D. QUAN HỆ GIỮA HÀM BÌNH QUÂN VÀ HÀM CẬN BIÊN Quan hệ giữa MC và AC
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
5.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
5.1.1 Các khái niệm chung
Định nghĩa 5.1.1. Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa biến độc lập, hàm phải tìm và các đạo hàm hoặc vi phân của nó.
Định nghĩa 5.1.2. Phương trình vi phân thường là phương trình vi phân với hàm số phải tìm là hàm một biến số.
Ví dụ 5.1.1.
y0 =y2+x2
y00−2y0 = 2x3sinx
x(y−3)dx+y(x−3)dy = 0
Định nghĩa 5.1.3. Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có trong phương trình đó.
Ví dụ 5.1.2. :
• y00−2y0 = 2x3sinx là PTVP cấp 2
• x(y−3)dx+y(x−3)dy= 0 là PTVP cấp 1
Định nghĩa 5.1.4. Nghiệm của PTVP thường là hàm số thỏa mãn phương trình đó.
5.1.2 Phương trình vi phân thường cấp 1Các dạng biểu diễn Các dạng biểu diễn
Phương trình vi phân thường cấp 1 có dạng tổng quát sau đây F(x, y, y0) = 0 (1.1)
Các dạng thường gặp
dy
dx =f(x, y)
M(x, y)dx+N(x, y)dy= 0
Nghiệm của phương trình vi phân thường cấp 1
• Hàm số y = Φ(x, C), C là hằng số tùy ý thỏa mãn phương trình (1.1) gọi là nghiệm tổng quát.
• Nghiệm riêng là nghiệm thu được khi cho nghiệm tổng quát giá trị C cụ thể. • Nghiệm tổng quát được tìm dưới dạng hàm ẩn Φ(x, y, C) = 0 thì được gọi là
tích phân tổng quát của PTVP.
• Tích phân riêng của PTVP thu được khi cho tích phân tổng quát giá trị C cụ thể
Bài toán Cauchy
Tìm nghiệm của phương trình vi phân
F(x, y, y0) = 0 thỏa mãn điều kiện ban đầu
y(x0) = y0
5.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
5.2.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng
dy
dx +p(x)y=q(x) (2.1) Phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng
dy
Nghiệm tổng quát của PT (2.2) là y =Ce− R p(x)dx Ví dụ 5.2.1. Giải phương trình dy dx − 2y x = 0 Lời giải:
Nghiệm tổng quát của pt trên là
y=CeR 2dxx =Ce2 ln|x| =Cx2
Định lí 5.2.1. Nếu y0(x) là một nghiệm của pt (2.1), y(x) là một nghiệm của phương trình thuần nhất liên kết (2.2) thì y0(x) +y(x) là nghiệm của pt (2.1).
Ví dụ 5.2.2. Giải phương trình:
dy
dx +y= 2e
x
Phương pháp biến thiên hằng số
B1: Giải PTVP (2.2) tìm được nghiệm tổng quát có dạng y=Ce−Rp(x)dx (∗), C là hằng số bất kỳ.
B2: Tìm nghiệm của PTVP (2.1) có dạng (*) nhưng với C =C(x).
Thay y=C(x)e−Rp(x)dx vào (2.1), đồng nhất hệ số ta tìm được C(x). B3: Thay C(x) tìm được vào (*) ta được nghiệm tổng quát của PTVP (2.1). Ví dụ 5.2.3. Giải phương trình sau
dy dx −2y x =x 4 5.2.2 PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI Phương trình Bernoulli Dạng dy dx +p(x)y=y αq(x),(α 6= 0; 1) (3.1) Cách giải:
• Xét y = 0 có là nghiệm của (3.1) không. • y6= 0, chia hai vế pt choyα được:
y−αdy
dx +p(x)y
1−α =q(x) (3.2) • Đặt z =y1−α ta có: dzdx = (1−α)y−α dydx
• Thay vào pt (3.2) ta được: dzdx + (1−α)p(x)z = (1−α)q(x) Đây là phương trình tuyến tính với hàm phải tìm là z(x).
Ví dụ 5.2.4. Giải phương trình sau
y0−y=xy2
5.2.3 PHƯƠNG TRÌNH PHÂN LY BIẾN SỐ
Phương trình dạng M1(x)M2(y)dx+N1(x)N2(y)dy= 0 (4.1) hoặc dydx =f(x)g(y)
Cách giải:
• Chia hai vế pt (4.1) cho M2(y)N1(x) để đưa về dạng: p(x)dx+q(y)dy= 0 (4.2)
• Lấy tích phân hai vế pt (4.2) ta được tích phân tổng quát:
Z
p(x)dx+
Z
q(y)dy=C
Lưu ý: trong quá trình thực hiện, ta phải tìm các nghiệm làm choM2(y)N1(x) = 0. Ví dụ 5.2.5. Giải phương trình:
2x(y−1)dx+ (y−1)2(x2+ 1)dy = 0
với điều kiện y(0) = 1
Phương trình đưa về dạng phân li biến số Phương trình thuần nhất
Phương trình dydx =f(x, y) được gọi là phương trình thuần nhất nếu f(tx, ty) = f(x, y)∀t
Cách giải:
B1:Chuyển phương trình thuần nhất về dạng dydx =g(y x)(4.3) B2: Đổi biến y=xz ⇒ dxdy =z+x.dxdz
B3: Thay vào phương trình 4.3 và đưa phương trình 4.3 về dạng phân li biến số với z là hàm của x.
B4: Giải phương trình ở B3 ta tìm được z(x)⇒ nghiệm y(x) cần tìm. Ví dụ 5.2.6. Giải phương trình
(x−2y)dy= (x−y)dx
Phương trình dạng dxdy =f(ax+by)(4.4) Cách giải:
B1: Đổi biến z =ax+by ⇒ dzdx =a+b.dydx
B2: Thay vào phương trình (4.4) và đưa phương trình (4.4) về dạng phân li biến số với z là hàm của x. Ví dụ 5.2.7. Giải phương trình: dy dx = 2x+y Phương trình dạng dydx =f a1x+b1y+c1 a2x+b2y+c2 (4.5)
• Nếu a1b2 =a2b1 thì biến đổi về dạng dydx =g(a2x+b2y) • Nếu a1b2 6=a2b1 thì đặt x=x0+u, y =y0+v
với (x0, y0) là nghiệm của hệ
( a1x+b1y+c1 = 0 a2x+b2y+c2 = 0 Khi đó phương trình (4.5) trở thành dv du =f a1u+b1v a2u+b2v
Đây là phương trình thuần nhất vớiv =v(u)là hàm phải tìm nên ta đặtv =uz để chuyển về dạng phân li biến số.
Ví dụ 5.2.8. Giải phương trình:
dy dx =
2x−y 2y−x+ 1
5.3 ỨNG DỤNG PT VI PHÂN TRONG KINH TẾ
1. Tìm hàm cầu khi biết hệ số co giãn Hệ số co giãn của cầu theo giá là:
= dQ dp. p Q ⇒ dQ Q = dp p .(1) với cho trước.
Chuyển phương trình (1) về dạng phân ly biến số và ta tìm được hàm cầu. Ví dụ 8.1 trang 101 Sách BT Toán cao cấp
2. Mô hình tăng trưởng Harrod - Domar 1 s
dI