D. QUAN HỆ GIỮA HÀM BÌNH QUÂN VÀ HÀM CẬN BIÊN Quan hệ giữa MC và AC
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
6.1 KHÁI NIỆM
6.1.1 SƠ LƯỢC VỀ HỆ THỐNG SỐ PHỨCĐịnh nghĩa số phức Định nghĩa số phức • Đơn vị ảo, được kí hiệu là i, là số thỏa mãn i2=−1 • Số phức có dạng z =a+bi, a, b∈R
a gọi là phần thực, kí hiệu là Rez; b gọi là phần ảo, kí hiệu là Imz
• Hai số phức bằng nhau nếu phần thực bằng nhau, phần ảo bằng nhau. a+bi=c+di⇔a=c, b=d
a+bi= 0 ⇔a=b = 0
• Số phức liên hợp của z =a+bi là z =a−bi
Các dạng biểu diễn của số phức 1. Dạng đại số z =a+bi
2. Dạng hình học: Biểu diễn số phức z =a+bi bởi điểm có tọa độ(a;b)trên mặt phẳng tọa độ Oxy
3. Dạng lượng giác của số phức z =a+bi, z 6= 0 là z =r(cosϕ+isinϕ) trong đó r=√ a2+b2, ( cosϕ= √ a a2+b2 sinϕ= √ b a2+b2 Phương trình bậc hai x2+px+q= 0 Nghiệm của pt bậc hai
1. Nếu ∆ =p2−4q >0 thì pt có hai nghiệm thực phân biệt x=−p2 ± √
∆2 2
2. Nếu ∆ =p2−4q= 0 thì pt có nghiệm kép x=−p2
3. Nếu ∆ =p2−4q <0 thì pt có hai nghiệm phức liên hợp x=−p2 ± i √
−∆2 2
6.1.2 KHÁI NIỆM SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
Trong thực tế, một số biến số kinh tế phụ thuộc theo thời gian y = y(t). Việc đo và phân tích các biến số kinh tế đôi khi được tiến hành rời rạc theo thời gian: theo giờ, ngày, tháng, năm ..., tức là theo các thời kỳ đều đặn. Khi đó biến sốt chỉ nhận các giá trị nguyên: t= 0,1,2,3, ....
Định nghĩa 6.1.1. Hàm số với đối số rời rạc
Hàm số yt = y(t) là hàm số với đối số rời rạc hay hàm số với đối số nguyên với
t= 0,1,2,3, ...
Kí hiệu: yt
Định nghĩa 6.1.2. Sai phân
Sai phân (sai phân cấp 1) của hàm số yt là độ chênh lệch giá trị của hàm số tại hai thời điểm kế tiếp.
Sai phân cấp 1 của hàm số yt tại thời điểm t được kí hiệu là ∆yt ∆yt=yt+1−yt
Ví dụ 6.1.1. Hàm số yt =t3 có sai phân cấp 1 tại thời điểm t là
∆yt =yt+1−yt= (t+ 1)3−t3 = 3t2+ 3t+ 1 Định nghĩa 6.1.3. Sai phân cấp n
Sai phân cấp n của hàm số yt là sai phân của sai phân cấp n−1 của hàm số đó. Sai phân cấp n của hàm số yt tại thời điểm t được kí hiệu là ∆nyt.
∆nyt = ∆(∆n−1yt) = ∆n−1yt+1−∆n−1yt
Ta có: ∆2yt = ∆yt+1−∆yt =yt+2−2yt+1+yt
Tương tự, ta có thể biểu diễn ∆nyt qua yt, yt+1, yt+2, ..., yt+n Định nghĩa 6.1.4. Phương trình sai phân
Phương trình sai phân là phương trình với hàm phải tìm là hàm đối số nguyên yt, trong đó hàm phải tìm xuất hiện dưới dạng sai phân các cấp của nó.
Định nghĩa 6.1.5. Cấp của phương trình sai phân
Cấp của phương trình sai phân là cấp cao nhất của sai phân có trong phương trình đó.
Định nghĩa 6.1.6. Nghiệm của phương trình sai phân
1. Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân là hàm đối số nguyên yt = ϕ(t, C1, C2, ..., Cn) thỏa mãn phương trình đó. (C1, C2, ..., Cn là các hằng số bất kì)
2. Nghiệm riêng của phương trình sai phân là nghiệm thu được khi cho nghiệm tổng quát giá trị cụ thể của C1, C2, ..., Cn.
6.2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN
NHẤT
6.2.1 PTSP TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT CẤP 2Dạng phương trình: Dạng phương trình:
yt+2+pyt+1+qyt = 0 (2.2) Cách giải:
Phương trình đặc trưng tương ứng là: k2+pk+q = 0 (2.3)
TH1: Nếu (2.3) có 2 nghiệm thực phân biệt k1, k2 thì nghiệm tổng quát của (2.2) là: yt =C1kt1+C2kt2
TH2: Nếu (2.3) có nghiệm thực kép k 6= 0 thì nghiệm tổng quát của (2.2) là: yt =C1kt+C2tkt
TH3: Nếu (2.3) có 2 nghiệm phức liên hợp k =α±iβ, kkhông thuộc R thì nghiệm tổng quát của (2.2) là: yt=rt(C1cosϕt+C2sinϕt) r=pα2+β2,cosϕ= √ α
α2+β2,sinϕ= √ β
α2+β2
Chú ý: Nếu đề bài cho điều kiện ban đầu: y0 = a, y1 = b thì sau khi tìm nghiệm tổng quát yt, ta giải hệ y0=a, y1=b để tìm giá trị cụ thể của C1, C2.
Ví dụ 6.2.1. Giải các phương trình sau 1. yt+2−4yt = 0, y0= 1, y1 = 3 2. yt+2+yt+1+yt= 0 3. yt+2−4yt+1+ 4yt= 0 6.2.2 PTSP TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT CẤP 3 yt+3+a1yt+2+a2yt+1+a3yt= 0 (2.4) Cách giải: PT đặc trưng tương ứng: k3+a1k2+a2k+a3= 0 (2.5) TH1: Nếu (2.5) có 3 nghiệm thực phân biệt k1, k2, k3 thì
nghiệm tổng quát của (2.4) là: yt =C1kt1+C2k2t +C3k3t
TH2: Nếu (2.5) có 1 nghiệm thực k1 và nghiệm kép k2 thì nghiệm tổng quát của (2.4) là yt =C1kt1+C2k2t +C3tk2t
TH3: Nếu (2.5) có nghiệm thực k bội 3 thì nghiệm tổng quát của (2.4) là yt = C1kt+C2t.kt+C3t2kt
TH4: Nếu (2.5) có 1 nghiệm thựck1và nghiệm phức liên hợpk=α±iβ, k không thuộc R nghiệm tổng quát của (2.4) là: yt =C1kt1+rt(C2cosϕt+C3sinϕt)
r=pα2+β2, cosϕ= √ α α2+β2 sinϕ= √ β α2+β2
Ví dụ 6.2.2. Giải các phương trình sau 1. yt+3−yt+2+ 4yt+1−4yt = 0
6.3 PTSP TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT CẤP n6.3.1 LIÊN HỆ VỚI PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN 6.3.1 LIÊN HỆ VỚI PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN
NHẤTDạng PT: Dạng PT:
yt+n+a1yt+n−1+...+anyt =f(t) (2.6) PT thuần nhất tương ứng:
yt+n+a1yt+n−1+...+anyt = 0 (2.7)
Định lí 6.3.1. Nếu yt là nghiệm tổng quát của (2.7), yt1 là một nghiệm riêng của (2.6) thì nghiệm tổng quát của (2.6) là yt =yt+yt1
6.3.2 CÁCH GIẢI PTSP TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT CẤP nCách giải phương trình (2.6) với f(t) = Pm(t)βt, β∈R Cách giải phương trình (2.6) với f(t) = Pm(t)βt, β∈R
1. Giải pt (2.7) để tìm yt
2. Tìm 1 nghiệm riêng y1t của (2.6) • Tìm dạng nghiệm riêng yt1
+ Nếu PT đặc trưng có tất cả các nghiệm k6=β thì yt1 =βtQm(t) + Nếu PT đặc trưng có nghiệm k =β (bội s) thì y1t =tsβtQm(t) Qm(t) là đa thức bậc m dạng đầy đủ.
• Thay dạng y1t vào pt (2.6), đồng nhất hệ số thì ta tìm được yt1 3. Nghiệm tổng quát của (2.6) là yt =yt+y1t
Ví dụ 6.3.1. Giải các phương trình sau