Bài giảng toán cao cấp học viện ngân hàng

GIỚI THIỆU HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤPHọc phần Toán cao cấp là điều kiện tiên quyết của các môn: Xác suất thốngkê, Mô hình toán và Kinh tế lượng.. Bài toán lãi gộp lãi kép Cho vay một khoản vố

HỌC VIỆN NGÂN HÀNG

BỘ MÔN TOÁN

———————o0o——————–

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP

Giảng viên: Trần Thị Xuyến

Địa chỉ: Bộ môn Toán, phòng 302, tòa nhà 7 tầng, HVNH

Email: xuyen.tran.hvnh @ gmail.com

Website: xuyentranhvnh.wordpress.com

Cellphone: 0915 170 752

Office: 0438 522 969

HÀ NỘI - T9 năm 2015

GIỚI THIỆU HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤPHọc phần Toán cao cấp là điều kiện tiên quyết của các môn: Xác suất thống

kê, Mô hình toán và Kinh tế lượng

Số tín chỉ: 3

Phân bố thời gian:

1 Lý thuyết trên lớp: 27 tiết

2 Thực hành: 18 tiết

3 Tự học, tự nghiên cứu: 30 tiết

Kế hoạch giảng dạy:

• Chương 1: Hàm số và giới hạn ( 9 tiết )

• Chương 2: Đạo hàm ( 6 tiết )

• Chương 3: Hàm số nhiều biến số và cực trị của hàm nhiều biến ( 9 tiết )

• Kiểm tra giữa kì lần 1: 1 tiết

• Chương 4: Tích phân ( 9 tiết )

• Chương 5: Phương trình vi phân ( 5 tiết )

• Chương 6: Phương trình sai phân tuyến tính ( 5 tiết )

• Kiểm tra giữa kì lần 2: 1 tiết

GIÁO TRÌNH

• Giáo trình toán cao cấp, Bộ môn Toán, Học viện Ngân hàng biên soạn

• Bài tập toán cao cấp, Bộ môn Toán, Học viện Ngân hàng biên soạn

• Toán cao cấp cho các nhà kinh tế , Lê Đình Thúy, NXB Đại học kinh tếquốc dân

• Toán cao cấp ứng dụng trong phân tích kinh tế, Phùng Duy Quang,NXB Đại học Sư phạm

TIÊU CHUẨN ĐÁNH GIÁ SINH VIÊN

1 Bài kiểm tra giữa kì: 2 bài chiếm 30 %

Bài kiểm tra giữa kì có hình thức tự luận với thời gian 45 phút

Bài kiểm tra số 1: Khi kết thúc chương 3

Bài kiểm tra số 2: Khi kết thúc chương 6

2 Thi hết học phần: 60%

Bài thi hết học phần có hình thức tự luận với thời gian 90 phút

3 Hình thức khác ( Điểm chuyên cần) : 10 %

MẪU ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ LẦN 1Câu 1 : Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có hàm chi phí bình quân (AC) có

dạng như sau: AC = 13Q2− 15Q − 390 +300Q , Q là sản lượng đơn vị trăm chiếc Doanh nghiệp bán sản phẩm với mức giá thị trường p = 10 USD

a Tìm hàm chi phí cận biên của công ty

b Tính M C(45) và nêu ý nghĩa kinh tế

c Tìm mức sản lượng để lợi nhuận đạt tối đa

Câu 2 : Tính các giới hạn sau:

b lim

x→ π 2

2x tan x − π

cos x



Câu 3 : Tìm các điểm cực trị của hàm số z = xy với điều kiện x + y = 1

MẪU ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ LẦN 2

Câu 1 : Tính tích phân sau

Z +∞

0

xe−xdx

Câu 2 : Cho hàm xu hướng tiêu dùng cận biên M P C(Y ) = 0, 8 + 0, 1Y−0,5 và tiêu

dùng C bằng thu nhập Y khi Y = 100 USD

yt+2− 4yt = 2t

MẪU ĐỀ THI HẾT HỌC PHẦN

Câu 1 : Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có hàm chi phí bình quân (AC) có

dạng như sau: AC = 13Q2− 15Q − 390 +15Q, Q là sản lượng đơn vị trăm chiếc Doanh nghiệp bán sản phẩm với mức giá thị trường p = 10 USD

a Tìm hàm chi phí cận biên của công ty

b Tính M C(45) và nêu ý nghĩa kinh tế

c Tìm mức sản lượng để lợi nhuận đạt tối đa

Câu 2 : Tính các giới hạn sau:

b lim

x→ π 2

2x tan x − π

cos x



Câu 3 : Tìm các điểm cực trị của hàm số z = xy với điều kiện x + y = 1

Câu 4 : Tính tích phân sau

Z +∞

0

xe−xdx

Câu 5 : Cho hàm xu hướng tiêu dùng cận biên M P C(Y ) = 0, 8 + 0, 1Y−0,5 và tiêu

dùng C bằng thu nhập Y khi Y = 100 USD

yt+2− 4yt = 2t

CHƯƠNG 1 HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN

1.1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ

A Biến sốĐịnh nghĩa 1.1.1 Biến số là đại lượng mà giá trị của nó có thể thay đổi trênmột tập số X 6= ∅

Ta thường kí hiệu biến số là chữ cái: x, y, z và X gọi là miền biến thiên

Các biến số kinh tế hay gặp

Kí hiệu: y = f (x)

• x gọi là biến độc lập.

• X gọi là miền xác định (MXĐ)

• y gọi là biến phụ thuộc

• f (X) = {y ∈ R|y = f (x), x ∈ X} là miền giá trị (MGT) của hàm số

Bài toán: Tìm hàm số từ dữ liệu cho trước

Ví dụ 1.1.2 Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê Biết rằng nếu chothuê mỗi căn hộ với giá 2000000 VNĐ mỗi tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê

và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ lên 100000 VNĐ mỗi tháng thì có thêm

2 căn hộ bị bỏ trống Gọi x (VNĐ/ tháng) là số tiền tăng giá cho thuê mỗi căn hộ.Tìm số tiền công ty thu được theo x

D Hàm ẩn

Định nghĩa 1.1.3 Hàm y(x) thỏa mãn hệ thức liên hệ giữa x và y: F (x, y) = 0thì y gọi là hàm ẩn của x

Ví dụ 1.1.3 x2+ y2− 1 = 0 hay x3− y 3 + 1 = 0

E Hàm ngượcĐịnh nghĩa 1.1.4 Cho hàm số y = f (x) với miền xác định X, miền giá trị Y.Nếu ∀y 0 ∈ Y, phương trình f (x) = y 0 có nghiệm duy nhất thuộc X thì ta có thểxác định một hàm số cho tương ứng mỗi y0 ∈ Y một và chỉ một x0 ∈ X sao cho

f (x0) = y0

Hàm số này gọi là hàm ngược của hàm số y = f (x), kí hiệu là: f−1

Trong toán học, người ta thường kí hiệu x là đối số, y là hàm số nên khi viếthàm ngược của hàm sốy = f (x)thay vì viếtx = f−1(y)ta quy ước viết lày = f−1(x)

Cách tìm hàm ngượcB1: Tìm MXĐ và MGT của hàm số y = f (x)

B2: Giải phương trình y = f (x) để tìm nghiệm x theo y

B3: Nếu tìm được x duy nhất theo y thì f (x) có hàm ngược f−1 Với quy ước x làbiến độc lập,ylà biến phụ thuộc ta biểu diễn hàm ngược dưới dạngy = f−1(x)

Ví dụ 1.1.4 Tìm hàm ngược của hàm sau

y = (x − 1)2, ∀x ≥ 1Hàm ngược của các hàm lượng giác và hàm mũ

1 Hàm số y = sin x xác định trên X =−π2,π2 và có MGT [−1, 1] có hàm ngược

2 Hàm số y = cos x xác định trên X = [0; π] và có MGT [−1, 1] có hàm ngược là

y = arccos x xác định trên [−1, 1] và có MGT là [0; π]

y = arccos x ⇔ cos y = x∀y ∈ [0; π]

3 Hàm số y = tan x xác định trên X = −π2,π2
và có MGT R có hàm ngược là



4 Hàm số y = cot x xác định trên X = (0; π) và có MGT R có hàm ngược là y =arccot x xác định trên R và có MGT là (0; π).

y = arccotx ⇔ cot y = x∀y ∈ (0; π)

5 Hàm số y = ax xác định trên R và có MGT (0; +∞)có hàm ngược lày = logaxxác định trên (0; +∞) và có MGT là R

y = logax ⇔ x = ay∀y ∈ R

F Một số dáng điệu của hàm sốHàm số đơn điệu

• Hàm số y = f (x) gọi là đơn điệu tăng (đồng biến) trên miền X nếu x1< x2 thì

• Hàm số y = sin x bị chặn trên R vì | sin x| ≤ 1∀x ∈R.

• Hàm số y = arcsin x bị chặn trên [−1; 1] vì | arcsin x| ≤ π

2 ∀x ∈ [−1; 1]

• Hàm số y = sin x là hàm tuần hoàn với chu kì T = 2π.

• Hàm số y = sin 3x là hàm tuần hoàn với chu kì T = 2π

5 Các hàm lượng giác: y = sin x; y = cos x, y = tan x, y = cot x.

6 Các hàm lượng giác ngược: y = arcsin x; y = arccos x, y = arctan x, y = arccotx.Các phép toán sơ cấp

1 Phép toán cộng, trừ, nhân, chia đối với các hàm số

2 Phép hợp hàm

Giả sử cho các hàm số f : X → R, g : Y → R sao cho ∀x ∈ X, y = f (x) ∈ Y.Hàm số h : X →R, x 7→ h(x) = g[f (x)] gọi là hàm hợp của hai hàm f và g

Ví dụ 1.1.9 Cho hàm số f (x) = 2x3 và g(x) = sin x Tìm hàm g[f (x)] và f [g(x)].Giải:

g[f (x)] = sin(2x3)

f [g(x)] = 2(sin x)3Các hàm số sơ cấp

Hàm số sơ cấp là hàm số được tạo thành từ các hàm sơ cấp cơ bản bởi các phéptoán số học và phép lấy hàm hợp

Ví dụ 1.1.10 Các hàm sơ cấp: lg(x2+ sin x),xx+13−1, cos35x

Một số mô hình hàm số trong phân tích kinh tế

11 Hàm tiết kiệm S = S(Y )

Ví dụ 1.1.11 Một doanh nghiệp độc quyền có đường cầu thị trường làQ = 300 − p

và có hàm tổng chi phí bình quân là AC = 2Q + 1 +50

Q với p là giá sản phẩm, đơn vịUSD và Q là lượng sản phẩm đơn vị tấn Hãy lập hàm lợi nhuận của doanh nghiệptrên

1.1.2 DÃY SỐ

Định nghĩa 1.1.5 Hàm số

f : N∗→R

n 7→ f (n)được gọi là một dãy số Kí hiệu: (xn)

Các số thực x1, x2, , xn, gọi là các số hạng của dãy

x n được gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát

Bài toán lãi đơn

Cho vay một khoản vốn v0 với lãi suất mỗi kì là r trong vòng n kì và cuối mỗi kìđều lấy lãi chỉ để lại vốn Sau n kì thì tổng giá trị lãi và vốn là bao nhiêu?

Cấp số cộng

vn = v0(1 + nr)

vn là cấp số cộng với công sai d = v0.r

Bài toán lãi gộp (lãi kép)

Cho vay một khoản vốn v0 với lãi suất mỗi kì là r trong vòng n kì và cuối mỗi kìlãi được nhập vào vốn để tính lãi cho kì sau

Sau n kì thì tổng giá trị lãi và vốn là bao nhiêu?

Tổng của cấp số nhân vô hạn giảm dần:

Giá trị hiện tại và giá trị tương lai của tiền tệ

Giả sử hiện tại bạn có số tiềnA và sau 1 thời gian đầu tư bạn sẽ có số tiền B

B = A +tiền lãi

Ta nói:

• B đồng là giá trị tương lai của A đồng ngày hôm nay

• A đồng là giá trị hiện tại của B đồng mà bạn sẽ có trong tương lai

• Với mức lãi gộp r , giá trị tương lai của A đồng hiện tại sau n kì là:

ln(1 + r)

• Biết A, B và số kỳ gửi lãi gộp r, tính r dựa vào công thức

r = e

ln B A

n − 1

Công thức tính lãi suất theo thời gian

Nếu lãi suất là r % một năm thì

1 Lãi suất theo nửa năm là r2 %

2 Lãi suất theo quý là 4r %

3 Lãi suất theo tháng là 12r %

4 Lãi suất theo ngày là 365r %

Ví dụ 1.1.13 Cho biết lãi gộp 0,9 % một tháng Muốn nhận được 1,2 tỷ đồng sau

3 năm với kỳ tính theo tháng thì hiện tại phải gửi ngân hàng bao nhiêu tiền?Giải:

Điều kiện để thực hiện dự án là: N P V > 0

1 Loại 1: Lợi tức thu về 1 lần

N P V = B(1 + r)−n−Chi phí

B là khoản tiền thu về trong tương lai

2 Loại 2: Lợi tức thu về hữu hạn lần

N P V =



B1(1 + r) +

B2(1 + r)2 + +

Bn(1 + r)n



−Chi phí

B i , (i = 1, 2, , n) là khoản tiền thu về sau các kì 1, 2, , n

Ví dụ 1.1.14 Một dự án đầu tư đòi hỏi chi phí hiện tại 1 tỷ đồng và sẽ mang về

2 tỷ đồng trong 5 năm Với lãi suất gửi ngân hàng là lãi gộp 10 % một năm Ta cónên thực hiện dự án hay không?

Trả lời:

N P V = 2.(1 + 0.1)−5− 1 = 0.2418 > 0Vậy ta nên thực hiện dự án

Ví dụ 1.1.15 Cho lãi suất ngân hàng là 9 % một năm Một công ty đề nghị bạngóp vốn 600 triệu vào đầu năm và cam kết sẽ trả hàng năm (vào cuối các năm)

100 triệu liên tục trong 7 năm Bạn có góp vốn không?

Trả lời:

N P V =

100

1 + 0.09 +

100 (1 + 0.09) 2 + + 100

(1 + 0.09) 7



− 600

Ta có dãy số 1+0.09100 ,(1+0.09)100 2 , ,(1+0.09)100 7 là cấp số nhân có v1 = 1+0.09100 , q = 1+0.091 nên

S7 = v11 − q

n

1 − q =

100 1.09

1 −1.091 7

1 −1.091 = 503.295

N P V = 503.295 − 600 = −96, 705 < 0Vậy không nên góp vốn

1.2.1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Định nghĩa giới hạn của dãy sốĐịnh nghĩa 1.2.1 Ta nói dãy số xn có giới hạn là a (hay xn hội tụ đến a) nếu

Giới hạn của dãy số đơn điệuĐịnh lí 1.2.1 1 Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn

2 Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn

Ví dụ 1.2.1 Chứng minh dãy số sau có giới hạn hữu hạn

x n =



1 + 1n

n

Logarit cơ số e được gọi là logarit tự nhiên hay logarit Nêpe

ln x = logexỨng dụng kinh tế của số e

Lãi gộp liên tục là lãi có tính lý thuyết được sử dụng trong trường hợp các dònglợi tức là các dòng liên tục

Xét tình huống: Cho lãi suất ngân hàng mỗi kì là r , tiền gốc là A Giả sử 1 kìđược chia thành m kì nhỏ và lãi suất của từng kì nhỏ là mr

Trong trường hợp lý tưởng số lần tính lãi m → +∞ Khi đó, lãi rời rạc trở thànhlãi liên tục và sau 1 chu kì số tiền được tính phải là:

lim



1 + rm

m r

Sau 1 năm gửi với lãi gộp 8 % thì số tiền nhận được là: A.(1 + 0.08)

Sau 1 năm gửi với lãi gộp liên tục r thì số tiền nhận được là: A.er

Điều kiện tương đương của 2 loại lãi suất là:

A.(1 + 0.08) = A.er ⇔ r = ln(1.08) ≈ 0.077Vậy lãi suất gộp liên tục xấp xỉ 7.7 % thì thỏa mãn đề bài

1 Giới hạn bên trái của hàm số f (x) tại điểm x0 là giới hạn của f (x) khi x tiếntới x0 về bên trái (x → x0, và x < x0 ) , kí hiệu

1 Giới hạn của hàm sơ cấp cơ bản f (x) tại điểm a ∈ MXĐ là:

x→+∞ arccotx = 0, lim

x→−∞ arccotx = π

3 Các hàm số sin x, cos x, tan x, cot x không có giới hạn khi x → ±∞

Các định lí cơ bản về giới hạn hàm sốĐịnh lí 1.2.3 Nếu khi x → a, hàm số f (x), g(x) có giới hạn là các số thực b1, b2thì

x + 1 + √

x)

Ta có

cos

√

x + 1 + √

x 2

lim

x + 1 − sin √

x) = 0Các công thức giới hạn quan trọng

x→0

ln(1 + x)

4 lim

x→0

ax− 1

x = ln alim

lim

x→a

ln(1 + α(x)) α(x) = 1

4 lim

x→a

aα(x)− 1 α(x) = ln a

lim

x→a

eα(x)− 1 α(x) = 1

5 lim

x→a

(1 + α(x))β − 1 α(x) = β (β ∈R)Các dạng vô định của hàm sốDạng 00: Tính lim

x→x 0

f (x) g(x) với f (x), g(x) → 0 khi x → x 0

Phương pháp:

• Phân tích tử và mẫu của biểu thức cần tính giới hạn thành đa thức có chứanhân tử x − x0 (Nếu biểu thức có chứa căn bậc 2, căn bậc 3 thì có thể nhânliên hợp) Sau đó rút gọn biểu thức và tính giới hạn của hàm sơ cấp cơ bảntại điểm x0 ∈ MXĐ

• Khi biểu thức cần tính giới hạn có chứa các hàm lượng giác, logarit, ln, hàm

mũ thì dùng các công thức giới hạn quan trọng để tính

x 2 − 12x + 11

3 lim

x→0

sin mx sin nx

4 lim

x→0

log3(2x + 1) xDạng ∞∞: Tính lim

x→x 0

f (x) g(x) với f (x), g(x) → ∞ khi x → x0Phương pháp: Chia cả tử và mẫu của biểu thức cần tính giới hạn cho x với số mũlớn nhất

Chú ý : Nếu biểu thức cần tính giới hạn khix → ±∞có chứa căn bậc 2 thì cần cẩnthận dấu của x khi chia cả tử và mẫu của biểu thức cho x với số mũ lớn nhất mà

2 lim

x→+∞

ln(x2− x + 1) ln(x 10 + x 5 + 1)

Dạng 0.∞: Tính lim

x→x 0

f (x).g(x) với f (x) → 0, g(x) → ∞ khi x → x0Phương pháp: Chuyển dạng vô định này về dạng ∞∞ hoặc 0

Cách 1: Viết lại giới hạn để áp dụng công thức: khix → a mà α(x) → 0 thì

lim

x→a (1 + α(x)) α(x)1 = eCách 2: Tính giới hạn : lim

Kí hiệu là: α(x) = o(β(x))

2 Nếu lim

x→a

α(x) β(x) = L(L 6= 0)thì α(x) và β(x) là hai VCB cùng cấp

3 Nếu L = 1 thì α(x) và β(x) là hai VCB tương đương

Kí hiệu: α(x) ∼ β(x) khi x → a

Quy tắc thay thế vô cùng bé

Giả sử khi x → a ta có hai cặp VCB tương đương α(x) ∼ α∗(x) , β(x) ∼ β∗(x) vàtồn tại

lim

x→a

α∗(x)

β∗(x)

lim

x→a

α(x) β(x) = limx→a

2 lim

x→1

ln(1 + x − 3x2) ln(1 + 3x − 4x 2 )

Định nghĩa 1.3.1 Cho hàm số f (x) xác định trong (a; b) và x 0 ∈ (a; b) f (x) gọi

là liên tục tại x0 nếu

lim

x→x 0

f (x) = f (x0)Nếu f (x) không liên tục tại x0 thì nói f (x) gián đoạn tại x0

• Hàm số f (x) liên tục trên (a; b) nếu f (x) liên tục tại mọi điểm thuộc (a; b).

• Hàm số f (x) liên tục trên[a; b] nếu f (x) liên tục tại mọi điểm thuộc (a; b), liêntục phải tại a, liên tục trái tại b

Các phép toán sơ cấp đối với các hàm liên tụcĐịnh lí 1.3.2 Nếu hàm số f (x), g(x) liên tục tại x0 thì

• Các hàm f (x) + g(x), f (x).g(x), f (x) − g(x) liên tục tại x0

• Hàm số f (x)g(x) liên tục tại x0 nếu g(x0) 6= 0

Định lí 1.3.3 Nếu hàm số ϕ(x) liên tục tại x0, f (u) liên tục tại u0 = ϕ(x0) thìhàm hợp f [ϕ(x)] liên tục tại x0

Định lí 1.3.4 Mọi hàm sơ cấp liên tục trong miền xác định của nó

Ví dụ 1.3.2 Tìm a để hàm số sau liên tục trên MXĐ

Các tính chất cơ bản của hàm số liên tục trên một khoảng

Định lí 1.3.5 (Định lí về giá trị trung gian hay Định lí Bolzano - Cauchy) Nếuhàm số f (x) liên tục trên [a; b], f (a) 6= f (b), N là một số bất kì giữa f (a) và f (b) thìtồn tại một điểm c ∈ (a; b) sao cho f (c) = N

Hệ quả 1.3.6 Nếu hàm số f (x) liên tục trên [a; b], f (a).f (b) < 0 thì phương trình

f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong (a; b)

CHƯƠNG 2 ĐẠO HÀM

2.1.1 KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM

A Đạo hàm của hàm số tại một điểm

Định nghĩa 2.1.1 Xét hàm số f (x) xác định trên (a; b) chứa x0 Cho x0 số gia

∆x và ∆y = f (x0+ ∆x) − f (x0) được gọi là số gia của hàm số ứng với số gia đối số

Định lí 2.1.1 Hàm số f (x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi tồn tại f+0(x0), f−0 (x0)

x 2 = lim

x→0

sin2x2 2(x

Vìf+0 (0) 6= f−0 (0) nên hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0.

Định lí 2.1.2 Nếu hàm số f (x) có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liên tục tại điểmđó

Chú ý 2.1.3 Điều ngược lại của định lí 2 là sai

Ví dụ 2.1.3 Hàm số y = |x| liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại x = 0.Định nghĩa 2.1.4 Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền Xthì mỗi giá trị x ∈ X cho tương ứng một giá trị xác định của đạo hàm y0 Khi đóhàm số

f0 : X → R, x 7→ f0(x)được gọi là đạo hàm của hàm f trên X

2.1.2 ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN

Công thức tính đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản

1.(C)0 = 0 2.(xα)0= αxα−1, (x)0 = 1 3.(ax)0 = axln a; (ex)0 = ex 4.(logax)0 = 1

x ln a, (ln x)

0 = 1x3.(sinx)0 = cosx 6.(cosx)0 = −sinx

7.(tanx)0 = 1

cos 2 x 8.(cotx)

sin2x 9.(arcsinx)0= √ 1

A Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số

Định lí 2.1.4 Nếu các hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm thì:

u 0 = u(x 0 ) thì hàm hợp y = f [u(x)] có đạo hàm tại x 0 được tính theo công thức:

y0(x 0 ) = f0(u 0 ).u0(x 0 )hoặc

y0x= yu0.u0x

Ví dụ 2.1.4 Tính đạo hàm của hàm số y = 2sin 2x

Lời giải:

y0 = 2sin 2x(ln 2)(sin 2x)0= (ln 2)2sin 2x.2 cos 2x = (ln 2)2sin 2x+1cos 2x

C Đạo hàm của biểu thức lũy thừa mũBiểu thức lũy thừa mũ là biểu thức dạng y = u(x)v(x)(u(x) > 0)

Lấy logarit của y (cơ số e): ln y = v ln u

Lấy đạo hàm hai vế ta được yy0 = v0ln u + v.u

0

uSuy ra y0= uv(v0ln u + vuu0)

2.2 VI PHÂN

2.2.1 KHÁI NIỆM VI PHÂN VÀ LIÊN HỆ ĐẠO HÀM

A Khái niệm hàm khả vi và vi phânĐịnh nghĩa 2.2.1 Hàm f (x) được gọi là hàm khả vi tại điểm x0 nếu tồn tại sốthực k sao cho:

∆f (x0) = k∆x + o(∆x)Tích k∆x gọi là vi phân của hàm số f (x) tại điểm x0 và được kí hiệu là df (x0)

df (x 0 ) = k∆x

Ví dụ 2.2.1 Chứng minh hàm số f (x) = x3 khả vi tại điểm x bất kỳ

B Liên hệ giữa vi phân và đạo hàmĐịnh lí 2.2.1 Hàm số f (x) khả vi tại điểm x 0 ⇔ ∃f0(x 0 )

2 dy = (arctan x2)0dx = (x2)

0

1+x 4 dx = 1+x2x4 dx

2.2.2 CÁC QUY TẮC TÍNH VI PHÂN

A Vi phân của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số

Định lí 2.2.2 Nếu các hàm số u = u(x) và v = v(x) khả vi tại điểm x thì tại điểm

số khả vi theo biến t Khi đó, dy = y0t.dt = yx0dx.

2.3.2 VI PHÂN CẤP CAO

Định nghĩa 2.3.2 Vi phân cấp n của hàm số y = f (x) là vi phân của vi phân cấp

n − 1 của hàm số đó

d(n)(y) = d(d(n−1)(y))Nhận xét:

d(n)(y) = y(n)(dx)nChú ý: với n > 1, công thức này chỉ đúng khi x là biến độc lập

Ví dụ 2.3.2 Vi phân cấp n của hàm số y = sin x là:

d(n)(y) = (sin x)(n)(dx)n = sin(x +nπ

f (x) = f (x0) + f

0

(x 0 ) 1! (x − x0) + f

00

(x 0 ) 2! (x − x0)2+ + f(n)(x0 )

n! (x − x0)n+ o((x − x0)n)

Rn = o((x − x0)n) khi x → x0 được gọi là phần dư dạng Peano

Khai triển MaclaurinKhi x0= 0 khai triển Taylor gọi là khai triển Maclaurin

Khai triển Maclaurin của một số hàm

Giả sử f và f(n) là các hàm liên tục trên[a; b] và tồn tại f(n+1) trên (a; b) Khi đó:

f (x) = f (x0) + f

0 (x0) 1! (x − x0) +

f00(x0) 2! (x − x0)

2 + +

f(n)(x0) n! (x − x0)

n + f

(n+1) (c) (n + 1)! (x − x0)

n+1

với x, x0 ∈ [a; b], c ∈ (x; x0).

Rn = f(n+1)!(n+1)(c)(x − x0)n+1 gọi là phần dư dạng Lagrange

Ứng dụng khai triển Taylor

Ví dụ 2.3.3 Tính giới hạn sau:

lim

x→0

(1 + x)25 − 1 xLời giải:

Theo công thức Maclaurin, ta có:

Khi đó

lim

x→a

u(x) v(x) = limx→a

u0(x)

v0(x)Chú ý:

1 Quy tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần

2 Quy tắc L’Hospital có thể áp dụng cho trường hợp giới hạn một phía

x→a f (x)g(x) với f (x) → 0, g(x) → ∞ khi x → a

Ta biến đổi để đưa về dạng vô định 00 hoặc ∞∞ như sau:

lim

x→a f (x)g(x) = lim

x→a

f (x) 1 g(x)

hoặc lim

x→a f (x)g(x) = lim

x→a

g(x) 1

f (x)

Ví dụ 2.4.2 Tính giới hạn sau

lim

x→ π 2

tan x tan(π

4 − x

2)

Dạng ∞ − ∞: Tìm lim

x→a (f (x) − g(x)) với f (x), g(x) → ∞ khi x → a

Ta biến đổi để đưa về dạng vô định 00 hoặc ∞∞ như sau:

lim

x→a [f (x) − g(x)] = lim

x→a

1 g(x) − 1

f (x) 1

lim

x→0

h 1 sin2x − 1

x 2

i

Dạng 1∞, 00, ∞0: Xét lim

x→a f (x)g(x)Tính ln f (x)g(x)= g(x) ln f (x)

Giới hạn này có dạng vô định 0.∞ Nếu ta tìm được:

lim

x→a [g(x) ln f (x)] = Kthì

CÁC ĐỊNH LÍ CƠ BẢN

Định lí 2.4.2 (Định lí Fermat) Giả sử

1 f (x) đạt cực trị tại điểm x0 ∈ (a; b);

2 f (x) có đạo hàm tại điểm x0

Khi đó f0(x 0 ) = 0

Nhận xét:

1 Điểm x0 mà tại đó f0(x0) = 0 gọi là điểm dừng

2 Điểm x0 mà tại đóf0(x0) = 0 hoặcf0(x0)không tồn tại thì gọi là điểm tới hạn

3 Nếu hàmf khả vi trên miền xác định thì những điểm cực trị của f phải nằmtrong số các điểm dừng

Định lí 2.4.3 (Định lí Rolle) Giả sử

1 f (x) xác định và liên tục trên [a; b];

2 f (x) khả vi trong khoảng (a; b);

Định lí Rolle là một trường hợp riêng của định lí Lagrange.

Định lí 2.4.5 (Định lí Cauchy) Giả sử các hàm số f (x) và g(x) thỏa mãn cácđiều kiện sau:

1 liên tục trên [a; b];

2 khả vi trên khoảng (a; b);

Định lí Lagrange là một trường hợp riêng của định lý Cauchy

Quy tắc tìm cực trị của hàm số khả vi trên (a, b)

Bước 1 (Điều kiện cần): Tìm các điểm dừng của hàm số

Giải phương trình f0(x) = 0

Bước 2 (Điều kiện đủ )

Cách 1: Với x0 là một điểm dừng của f (x) và ∃n ≥ 2, n ∈ N sao cho f0(x0) =

2.4.3 Đạo hàm và xu hướng biến thiên của hàm số

A Điều kiện cần

Nếu hàm số f (x) không giảm trên (a; b) và f (x) khả vi thì f0(x) ≥ 0

Nếu hàm số f (x) không tăng trên (a; b) và f (x) khả vi thì f0(x) ≤ 0

B Điều kiện đủ

Cho f (x) khả vi trên (a; b) Nếu tại x0 ∈ (a; b) mà

• f0(x) > 0 thì f(x) tăng trên (a; b)

• f0(x) < 0 thì f(x) giảm trên (a; b)

• f0(x) = 0 thì f(x) là hàm hằng trên (a; b)

2.4.4 Đạo hàm cấp 2 và tính lồi lõm, điểm uốn của đường cong

A Khái niệm hàm lồi, lõm

Định nghĩa 2.4.1 • Hàm sốf (x) được gọi là lồi trong khoảng(a; b)nếu∀x1, x2 ∈ (a; b) và t ∈ (0; 1) thì

• Nếu f (x) lồi trong khoảng (a; b) thì f00(x) ≥ 0∀x ∈ X

• Nếu f (x) lõm trong khoảng (a; b) thì f00(x) ≤ 0∀x ∈ X

Định lí 2.4.7 Điều kiện đủ

• Nếu f00(x) > 0∀x ∈ (a; b) thì hàm số f (x) là hàm lồi trong khoảng (a; b)

• Nếu f00(x) < 0∀x ∈ (a; b) thì hàm số f (x) là hàm lõm trong khoảng (a; b)

2.4.5 Sử dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế

A Đạo hàm và giá trị cận biên Tổng quát: Cho hàm y = f (x), tại x = x0,khi x tăng 1 đơn vị thì y thay đổi xấp xỉ một lượng là f0(x0) đơn vị

Nếu f0(x0) > 0 thì sự thay đổi cùng chiều và f0(x0) < 0 thì sự thay đổi ngược chiều.

Hàm số f0(x) gọi là hàm cận biên và ký hiệu là M f

• Với mô hình hàm sản xuất ngắn hạnQ = f (L)thì f0(L)gọi là sản phẩm hiệnvật cận biên của lao động tại điểm L, kí hiệu là M P PL

Q với p là giá sản phẩm, đơn

vị USD và Q là lượng sản phẩm đơn vị tấn Hãy tìm M C(10), M R(50)

B Quy luật lợi ích cận biên giảm dần

Xét mô hìnhy = f (x), trong đóy là biến số lợi ích (thu nhập, doanh thu, lợi nhuận,

... data-page="33">

2.3.2 VI PHÂN CẤP CAO< /small>

Định nghĩa 2.3.2 Vi phân cấp n hàm số y = f (x) vi phân vi phân cấp

n − 1 hàm số... f X

2.1.2 ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN

Cơng thức tính đạo hàm hàm số sơ cấp

1.(C)0 = 2.(xα)0=... (a; b), liêntục phải a, liên tục trái b

Các phép toán sơ cấp hàm liên tụcĐịnh lí 1.3.2 Nếu hàm số f (x), g(x) liên tục x0