đường Conic từ 2000 năm trước Nhà Toán học người Hy Lạp Menaechmus cho rằng các đường Conic được sinh ra từ các mặt nón khác nhau Tuy nhiên, sau đó Apollonius đã chứng minh được rằng các đường conic

đều được sinh ra từ cùng một mặt nón Ông đã viết tám cuốn sách “Chuyên đề về các đường Conic” và đặt tên cho các đường Elip, Parabol và Hypebol

Sở dĩ Đường tròn, Elip, Parabol, Hypebol được gọi là các đường Conic bởi vì chúng có thể được tạo ra bằng cách cắt một mặt nón tròn xoay bởi một mặt phẳng (Hình 4)

Khi hai đường thẳng cắt nhau tạo thành một góc nhọn, quay một đường thẳng quanh đường thẳng kia sẽ tạo ra một mặt nón Mặt nón này không có đáy và không bị giới hạn Cắt mặt nón đó bởi một mặt phẳng với các góc khác nhau sẽ tạo thành các đường conic khác nhau

Hình 4

Các đường Conic có một số tính chất rất thú vị Mỗi hình cũng có thể được định nghĩa dựa vào khái niệm quỹ tích của các điểm Ví dụ như, tất cả các điểm trên đường tròn cách đều tâm nên ta có thể mô tả đường tròn là quỹ tích của các điểm cách một điểm cố định một khoảng không đổi

1, Sử dụng công thức khoảng cách

Giả sử rằng trong một cuộc đua, bạn phải mang một cái xô rỗng từ vạch xuất phát đến cạnh của bể bơi, đổ đầy nước và sau đó mang xô nước đó về đích Tìm con đường ngắn nhất để bạn có thể tiết kiệm được công sức, quãng đường và thời gian Trong phần này, bạn

sẽ tìm hiểu chi tiết về mặt toán học của các tình huống như vậy

KHẢO SÁT:

Dụng cụ: Giấy vẽ đồ thị được chia centimet, thước thẳng

 Các bước tiến hành như sau:

 Bước 1: Vẽ hình của bài toán lên giấy

 Bước 2: Đánh dấu các vị trí khác nhau cho điểm C Với mỗi điểm đó, đo khoảng x,

tìm tổng độ dài AC+CB Ghi lại dữ liệu thu được

 Bước 3: Điểm C ở vị trí nào thì độ dài AC+CB là nhỏ nhất? Có phải có nhiều hơn

một điểm C như vậy? Trình bày ít nhất hai phương pháp để tìm vị trí điểm C đó

 Bước 4: Vẽ các nghiệm của bài toán bạn tìm được lên giấy

Trong trường hợp lượng nước còn lại trong xô khi đến đích cũng là một yếu tố ảnh hưởng đến việc giành chiến thắng trong cuộc thi, bạn sẽ phải di chuyển hết sức cẩn thận để không làm đổ nước, và khi mang cái xô rỗng bạn có thể di chuyển nhanh hơn so với khi mang một xô đầy nước Giả sử rằng bạn có thể mang cái xô rỗng với tốc độ là 1.2 m/s, và mang xô đầy nước với tốc độ là 0.4 m/s

 Bước 5: Với dữ liệu thu được ở bước 2, hãy tìm thời gian di chuyển ứng với mỗi giá trị x

 Bước 6: Bây giờ hãy tìm vị trí của điểm C để thời gian đi từ A đến C rồi tới B là

ngắn nhất? Tìm thời gian nhỏ nhất đó? Kết quả tìm được có khác với kết quả ở bước

3 hay không? Hãy trình bày cách giải của bạn

Rất nhiều phương trình bạn học ở chương này dựa trên việc tìm khoảng cách giữa hai điểm

Bài toán: “Cuộc thi mang nước”

Vạch xuất phát của cuộc đua cách một đầu bể

bơi là 5m, bể bơi dài 20m, và đích cách đầu đối diện

của bể bơi là 7m (hình 5) Trong phần này, bạn sẽ

phải tìm con đường ngắn nhất từ điểm A đến một

điểm C trên cạnh của bể bơi rồi đến điểm B Tức là,

bạn phải tìm giá trị của x sao cho khoảng cách (tính

bằng mét) AC+BC là ngắn nhất có thể

Hình 5

Áp dụng định lý Pythago, ta có thể dễ dàng thiết lập được công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ như sau

cho được gọi là “locus – quỹ tích” Ví dụ như, quỹ tích của các điểm cách điểm (0,0) một

khoảng là 1 đơn vị là đường tròn có phương trình Trong chương này, ta sẽ nghiên cứu các phương trình biểu diễn rất nhiều loại quỹ tích khác nhau

2, Đường tròn và đường Elip

a, Đường tròn

Định nghĩa Đường tròn:

Đường tròn là quỹ tích của tất cả các điểm P trong mặt

phẳng cách một điểm cố định một khoảng cách không đổi r, kí

hiệu là PC = r Điểm cố định được gọi là tâm, khoảng cách

không đổi được gọi là bán kính

Ta có thể sử dụng định nghĩa theo quỹ tích để viết phương trình biểu diễn các điểm trên đường tròn

Bằng cách sử dụng công thức khoảng cách, ta có thể viết được phương trình của đường tròn có tâm là (0,0), bán kính r là Nếu đường tròn được tịnh tiến đến

một vị trí khác mà tâm có tọa độ mới là (h,k) thì ta có thể thay x bởi (x – h) và y bởi (y – k)

Từ đó, ta được phương trình của đường tròn được xác định như sau:

Ví dụ: Một đường tròn có tâm là (3,-2) và tiếp xúc với đường thẳng

Viết phương trình của đường tròn Để viết phương trình của một đường tròn, ta cần biết tâm và bán kính Ta đã biết tâm là điểm (3,-2) nên bây giờ ta phải tìm bán kính Từ kiến thức hình học đã biết thì tiếp tuyến của một đường tròn cắt đường tròn đó tại một điểm duy nhất và vuông góc với đường kính tại tiếp tuyến Theo đề, tiếp tuyến có hệ số góc là 2 nên đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến sẽ có hệ số góc là Do đó, đường thẳng chứa đường kính vuông góc với tiếp tuyến sẽ có hệ số góc là và đi qua tâm của đường tròn là (3,-2) Suy ra, phương trình của đường thẳng chứa đường kính đó là:

Hoành độ giao điểm của đường thẳng này với tiếp tuyến là nghiệm của phương trình:

Suy ra tọa độ giao điểm là:

Do đó, bán kính là:

Vậy phương trình đường tròn là:

Và phương trình dạng tham số là:

b, Elip

Trong chương 4 của cuốn sách này, ta đã được biết nếu kéo giãn một đường tròn theo chiều ngang và chiều dọc theo các cách khác nhau thì ta sẽ được các đường elip Như vậy, ta có thể xây dựng được phương trình của một elip từ phương trình của đường tròn đơn vị thông qua các phép tịnh tiến và phép co giãn theo các hướng khác nhau (Hình 7)

Hình 6 Tác phẩm điêu khắc

gỗ của Alexander Rodchenko

Hình 7.Xây dựng Elip từ đường tròn

Phương trình của Elip:

Phương trình dạng chuẩn tắc của một Elip có tâm là với hệ số co giãn theo trục hoành là a, hệ số co giãn theo trục tung là b:

Hay phương trình dạng tham số là: :

Một Elip gần giống như một đường tròn, ngoại trừ việc Elip có hai điểm được gọi là tiêu điểm thay vì chỉ có một điểm ở tâm như đường tròn Bạn có thể dựng một Elip bằng cách buột một sợi dây vào hai cái kim băng, sau đó vạch ra tập hợp các điểm như hình vẽ

Khi đó, tổng khoảng cách là không đổi với mọi điểm thuộc Elip

Như vậy, ta rút ra được định nghĩa của Elip như sau:

Định nghĩa Elip:

Một Elip là quỹ tích của tất cả các điểm P trong mặt

phẳng mà có tổng khoảng cách đến hai điểm cố định,

và là một hằng số d Tức là, hay

Hai điểm cố định và được gọi là tiêu điểm

Trong Elip, trục có độ dài lớn chứa hai tiêu điểm được gọi là trục lớn, trục có độ dài nhỏ hơn được gọi là trục bé Theo như cách xây dựng Elip bằng cách co giãn đường tròn

đơn vị thì nửa độ dài trục nằm ngang ứng với hệ số co giãn theo trục hoành là a, còn nửa độ

Hình 8 Một sợi dây được nối với một cái

kim băng giúp bạn vẽ được một đường

tròn Cách vẽ này cũng giống như vẽ

đường tròn bằng compa

Hình 9 Một sợi dây được nối với hai cái kim băng giúp bạn vẽ được một elip

dài trục đứng ứng với hệ số co giãn theo trục tung là b Khi trục lớn nằm ngang thì độ dài trục lớn là 2a, bằng tổng Như vậy, tổng khoảng cách giữa một điểm bất kì trên

Elip với hai tiêu điểm là 2a

Nếu ta nối một đầu mút của trục lớn với hai tiêu điểm thì ta được hai tam giác vuông bằng nhau Với một Elip nằm ngang, tổng độ dài của hai cạnh huyền bằng độ dài của trục lớn là 2a, nên mỗi cạnh huyền có độ dài là a Bán trục bé có độ dài là b Gọi khoảng cách từ mỗi tiêu điểm đến tâm là c, khi đó ta có (Hình 10)

Khi trục lớn thẳng đứng thì cạnh huyền của mỗi tam giác vuông bằng b, do đó (Hình 11)

pin có hình dạng gần như là một hình nón Khi

đặt trước đèn pin một tờ giấy sẽ cho ta các

phiến ánh sáng khác nhau, hay là các hình

khác nhau của chùm ánh sáng đó

Làm việc theo cặp và chia sẻ các kết

quả thu được với cả nhóm

 Cách tiến hành:

1 Chiếu đèn pin lên một tờ giấy vẽ đồ thị theo một góc

Hình 12 Tiến hành vẽ elip Hình 10 Elip có trục nằm ngang

Hình 11 Elip có trục thẳng đứng