Toán học cũng giống như tình yêu là một ý tưởng đơn giản nhưng nó có thể trở nên phức tạp R. Drabek
Nếu lật ba đồng xu và vẽ sơ đồ cây, nguyên tắc tính đều chỉ ra rằng có 2.2.2, hay 8, kết quả đều có khả năng: 2 sự lựa chọn, sau đó 2 sự lựa chọn, sau đó 2 sự lựa chọn. Nhưng nếu bạn không quan tâm đến thứ tự mà người đứng đầu và đuôi xảy ra, sau đó bạn có thể mô tả con đường 2, 3, và 5 là "2 đầu và 1 đuôi," và con đường 4, 6, và 7 là "1 đầu và 2 đuôi. "Vì vậy, nếu bạn không quan tâm về thứ tự, chỉ có 4 kết quả, mà không phải là đều có khả năng:
3 con (một con đường)
2 đầu và 1 đuôi (ba đường dẫn) 1 đầu và 2 đuôi (ba đường dẫn) 3 đuôi (một con đường)
Trong bài học này, bạn sẽ tìm hiểu về tính kết quả và tính toán lý thuyết xác khi đặt hàng không quan trọng. Có khả năng nói chung là ít hơn nếu tự không
56
quan trọng hơn đó là nếu thứ tự quan trọng .
Ví dụ A
Tại cuộc họp đầu tiên của Câu lạc bộ quốc tế, các thành viên làm quen bằng cách giới thiệu bản thân và bắt tay. Mỗi thành viên bắt tay với tất cả các thành viên khác đúng một lần. Bao nhiêu cái bắt tay là có ở từng tình huống được liệt kê dưới đây không?
a. Ba người gặp nhau. b. Bốn người gặp nhau. c. Năm người đáp ứng. d. Mười lăm người đáp ứng.
giải pháp
Các điểm (đỉnh) hình trong sơ đồ trên có thể đại diện cho ba, bốn, năm người ở một căn phòng, và các đường (cạnh) có thể đại diện cho những cái bắt tay. Các biểu đồ cho thấy có 3 cái bắt tay giữa 3 người, trong 6 cái bắt tay giữa 4 người, và 10 cái bắt tay giữa 5 người. Bạn có thể tìm thấy số lượng bắt tay bằng cách đếm cạnh, nhưng khi bạn thêm nhiều người vào nhóm, nó sẽ trở nên khó khăn hơn để thu hút và đếm. Vì vậy, tìm kiếm các mẫu để xác định số lượng của cái bắt tay giữa 15 người.
Bốn cạnh tại mỗi đỉnh trong sơ đồ bắt tay năm người có thể cho rằng có 5 · 4 cạnh. Tuy nhiên, nếu bạn sử dụng phương pháp này để tính các cạnh, sau đó một cạnh ̅̅̅̅như sẽ được tính tại đỉnh D và một lần nữa ở đỉnh B. Bởi vì ̅̅̅̅cũng giống như ̅̅̅̅, bạn đang đếm hai lần như nhiều cạnh như tổng số thực tế. Số lượng các khả
57
Ví dụ B
giải pháp
năng mà tự không quan trọng là chỉ có một nửa số trong đó để không thành vấn đề. Do đó, nếu 15 người đang ở trong phòng, có , hoặc 105 cái bắt tay.
Bạn có thể nghĩ mỗi cái bắt tay như a cặp đôi của hai trong số những người trong phòng, hoặc hai trong số các đỉnh. Khi bạn đếm các bộ sưu tập của người dân hoặc đối tượng, không phân biệt thứ tự, bạn đang tính kết hợp.
Số kết hợp của 5 người lấy 2 tại một thời điểm được tượng trưng bởi C . (Ký hiệu C có thể được đọc như ". Năm chọn hai") Mặc dù có P ., hoặc 20, hoán vị của 5 đỉnh lấy 2 tại một thời điểm, bạn chỉ có một nửa số kết hợp:
C =
Bạn có thể tính được số lượng bắt tay ở Ví dụ A theo cách tương tự:
C =
Anna, Ben, Chang và Dena là thành viên của Câu lạc bộ quốc tế, và họ đã tình nguyện làm trên một ủy ban sẽ tổ chức một buổi tiếp tân để trao đổi sinh viên. Thường chỉ có ba sinh viên trong ủy ban. Bao nhiêu ủy ban gồm ba thành viên khác nhau có thể được hình thành với bốn sinh viên?
Lưu ý rằng thứ tự là không quan trọng. ABD và BDA là trường hợp tương tự và không nên được tính nhiều hơn một lần. Số kết hợp khác nhau sẽ ít hơn so với số lượng hoán vị, P , hoặc 24 được liệt kê trên trang tiếp theo.
ABC ABD ACD BCD ACB ADB ADC BDC BAC BAD CAD CBD BCA BDA CDA CDB CAB DAB DAC DBC
58
Ví dụ C
giải pháp
CBA DBA DCA DCB
Bốn ban được liệt kê ở hàng đầu có thể đại diện cho toàn bộ 3!, Hoặc 6, hoán vị được liệt kê ở mỗi cột. Vì vậy, số lượng tổ hợp, C , là một phần sáu số hoán vị. Đó là, C =
Bạn có thể tính C bằng cách sử dụng định nghĩa giai thừa của
Chứ không phải chỉ đơn giản là ghi nhớ các công thức ở trên, cố gắng để hiểu làm thế nào số lượng kết hợp liên quan đến số lượng hoán vị và một sơ đồ cây. Bạn có thể muốn vẽ một đại diện của mỗi vấn đề bạn điều tra. Bạn có thể đếm tổ hợp để tính toán xác suất lý thuyết
Giả sử tung một đồng xu 10 lần.
a. Xác suất để nó ra mặt ngửa năm lần là bao nhiêu?
b. Xác suất mà nó sẽ đất đầu chính xác gấp năm lần, bao gồm cả trên flip thứ ba là gì?
Sơ đồ cây cho vấn đề này có mười giai đoạn (một cho mỗi lần tung) và chia tách thành hai khả năng (ngửa hoặc mặt
sấp) tại mỗi điểm trên đường dẫn. Nó không cần thiết để vẽ toàn bộ sơ đồ cây. Theo nguyên tắc tính có 210 hoặc 1024 khả năng.
a. Để tìm các tử số của tỷ lệ xác suất, bạn phải xác định bao nhiêu của 1024 con đường riêng biệt có 5 ngửa. Bởi vì thứ tự là không quan trọng, bạn có thể tìm thấy số lượng đường đi phù hợp với mô tả điều này
bằng cách kết hợp tính. Có nhiều cách để lựa chọn 5 trong 10 lần tung để chứa H. [Xem tính Lưu ý 12E để học cách tìm các con số kết hợp trên một máy tính. ] Đó là, 252 của con đường năm 1024 sẽ bao gồm đúng 5 ngửa.
59
Do đó, xác suất mà bạn sẽ có được chính xác 5 người đứng đầu và 5 người đứng sau là
, hay xấp xỉ 0,246.
a. Nếu có một đầu vào lật thứ ba, sau đó bốn người đứng đầu khác phải được chọn từ chín người kia làm bật. Có C
hoặc 126 cách làm cho sự lựa chọn đó. Do đó, xác suất của sự kiện này là
, hay xấp xỉ 0,123.
Trong việc điều tra, bạn sẽ tính kết hợp để khám phá lý do tại sao toán học chơi xổ số là một kế hoạch thất bại
Bạn sẽ làm việc Bước 1 của nghiên cứu này với cả lớp. Sau đó, trong bước 2-8, bạn sẽ làm việc với nhóm của bạn để phân tích kết quả. Xem xét một xổ số nhà nước gọi là xổ số 47. Hai lần một tuần, người chơi chọn sáu số khác nhau từ 1 đến 47. Xổ số hoa hồng nhà nước cũng lựa chọn sáu số từ 1 đến 47. Để lựa chọn không quan trọng, nhưng người chơi cần phải phù hợp với tất cả sáu số để giành chiến thắng xổ số 47.
Bước 1 Thực hiện theo các
hướng dẫn với lớp học của bạn để mô phỏng chơi xổ số 47.
a. Trong năm phút, viết ra như nhiều bộ sáu số khác
nhau như bạn có thể. Viết chỉ số nguyên từ 1 đến 47.
b. Sau năm phút bằng văn bản, tất cả mọi người đứng lên.
c. Giáo viên của bạn sẽ tạo ra một số ngẫu nhiên, 1-47. Gạch bỏ tất cả các bộ của sáu số không chứa số lượng nhất định. Nếu bạn vượt qua tất cả các bộ của bạn, ngồi xuống.
d. Giáo viên của bạn sẽ tạo ra một số thứ hai, 1-47. (Nếu đó là số lượng tương tự như trước, nó sẽ bị bỏ qua.) Một lần nữa, vượt qua tất cả các bộ của bạn không chứa con số này. Nếu bạn vượt qua tất cả các bộ của bạn, ngồi xuống.
e. Giáo viên của bạn sẽ tiếp tục tạo ra các số ngẫu nhiên khác nhau cho đến khi không có ai vẫn còn đứng, hoặc sáu con số đã được tạo ra
Làm việc cùng với nhóm bạn để trả lời các câu hỏi trong bước 2-8
60 Bước2 Bước 3 Bước 4 Bước 5 Bước 6 Bước7 Bước 8: .
Khả năng mà bất kỳ một bộ sáu số chiến thắng là gì?
Với giá $ 1 cho mỗi bộ sáu số, có bao nhiêu mỗi thành viên trong nhóm của bạn đầu tư trong năm phút đầu tiên? Tổng mức đầu tư nhóm là gì?
Ước tính tổng số tiền đầu tư của toàn bộ lớp trong năm phút đầu tiên. Giải thích làm thế nào bạn xác định ước tính này.
Ước tính xác suất mà một người nào đó trong lớp học của bạn chiến thắng. Giải thích làm thế nào bạn xác định ước tính này.
Ước tính xác suất mà một người nào đó trong trường học của bạn sẽ giành chiến thắng nếu tất cả mọi người trong các trường tham gia vào hoạt động này. Giải thích làm thế nào bạn xác định ước tính này.
Nếu mỗi tập thể của sáu số được viết trên một chip 1-inch, và nếu tất cả các chip đã được đặt đầu đến cuối, bao lâu sẽ dòng chip được? Chuyển đổi câu trả lời cho một đơn vị thích hợp.
Viết một đoạn văn so sánh xổ số 47 với một số sự kiện khác có khả năng xấp xỉ như nhau
Thực hành kỹ năng của bạn
1. Đánh giá từng biểu hiện mà không cần sử dụng máy tính của bạn. a. b. c. d.
2. Đánh giá từng biểu thức. a. C b. C c. C d. C
3. Xem xét từng biểu thức trong dạng P và C a. Mối quan hệ giữa P và C là gì?
b. Mối quan hệ giữa P và C là gì? c. Mối quan hệ giữa P và C là gì? d. Mối quan hệ giữa P và C là gì?
e. Mô tả cách bạn có thể tìm thấy C nếu bạn biết P 4. Mà là lớn hơn, P hoặc C ? Giải thích.
61
L
5.
5.Tìm giá trị của n, r để C bằng 35
6. Tìm một số r, r # 4, như vậy C = C . Giải thích tại sao câu trả lời của bạn có ý nghĩa.
7. Giả sử bạn cần phải trả lời bất kỳ bốn trong bảy câu hỏi bài luận về một bài kiểm tra lịch sử và bạn có thể trả lời chúng theo thứ tự nào.
một. Làm thế nào kết hợp nhiều câu hỏi khác nhau là có thể?
b. Xác suất mà bạn bao gồm tiểu luận Câu hỏi 5 là gì nếu bạn chọn ngẫu nhiên kết hợp của bạn?
8. Có một "khóa kết hợp" thực sự sử dụng sự kết hợp của các số? Có thể gọi là một "khóa hoán vị?"
Giải thích.
9. Tìm các khoản tiền sau đây.
a. C + C + C b. C + C + C + C c. C + C + C + C + C
Làm cho một phỏng đoán về tổng của C + C + ……+ C . Kiểm tra nó bằng cách tìm các số tiền cho tất cả các kết hợp có thể của FIV
10. Xem xét số 47 trò chơi xổ số, mà bạn mô phỏng trong điều tra chiến thắng xổ số. a. Nếu phải mất một người nào đó 10 giây để điền vào một xổ số 47 vé, bao lâu nó sẽ đưa anh ta hoặc cô ấy để điền vào tất cả các vé có thể?
b. Nếu một người nào đó điền 1000 vé, xác suất chiến thắng xổ số 47 của mình là gì?
11. Vẽ một vòng tròn và không gian điểm đều trên chu vi của nó. Rút ra hợp âm để kết nối tất cả các cặp điểm.Bao nhiêu âm là có nếu bạn đặt
a. 4 điểm? b. 5 điểm?
62
c. 9 điểm? d. n điểm?
12. Trong hầu hết các tòa án bang và của địa phương, 12 Hội thẩm và 2 dự khuyết được chọn từ một hồ bơi của 30 bồi thẩm viên tiềm năng.Thứ tự của các khuyết được chỉ định. Nếu một bồi thẩm không thể phục vụ, thì thay thế đầu tiên sẽ thay thế bằng bồi thẩm đoàn. Luân phiên thứ hai sẽ được gọi vào nếu bồi thẩm đoàn khác bị bác bỏ.
a. Có bao nhiêu cách 12 Hội thẩm và khuyết đầu tiên và thứ hai có thể được lựa chọn từ 30 người?
b. Trong trường hợp tòa án liên bang, 12 thành viên hội thẩm và 4 khuyết thường được chọn từ một hồ bơi của 64 tiềm năng hội thẩm. Có bao nhiêu cách này có thể được thực hiện?
63
13. Mở rộng mỗi biểu thức.
a. (X + y)2 b. (X + y)3 c. (X + y)4
14. Bao nhiêu tốc độ, hoặc kết hợp các bánh răng, không có một chiếc xe đạp nếu nó có ba bánh răng ở phía trước và năm bánh răng ở phía sau?
15. Sử dụng sơ đồ cây ở bên phải. Tìm mỗi xác suất và giải thích ý nghĩa của nó. a. P (H và P) b. P (P | H)
c. P (P) d. P (H | P) 16. Nếu phương trình x2
+ y + 6x - 11y + C = 0 mô tả một vòng tròn, cung cấp cho các phạm vi giá trị có thể cho C.
17. Trong khi trên một chuyến đi xem chim, Angelo thấy một con cú phương bắc ở phía trên cùng của một cây cao. Nằm sấp trên bãi cỏ, ông đo góc độ cao của dòng của ông về thị giác cho con cú là 32 °. Sau đó anh ta bò đến gần cây 8,6 m. Góc của dòng của ông về tầm nhìn tại là 42 °. Ông không di chuyển gần hơn nữa vì sợ làm ảnh hưởng đến con cú. Sao gần anh ấy đến được với các cây? Làm thế nào gần anh ấy đến được với các cú? 18. Giả sử giá trị của một tòa nhà nào đó mất giá với tỷ lệ 6% mỗi năm. Khi mới xây dựng trị giá 36.500 $.
a. Bao nhiêu là giá trị xây dựng sau 5 năm và 3 tháng?
b. Với tháng gần nhất, khi nào tòa nhà có giá trị dưới 10.000 USD?
64