Xác suất là một phần của toán học, nó là các số liệu phong phú. Nhiều quá trình ngẫu nhiên, chẳng hạn như tung đồng xu, liên quan đến mô hình trong đó có hai kết quả xảy ra. Trong bài học này, bạn sẽ tìm hiểu về cách sử dụng định lý nhị thức và tam giác Pascal để tìm xác suất trong những trường hợp đó Hiển thị ở bên trái là tam giác Pascal. Nó chứa nhiều hàng khác nhau đã được nghiên cứu trong nhiều thế kỷ. Tam giác bắt đầu với một 1, sau đó có hai số 1 ở dưới nó. Mỗi hàng liên tiếp được điền vào với các con số được hình thành bằng cách thêm hai con số ở trên nó. Ví dụ, mỗi 4 là tổng của một 1 và 3 ở hàng trước. Mỗi dòng bắt đầu và kết thúc với một 1. Trong Bài học 12,6, bạn đã nghiên cứu về tổ hợp của các con số. Những con số này xảy ra trong các hàng của tam giác Pascal. Ví dụ, số 1, 5, 10, 10, 5, và 1 ở hàng thứ sáu là những giá trị của 5Cr :5C0=1 ,
5C1=5 , 5C2=10 , 5C3=10 , 5C4=5 , 5C5=1
Đây là trường hợp trong tất cả các hàng? Nếu vậy, tại sao? Trong điều tra dưới đây, bạn sẽ khám phá những câu hỏi trên
Bước 1: Bước 2: Bước 3:
Bước 4:
Một nhóm năm sinh viên thường xuyên ăn trưa với nhau, nhưng mỗi ngày chỉ có ba người trong số họ có thể có mặt Có bao nhiêu nhóm ba sinh viên có thể có? Thể hiện câu trả lời của bạn dưới dạng nCr và như một số
Nếu Leora chắc chắn có mặt,vậy có bao nhiêu học sinh khác sẽ có mặt tại đó? Có bao nhiêu sinh viên đang học để lựa chọn? Tìm Tổ hợp số sinh viên có thể có trong trường hợp này. Thể hiện câu trả lời của bạn dưới dạng nCr và như một số
Có bao nhiêu tổ hợp mà không bao gồm Leora? Xét xem có bao nhiêu học sinh có thể lựa chọn và bao nhiêu là được chọn. Thể hiện câu trả lời của bạn ở dạng nCr như một số
Lặp lại các bước 1-3 cho các nhóm bốn trong số năm sinh
65
Bước 5:
Bước 6:
viên.
Bạn nhận thấy gì trong câu trả lời của bạn từ bước 1-3 cho các nhóm của ba học sinh và bốn học sinh? Viết một quy tắc chung dưới dạng nCr thể hiện như một tổng các tổ hợp.
Làm thế nào để quy tắc này liên quan đến tam giác Pascal?
Tam giác Pascal có thể cung cấp một phím tắt cho việc khai triển một nhị thức.Việc khai triển của một nhị thức có số bậc tăng dần là sự thể hiện số bậc của một đa thức duy nhất. Ví dụ,khai triển (x + y)3
= 1x3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3 . Lưu ý rằng các hệ số của khai triển này là những con số trong hàng thứ tư của tam giác Pascal.
Tại sao các số trong tam giác Pascal bằng các hệ số của nhị thức mở rộng? Hãy nhớ rằng những con số trong tam giác Pascal là giá trị của nCr .Vì vậy, câu hỏi cũng có thể được hỏi, tại sao các hệ số của nhị thức mở rộng tương đương với giá trị của nCr ?
VD A: Khai triển (H + T)3.Liên quan đến các hệ số trong khai triển tổ hợp.
Giải: Bạn có thể viết (H + T) = (H + T) (H + T) (H + T). Để khai triển tích này,ta nhân từng bước. Trước tiên, bạn nhân nhị thức đầu tiên (H + T) với nhị thức thứ hai (H + T):
(H + T) (H + T) = (HH + HT + TH + TT)
Sau đó, bạn nhân mỗi hạng tử trên với H và T trong nhị thức thứ ba:
(HH + HT + TH + TT) (H + T) = HHH + HHT + H + HTT + THH + THT + TTH + TTT
Chú ý rằng: Nếu H đại diện cho tung được mặt ngửa,và T là tung được mặt sấp, kết quả này hiển thị tất cả các kết quả có được khi tung một đồng xu ba lần. Nếu không kể thứ tự, bạn cũng có thể viết biểu thức này như sau: 1H3
+ 3H2T + 3HT2 + 1T3 .
Biểu thức này cho thấy có một cách để nhận được ba mặt ngửa,có ba cách để nhận được hai ngửa và một sấp, và tiếp tục như vậy. Bạn cũng có thể biểu diễn như những tổ hợp 3C3 , 3C2 và như vậy
66
Dưới đây là bảng khai triển nhị thức của vài bậc đầu tiên của (H + T). Chú ý rằng các hệ số cũng giống như các hàng trong tam giác Pascal.Khai triển này gợi cho bạn suy nghĩ gì về các kết quả tung một đồng xu 0, 1, 2, và 3 lần.
(H+T)0 = 1 (hàng thứ 1)
(H+T)1 = 1H + 1T (hàng thứ 2)
(H+T)2 = 1H2 + 2HT + 1T2 (hàng thứ 3)
(H+T)3 = 1H3 + 3H2T + 3HT2 + 1T3 (hàng thứ 4)
Chú ý mô hình trong các hệ số. Bạn có thể sử dụng tam giác Pascal, hoặc các giá trị của nCr, để khai triển nhị thức mà không cần nhân tất cả các thành phần với nhau.
Bạn có thể sử dụng khai triển nhị thức để đại diện cho kết quả của các quá trình ngẫu nhiên với hai kết quả có thể. Trong ví dụ A, bạn thấy rằng nếu một đồng xu được tung ba lần, những kết quả có thể là: 1 kết quả cho 3 mặt ngửa , 3 kết quả của 2 ngửa và 1 sấp, 3 kết quả cho 1 ngửa và 2 sấp và 1 kết quả cho 3 sấp .
Khi bạn tung một đồng xu công bằng, kết quả H và T đều có khả năng. Ví dụ B cho thấy bạn có thể sử dụng khai triển nhị thức để tìm xác suất của kết quả mà không phải là đều có khả năng
Ví dụ B: Giả sử một con chim gõ kiến có một xác suất sống sót đến tuổi trưởng thành là 0.58. Nếu một tổ có 6 quả trứng, xác suất là 0, 1, 2, 3,4, 5, và 6 con chim sẽ tồn tại là gì?
iải: S đại diện cho trường hợp sống sót, hoặc thành công và N đại diện cho trường hợp không sống sót. Sau đó,P (S) đại diện cho khả năng sống sót
67
của một con chim, và P (N) đại diện cho n con. Kết quả 4 trong 6 con chim tồn tại và 2 con còn lại là không thể sống sót được cho bởi S4
N2. Số tổ hợp trong đó có 4 loài chim sống sót được cho bởi 6C4. Bạn sẽ thấy biểu diễn trên trong việc khai triển (S + N)6
:
(S+N)6 = 6C6S6N0 + 6C5S5N1 + 6C4S4N2 + 6C3S3N3 + 6C2S2N4 + 6C1S1N5 +
6C0S0N6
Trong thực tế, mỗi hạng tử của việc khai triển nhị thức cho biết số lượng con chim tồn tại và không tồn tại. Bạn có thể viết một khai triển tương tự sử dụng s và n để tìm xác suất của mỗi tổ hợp. Sau đó bạn có thể thay thế 0,58 cho s và 0,42 cho n để tìm xác suất của từng kết quả.
(s+n)6 = 6C6s6n0 + 6C5s5n1 + 6C4s4n2 + 6C3s3n3 + 6C2s2n4 + 6C1s1n5 +
6C0s0n6
= 1(0.58)6(0.42)0 + 6(0.58)5(0.42)1 + 15(0.58)4(0.42)2 + 20(0.58)3(0.42)3 + 15(0.58)2(0.42)4 + 6(0.58)1(0.42)5 + 1(0.58)0(0.42)6
0.038+0.165+0.299+0.289+0.157+0.045+0.005 Bạn có thể đưa các con số vào một bảng sau:
Vì vậy,rất có thể là có 4 con chim sẽ tồn tại và trường hợp không tồn tại có lẽ sẽ không xảy ra
Bạn có thể biểu diễn các xác suất trên thành một biểu đồ, như hình bên phải.Biểu đồ này cho phép bạn so sánh xác suất của các kết quả khác nhau một cách nhanh chóng.Chú ý đến hình dạng chung của biểu đồ. Bạn sẽ tìm hiểu thêm về sơ đồ xác suất như thế này trong Chương 13.
Trong một tình huống như Ví dụ B, đôi khi bạn muốn biết xác suất tối đa 4 con chim sống sót hoặc ít nhất 4 con chim sống sót. Làm thế nào bạn có thể tính toán các giá trị trong bảng sau? Bạn sẽ tính toán các giá trị còn thiếu của bảng này trong bài tập 3
Số con chim 6 5 4 3 2 1 0 Xác suất 0.038 0.165 0.289 0.157 0.045 0.005 Nhiều nhất 1 0.962 0.207 0.050 0.005 Ít nhất 0.038 0.949 0.995 1
68
Bạn có thể nghĩ 6 con chim này như là một mẫu lấy từ một quần thể nhiều loài chim.Bạn biết xác suất thành công trong quần thể này và bạn muốn tính toán xác suất khác nhau của sự thành công trong mẫu. Theo ví dụ B bạn đã thấy tỷ lệ sống sót của 4 loài chim là rất có thể.
Nếu tình hình đảo ngược. Giả sử bạn không biết xác suất thành công trong quần thể, nhưng bạn biết rằng trung bình có 4 trong 6 con chim sống sót đến tuổi trưởng thành. Tỷ lệ này sẽ cho thấy một xác suất thành công của quần thể là 4/6 hoặc 0,67, nhưng bạn đã thấy trong ví dụ,tỷ lệ này cũng có khả năng bằng 0,58.Tỷ lệ nào sẽ biểu diễn cho khả năng có xác suất cao nhất là 4 con sống sót trong 6 con?
Vấn đề này thường có xuất hiện khi thăm dò ý kiến của các cử tri.Thăm dò câu hỏi mẫu của cử tri, chứ không phải toàn bộ dân số. Thống kê sau đó phải giải thích các dữ liệu từ mẫu đó để đưa ra dự đoán về dân số
Ví dụ C: Một mẫu ngẫu nhiên của 32 cử tri được lấy từ một dân số lớn. Trong mẫu, 24 cử tri ủng hộ việc thông qua một đề nghị. Xác suất mà một thành viên lựa chọn ngẫu nhiên của toàn dân ủng hộ đề xuất này là gì? Những gì bạn có thể dự đoán về dân số cả nước
Giải: Tỷ lệ ủng hộ để cử tri trong mẫu là
32 24
hoặc 0,75. Tỷ lệ này trong các mẫu là rất có thể nếu xác suất một thành viên được chọn ngẫu nhiên ủng hộ đề xuất cũng là 0,75. Nhưng nó cũng có thể xảy ra với xác suất thành công khác trong dân số.
Bạn có thể đặt p đại diện cho xác suất ủng hộ trong dân số và q đại diện cho xác suất không ủng hộ. Vì p+q=1, nên giá trị của q là 1 - p. Xác suất n người ủng hộ trong một mẫu của 32 người là 32Cnpnq32-n
Nếu n = 24, như trong các mẫu thực hiện, thì giá trị có khả năng nhất của p là 0,75. Trong thực tế, nếu đồ thị y = 32C24p24(1-p)8 , giá trị lớn nhất của hàm là p = 0,75.
Nhưng có thể có giá trị khác của p khi có 24 người ủng hộ. Những gì khác giá trị của p cho một xác suất cao hơn 24 người ủng hộ hơn 23 hoặc 25 người ủng hộ? Có nghĩa là, những giá trị của p sẽ đáp ứng hai sự bất đẳng thức này?
32C24p24q8>32C23p23q9 hoặc 32C24p24q8>32C25p25q7
Bạn có thể giải bất đẳng thức thứ nhất bằng phương pháp đại số.
32C24p24q8>32C23p23q932C24p >32C23q p ! 8 ! 24 ! 32 > q ! 9 ! 23 ! 32 9p > 24q 9p > 24(1-p) 33p > 24 p > 33 24
69
Giải tương tự cho bất đẳng thức thứ hai,ta được p <
33 25 Sau đó bạn có thể kết luận rằng 33 24 < p < 33 25 , hoặc 0,7273 <p <0,7576 So sánh đồ thị trên trang 714 với đồ thị của y = 32C23p23(1-p)9 và y=
32C25p25(1-p)9 ,hiển thị dưới đây.
Bạn thấy rằng bất đẳng thức tương ứng với các phần của đồ thị trong đó giá trị của hàm số ban đầu là cao hơn so với một trong hai hàm số trên
Vì vậy, một cử tri ngẫu nhiên của dân số rất có thể có một xác suất khoảng từ 73% và 75% ủng hộ đề xuất. Đề nghị này có khả năng được thông qua
1. Cho biểu thức (x + y)47, tìm các hạng dưới đây:. a.hạng thứ 1
b hạng thứ 11 c.hạng thứ 41. d.hạng thứ 47
2. Nếu xác suất thành công của mỗi thử nghiệm là 0,25 và tất cả các thử nghiệm độc lập, thì:
a. Xác suất thất bại cho một thử nghiệm duy nhất là gì? b. Xác suất của hai thành công trong hai thử nghiệm là gì? c. Xác suất của n thành công trong n lần thử nghiệm là gì?
d. Xác suất mà kết hợp của hai thành công và thất bại trong ba năm thử nghiệm là gì? 3. Trở lại bàn mở rộng sau khi Ví dụ B trên trang 713.
70
a. Điền vào xác suất còn trống trong "chính xác" hàng.
b. Tìm hai xác suất còn trống trong "nhiều nhất là" hàng. Ví dụ, để tìm khả năng nhiều nhất của 2 con chim còn sống, bạn có thể tìm tổng xác suất là 0, 1, và 2 con chim còn sống sót.
c. Tìm ba xác suất còn trống trong "ít nhất" hàng.
d. Tại sao giá trị "nhiều nhất" và "ít nhất" cho mỗi số lượng của các loài chim tổng hợp không phải là 1?
e. Lập bảng thống kê về các loài chim mà kết hợp các mục nhập 20,3% trong "ít nhất" hàng.
4.Giả sử rằng xác suất thành công là 0,62. Xác suất mà để có 35 thành công trong 50 lần thử nghiệm là gì?
5.Tìm p:32C24p24q8>32C25p25q7 Lý do và Áp dụng:
6. Trả lời mỗi câu hỏi về xác suất sau:
a . Danh sách các kết quả đều có khả năng nếu một đồng xu được ném hai lần. b . Danh sách các kết quả đều có khả năng nếu hai đồng xu được ném một lần . c . Vẽ một sơ đồ cây để minh họa câu trả lời cho 6a và b .
d. Mô tả mối liên hệ giữa các biểu thức 2C0=1 , 2C1=2 , 2C2=1 và các kết quả của câu 6a,b,c.
e.Hãy cho 1 số thực để phương trình : (H+T)2 =1H2 + 2HT + 1T2 7.Khai triển các biểu thức sau:
a.(x+y)4 b.(p+p)5 c.(2x+3)3 d.(3x – 4)4
8. Ứng dụng:Một cuộc khảo sát 50 người cho thấy rằng chỉ có 10 ủng hộ một vòng tròn giao thông mới.
a.Hạng của (p + q)50 bằng bao nhiêu sẽ tương ứng với kết quả của mẫu này?
b.Nếu xác suất mà 10 trong số 50 người là những người ủng hộ nhiều hơn xác suất mà 11 là những người ủng hộ,thì bất đẳng thức p phải thỏa mãn những điều kiện gì?
c. Bất đẳng thức p phải thỏa mãn điều liện gì nếu xác suất mà 10 trong số 50 là những người ủng hộ nhiều hơn xác suất mà 9 là những người ủng hộ?
d. Giải BĐT để tìm một khoảng thời gian cho p.
9. Tiến sĩ Miller đang sử dụng một phương pháp điều trị là 97% hiệu quả. a. Xác suất không có thất bại trong 30 phương pháp điều trị là gì?
b. Xác suất có ít hơn 3 thất bại trong 30 phương pháp điều trị là gì?
c. Cho x đại diện cho số của những thất bại trong 30 phương pháp điều trị. Viết một phương trình và lập một bảng giá trị đại diện cho xác suất P (x) cho bất kỳ giá trị của x. d. Sử dụng phương trình và bảng từ 9c để tìm xác suất có ít hơn 3 thất bại trong 30 phương pháp điều trị.
71
10. Một nhóm nghiên cứu y khoa trường đại học đã xây dựng một thử nghiệm mới đó là 88% hiệu quả trong việc phát hiện bệnh ở giai đoạn đầu. Xác suất có nhiều hơn 20 bài đọc không chính xác trong 100 ứng dụng của các thử nghiệm trên đối tượng bị bệnh này là gì? [ Lưu ý 12F để học cách tìm các điều khoản của một nhị thức mở rộng. ]
11. Giả sử xác suất là 0,12 rằng một đồng xu chọn ngẫu nhiên được đúc trước năm 1975. Xác suất mà bạn sẽ tìm thấy 25 hoặc nhiều tiền xu như vậy là những gì trong:
a. Một cuộn 100 đồng xu?
b. Hai cuộn mỗi cuộn 100 đồng xu? c. Ba cuộn mỗi cuộn 100 đồng xu?
12. Giả sử một loài vịt biển chân xanh có cơ hội sống sót từ trứng đến trưởng thành là 47%. Đối với một tổ có bốn quả trứng:
a. Xác suất mà tất cả bốn con chim sẽ nở và sống sót đến tuổi trưởng thành là gì? b. Xác suất mà không có con nào trong số bốn con chim sẽ nở và sống sót đến tuổi trưởng thành là gì?
c. Bao nhiêu con chim bạn mong chờ để tồn tại?
13. Một xu được xem là công bằng nếu ném năm lần và được mặt ngửa bốn trong số năm lần. Theo bạn đây có phải là sự kiện hiếm khi xảy ra? Giải thích về quan điểm của bạn.
14. Dữ liệu thu thập được trong mười năm qua cho thấy, trong một thị trấn,trời sẽ mưa đôi khi trong 30% các ngày trong mùa xuân.Xác suất để trong một tuần trời sẽ có: a. Chính xác năm ngày mưa?
b. Đúng sáu ngày mưa? c. Chính xác bảy ngày mưa? d. Ít nhất là năm ngày mưa? 15. Xét hàm số:y=f(x)=(1+1)
x
x