D. QUAN HỆ GIỮA HÀM BÌNH QUÂN VÀ HÀM CẬN BIÊN Quan hệ giữa MC và AC
b. Tại mức sử dụng K= 27, L= 64, nếu tăng vốn lê n3 đơn vị và giữ nguyên lao động thì sản lượng tăng xấp xỉ 16 3 = 48 đơn vị
3.2.1 CỰC TRỊ KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC Phương pháp tìm cực trị hàm hai biếnz= f ( x, y )
B1 Điều kiện cần Tìm các điểm dừng bằng cách giải hệ ( fx0 = 0 fy0 = 0 B2 Điều kiện đủ Giả sử fx0(I) = 0, fy0(I) = 0. Tìm a11 =fx002(I), a22=fy002(I), a12=fxy00 (I). Đặt D(I) =a11.a22−a212 • Nếu D(I)>0, a11>0 thì I là cực tiểu. • Nếu D(I)>0, a11<0 thì I là cực đại. • Nếu D(I)<0 thì I không phải là cực trị.
• Nếu D(I) = 0 thì chưa kết luận được gì. Ví dụ 3.2.1. Tìm các điểm cực trị của hàm số
z =x4+y4−4xy+ 1
Lời giải:
Bước 1: Điều kiện cần
Ta có: fx0 = 4x3−4y, fy0 = 4y3−4x Giải hệ: ( 4x3−4y= 0 4y3−4x= 0 Ta có 3 điểm dừng: M1(0,0), M2(1,1), M3(−1,−1) Bước 2: Điều kiện đủ
fx002 = 12x2, fy002 = 12y2, fxy00 =−4
+ VớiM1(0,0), D(M1) = 0.0−(−4)2=−16<0. Vậy M1(0,0) không là điểm cực trị.
+ VớiM2(1,1), D(M2) = 12.12−(−4)2 = 128>0, a11 = 12>0. Vậy M2(1,1) là điểm cực tiểu.
+ VớiM3(−1,−1), D(M3) = 12.12−(−4)2 = 128>0, a11 = 12>0. Vậy M3(−1,−1) là điểm cực tiểu.
Ví dụ 3.2.2. Giả sử một công ti sản xuất hai loại sản phẩm có sản lượng Q1, Q2
với mức giá lần lượt p1 = 160, p2 = 120 và hàm chi phí là T C(Q1, Q2) = 3Q21 + 2Q1Q2+ 2Q22+ 10. Đơn vị: sản lượng tính bằng tấn, giá: triệu đồng trên 1 tấn Tìm mức sản lượng để công ti đạt lợi nhuận tối đa.
Giải:
Điều kiện Q1, Q2>0
Hàm lợi nhuậnπ =T R−T C =p1Q1+p2Q2−T C = 160Q1+ 120Q2−3Q21−2Q1Q2− 2Q22−10
Bước 1: Điều kiện cần
π0Q
1 = 160−6Q1−2Q2π0Q2 = 120−2Q1−4Q2 π0Q2 = 120−2Q1−4Q2
Giải hệ:
(
160−6Q1−2Q2 = 0120−2Q1−4Q2 = 0 120−2Q1−4Q2 = 0
Ta có nghiệmM(Q1 = 20, Q2= 20) Bước 2: Điều kiện đủ a11 =πQ002
1 =−6, a22=π00Q2
2 =−4, a12 =πQ001Q2 =−2 D(M) = (−6)(−4)−(−2)2= 20 >0
mà a11 <0
Vậy (Q1 = 20, Q2 = 20) thì lợi nhuận đạt tối đa.
3.3 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC
Phương pháp nhân tử Lagrăng Bài toán
Tìm các điểm cực trị của hàm số w=f(x, y) Với điều kiện: g(x, y) = b
Xuất phát từ bài toán, ta lập hàm Lagrăng
L(x, y, λ) = f(x, y) +λ[b−g(x, y)]
Biến phụ λ gọi là nhân tử Lagrăng Phương pháp nhân tử Lagrăng Điều kiện cần
Giải hệ phương trình sau:
L0x= 0 L0y = 0 L0λ = 0 Điều kiện đủ
Gọi (x0, y0, λ0) là một điểm dừng của hàm số Lagrăng. Tính định thức D= 0 g1 g2 g1 L11 L12 g2 L21 L22
Với g1=gx0, g2 =gy0, L11=L00x2, L12=L21=L00xy =L00yx, L22 =L00y2 tính tại điểm dừng. 1. Nếu D >0 thì (x=x0, y =y0) là điểm cực đại
2. Nếu D <0 thì (x=x0, y =y0) là điểm cực tiểu 3. Nếu D= 0 thì chưa kết luận gì về điểm đang xét.
Các bài toán cực trị có điều kiện trong kinh tế 1. Đối với người tiêu dùng
• Bài toán tối đa hóa lợi ích: Chọn (x, y) để hàm lợi ích U =U(x, y) đạt cực đại, với điều kiện p1x+p2y=m
• Bài toán tối thiểu hóa chi phí: Chọn(x, y)để chi phí tiêu dùngC =p1x+p2y đạt giá trị cực tiểu, với điều kiện U(x, y) =U0
2. Đối với doanh nghiệp
• Bài toán tối đa hóa sản lượng với ngân sách cố định
Chọn(K, L)để hàm sốQ=f(K, L)đạt cực đại, với điều kiệnwKK+wLL= B
• Bài toán tối thiểu hóa chi phí sản xuất
Chọn(K, L)để hàm số C=wKK+wLLđạt cực tiểu với điều kiệnf(K, L) = Q0
Với wK, wL lần lượt là giá thuê một đơn vị vốn (K) và lao động (L) Ví dụ 3.3.1. Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng:
U =x1x2+x1+ 2x2
trong đó x1, x2 là lượng cầu hàng hóa 1 và 2. Với điều kiện ngân sách
2x1+ 5x2= 51
Hãy xác định lượng cầu đối với mỗi mặt hàng sao cho người tiêu dùng tối đa hóa lợi ích.
Nếu ngân sách tăng 1 đơn vị, (tức là 2x1+ 5x2 = 52) thì lợi ích tối đa của người tiêu dùng thay đổi như thế nào?
Lời giải Hàm Lagrăng:
L(x, y, λ) = x1x2+x1+ 2x2+λ[51−2x1−5x2]
L0x1 =x2+ 1−2λ, L0x2 =x1+ 2−5λ, L0λ = 51−2x1−5x2
Điều kiện cần:Tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệ
x2+ 1−2λ= 0 x1+ 2−5λ= 0 51−2x1−5x2 = 0 ⇔ x1 = 13 x2 = 5 λ = 3 Điều kiện đủ: g1=gx0 1 = 2, g2=gx0 2 = 5, L11 =L00 x2 1 = 0, L12=L21=L00x 1x2 =L00x 2x1 = 1, L22 =L00x2 2 = 0 D= 0 2 5 2 0 1 5 1 0 = 20>0
Vậy (x1 = 13, x2 = 5) là lượng cầu làm lợi ích của người tiêu dùng đạt tối đa. Nếu ngân sách tăng 1 đơn vị, thì lợi ích tối đa của người tiêu dùng tăng 3 đơn vị. Ví dụ 3.3.2. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q = 10K0.8L0.6, với điều kiện ngân sách 30K + 10L= 2100.
Hãy cho biết doanh nghiệp sử dụng bao nhiêu đơn vị tư bản (K) và bao nhiêu đơn vị lao động (L) thì sản lượng tối đa.
HD: Bài toán TìmK, LđểQ= 10K0.8L0.6 đạt tối đa với điều kiện30K+ 10L= 2100.
Hàm Lagrăng: L(x, y, λ) = 10K0.8L0.6+λ(2100−30K−10L) Làm tương tự như ví dụ trên.