f(b)−f(a) g(b)−g(a).
Nhận xét:
Định lí Lagrange là một trường hợp riêng của định lý Cauchy.
Quy tắc tìm cực trị của hàm số khả vi trên (a, b) Bước 1 (Điều kiện cần): Tìm các điểm dừng của hàm số
Giải phương trình f0(x) = 0 Bước 2 (Điều kiện đủ)
Cách 1: Với x0 là một điểm dừng của f(x) và ∃n ≥ 2, n ∈ N sao cho f0(x0) = f00(x0) =...=f(n−1)(x0) = 0, f(n)(x0)6= 0
1. Nếu n là số chẵn thì x0 là điểm cực trị . • x0 là cực đại nếu f(n)(x0)<0
• x0 là cực tiểu nếu f(n)(x0)>0
2. Nếu n là số lẻ thì x0 không là điểm cực trị .
Cách 2: Vẽ bảng biến thiên.
Ví dụ 2.4.5. Cho biết hàm lợi nhuận của nhà sản xuất như sau:
π =−1 3Q
3+ 14Q2+ 60Q−54
Tìm mức sản lượng để lợi nhuận đạt tối ưu.
2.4.3 Đạo hàm và xu hướng biến thiên của hàm sốA. Điều kiện cần A. Điều kiện cần
Nếu hàm số f(x) không giảm trên (a;b) và f(x) khả vi thì f0(x)≥0. Nếu hàm số f(x) không tăng trên (a;b) và f(x) khả vi thì f0(x)≤0. B. Điều kiện đủ
Cho f(x) khả vi trên (a;b). Nếu tại x0 ∈(a;b) mà • f0(x)>0 thì f(x) tăng trên (a;b).
• f0(x)<0 thì f(x) giảm trên (a;b).
• f0(x) = 0 thì f(x) là hàm hằng trên (a;b).
2.4.4 Đạo hàm cấp 2 và tính lồi lõm, điểm uốn của đường congA. Khái niệm hàm lồi, lõm A. Khái niệm hàm lồi, lõm
Định nghĩa 2.4.1. • Hàm sốf(x)được gọi là lồi trong khoảng(a;b)nếu∀x1, x2 ∈ (a;b) và t∈(0; 1) thì
f[tx1+ (1−t)x2]< tf(x1) + (1−t)f(x2)
• Hàm số f(x) được gọi là lõm trong khoảng (a;b) nếu ∀x1, x2 ∈(a;b) và t∈(0; 1)
thì
f[tx1+ (1−t)x2]> tf(x1) + (1−t)f(x2)
B. Liên hệ với đạo hàm cấp 2 Định lí 2.4.6. Điều kiện cần
• Nếu f(x) lồi trong khoảng (a;b) thì f00(x)≥0∀x∈X
• Nếu f(x) lõm trong khoảng (a;b) thì f00(x)≤0∀x∈X
Định lí 2.4.7. Điều kiện đủ
• Nếu f00(x)>0∀x∈(a;b) thì hàm số f(x) là hàm lồi trong khoảng (a;b).
• Nếu f00(x)<0∀x∈(a;b) thì hàm số f(x) là hàm lõm trong khoảng (a;b).
C. Điểm uốn
Định nghĩa 2.4.2. Điểm x0 mà tại đó hàm số thay đổi hướng lồi lõm được gọi là điểm uốn của hàm số đó.
Định lí 2.4.8. Nếu x0 là điểm uốn của hàm số f(x) thì f00(x0) = 0 hoặc f00(x0)
không tồn tại.
2.4.5 Sử dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế
A. Đạo hàm và giá trị cận biên Tổng quát: Cho hàm y = f(x), tại x = x0, khi x tăng 1 đơn vị thì y thay đổi xấp xỉ một lượng là f0(x0) đơn vị.
Nếu f0(x0)>0 thì sự thay đổi cùng chiều và f0(x0)<0thì sự thay đổi ngược chiều .
Hàm số f0(x) gọi là hàm cận biên và ký hiệu là M f.
• Với mô hình hàm sản xuất ngắn hạnQ=f(L)thì f0(L) gọi làsản phẩm hiện vật cận biên của lao động tại điểm L, kí hiệu là M P PL.