Hãy tưởng tượng rằng bạn đang ngồi gần thác của một con suối. Cá hồi đang cố gắng bơi ngược dòng. Chúng phải nhảy ra khỏi nước để vượt qua thác.
Trong khi ngồi trên bờ, bạn quan sát 100 cá hồi đang nhảy và trong số đó,có 35 thành công. Không có các thông tin khác, bạn có thể ước tính rằng xác suất thành công là 35% cho mỗi bước nhảy.
Xác suất mà một cá hồi sẽ nhảy lần thứ hai là gì? Lưu ý rằng tình trạng này đòi hỏi hai điều kiện được đáp ứng: là cá hồi không thành công trên lần nhảy đầu tiên, và rằng nó thành công trên lần nhảy thứ hai. Trong sơ
đồ, bạn thấy rằng xác suất này là (0,65)(0,35)= 0,2275, tương đương khoảng 23%. Để xác định xác suất mà cá hồi thực hiện lần nhảy đầu tiên hoặc thứ hai, bạn tổng hợp các xác suất cá hồi nhảy lần đầu tiên và nhảy lần thứ hai. Xác suất là 0,35 + 0,2275 = 0,5775, tương đương khoảng 58%.
Xác suất thành công như thế này thường được sử dụng để dự đoán số lượng các thử nghiệm độc lập yêu cầu trước khi thành công đầu tiên (hoặc thất bại) là đạt được. Tình hình cá hồi đã cho xác suất thực nghiệm. Trong việc điều tra, bạn sẽ khám phá lý thuyết xác xuất kết hợp với xúc xắc
37
Mỗi người sẽ cần một xúc xắc. [Xem tính Lưu ý 1L để mô phỏng xúc xắc nếu bạn không có] Hãy tưởng tượng rằng bạn đang về để chơi một trò chơi mà trong đó bạn phải gieo xúc xắc lần lượt.
Bước 1 Bước 2 Bước 3 Bước 4 Bước 5 Bước 6 Bước 7
Ghi số lần gieo cần cho bạn để có được kết quả. Lặp lại điều này mười lần. Kết hợp kết quả của bạn với những người trong nhóm của bạn và tìm giá trị trung bình của tất cả các giá trị. Sau đó tìm giá trị trung bình của tất cả các kết quả của nhóm trong lớp.
Căn cứ vào thí nghiệm này, bao nhiêu lần gieo có kết quả như bạn đã dự đoán? Để tính toán kết quả về mặt lý thuyết , hãy tưởng tượng một chuỗi lần gieo "hoàn hảo " , với kết quả 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 , 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 , và như vậy. Trên trung bình , bao nhiêu lần gieora được kết quả là 4?
Một cách tiếp cận lý thuyết sử dụng thực tế là xác suất thành công là 1/ 6. Tính toán xác suất của lần đầu tiên được 4 trong danh sách đầu tiên,lần đầu tiên được 4 trong danh sách thứ hai , lần đầu tiên được 4 trong danh sách thứ ba , và lần đầu tiên 4 trong danh sách thứ tư . ( Một sơ đồ cây có thể giúp bạn làm các tính toán . )
Tìm một công thức cho xác suất của lần đầu tiên được 4 trong danh sách thứ n . Tạo một bảng tính với các số từ 1 đến 100 . [ Xem tính Lưu ý 12B] cho một cách nhanh chóng để nhập dữ liệu vào danh sách . ] Sử dụng công thức của bạn từ bước 5 để tạo một danh sách thứ hai của xác suất của các lần đầu tiên được 4 trong danh sách đầu tiên,khi gieo thứ hai , thứ ba trong danh sách , và như vậy, đến khi gieo 100 lần . Tạo ra một danh sách thứ ba đó là sản phẩm của hai danh sách này . Tính tổng của danh sách thứ ba này . [ Xem tính Lưu ý 2B . ]
Làm thế nào để biết được kết quả mà bạn tìm thấy trong Bước 6 để ước tính của bạn trong bước 2 và 3?p
Giá trị trung bình mà bạn tìm thấy trong các bước 2 , 3 , 6 và được gọi là giá trị kỳ vọng . Nó còn được gọi là giá trị lâu dài , hoặc giá trị trung bình . Nhưng đó là giá trị kỳ vọng của những gì? Một số lượng số có giá trị phụ thuộc vào kết quả của một thử nghiệm cơ hội được gọi là một biến ngẫu nhiên . Trong các cuộc điều tra ngẫu nhiên variabl điện tử đã làm cho số lượng các cuộn trước khi nhận được một 4 trên một chết . Bạn tìm thấy giá trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiên đó . Số lượng nhảy một hồi làm trước khi thành công là một ví dụ của một biến ngẫu nhiên . Cả hai biến là các biến ngẫu nhiên rời rạc bởi vì giá trị của chúng là các số nguyên . Họ còn được gọi là các biến ngẫu nhiên hình học bởi vì họ là một số
38
trong số các phép thử độc lập trước khi một cái gì đó xảy ra ( thành công hay thất bại) . Bạn sẽ khám phá ra lý do tại sao các biến này có thể được gọi là hình học trong việc thực hiện thiết lập cho bài học này . Ví dụ sau đây cho thấy các biến rời rạc ngẫu nhiên mà không phải là hình học
Ví dụ A Khi hai con xúc xắc được gieo cùng một lúc, tổng các kết quả khác nhau. a. Các giá trị có thể có của các biến ngẫu nhiên, xác suất và những gì có liên quan đến những giá trị đó là gì?
b. Giá trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiên này là gì?
Giải Biến ngẫu nhiên x có giá trị của nó như tất cả các kết quả có thể của hai con xúc xắc.
Các giá trị của x là các số nguyên như vậy mà 2 x 12. Bảng này cho thấy mỗi giá trị và khả năng của nó, tính toán bằng cách đếm số lượng các kết quả.
Giá trị kỳ
vọng
của x là
trung bình lý thuyết mà bạn mong muốn có sau khi nhiều cuộn của con xúc xắc. Trực giác của bạn có thể cho bạn biết rằng giá trị dự kiến là 7. Một cách để tìm kiếm bình quân này là để tưởng tượng 36 "hoàn hảo" cuộn, vì vậy mọi kết quả có thể xảy ra đúng một lần. Trung bình của các giá trị là
Nếu bạn phân phối các mẫu trên các điều khoản trong tử số, và nhóm như kết quả, bạn sẽ có được một biểu thức tương đương có sử dụng xác suất:
Lưu ý rằng mỗi hạn trong biểu thức này là tương đương với các sản phẩm của một giá trị của x và xác suất tương ứng, P (x), trong bảng trên trang 688.
39
Ngay cả khi một biến ngẫu nhiên là rời rạc, giá trị kỳ vọng của nó có thể không phải là một số nguyên
Ví dụ B Khi Nate đi thăm ông nội, ông nội của ông luôn mang đến cho anh ta một lời khuyên và một hóa đơn từ ví của mình. Ông nhắm mắt lại và lấy ra một hóa đơn và đưa cho Nate. Trong chuyến viếng thăm này, ông sẽ gửi Nate để có được chiếc ví của mình. Nate liếc bên trong và thấy 8 hóa đơn: 2 tờ một đô la, 3 hóa đơn năm đô la, 2 hóa đơn mười đô la, và 1 hóa đơn hai mươi đô la. Là những gì giá trị kỳ vọng của dự luật Nate sẽ nhận được?
giải Biến ngẫu nhiên x có trên 4 giá trị có thể, và từng có một xác suất được biết đến.
Giá trị kì vọng sẽ là $ 7,125.
Cách tiếp cận khác, sử dụng phân chia, cho cùng một kết quả:
Nate không thực sự mong đợi ông nội cho lôi ra tờ $ 7,125. Nhưng nếu Ông đã hoạt động hơn và hơn nữa, với các hóa đơn cùng, giá trị của dự luật sẽ trung bình $ 7,125. Giá trị dự kiến sẽ áp dụng cho
40
một thử nghiệm đơn lẻ, nhưng nó dựa trên mức trung bình trong nhiều thử nghiệm tưởng tượng
Trong ví dụ B, giả sử Nate luôn luôn có sự lựa chọn cùng một hóa đơn và ông đã phải trả ông nội của ông $ 7 cho các đặc quyền nhận được một hóa đơn. Về lâu dài, ông muốn làm cho $ 0,125 cho mỗi thử
nghiệm. Mặt khác, nếu Nate đã phải trả $ 8 mỗi lần, ông nội của ông sẽ làm cho $ 0,875 trên trung bình cho mỗi thử nghiệm. Đây là nguyên tắc đằng sau cách mà xổ số và sòng bạc kiếm tiền. Đôi khi con bạc thắng, nhưng trên con bạc trung bình mất.
41
Bạn có thể sử dụng mức trung bình hay phương pháp xác suất để tìm thấy những giá trị kỳ vọng nếu biến ngẫu nhiên có trên một số hữu hạn các
giá trị. Nhưng không có giới hạn lý thuyết để số lần bạn có thể phải lăn súc sắc trước khi nhận được 4. Nếu biến ngẫu nhiên có vô cùng nhiều giá trị, bạn phải dùng phương pháp xác suất để tìm thấy những giá trị kỳ vọng.
1. Những con số nào xuất phát từ một biến ngẫu nhiên rời rạc? Giải thích. a. số lượng trẻ em được sinh ra cho các thành viên của lớp học của bạn b. chiều dài của bút chì của bạn trong inch
c. số lượng các bức thư trong hộp thư của bạn hôm nay
2. . Những con số nào xuất phát từ một biến ngẫu nhiên hình học? Giải thích a. số lượng các cuộc gọi điện thoại của một điện thoại viên
b. số lượng mèo trong nhà của một chủ sở hữu con mèo
c. số phút cho đến khi các đài phát thanh chơi bài hát yêu thích của bạn
3. Bạn đã học được rằng 8% số học sinh trong trường học của bạn là thuận tay trái. Giả sử bạn chặn sinh viên một cách ngẫu nhiên và hỏi xem liệu họ có thuận tay trái.
a. Xác suất mà người thuận tay trái đầu tiên bạn tìm thấy là bao nhiêu?
b. Xác suất mà bạn sẽ tìm thấy chính xác một người thuận tay trái trong ba lần là bao nhiêu?
Sòng bạc kiếm tiền vì trên con bạc trung bình đặt cược nhiều hơn họ giành chiến thắng. Số tiền mà các sòng bạc ủng hộ được gọi là "cạnh nhà," tính toán bằng cách tìm các tỷ lệ lợi nhuận dự kiến của sòng bạc của người chơi ban đầu đặt cược. Có hai cách mà một sòng bạc tạo ra một cạnh. Trong một số trò chơi, như cờ vua, xác suất chỉ đơn giản là cao hơn các đại lý sẽ giành chiến thắng. Trong một trò chơi như Roulette, các sòng bạc trả tiền cho một người chiến thắng với tỷ lệ thấp hơn tỷ lệ thực tế của chiến thắng. Dù bằng cách nào, các sòng bạc luôn luôn lợi nhuận trong thời gian dài.
Tên Roulette có nguồn gốc từ roelete từ tiếng Pháp, có nghĩa là bánh xe
42
4. Giả sử bạn đang tham gia một bài kiểm tra trắc nghiệm cho vui. Mỗi câu hỏi có năm lựa chọn (A-E). Bạn lăn súc sắc sáu mặt và đánh dấu câu trả lời theo số lượng vào mỗi mặt và bỏ trống câu trả lời nếu mặt là 6. Mỗi câu là ghi được một điểm cho một câu trả lời đúng, trừ đi một phần tư điểm cho một câu trả lời sai, và không có điểm cho một câu hỏi để trống.
a. Giá trị kỳ vọng cho mỗi câu hỏi là bao nhiêu?
b. Giá trị kỳ vọng cho một thử nghiệm 30 câu hỏi là bao nhiêu? Nguyên nhân và Áp dụng
5. Sly hỏi Andy chơi một trò chơi với anh ta. Họ lăn một con xúc sắc. Nếu Tổng số lớn hơn 7, Andy được 5 điểm. Nếu tổng số ít hơn 8, Sly được 4 điểm.
a. Tìm một người bạn và chơi trò chơi mười lần. [Xem tính Lưu ý 1L nếu bạn không có con xúc xắc. ] Ghi lại những điểm số cuối cùng. b. Xác suất thực nghiệm rằng Andy sẽ có một điểm số cao hơn sau khi mười trò chơi là bao nhiêu?
c. Vẽ một sơ đồ cây của tình trạng này cho thấy xác suất lý thuyết. d. Nếu bạn xem xét trò chơi này theo quan điểm của Andy, giá trị chiến thắng của mình là 5 và giá trị mất mình là -4. Giá trị kỳ vọng của trò chơi từ quan điểm của mình là bao nhiêu?
e. Gợi ý một bản phân phối khác của các điểm đó sẽ có lợi cho cả hai người. 6. Giả sử mỗi hộp của một loại ngũ cốc có chứa một thẻ với một lá thư từ
CHAMPION . Các chữ cái đã được phân bổ đồng đều trong các hộp. Bạn giành chiến thắng một giải thưởng khi bạn gửi trong tất cả tám chữ cái
a. Dự đoán số hộp bạn mong chờ mua để có được tất cả tám chữ.
b. Mô tả một phương pháp mô hình hóa vấn đề này bằng cách sử dụng tạo số ngẫu nhiên trong máy tính của bạn.
c. Sử dụng phương pháp của bạn để mô phỏng giành giải thưởng. Thực hiện điều này năm lần. Ghi lại kết quả của bạn.
d. Số lượng trung bình của các hộp bạn sẽ phải mua để giành chiến thắng giải thưởng là bao nhiêu?
e. Kết hợp kết quả của bạn với một số bạn cùng lớp. con số trung bình tổng thể của hộp cần thiết để giành chiến thắng trong giải thưởng la bao nhiêu?
7. Trong một phòng hòa nhạc, 16% số ghế trong khu A, 24% là trong khu B, 32% là trong khu C, và 28% là trong khu D. Khu A vé được bán với giá $ 35, khu B $ 30, khu C cho $ 25, và khu D với $ 15. Bạn thấy một vé bị mắc kẹt trong một cái cây.
a. Giá trị kỳ vọng của vé là bao nhiêu?
b. Các dấu hiệu trên nhìn vé như một trong hai khu A hoặc C. Nếu điều này là đúng, thì xác suất mà vé là cho khu C là bao nhiêu?
43
8. Sơ đồ cây bên phải đại diện cho một trò chơi chơi giưa hai ngươi.
a. Tìm giá trị của x cung cấp cho khoảng giá trị dự kiến tương tự cho mỗi người chơi.
b. Thiết kế một trò chơi mà có thể được mô tả bằng sơ đồ cây này. (Bạn có thể sử dụng tiền xu, con xúc xắc, sợi, hoặc một số thiết bị khác.)
Giải thích các quy tắc của trò chơi và tính số điểm. 9. ÁP DỤNG
Bonny và Sally đang chơi trong một giải đấu quần vợt. Trên trung bình, Bonny cản 80% các quả bóng, trong khi Sally cản 75% . Bonny phục vụ đầu tiên. Bên phải là sơ đồ cây mô tả chuỗi các sự kiện có thể cho một và hai quả volley bóng. (Một volley là một chuỗi duy nhất của Bonny đánh bóng và Sally trả lại nó.) Lưu ý rằng một khi một bóng bị mất, chúng phân nhánh kết thúc.
a. Xác suất mà Bonny sẽ giành chiến thắng điểm chỉ sau một cú vô lê là bao nhiêu?b. Xác suất mà Bonny sẽ giành chiến thắng trong thời điểm chính xác trong hai volley là bao nhiêu?c. Làm cho một sơ đồ cây để đại diện cho ba quả volley. Xác suất mà Bonny sẽ giành chiến thắng trong thời điểm chính xác trong ba volley là bao nhiêu?d. Xác suất mà Bonny sẽ giành chiến thắng điểm trong tối đa là ba volley là bao nhiêu?e. Loại thứ tự thực hiện câu trả lời cho hình thức 9a-c? Giải thích.
f. Xác suất mà Bonny sẽ giành chiến thắng điểm nhiều nhất là sáu volley là bao nhiêu?g. Về lâu dài, những gì là xác suất mà Bonny sẽ giành chiến thắng trong thời điểm?
Trong mô phỏng máy tính của các sự kiện thể thao, thiết kế phần mềm nhập tất cả các dữ liệu và thống kê mà họ có thể tìm thấy để họ có thể mô hình các trò chơi một cách chính xác nhất có thể. Trong quần vợt, ví dụ, thống kê riêng lẻ trên phục vụ, cầu trái tay và cầu thuận tay, và vị trí trên sân đã được tính đến. Khi thiết lập một nhóm tưởng tượng hoặc kết hợp, lập trình căn thức của họ về xác suất thực tế, và ngay cả những cầu thủ tốt nhất
hoặc các đội sẽ mất một vài lần. Người chơi quần vợt Mỹ Venus và Serena Williams
được chỉ ra ở đây chơi trong đôi của phụ nữ tại các giải vô địch quần vợt Úc mở rộng 2003 ở Melbourne, Úc.
44 IV. Bài 12.5: Hoán vị và xác suất
Đừng bao giờ nói không bao giờ. Không bao giờ là một thời gian dài, và cuộc sống quá đầy đủ các khả năng phong phú để có những hạn chế đặt trên nó. GLORIA SWANSON Bạn sẽ cần năm loại đối tượng khác nhau
Tử số và mẫu số của một xác suất lý thuyết là những con số khả năng. Đôi khi những khả năng theo mô hình