Phương Trình Tham Số Và Phương Trình Lượng Giác Theo Sách “Discovering Advanced Algebra

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN ‐‐‐‐‐‐ BÀI BÁO CÁO PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THEO SÁCH “DISCOVERING ADVANCED ALGEBRA Người thực hiện: Nhóm 6 Toán 3A 1 Huế, tháng 9 năm 2013 2 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Toán học là một khoa học, một ngôn ngữ, một nghệ thuật, một cách tư duy. Toán học hiện diện trong tự nhiên, nghệ thuật, âm nhạc, kiến trúc, lịch sử, khoa học, văn học. Toán học luôn tác động đến mọi khía cạnh của vũ trụ. Phương trình tham số và lượng giác là một công cụ quan trọng trong toán học. Nó giúp chúng ta giải quyết các bài toán thực tế như tìm phương trình của quỹ đạo chuyển động, chiều cao ngọn hải đăng, khoảng cách giữa hai khinh khí cầu… 3 Cuốn sách “Discovering Advanced Algebra - Khám phá đại số nâng cao” đặc biệt là chương 8 sẽ giúp cho các bạn tìm hiểu về phương trình tham số, phương trình lượng giác và các ứng dụng của chúng trong cuộc sống. Với cách tiếp cận vấn đề gần gũi: tiếp cận qua khảo sát các bài toán thực tế, cuốn sách sẽ cung cấp cho bạn một cách nhìn mới về phương trình tham số và lượng giác so với những gì các bạn đã được học ở chương trình phổ thông. Qua phần này, mong rằng các bạn sẽ khám phá ra được nhiều điều thú vị và bổ ích của đại số nói chung, phương trình tham số và lượng giác nói riêng. Huế, tháng 9 năm 2013 Nhóm tác giả GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC VỀ SÁCH TÁC GIẢ Jerry Murduck, Ellen Kamischke và Eric Kamischke đều là các nhà toán học nổi tiếng của nền khoa học giáo dục Mỹ. Họ đều giành được những giải thưởng lớn ở Mỹ về khoa học kỹ thuật và được xem là những người đi đầu trong công tác dạy học Toán. Cả ba đều là những giáo viên có nhiều năm kinh nghiệm và tham gia cộng tác viết rất nhiều sách phục vụ cho việc dạy học Toán. Trong đó ba người là đồng tác giả của bộ sách “Discovering Algebra – Tìm hiểu về Đại số” cơ bản, nâng cao bao gồm cả lý thuyết và bài tập. 4 Jerry Urdock là nguyên chủ tịch của Hội đồng các giáo viên Toán ở bang Michigan, được giải thưởng Woodrow Wilson, và là một giáo sư danh dự T3 (Teachers Teaching with Technology - giáo viên dạy học bằng công nghệ). Ông được nhận Giải thưởng do Tồng thống Mỹ trao tặng vì sự xuất sắc trong sự nghiệp giảng dạy môn Toán. Năm 2001, ông đã kết thúc 40 năm sự nghiệp dạy học của mình ở các trường học trong cộng đồng và học viện nghệ thuật Interlochen, Interlochen, Michigan. Ellen Kamischke là giáo viên đã có 23 năm kinh nghiệm đứng lớp tại các khóa học Toán về Đại số, các phép tính nâng cao cũng như Vật lí. Bà hiện tại là giáo viên tại học viện nghệ thuật Interlochen ở Interlochen, bang Michigan. Bà là tác giả của cuốn sách “Key Curriculum Press’ Discovering Algebra– Hướng dẫn chương trình giảng dạy khám phá Đại số” và sách bài tập “Discovering Advanced Algebra – khám phá Đại số nâng cao” 5 Eric Kamischke là giáo viên đã có 25 năm kinh nghiệm đứng lớp tại các khóa học Toán về Đại số, toán thống kê, tính toán nâng cao cũng như Hóa học. Ông là tác giả của cuốn sách “Key Curriculum Press’ Discovering Algebra– Hướng dẫn chương trình giảng dạy khám phá Đại số” và sách bài tập “Discovering Advanced Algebra – khám phá Đại số nâng cao”. 6 Giới thiệu chung về cuốn sách Cuốn sách “Discovering Advanced Algebra: An Investigative Approach” – “Khám phá Đại số nâng cao” được viết bởi ba nhà toán học có y tín và kinh nghiệm Jerry Urdock, len Kamischke và Eric Kamischke. Cuốn sách này là một trong ba quyển của bộ sách “Discovering Mathematics – Khám phá Toán học” viết về các vấn đề nâng cao của đại số. Kiến thức được trình bày trong cuốn sách là những iến thức bổ sung và nâng cao hơn so với cuốn sách “Discovering Algebra: An nvestigative Approach” (của cùng tác giả). Cuốn sách gồm có 13 chương: Chương 0: Các cách giải quyết vấn đề Chương 1: Các mô hình và phương pháp đệ quy Chương 2: Mô tả dữ liệu Chương 3: Mô hình và hệ thống tuyến tính Chương 4: Ánh xạ, quan hệ và các phép biến đổi Chương 5: Hàm mũ, hàm lũy thừa và hàm Lô-ga-rit Chương 6: Ma trận và hệ thống tuyến tính Chương 7: Hàm bậc hai và các hàm đa thức khác Chương 8: Phương trình tham số và Lượng giác Chương 9: Các đường Conic và Hàm phân thức Chương 10: Hàm lượng giác Chương 11: Chuỗi Chương 12: Xác suất Chương 13: Ứng dụng của Khoa học thống kê 7 I. ĐỒ THỊ CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM SỐ Sherlock Holmes đã đi theo sau dấu chân và những manh mối khác để theo dõi những tội phạm khả nghi. Trong khi anh ấy đi theo các manh mối đã giúp anh ấy biết được chính xác nơi mà chúng đã đến. Đường đi của chúng có thể được vẽ trên bản đồ, mỗi vị trí đều được mô tả bởi tọa độ x và y. Nhưng làm thế nào anh ấy có thể xác định được nghi phạm đã ở những chỗ đó lúc nào? Hai biến là thường không đủ để diễn tả những điều đó một cách đầy đủ. Bạn có thể sử dụng phương trình tham số để mô tả tọa độ x và y của một điểm riêng biệt như hàm số của 1 biến thứ 3, t, gọi là tham số. Phương trình tham số cung cấp cho bạn thêm nhiều thông tin và kiểm soát tốt hơn những điểm bạn đánh dấu. Trong ví dụ này, biến t tương ứng với thời gian và bạn sẽ viết phương trình tham số để mô tả chuyển động trên màn hình máy tính của bạn. Quan sát biến t kiểm soát giá trị x và y như thế nào. Ví Dụ A: Hai tàu chở dầu rời Corpus Christi, Texas, cùng lúc đó, di chuyển tới St.Petersburg, Florida, hướng đông 900 dặm. Tàu A di chuyển với tốc độ không đổi là 18dặm/h và tàu B di chuyển với tốc độ không đổi là 22dặm/h. Viết phương trình tham số và sử dụng máy tính của bạn để mô phỏng chuyển động trong tình huống này. Lời giải: Để vẽ đồ thị tình huống này, trước hết bạn phải lập một hệ tọa độ. Đặt vị trí gốc là (0,0) tại Corpus Christi. Bởi vì St.Petersburg là thẳng hướng đông nên tọa độ của nó là (900,0). Tọa độ x của mỗi điểm được đánh dấu là khoảng cách của con tàu từ Corpus Christi và tọa độ y cho mỗi đường sẽ vẫn không đổi bởi vì con tàu di chuyển thẳng theo hướng đông. 8 Đặt máy tính của bạn trong chế độ tham số và đồng bộ [ Nhìn vào máy tính 8A để học về cách thức thiết lập của phương trình tham số] Xác định phương trình của bạn và suy nghĩ về chuyển động của con tàu. Sau 1h di chuyển với 18dặm/h, tàu A đã đi được 18 dặm từ Corpus Christi. Sau 2h, nó sẽ đi được 36dặm; sau 10h , nó sẽ đi được 180dặm và sau t h, nó sẽ đi được 18t dặm. Với khoảng cách chuyển động nằm ngang là được xác định bởi phương trình x = 18t. Phương trình này xác định vị trí nằm ngang của tàu A tại bất cứ thời gian đã cho; giá trị x là phụ thuộc vào thời gian, hay phụ thuộc vào giá trị t. Con tàu không di chuyển ở tất cả các hướng bắc hay nam nên giá trị y vẫn không thay đổi. Nếu bạn chọn giá trị y là 0 thì con tàu sẽ di chuyển trên trục x và bạn sẽ không thể nhìn thấy nó trên máy tính. Thay vào đó, ta cho tàu A là con tàu đầu tiên được xác lập bởi y = 1. Phương trình x =18t và y = 1 là môt cặp của phương trình tham số. Bạn có thể thiết lập chuyển động của tàu B với phương trình tham số là x = 22t và y = 2. Tại sao vị trí nằm ngang của nó được xác đinh bởi 22t ? Để tìm thấy cửa sổ đồ họa tốt thì cần xem xét tình hình. Con tàu phải di chuyển 900dặm về phía đông, vì vậy giá trị x nằm trong phạm vi 0x 900. Bạn chọn giá trị y không đổi gồm 1 và 2 nên khoảng biến thiên -1 3 là đủ. Khi vẽ đồ thị của phương trình tham số bạn cũng phải xác đinh một khoảng cho t. Tàu đi chậm hơn đi 18 dặm một giờ nên nó mất 50 giờ để đi được 900 dặm, do đó giá trị t biến thiên từ 0 đến 50. Nhập những giá trị đó vào máy tính của bạn như hiển thị dưới đây. Chú ý rằng bạn cũng phải nhập vào t -bước. t-bước của 0.1 nghĩa là một điểm là được đánh dấu cứ mỗi 0.1 h ( hay 6 phút). Dựa vào đồ thị trên máy tính của bạn và quan sát chuyển động của con tàu [ Nhìn vào máy tính 8B để học cách nhập và đồ thị của phương trình tham số, và để học nhiều hơn về thiết lập cửa sổ] 9 8B [0, 900, 100, -1, 3, 1] [0, 900, 100, -1, 3, 1] [0, 900, 100, -1, 3, 1] Đồ thị khi t = 20. Đồ thị khi t = 40. Đồ thị khi t = 50. Khi bạn sử dụng mô hình chuyển động của phương trình tham số bạn cần lưu ý đến hương của vật thể cũng như tốc độ. Tốc độ có hướng được gọi là vận tốc. Vận tốc không giống tốc độ, có thể dương hoặc âm. Nếu bạn xác đinh đúng đắn vận tốc dù âm hay dương, bạn sẽ có 10 Chuyển động Lên hay hướng bắc Xuống hay hướng nam Trái hay hướng tây Phải hay hướng đông [...]... -1 -3 -0.5 Để khử tham số, ta giải một trong các 0 -4 0 phương trình tham số được t và thay vào phương trình tham số khác 1 -3 0.5 x = t2 – 4 và y = Các 2 0 1 phương trình tham số về x và y 3 5 1.5 t2 = x + 4 Thêm 4 vào cả 2 vế của phương trình x t= Lấy căn bậc 2 của cả 2 vế để giải được t y= = Thay t vào phương trình tham số y để có được một phương trình đơn chỉ có x và y y= Phương trình y duy nhất... t trong phương trình tham số y ban đầu và thay vào phương trình tham số x x = t2 – 4 và y = Các phương trình tham số x và y t = 2y Nhân thêm 2 vào phương trình tham số y để giải t x = (2y)2 – 4 Thay t là 2y vào phương trình tham số x 2 x = 4y – 4 Khai triển 19 x + 4 = 4y2 Thêm 4 vào 2 vế 2 =y Chia cả 2 vế cho 4 y= Lấy căn bậc 2 của cả 2 vế y= Lấy căn bậc 2 của 4 Chú ý rằng kết quả của cả 2 phương pháp... các phương trình đó? 7 Tìm khoảng t nhỏ nhất để tạo một đồ thị của phương trình tham số x =t + 2 và y = t 2 mà phù hợp với những điều kiện và 8 Xét các phương trình tham số x = f(t) = t + 2 và y = g(t) = a Vẽ đồ thị x = f(t) và y = g(t) b Vẽ đồ thị x = f(t) và y = - g(t) và xác định sự biến đổi so với phương trình ban đầu Khử tham số để viết phương trình đơn chỉ có x và y c Vẽ đồ thị x = -f(t) và y... O(0,0) 34 a )Phương trình tham số của đường tròn là gì? b)Trong chương 4 bạn đã biêt phương trình tham số của đường tròn đơn vị là x 2 + y2 = 1 Thay thế phương trình tham số cho x, y thành sin cosin c)Sử dụng máy tính kiểm tra phương trình 4b với t = 47 5.Tìm phương trình tham số của những elip 35 IV SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ THIẾT LẬP QUÁ TRÌNH Gió và trọng lượng không khí ảnh hưởng đếnn hướng và tốc độ... trình của x theo t b Viết một phương trình của y theo t x 5 -1 4 6 0 5 7 1 6 8 2 c Khử tham số và kết hợp các phương trình trong 4a và 4b Chứng minh rằng phương trình này phù hợp với các giá trị (x,y) 5 Sử dụng đồ thị x = f(t) và y = g(t) để tạo ra một đồ thị của y như một hàm số của x Nguyên nhân và ứng dụng 6 Viết phương trình tham số x = f(t) và y = g(t) đã cho ở bài tập 5 và một phương trình y như... những phương trình và đồ thị bằng cách cho x = t và lập y là một hàm số của t thay vì là hàm số của x.Ví dụ, bạn có thể vẽ đồ thị y = x2 còn trong dạng tham số sử dụng x = t và y = t 2 Trọng tâm của bài học này là làm ngược lại là bắt đầu với phương trình tham số và loại bỏ các tham số t, để có được một phương trình đơn chỉ sử dụng x và y Trong nghiên cứu này, bạn sẽ sử dụng phương trình tham số để... góc đo được 73 theo ngược chiều kim đồng hồ tính từ hướng Bắc như hình ở dưới Để giải quyết những vấn đề như trên bạn có thể sử dụng tỉ số lượng giác Cụm từ lượng giác bắt nguồn từ người Hy Lạp với từ tam giác và định lượng Lượng giác có quan hệ với góc đo được và các cạnh của tam giác Ví dụ trong tam giác vuông tỉ số của cạnh tam giác và tỉ số lượng giác là bằng nhau 26 Tỉ số lượng giác Bất kì góc... để khử tham số từ phương trình tham số Suốt cuộc điều tra này, hai máy cảm biến chuyển động đã bắt được dữ liệu mà bạn dùng để tạo ra một mô hình tham số của người đi bộ Sau đó bạn kết hợp hai đồ thị này thành một đồ thị biểu thị mối quan hệ giữa x và y, và bạn kết hợp hai phương trình tham số thành một phương trình đơn chỉ có x và y Bạn kết hợp một cặp phương trình tham số thành một phương trình đơn... hợp Câu hỏi: 1.Trong quá trình khảo sát bạn sử dụng phương trình tham số của đường tròn x = 3cost và y = 3sint để vễ đồ thị trên máy tính Bạn có suy nghĩ x = 3cost và y = 3sint cũng là phương trình tham số của hình vuông hay lục giác Giải thích 2.Tìm phương trình tham số của mỗi đường tròn sau: 33 3.Sử dụng phương trình tham số x =3cost y = 3sint để tính toán Giá trị của t và t bước yêu cầu cho mỗi... cặp phương trình tham số có thể được viết thành một phương duy chỉ có x và y Việc có thể khử tham số trong phương trình tham số là một kỹ năng quan trọng bởi vì nó cho bạn hai cách khác nhau để nghiên cứu một mối quan hệ Bài tập: Luyện tập kỹ năng 1 Giải mỗi phương trình sau cho t a x = t + 1 b x = 3t – 1 c x = t2 d x = t – 1 2 Viết mỗi cặp phương trình tham số thành một phương trình chỉ có x và y . này với đồ thị trong 3a c. Đồ thị x = t và y = t 2 – 3. So sánh đồ thị này với đồ thị trong 3a d. Dự đoán đồ thị của x = t + 5 và y = t 2 + 2 so sánh với đồ thị trong 3a. Xác nhận câu trả. VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THEO SÁCH “DISCOVERING ADVANCED ALGEBRA Người thực hiện: Nhóm 6 Toán 3A 1 Huế, tháng 9 năm 2013 2 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Toán học là một khoa học, một ngôn ngữ, một nghệ. -1 1 0 0 0 1 1 1 2 2 4 e. Dự đoán đồ thị của x = t + a và y = t 2 + b so sánh với đồ thị trong 3a 4. Khảo sát những đồ thị này, dùng cửa sổ tiện lợi với thừa số của 2 và -10 . a. Đồ thị x = t