Vận dụng quan điểm hoạt động trong dạy học định lí toán học ở cấp Trung Học Phổ Thông

Giả thuyết khoa học Trên cơ sở Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học môn Toán, có thể xác định các hoạt động tương thích và xây dựng, sử dụng các biện pháp phù hợp nhằm tổ chức

Tr-ờng đại học vinh

Tr-ờng đại học vinh

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN THUẬN

Nghệ An, 2013

Sau thời gian học tập và rèn luyện, để có kiến thức như ngày hôm nay, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán và trường Đại học Vinh

đã tận tình dạy dỗ, truyền đạt kiến thức và tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành tốt luận văn tốt nghiệp này

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc đến thầy giáo

Nguyễn Văn Thuận, người đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong suốt quá

trình thực hiện luận văn

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy và các em học sinh trường THPT Dầu Tiếng-Dầu Tiếng- Bình Dương đã đóng góp ý kiến giúp đỡ tôi để luận văn này được hoàn thành

Tác giả

VẬN DỤNG QUAN ĐIỂM HOẠT ĐỘNG TRONG DẠY HỌC ĐỊNH LÍ 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

5 Phương pháp nghiên cứu 3

6 Giả thuyết khoa học 4

7 Những đóng góp của luận văn 4

8 Cấu trúc của luận văn 4

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Cơ sở lí luận 5

1.1.1 Lịch sử vấn đề nghiên cứu 5

1.1.2.1 Khái niệm về hoạt động 8

1.1.2.2 Bản chất của hoạt động học 9

1.1.2.3 Quan điểm hoạt động 10

1.1.2.4 Động cơ của hoạt động 10

1.1.2.5.Phân bậc hoạt động 11

1.1.3 Quan điểm về nhận thức Toán học 11

1.1.3.1 Nhận thức là gì? 11

1.1.3.2 Quan điểm về nhận thức Toán học 12

1.1.4 Đặc điểm tư duy của học sinh phổ thông 13

1.1.6 Dạy và học định lí theo quan điểm hoạt động 17

1.1.6.1 Rèn luyện cho học sinh năng lực phát hiện các đối tượng có chức năng gợi động cơ cho hoạt động tìm tòi kiến thức 17

1.1.6.2 Năng lực tổ chức cho học sinh phổ thông hoạt động tìm tòi phát hiện kiến thức 19

1.2 Cơ sở thực tiễn 20

1.2.1 Mục tiêu của dạy học định lí ở phổ thông 20

1.2.2 Đặc điểm của dạy học định lí ở phổ thông 22

1.2.3 Một số định lí thường gặp ở phổ thông 23

1.2.4 Thực trạng nhận thức của học sinh về học định lí 38

1.2.5 Thực trạng dạy học định lí theo quan điểm hoạt động 38

1.3 Kết luận chương 1 41

Chương 2: TIẾP CẬN QUAN ĐIỂM HOẠT ĐỘNG TRONG DẠY HỌC 43

2.1 Những vấn đề cơ bản về nội dung liên quan đến định lí 43

2.1.1 Nội dung một số định lí ở phần Đại số 43

2.1.2 Nội dung một số định lí ở phần Hình học 44

2.2 Các phương pháp dạy học định lí 45

2.2.1 Phương pháp dạy học định lí có khâu suy đoán 46

2.2.2 Phương pháp dạy học định lí theo con đường suy diễn 49

2.3 Những hoạt động củng cố định lí 55

2.3.1 Nhận dạng và thể hiện định lí 55

2.3.2 Hoạt động ngôn ngữ 60

2.4 Phát triển năng lực chứng minh toán học 62

2.4.1 Gợi động cơ chứng minh 62

2.4.2 Tập luyện cho học sinh những hoạt động thành phần trong chứng minh 63

2.4.3 Hướng dẫn cho học sinh những phương pháp tri thức trong chứng minh 68 2.4.4 Những căn cứ để phân bậc hoạt động 79

2.5 Kết luận chương 2 84

Chương 3: THỬ NGHIỆM SƯ PHẠM 86

3.1 Xác định mục đích thử nghiệm 86

3.2 Nội dung thực nghiệm 86

3.3 Tổ chức thực nghiệm 91

3.4 Kết quả thực nghiệm 92

3.4.1 Đánh giá định lượng 93

3.4.2 Đánh giá định tính 94

3.5 Những kết luận rút ra từ thực nghiệm 95

3.6 Kết luận chương 3 96

KẾT LUẬN 97

PHỤ LỤC 1 98

PHỤ LỤC 2 101

PHỤ LỤC 3 110

TÀI LIỆU THAM KHẢO 112

VẬN DỤNG QUAN ĐIỂM HOẠT ĐỘNG TRONG DẠY HỌC ĐỊNH LÍ

TOÁN HỌC Ở CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Một trong những quy luật phát triển của khoa học nói chung, toán học nói riêng là sự phát triển có gia tốc dương, tức là kiến thức mới khám phá dựa trên kiến thức đã có ngày càng nhiều Toán học yêu cầu chính xác và sự chặt chẽ về lôgic Trong lúc đó hiện nay đa số học sinh chủ yếu công nhận định lý để áp dụng vào việc làm toán mà quên đi quá trình tìm hiểu nguồn gốc từ đâu để từ đó học sinh có thể tự mình khám phá ra kiến thức, tri thức khoa học mới Không phải mọi loại kiến thức khoa học đều có thể hiểu nhanh chóng một cách rõ ràng mà cần phải

tư duy suy luận Tình trạng đó đòi hỏi học sinh cần phải có khả năng suy luận tư duy và lôgic Do đó, lý luận dạy học hiện đại đã đặt lại vấn đề: thay vì chú trọng đến dạy học những nội dung khoa học cụ thể, cố gắng đưa được nhiều kiến thức vào dạy học trong nhà trường, cố gắng làm cho kiến thức được đưa vào dạy học tiếp cận được với tri thức khoa học hiện đại, các nhà lý luận dạy học chuyển sang chú trọng vấn đề dạy cho học sinh cách học, cách suy luận, cách tự học, phương pháp tư duy khoa học Đây sẽ là chìa khóa giúp học sinh tự mình tìm đến với nguồn tri thức hiện đại theo nhu cầu và khả năng của mình Vấn đề dạy cho học sinh suy luận và tư duy đang ngày càng trở nên cấp thiết đối với mỗi môn học trong nhà trường

1.2 Kiến thức môn toán có tính lôgic chặt chẽ, có tính trừu tượng cao độ và có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn Quá trình nhận thức trong học tập môn toán có tính đặc thù Người học sinh muốn tiếp thu một cách có hiệu quả tri thức môn toán cần nắm được những phương pháp nhận thức, phương pháp suy luận, phương pháp học tập thích hợp Việc hình thành cho học sinh năng lực suy luận kiến thức môn toán vừa là một nhu cầu được đặt ra trong thực tiễn đổi mới phương pháp dạy học hiện

nay, vừa là một vấn đề đang cần nghiên cứu làm sáng tỏ thêm Dạy học chứng minh định lí, giải một bài toán thông qua vận dụng định lí là một trong những tình huống điển hình của dạy học môn toán Chính trong những hoạt động đó vai trò chủ động, tích cực nhận thức của học sinh dễ bộc lộ nhất Bản thân hoạt động đó

đã hàm chứa nhiều yếu tố của nhận thức, suy luận, suy đoán và tưởng tượng để phát hiện vấn đề, tìm giải pháp giải quyết vấn đề Chính vì lẽ đó nếu giáo viên biết khai thác các bài tập và tổ chức hoạt động dạy học thích hợp thì sẽ góp phần vào dạy học sinh khả năng suy đoán, suy diễn có hiệu quả

1.3 Các định lí cùng với các khái niệm Toán học tạo thành nội dung cơ bản của môn Toán, làm nền tảng cho việc rèn luyện kỹ năng bộ môn, đặc biệt là khả năng suy luận và chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện tư duy phẩm chất và đạo đức Nếu biết khai thác những đặc điểm đó thì cơ hội giúp học sinh hình thành và phát triển năng lực tự huy động kiến thức có nhiều thuận lợi

1.4 Môn Toán là một trong những môn khoa học góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận cho học sinh Có câu nói:

“Người thầy dở là người chỉ biết đem kiến thức đến cho học trò, người thầy giỏi là

người biết đem đến cho họ cách tự tìm ra kiến thức” – trích từ Học cách sáng tạo

của Giáo sư, viện sĩ Nguyễn Cảnh Toàn Vậy để làm được điều đó đòi hỏi người thầy giáo cần phải làm thế nào để học sinh nắm vững, hiểu đúng và sử dụng đúng những liên kết lôgic, phát triển khả năng chứng minh, suy đoán và tưởng tượng, khả năng phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa và khái quát hóa Vì những lí do trên

chúng tôi chọn đề tài luận văn thạc sĩ của mình là: “Vận dụng quan điểm hoạt

động trong dạy học định lí toán học ở cấp trung học phổ thông”

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Nghiên cứu các quan điểm về trí tuệ trong Tâm lý học và lý luận dạy học nói chung, đặc biệt là phương diện dạy học định lí

3.2 Khảo sát nội dung chương trình Toán ở phổ thông, thực trạng dạy và học định

lí Toán học phổ thông ở vùng thuộc địa bàn huyện Dầu Tiếng, tỉnh Bình Dương

3.3 Xác định một số biện pháp dạy học, tổ chức thực nghiệm để kiểm chứng tính khả thi của các biện pháp

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

4.1 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu phương pháp dạy học định lí theo quan điểm hoạt động

Nghiên cứu các con đường dạy học định lí trong Toán phổ thông

4.2 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các vấn đề về dạy học định lí trong chương trình Toán phổ thông Khảo sát thực tế trên địa bàn các trường THPT ở huyện Dầu Tiếng

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận dạy học nói chung, dạy định lí nói riêng

5.2 Phương pháp điều tra, khảo sát thực tiễn nhằm mục đích khảo sát hoạt động dạy và học ở các trường THPT thuộc địa bàn huyện Dầu Tiếng

5.3 Phương pháp thực nghiệm làm cơ sở đánh giá tính đúng đắn và khả thi

5.4 Xử lý số liệu bằng phương pháp thống kê các số liệu qua tìm hiểu thực trạng

và sau thực nghiệm

6 Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học môn Toán, có thể xác định các hoạt động tương thích và xây dựng, sử dụng các biện pháp phù hợp nhằm tổ chức cho học sinh trung học phổ thông tiến hành các hoạt động tìm tòi và phát hiện kiến thức

7 Những đóng góp của luận văn

7.1 Hệ thống hóa tư liệu về lý luận dạy học toán, đặc biệt là các tư liệu về lí thuyết hoạt động trong dạy học Toán ở trường phổ thông, làm thành một tài liệu tham khảo trong công tác chuyên môn

7.2 Phân tích vai trò của tri thức, mối liên hệ của tri thức và hoạt động, qua đó cung cấp và bồi dưỡng cho học sinh khả năng dự đoán, phát hiện thuật toán và các quy luật trong nội dung môn toán phổ thông

7.3 Trình bày một số dạng của hoạt động nhằm giúp cho học sinh phát hiện các đối tượng, tổ chức cho học sinh tìm tòi, phát hiện kiến thức; qua đó giúp học sinh khai thác tiềm năng sách giáo khoa, phát triển và mở rộng kiến thức và kĩ năng

8 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phụ lục, luận văn có 3 chương

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Cơ sở lí luận

1.1.1 Lịch sử vấn đề nghiên cứu

Quá trình dạy học gồm hai mặt quan hệ hữu cơ: hoạt động dạy của giáo viên

và hoạt động học của học sinh Trong lí luận dạy học có những quan niệm khác nhau về vai trò của giáo viên và vai trò của học sinh nhưng tựu chung lại có hai hướng: hoặc tập trung vào vai trò hoạt động của giáo viên hoặc tập trung vào vai trò hoạt động của học sinh

Những năm gần đây các tài liệu giáo dục và dạy học ở nước ngoài và trong nước thường nói tới việc cần thiết phải chuyển từ dạy học theo vai trò hoạt động của giáo viên sang dạy học vai trò hoạt động của học sinh Đây là một xu hướng tất yếu có lí do lịch sử

Trong lịch sử giáo dục, ở thời kì chưa hình thành tổ chức nhà trường, một giáo viên thường dạy cho một nhóm nhỏ học sinh, có thể chênh lệch nhau khá nhiều về lứa tuổi và trình độ Chẳng hạn thầy đồ Nho ở nước ta thời kì phong kiến dạy trong cùng một lớp từ đứa trẻ mới bắt đầu học Tam tự kinh đến môn sinh đi thi

tú tài cử nhân, trong kiểu dạy học này, ông thầy bắt buộc phải coi trọng trình độ, năng lực, tính cách của mỗi học trò và cũng có điều kiện để thực hiện cách dạy thích hợp với mỗi học sinh, vai trò chủ động tích cực của người học được đề cao, tuy nhiên năng suất dạy học quá thấp

Từ khi xuất hiện tổ chức nhà trường với những lớp học có nhiều học sinh cùng lứa tuổi và trình độ tương đối đồng đều thì giáo viên khó có điều kiện chăm

lo cho từng học sinh, giảng dạy cặn kẽ cho từng em Từ đó hình thành kiểu dạy học

“Thông báo - đồng loạt” Giáo viên quan tâm trước hết đến việc hoàn thành trách

nhiệm của mình là truyền đạt cho hết nội dung quy định trong chương trình và sách giáo khoa, cố gắng làm cho mọi học sinh trong lớp hiểu và nhớ những lời thầy giảng Cũng từ đó hình thành kiểu học thụ động, thiên về ghi nhớ, ít chịu suy nghĩ Tình trạng này ngày nay càng phổ biến, đã hạn chế chất lượng, hiệu quả dạy học, không đáp ứng được yêu cầu của xã hội đối với sản phẩm của giáo dục nhà trường Đối với môn Toán, đa số học sinh đều cố gắng nhớ công thức, định lí để làm bài tập mà không cần muốn biết những công thức, định lí đó có được là từ đâu? Để khắc phục tình trạng đó, người ta thấy cần tổ chức hoạt động tìm và phát hiện kiến thức cho học sinh, quan tâm đến nhu cầu khả năng của mỗi cá nhân học sinh trong tập thể lớp để phát huy tính tích cực chủ động học tập của học sinh Phương pháp

“Dạy học theo quan điểm hoạt động” đã ra đời trong bối cảnh đó Nhìn theo quan điểm lịch sử như đã phân tích ở trên thì đây là sự trả lại vị trí vốn có từ thuở ban đầu cho người học Trong quá trình giáo dục - dạy học, người học vừa là đối tượng vừa là chủ thể Thông qua quá trình dạy học dưới sự chỉ đạo của giáo viên, người học phải tích cực chủ động cải biến chính mình, không ai làm thay cho mình được Nếu có một giai đoạn nào đó trong lịch sử giáo dục người ta đã không đặt đúng vị trí phải có của người học thì nay phải đặt lại cho đúng với quy luật của quá trình giáo dục

Tư tưởng nhấn mạnh vai tích cực chủ động của người học, xem người học là chủ thể của quá trình học tập đã có từ lâu, ở thế kỉ XVII, A Kômenski đã viết:

“Giáo dục có mục đích đánh thức năng lực nhạy cảm, phán đoán, phát triển nhân cách… hãy tìm ra phương pháp cho phép giáo viên dạy ít hơn, học sinh học nhiều hơn”

Thực hiện hướng dẫn học sinh hoạt động không những không hạ thấp vai trò của giáo viên mà trái lại đòi hỏi giáo viên phải có trình độ cao hơn nhiều về phẩm chất và năng lực nghề nghiệp S Rassekh (1987) viết: “Với sự tham gia tích cực

của người học vào quá trình học tập tự lực, với sự đề cao trí sáng tạo của mỗi người học thì sẽ khó mà duy trì mối quan hệ đơn phương và độc đoán giữa thầy và trò Quyền lực của giáo viên không còn dựa trên sự thụ động của học sinh mà dựa trên năng lực của giáo viên góp phần vào sự phát triển tột đỉnh của các em… Một giáo viên sáng tạo là một giáo viên biết giúp đỡ học sinh tiến bộ nhanh chóng Người thầy phải là người hướng dẫn, người cố vấn hơn là chỉ đóng vai trò công cụ truyền đạt tri thức”

Để giúp học sinh nhanh chóng thích ứng và sớm góp phần phát triển đời sống xã hội, người ta thấy chăm lo phát triển tiềm năng của mỗi cá nhân cũng chưa

đủ mà còn phải tổ chức cho học sinh hoạt động trong môi trường tập thể trên cơ sở

tôn trọng tính cách của mỗi cá nhân Theo hướng đó đã ra đời các phương pháp

dạy học trong đó có phương pháp dạy học theo “quan điểm hoạt động”

Việc phát triển các phương pháp dạy không chỉ còn có ý nghĩa ngay trong quá trình học tập ở nhà trường mà còn chuẩn bị cho các em đóng góp vào sự nghiệp xây dựng đất nước sau này, cũng như chuẩn bị cho tiền đồ của chính các

em

Con người phát triển trong hoạt động và học tập diễn ra trong hoạt động Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với những hoạt động xác định trước hết là các hoạt động hình thành và ứng dụng tri thức bao hàm trong nội dung đó Phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung là vạch ra được một con đường để con người chiếm lĩnh nội dung đó và đạt mục tiêu dạy học khác, đồng thời cũng chỉ rõ mục tiêu dạy học nội dung đó và cách thức kiểm tra xem mục tiêu dạy học đề ra đạt đến mức độ nào? Phương pháp dạy học là cách thức hoạt động và giao lưu của thầy gây nên những hoạt động và giao lưu cần thiết của trò nhằm đạt mục đích dạy

học Trong phương pháp dạy học, điều quan trọng là phát hiện những hoạt động tiềm ẩn trong mỗi nội dung và đề ra hướng khai thác các hoạt động đó

Phương pháp dạy học phải đảm bảo hai nguyên tắc:

+ Thứ nhất là tính liên tục: Những hoạt động nào dẫn tới khái niệm giàu có

hơn, rộng lớn hơn và có mối liên hệ liên tục tới những sự kiện trước đó và sắp tới mới đem lại sự học tập và sự phát triển

+ Thứ hai là nguyên tắc tác động qua lại : Cần quan tâm đến những yếu tố

bao gồm sự tích hợp do người học thực hiện hoạt động với sự giúp đỡ của thầy về bài học, về nhu cầu, tình cảm và các biến số của môi trường xung quanh Nguyên tắc thứ hai này bảo đảm tính nhân văn “Quá trình dạy học là quá trình điều khiển

con người chứ không phải là điều khiển máy móc” Do đó, quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học được thể hiện ở các tư tưởng chủ đạo sau đây :

*Thứ nhất: Gợi động cơ cho các hoạt động học tập

*Thứ hai: Cho HS thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động

thành phần tương thích với nội dung và mục đích dạy học

*Thứ ba: Dẫn dắt HS kiến tạo tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp như

phương tiện và kết quả hoạt động

*Thứ tư : Phân bậc hoạt động làm căn cứ điều khiển quá trình dạy học

Như vậy thành tố của phương pháp dạy học bao gồm:

- Gợi động cơ hoạt động

- Hoạt động và hoạt động thành phần

- Tri thức và tri thức phương pháp

- Phân bậc hoạt động

1.1.2 Một số khái niệm

1.1.2.1 Khái niệm về hoạt động

Hoạt động là quá trình tương tác biện chứng giữa cụ thể và khách thể nhằm tạo ra sản phẩm thỏa mãn nhu cầu của chủ thể Trong dạy học toán chủ thể là học

sinh, sinh viên, giáo viên và khách thể là các đối tượng hoạt động (đối tượng toán học, các quy luật cần khám phá) Suy cho cùng dạy học toán là dạy các mối quan

hệ

Hoạt động có hai cực chuyển hóa lẫn nhau: Khách thể hóa chủ thể là chủ thể xâm nhập vào đối tượng để biến đổi đối tượng thành sản phẩm; Chủ thể hóa khách thể là thông qua hoạt nó phát triển các năng lực phẩm chất chủ thể

1.1.2.2 Bản chất của hoạt động học

Hoạt động học tập là hoạt động chuyên hướng vào sự tái tạo lại tri thức ở người học Sự tái tạo ở đây hiểu theo nghĩa là phát hiện lại Sự thuận lợi cho người học ở đây đó là con đường đi mà để phát hiện lại cái đã được các nhà khoa học tìm hiểu trước, giờ người học chỉ việc tái tạo lại Và để tái tạo lại, người học không có cách gì khác đó là phải huy động nội lực của bản thân (động cơ, ý chí, …), càng phát huy cao bao nhiêu thì việc tái tạo lại càng diễn ra tốt bấy nhiêu Do đó hoạt động học làm thay đổi chính người học Ai học thì người đó phát triển, không ai học thay thế được, người học cần phải có trách nhiệm với chính bản thân mình, vì mình trong quá trình học Mặc dù hoạt động học có thể cũng có thể làm thay đổi khách thể Nhưng như thế không phải là mục đích tự thân của hoạt động học mà chính là phương tiện để đạt được mục đích làm thay đổi chính chủ thể của hoạt động

Hoạt động học là hoạt động tiếp thu những tri thức lý luận, khoa học Nghĩa

là việc học không chỉ dừng lại ở việc nắm bắt những khái niệm đời thường mà học phải tiến đến những tri thức khoa học, những tri thức có tính chọn lựa cao, đã được khái quát hoá, hệ thống hoá

Hoạt động học tập không chỉ hướng vào việc tiếp thu những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo mà còn hướng vào việc tiếp thu cả những tri thức của chính bản thân hoạt động học

Hoạt động học muốn đạt kết quả cao, người học phải biết cách học, phương pháp học, nghĩa là phải có những tri thức về chính bản thân hoạt động học

Hoạt động học là hoạt động chủ đạo của lứa tuổi học sinh Do đó nó giữ vai trò chủ đạo trong việc hình thành và phát triển tâm lý của người học trong lứa tuổi này

1.1.2.3 Quan điểm hoạt động

Con người chỉ có thể phát triển thông qua hoạt động của chính mình Người học phải tự hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức cho chính mình, nghĩa là họ: Phải có nhu cầu và hứng thú với hoạt động học tập Phải biết từng thao tác, nội dung của toàn bộ hoạt động hay của mỗi thao tác Cuối cùng phải biết đạt được kết quả gì?

Hoạt động của học sinh khác với các hoạt động thông thường chính là ở chỗ

được đặt dưới sự chỉ đạo, hướng dẫn của thầy theo mục đích đã định trước

1.1.2.4 Động cơ của hoạt động

Khái niệm: là đối tượng mang tính nhu cầu đối với học sinh, hoạt động luôn

gắn liền đối với đối tượng học sinh

Tính nhu cầu thể hiện trong dạy học định lí là: Phân tích rõ ràng giữa giả thiết và kết luận, thông qua giả thiết có thể khai thác được những gì, liên hệ tìm kiếm kiến thức đã học, suy luận lôgic dẫn đến điều cần chứng minh

Đối tượng cần khám phá và có thể khám phá bằng nổ lực hoạt động tư duy của học sinh

Đối tượng hàm chứa những khó khăn, mâu thuẩn cần giải quyết tức là nhằm tạo ra nhiệm vụ nhận thức cho học sinh, cái này gắn với hoạt động tư duy

Gây được hứng thú cho học sinh bởi vì có nhu cầu mới có động cơ

1.1.2.5.Phân bậc hoạt động

Trong hoạt động, kết quả rèn luyện được ở một mức nào đó có thể lại là tiền

đề để tập luyện và đạt kết quả cao hơn Điều này lại càng rõ ràng hơn đối với môn toán Do đó trong hoạt động phải có phân bậc theo những mức độ khác nhau

Để điều khiển quá trình dạy học đạt kết quả cao ta phải xác định đúng mức

độ, yêu cầu (mục tiêu) mà học sinh phải đạt được ở mỗi bước trung gian hay là ở

mỗi bước cuối cùng của mỗi hoạt động Đây chính là sự phân bậc hoạt động

Mức độ yêu cầu của hoạt động có thể là dài lâu: một mục, một chương, một

kì, một năm, hay cũng có thể là ngắn ngủi Ở đây ta chỉ xét trong phạm vi ngắn

là một tiết dạy

Trong phạm vi một tiết dạy thì việc xác định mức độ, yêu cầu (phân bậc)

càng cụ thể, chi tiết, tránh được sự chung chung, mơ hồ thì chất lượng của hoạt động càng cao

1.1.3 Quan điểm về nhận thức Toán học

1.1.3.1 Nhận thức là gì?

Do yêu cầu của lao động, của cuộc sống, con người thường xuyên tiếp xúc với các sự vật hiện tượng xung quanh, qua đó con người nhận thức được các nét cơ bản của sự vật hiện tượng (Ví dụ: Con người gò đá thấy lửa)

Theo từ điển triết học: Nhận thức là quá trình tái tạo lại hiện thực ở trong tư

duy của con người, được quyết định bởi quy luật phát triển xã hội và gắn liền cũng như không thể tách rời khỏi thực tiễn, nó phải là mục đích của thực tiễn, phải hướng tới chân lý khách quan

Theo Cuốn “Giải thích thuật ngữ Tâm lý – Giáo dục học”: “Nhận thức là

toàn bộ những quy trình mà nhờ đó những đầu vào cảm xúc được chuyển hoá,

được mã hoá, được lưu giữ và sử dụng” Hiểu nhận thức là một quy trình, nghĩa là

nhờ có quy trình đó mà cảm xúc của con người không mất đi, nó được chuyển hoá vào đầu óc con người, được con người lưu giữ và mã hoá,…

Theo Từ điển Giáo dục học: “Nhận thức là quá trình hay là kết quả phản ánh

và tái tạo hiện thực vào trong tư duy của con người” Như vậy, nhận thức được hiểu là một quá trình, là kết quả phản ánh Nhận thức là quá trình con người nhận biết về thế giới, hay là kết quả của quá trình nhận thức đó (Nhận biết là mức độ thấp, hiểu biết là mức độ cao hơn, hiểu được các thuộc tính bản chất)

Tóm lại: Nhận thức là cơ sở, là nền tảng cho mọi sự hiểu biết của con người, nếu không có nhận thức thì con người sẽ mãi mãi ở trạng thái của một đứa trẻ sơ sinh Nhờ có Nhận thức mà con người mới có thể cải tạo được thế giới xung quanh và cao hơn nữa là con người có thể cải tại được chính bản thân mình, phục

vụ được nhu cầu của chính mình

1.1.3.2 Quan điểm về nhận thức Toán học

Phương pháp nhận thức chủ yếu trong toán học là phương pháp sử dụng các

mô hình Toán

Mô hình Toán các lớp đối tượng, quan hệ nào đó của hiện thực khách quan

là sự mô tả các lớp đối tượng và quan hệ đó bằng cách sử dụng các kí hiệu và ngôn

ngữ toán Ví dụ các hình hình học của Ơclit được cho bởi mô hình các phương trình, bất phương trình, hoặc hệ các phương trình, bất phương trình Chẳng hạn, tập hợp các đoạn thẳng AB được cho bởi phương trình vectơ:

; 1

; 0 , 0



 OA OB   

OM với O là một điểm tùy ý (*)

Từ (*) có thể suy ra mô hình các lớp đoạn thẳng trên trong hệ tọa độ trực chuẩn (Oxy), chẳng hạn: AB x B x A i y B y A j i j

,

; ) (

)

 là hai vectơ đơn vị

Trong tiến trình thực hiện mô hình hóa các lớp đối tượng, quan hệ, người ta

sử dụng các hoạt động tư duy như các dạng trừu tượng hóa diễn ra trong toán học: trừu tượng khái quát, trừu tượng đồng nhất, trừu tượng lí tưởng, trừu tượng khả hiện Điều quan trọng là toán học xuất phát từ thực tiễn

Các dạng trừu tượng khái quát, trừu tượng đồng nhất, trừu tượng lí tưởng được ứng dụng khá rộng trong việc dạy học hình thành khái niệm, các quy luật ở

trường phổ thông Chẳng hạn khái niệm số tự nhiên được hình thành nhờ trừu

tượng hóa đồng nhất

Những điều vừa nêu trên có ý nghĩa quan trọng đối với việc tạo môi trường, chọn các đối tượng nhằm gợi động cơ, nhu cầu cho các hoạt động trí tuệ tìm tòi các quy tắc và dạy toán ở trường phổ thông Vì vậy, hoạt động mô hình hóa các hiện tượng, quan hệ hiện thực khách quan là hoạt động đặc trưng của nhận thức Toán học

1.1.4 Đặc điểm tư duy của học sinh phổ thông

Theo Từ điển Tiếng Việt phổ thông: “Tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những hình thức như biểu tượng, khái niệm, phán đoán, suy lý”

Theo Từ điển Triết học: “Tư duy là sản phẩm cao nhất của cái vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận,… Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất của con người và bảo đảm phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp với quy luật của thực tại”

Theo quan niệm của Tâm lý học: Tư duy là một quá trình tâm lý thuộc nhận

thức lý tính, là một mức độ nhận thức mới về chất so với cảm giác và tri giác Tư duy phản ánh những thuộc tính bên trong, bản chất, những mối liên hệ có tính quy luật của sự vật, hiện tượng mà trước đó ta chưa biết

Các nhà giáo dục và tâm lý học thế giới đã đúc kết quá trình phát triển tư duy của một đứa trẻ trong lứa tuổi từ khi bắt đầu đi học cho đến hết tuổi học sinh phổ thông trãi qua 3 tầng nấc: tư duy một bước, hai bước và nhiều bước theo quá trình phát triển thể chất và tinh thần Căn cứ vào quá trình phát triển này mà bậc giáo dục phổ thông được chia thành 3 cấp theo các nấc tư duy của sự phát triển tư duy của trẻ Quá trình phát triển tư duy của trẻ luôn nằm trong sự tác động của ba thành tố (môi trường giáo dục) là văn hóa và giáo dục của gia đình, nhà trường và

xã hội

Từ nhân tri sơ tính bản thiện - con người cái gốc ban đầu là thiện - một đứa trẻ sinh ra đời tiếp xúc với 3 thành tố bên ngoài, giúp cho tư duy của trẻ thành tư duy một bước, còn gọi là tư duy chân thật: ghi nhận sự vật, hiện tượng chân thật ở tuổi dưới phổ thông cấp một

Khi đến tuổi phổ thông cấp hai, tư duy của trẻ chuyển sang hai bước, hay còn gọi là tư duy phân tích: ghi nhận sự vật hiện tượng và phân tích đúng sai

Đến tuổi học phổ thông trung học và sau đó, tư duy của trẻ chuyển sang tư duy nhiều bước, hay còn gọi là tư duy tới hạn: ghi nhận, phân tích đúng sai và bắt đầu đưa ra những giải pháp giải quyết vấn đề

Chẳng hạn: Cho tam thức bậc 2 dạng: f(x) = ax2

+ bx + c (a  0), với = b2 – 4ac Học sinh có thể ghi nhận rằng “Nếu < 0 thì f(x) cùng dấu với a, xR” (*) để vận dụng làm bài tập Tuy nhiên ở độ tuổi trung học, đón nhận một kiến thức mới mà không hiểu nó có được kết quả đó từ đâu sẽ ảnh hưởng đến tư duy, sự phát triển trí tuệ của các em Bản tính tìm tòi, nghiên cứu phát hiện ở lứa tuổi này

bắt buộc có sự phân tích đúng sai của một vấn đề bởi vì trong toán học mệnh đề là

một khẳng định mang tính đúng hoặc sai (Ví dụ xét mệnh đề “Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng”) Nếu điều ghi nhận đó đúng hoặc sai thì phải chứng tỏ chúng Ở đây (*) là đúng và phải chứng minh tức là giải quyết vấn đề: Xác định giả thiết kết luận cho và yêu cầu gì, tìm mối liên hệ giữa f(x) với a

4 4

b ac a

]

4 4

b ac a

 mang dấu gì, dấu của biểu thức f(x) lúc này phụ thuộc vào yếu tố nào?

1.1.5 Quan điểm hoạt động

Hoạt động là một quá trình thực hiện sự chuyển hóa lẫn nhau giữa hai cực của chủ thể và khách thể Nói như vậy là hoạt động không hiểu đơn thuần là phản ứng hoặc tổ hợp các phản ứng mà hoạt động là một cơ cấu có tổ chức, có chuyển hóa và biến đổi bên trong

Đối tượng của hoạt động là cái đang sinh thành trong quan hệ sinh thành của hoạt động và thông qua hoạt động của chủ thể

Các dạng hoạt động cụ thể của học sinh chủ yếu là các hoạt động trí tuệ và các hoạt động toán học

Tác giả Nguyễn Bá Kim đã cụ thể hóa mối quan hệ giữa chủ thể và đối

tượng bằng các hoạt động tương thích với nội dung, phương pháp

Quan hệ giữa chủ thể và đối tượng không phải là quan hệ một chiều từ chủ thể tác động lên khách thể mà mối quan hệ đó thể hiện một cách tích cực từ hai phía

Trong hoạt động đối tượng được bộc lộ theo hoạt động của chủ thể và thông qua hoạt động chủ thể xâm nhập vào đối tượng – sự phản ánh bằng tư duy về các thuộc tính bản chất, các quan hệ bản chất của đối tượng

Trong hoạt động đối tượng có hai lần chuyển hóa Ví dụ cho học sinh khảo sát bài toán sau: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N là hai điểm lần lượt lấy trên hai cạnh AD và CC’sao cho

'

NC

CN MD

AM

 Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn song song với mặt phẳng (ACB’)

Khi đó đối tượng buộc học sinh phải hoạt động – tiến hành các hoạt động trí tuệ sau:

* Vẽ đường thẳng MP song song với AC

* Lập luận chứng minh NP song song với DC’

* Chứng minh hai mặt phẳng (MNP), (ACB’) song song với nhau Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Từ kết quả hoạt động trên cho thấy hoạt động của học sinh đã biến các đối tượng, các quan hệ, kết quả của sự phản ánh tâm lí, nhận thức toán học thu được

sản phẩm mới Thông qua ví dụ trên: đối tượng chuyển hóa thành hoạt động và hoạt động chuyển hóa thành sản phẩm của nó

1.1.6 Dạy và học định lí theo quan điểm hoạt động

Đặc điểm học định lí nổi bậc của học sinh là học tập mang tính chất ghi nhớ nhiều hơn là hiểu để làm bài tập Do đó buộc người thầy khi dạy định lí cần phải bồi dưỡng cho học sinh khả năng phán đoán, suy luận, phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa,… thông qua các hoạt động

1.1.6.1 Rèn luyện cho học sinh năng lực phát hiện các đối tượng có chức năng gợi động cơ cho hoạt động tìm tòi kiến thức

Ví dụ 1: Gợi động cơ trong định lí về sự tồn tại và duy nhất một đường thẳng cắt

và vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau (Hình 2)

Gợi động cơ nhằm để học sinh phát hiện định lí

Xuất phát từ mô hình hình hộp chữ nhật (Hình 3), tứ diện vuông (Hình 4) bằng

những câu hỏi sau:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 Xét vị trí tương đối của đường thẳng AB

với hai đường thẳng chéo nhau: AD và BB1 trên mô hình của hình hộp chữ nhật

+ AB cắt AD và BB1

+ AB vuông góc với AD, và AB vuông góc với BB1

Đối với hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc: Tồn tại một đường thẳng cắt và

vuông góc với hai đường thẳng đó

Xét góc độ cao hơn: Cho tứ diện vuông OABC có góc tam diện đỉnh O là

góc tam diện vuông, hãy chỉ ra một đường thẳng cắt và vuông góc với hai đường

thẳng chéo nhau OC và AB

Vẽ đường cao OM của tam giác OAB Khi đó

OM cắt cả hai đường thẳng OC và AB, đồng thời nó

vuông góc với cả hai đường thẳng đó

Vậy đối với cặp đường thẳng chéo nhau và

vuông góc với nhau thì tồn tại một đường thẳng cắt

và vuông góc với hai đường thẳng đó

Giáo viên đặt vấn đề: liệu hai đường thẳng bất

kì có tồn tại hay không một đường thẳng đồng thời vuông góc với cả hai đường

thẳng kia? Các em hãy phát biểu thử xem?

1.1.6.2 Năng lực tổ chức cho học sinh phổ thông hoạt động tìm tòi phát hiện kiến thức

Năng lực tổ chức cho học sinh phổ thông hoạt động tìm tòi phát hiện kiến thức thể hiện qua các thành tố sau:

- Biết lựa chọn các tình huống, các tri thức về các đối tượng, các quy luật, các phương pháp để học sinh tư duy, hình dung làm bộc lộ động cơ hoạt động – đối tượng mang tính nhu cầu Chẳng hạn: Để dạy định lí Côsin chúng ta có thể lựa chọn các tình huống sau đây nhằm để cho học sinh hoạt động phân tích, so sánh, tổng hợp, từ đó rút ra định lí

- Biết điều khiển học sinh lựa chọn các hoạt động trí tuệ, hoạt động toán học, bằng con đường quy nạp, mô hình hóa để rút ra các tính chất chung, các quy luật, các phương pháp mới

Ví dụ 2: Xét bài toán: Cho tam giác ABC cho biết BC = a; AC = b, AB = c

Chứng minh rằng b2 + c2 – a2 = 2bc.cosA, giáo viên có thể bằng hai cách điều khiển học sinh hoạt động ứng với hai cách giải sau:

Giáo viên hướng dẫn cho học sinh sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông Khi đó học sinh buộc sẽ phải vẽ thêm đường cao của tam giác Ví dụ vẽ đường cao AH (Hình 5)

Chú ý: Học sinh tự chứng minh trường hợp H nằm ngoài đoạn BC

Giáo viên cũng có thể hướng dẫn cho học sinh chứng minh a2

= b2 + c2 – 2bc.cosA bằng bằng ngôn ngữ vectơ

2 2

2 2

2 2

2

2

2 )

(BA AC BA BA AC AC c AB AC b BC

Mà AB.AC  AB.AC cosAbc cosA

Vậy a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA

1.2 Cơ sở thực tiễn

1.2.1 Mục tiêu của dạy học định lí ở phổ thông

Mục tiêu là thành tố rất quan trọng của quá trình dạy học định lí Trong dạy học, nếu không có mục tiêu xác định, sẽ không có bất kì cơ sở nào để lựa chọn nội dung giảng dạy, phương pháp giảng dạy và càng không thể đánh giá được hiệu quả, giá trị của một bài giảng, môt khóa giảng hay cả một chương trình Một mục tiêu được xác định rõ giúp giáo viên suy nghĩ sâu sắc và chín chắn trong việc lựa chọn và sắp xếp nội dung bài giảng, tìm phương pháp truyền đạt tới học sinh để bài giảng có kết quả tốt nhất Các mục tiêu được xác định là cái mốc để giáo viên đánh giá được sự tiến bộ của học sinh đến mức nào theo chiều hướng đã định Mục tiêu

là cái đích mà cả học sinh và giáo viên cần hướng tới Thông qua các bài kiểm tra, chúng ta đánh giá được tình trạng nhận thức của học sinh, đo được năng lực của

học sinh trong việc thực hiện hành động mà chúng ta mong muốn Nhưng kết quả kiểm tra chỉ thực sự phản ánh chính xác nếu nội dung bài kiểm tra đã được định hướng bởi một hệ mục tiêu rõ ràng và đầy đủ

Mục tiêu là cơ sở để viết được các câu hỏi thi tốt nhất Học sinh nắm được những mục tiêu mà giáo viên đặt ra sẽ tự đánh giá được sự tiến bộ của bản thân trong việc chiếm lĩnh tri thức, kĩ năng, kĩ xảo; tự tổ chức quá trình học tập của bản thân theo một định hướng rõ ràng Từ đó, học sinh biết lựa chọn cách học nhằm đạt hiệu quả cao nhất Như vậy, việc xác định mục tiêu trước khi xây dựng nội dung bài giảng sẽ có ý nghĩa hết sức quan trọng Một hệ mục tiêu được đặt ra đầy đủ cả

về mặt nhận thức, kĩ năng, thái độ sẽ hướng toàn bộ quá trình dạy học định lí đạt tới một hiệu quả dạy học tốt nhất Đó là, hỗ trợ người giáo viên xác định hình thức

tổ chức dạy học, chọn các hình thức dạy học phù hợp, lựa chọn các công cụ kiểm tra đánh giá tốt nhất Đó là, phát triển ở người học các năng lực trí tuệ, các phẩm chất tư duy, các kĩ năng hành động và cả niềm say mê đối với môn học

Việc dạy học định lí toán học ở trường THPT phải dần dần làm cho học sinh đạt được các yêu cầu sau:

+ Nắm được định lí và mối liên hệ giữa chúng Từ đó có khả năng vận dụng chúng vào vào hoạt động giải toán cũng như vào các ứng dụng khác Chẳng hạn, học sinh chỉ cần nắm các công thức về thể tích của khối cầu, khối trụ, khối nón mà không cần phải chứng minh

+ Làm cho học sinh thấy được sự cần thiết phải chứng minh chặt chẽ, phải suy luận chính xác, thấy được chứng minh định lí là một yếu tố quan trọng trong phương pháp làm việc trên lĩnh vực Toán học

+ Phát triển năng lực chứng minh toán học, từ chỗ hiểu chứng minh, trình bày lại được chứng minh, nâng lên đến độ biết cách suy nghĩ để tìm ra chứng minh theo yêu cầu chương trình phổ thông

Ví dụ3: Chẳng hạn xét bài toán “Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có

A(0;0), B(c;0), có độ dài ba cạnh là a, b, c và là số đo góc A Chứng minh rằng: sin2 + cos2 = 1” (Chú ý: công thức này sẽ được học trong chương trình Đại số

10 vào cuối học kì 2) HD: Hạ đường cao CH, tính sin2 , cos2 trong tam giác vuông

1.2.2 Đặc điểm của dạy học định lí ở phổ thông

Hệ thống các định lí ở phổ thông là cầu nối gắn lý thuyết với thực hành, giữa các cấp học Do đó các nội dung định lí được phối hợp chặt chẽ, hữu cơ với nhau, quán triệt tính thống nhất của toán học hiện đại, đảm bảo sự liên tục giữa các cấp học: Tiểu học và Trung học cơ sở và Trung học phổ thông Các định lí được sắp xếp theo nguyên tắc: mở rộng và phát triển dần, chẳng hạn định lí Pitago  định lí Côsin, quy tắc hình bình hành trong mặt phẳng  quy tắc đó trong không gian, định lí ba đường vuông góc  định lí về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng;

có sự liên quan chặt chẽ về kiến thức, chẳng hạn tích vô hướng hai vectơ bằng 0 thì hai đường thẳng (tương ứng) song song hoặc trùng với giá của hai vectơ vuông góc

và ngược lại

Đảm bảo tính thực hành với lý thuyết Tổ chức học sinh hoạt động học tập

để từ đó học sinh lĩnh hội và vận dụng kiến thức tốt là một vấn đề đáng quan tâm trong các nhà trường phổ thông Hình thành các kiến thức về phương pháp suy luận và chứng minh cho học sinh

Phát triển khả năng suy luận và chứng minh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ Việc dạy học định lý thực hiện theo sơ đồ sau:

Những đặc điểm trên thể hiện tinh thần của quan điểm hoạt động trong dạy học định lí Toán học ở trường phổ thông, là cơ sở để thực hiện việc tổ chức dạy học theo quan điểm hoạt động Bởi các định lí trong chương trình được trình bày từ những kiến thức đơn giản nâng dần lên những kiến thức tổng hợp, và khó khăn theo mức độ và nhịp độ nhận thức của từng độ tuổi học sinh

Chẳng hạn, mạch kiến thức hình học có sự mở rộng phong phú, nâng cao hơn,

có sự liên quan, tương tự nhau, chẳng hạn ở lớp cấp 2 học sinh được học về diện tích tam giác S =

Bất đẳng thức là một vấn đề được giáo viên và học sinh thâm nhập với một

lượng thời gian khá nhiều vì đây có thể phát triển khả năng tư duy toán học cho học sinh Hầu như các đề thi Cao đẳng và Đại học các năm qua đều có dạng toán

Suy luận lôgic dẫn tới định lý

chứng minh bất đẳng thức Để giải được các bài toán đó thường sử dụng bất đẳng thức Cauchy Tuy nhiên ở chương trình phổ thông (cụ thể là đại số lớp 10) thời

lượng dành cho phần này quá ít, trong khi đó hệ thống bài tập yêu cầu khả năng phân tích và suy luận rất cao

Ví dụ 4: Gọi a, b, c là ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2 Chứng

27

52 a2 b2 c2  abc

Đây là một bài toán dành cho đối tượng học sinh từ khá trở lên, để làm được bài

này trước tiên học sinh cần hiểu rõ nội dung bất đẳng thức Cauchy

0 , ,



b a ab

b

a

hoặc bất đẳng thức Cauchy mở rộng Rất ít học sinh biết

định hướng để làm được một số dạng toán này Người thầy là người gợi động cơ

và định hướng cho các em tìm ra lời giải

Bước 1: Phân tích các giả thiết của bài toán: a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác do đó 3 số này luôn luôn dương

Bước 2: Bài toán cho biết chu vi tam giác bằng 2 Khi đó ta có a + b + c = 2 Lúc này ta biết thêm được độ dài tối đa của mỗi cạnh không thể vượt quá 1 Từ giả thiết này có thể giúp học sinh phát hiện kiến thức mới đó là 3 số 1 – a, 1 – b, 1 – c cũng là số dương Tìm mối liên hệ giữa a2

Khi học định lí này học sinh thường suy nghĩ rằng chỉ dùng để chứng minh bất đẳng thức mà thôi Do đó trong quá trình giảng dạy nên cho học sinh thấy được ứng dụng của định lí vào tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức, giải phương trình,…

Ví dụ 5: Cho 3 số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a2013

+ b2013 + c2013 = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a4 + b4 + c4

Tìm mối liên hệ giữa hai số mũ 2013 và 4, ta có a4

2013 1

2013 1

1

1  b b b b  b  b (2)

2013 2013 2013 2013 2013 2013 4 4

2009

2013

2013 1

Từ đó suy ra 3 P Ta có P = 3 khi a = b = c = 1 Và giá trị lớn nhất của P = 3

Bất đẳng thức là một dạng toán khó được xem là một thử thách cho học sinh trong quá trình học tập và thi cử, đặc biệt là kỳ thi Đại học - Cao đẳng, dạng toán này không có cách giải cụ thể giống như bài toán khảo sát một hàm số, bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên một đoạn, Với hướng khắc phục hạn chế như trên, người giáo viên phải tìm cách hệ thống hóa các kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy, đặt cho mỗi kỹ thuật một cái tên nhằm giúp học sinh dễ dàng hơn trong tư duy để tìm ra hướng giải, nhằm khơi dậy trí tìm tòi của học sinh trong quá trình tự học, khơi dậy niềm say mê tìm kiếm những cái mới

Trong chương trình Toán lớp 11 hiện nay, phần hình học không gian làm cho học sinh gặp nhiều khó khăn và lúng túng Một trong những khó khăn mà học sinh hay gặp phải là sự khác nhau giữa hình phẳng mà học sinh đã quen ở các lớp dưới với hình biểu diễn của hình không gian Khi xét quan hệ vuông góc trong hình học phẳng và các bài toán liên quan, học sinh có cái nhìn trực quan kết hợp với giả thiết, kết luận rồi suy ra lời giải Nhưng đối với các bài toán về quan hệ vuông góc trong không gian, học sinh phải dựa trên các định nghĩa, định lí và hình biểu diễn để tìm lời giải nên học sinh gặp rất nhiều khó khăn

Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy khi gặp bài toán tính khoảng cách

từ một điểm đến một mặt phẳng, giữa hai đường thẳng chéo nhau, giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song, học sinh thường làm bài theo các ví dụ, bài tập

mà giáo viên đã sửa chứ chưa thành thạo suy nghĩ xem nên vận dụng kiến thức nào

để giải quyết bài toán Một trong những lí do đó là học sinh chưa hiểu và nắm hết những định nghĩa, định lí và tính chất về quan hệ vuông góc, đặc biệt trong đó là

định lí đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, định lí về ba đường vuông góc,

Đối với định lí đường thẳng vuông góc với mặt phẳng học sinh thường mắc phải sai lầm đó là chỉ cần chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng bất kì nằm trong mặt phẳng và một định lí mà học sinh rất ít khi sử dụng đến đó là định lí ba đường vuông góc Đối với định lí ba đường vuông góc học sinh chỉ cần xác định được hình chiếu của đường thẳng nhưng hầu như các em rất yếu phần này Để khắc phục tình trạng trên, người giáo viên cần phải định hướng cho học sinh trước khi dạy định lí nào đó

Ví dụ 6: Chẳng hạn dạy định lí đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Hoạt động 1: Nhìn vào hình dưới (Hình 6), yêu cầu học sinh tìm những cặp đường

thẳng cắt nhau và chéo nhau

Có kết luận gì về đường thẳng d với mặt phẳng chứa hai đường thẳng a,b từ hai hình vẽ trên (Hình 7)?

Hoạt động 3: nếu a, b chéo nhau, d đồng thời vuông góc với a, b Có tồn tại mặt

phẳng nào chứa cả a, b để d vuông góc với mặt phẳng đó không?

Hoạt động 4: Phát hiện định lí “Nếu một đường thẳng d vuông góc với hai đường

thẳng a và b cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng (  )thì d vuông góc với mặt phẳng

Bài tập 1: Cho tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông SA vuông góc với

(ABCD) Chứng minh BC vuông góc (SAB)

Bài tập 2:Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B và SA vuông góc

(ABC) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC

1 Chứng minh SC vuông góc (AHK)

2 Trong tam giác ABC kẽ đường cao BM Chứng minh BM // (AHK)

GIẢI

Hình vẽ: (Hình 9)

1 Chứng minh SC vuông góc (AHK)

Trước tiên giáo viên hướng cho học sinh

vuông góc với hai đường thẳng nào trong mặt phẳng (AHK)?

Hoạt động phân tích: Chứng minh SC vuông góc với AK và AH Học sinh

sẽ gặp trở ngại ở giai đoạn chứng minh SC vuông góc với AH Tiếp tục quá trình chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Học sinh chọn một trong hai hướng: AH vuông góc với mặt phẳng chứa SC hoặc AH vuông góc với mặt phẳng chứa SC

AH vuông góc với mặt phẳng chứa SC  AH vuông góc với BC  BC vuông góc với mặt phẳng (SAB)

) (







b a b b

) (







a d

d a

Mà : AC BM (BM là đường cao) AC, SA  (SAC) và AC SA = {A}

 (SAC) BM  BM  SC (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra BM // (AHK)

Bài tập 3 : Cho mặt phẳng () chứa hai đường thẳng phân biệt a và b Đường thẳng c vuông góc với () Mệnh đề nào sau đây đúng?

a) Đường thẳng c và đường thẳng a cắt nhau

b) Đường thẳng c và đường thẳng b chéo nhau

c) Ba đường thẳng a, b, c đồng phẳng

d) Đường thẳng c vuông góc với a và đường thẳng c vuông góc với b

Qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy nhiều học sinh khi gặp các bài toán về chứng minh quan hệ song song trong hình học không gian các em học sinh không biết vẽ hình, còn lúng túng, không phân loại được các dạng toán, chưa định hướng được cách giải, đặc biệt là không thuộc định lí, định nghĩa, tính chất Trong khi đó bài toán liên quan đến chứng minh quan hệ song song trong hình học không gian

có rất nhiều dạng bài tập khác nhau liên quan đến các định lí, chẳng hạn như: Định

lí về giao tuyến của ba mặt phẳng (Định lý 2 - SGK Hình 11 - trang 57), định lí về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, đường thẳng (Định lý 1, 2 - SGK Hình 11 trang 61) và các hệ quả liên quan đến các định lí đó, …

Lượng giác là một trong những lĩnh vực cơ bản của toán học, đã tồn tại và phát triển trong hàng ngàn năm qua Lượng giác không chỉ là một nhánh của đại số

mà còn là một ngành toán học độc lập, có nhiều ứng dụng trong khoa học và thực tiễn

Trong khuôn khổ toán phổ thông, lượng giác được giảng dạy vào cuối năm

lớp 10 và đầu năm lớp 11 với những chủ đề cơ bản: công thức cộng, phương trình lượng giác, hệ thức lượng trong tam giác Và lượng giác còn xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác của toán học nữa như: Tích phân, Hình học

Công thức lượng giác là công cụ đầu tiên để bạn xử lí rất rất nhiều bài tập

toán học Ấy thế nhưng, nó lại nhiều quá, dài quá, khiến không ít học sinh cảm giác ngại học phần này và thường xuyên nhầm lẫn Tuy nhiên, nhờ Toán học là

một môn học lôgic chặt chẽ, giáo viên chỉ cần dạy kỹ “công thức cộng lượng

giác” thì học sinh sẽ suy luận và đưa đến các công thức liên quan như: công thức

nhân đôi, phân tích tổng thành tích và ngược lại, …

Với xu thế đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay của bộ giáo dục, trong quá trình dạy học để thu được hiệu quả cao đòi hỏi người thầy phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa ra các phương pháp phù hợp với kiến thức, với các đối tượng học sinh cần truyền thụ Như luật giáo dục có viết:

”Phương pháp giáo dục phổ thông cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn ruyện kỹ năng vận dụng kiến thức, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”

Trong quá trình giảng dạy, tôi luôn nghiên cứu tìm tòi các phương pháp mới phù hợp với từng bài dạy và các đối tượng học sinh để truyền thụ các kiến thức, đặc biệt là trong việc dạy học các định lý Ở chương trình trung học cơ sở các em

đã được biết một trong các định lí cơ bản của hình học đó là định lí Pythagore Nội dung định lí này được xét trong phạm vi của một tam giác vuông Vấn đề mới,

tổng quát hơn ở chương trình hình học lớp 10 đó là xét trong một tam giác bất kì

Ta đã biết tam giác hoàn toàn xác định khi biết ba cạnh, hoặc hai cạnh và một góc

xen giữa, hoặc biết một cạnh và hai góc kề; có nghĩa là khi biết các yếu tố góc cạnh như trên thì các góc cạnh còn lại sẽ xác định như thế nào? Rõ ràng các góc cạnh còn lại và các góc cạnh đã biết sẽ có một mối liên hệ! Các mối liên hệ đó người ta

gọi là các hệ thức lượng giác trong tam giác Một trong các hệ thức đó là Định lý

Côsin trong tam giác Và định lí sẽ được trình bày như thế nào, để giúp học sinh

nhớ và hiểu định lí thì giáo viên cần phải hướng dẫn đưa học sinh vào một số hoạt động nhằm với mục đích cuối cùng là các em đưa ra nội dung của định lí

Ví dụ 7: Để đưa ra nội dung định lí Côsin

Giáo viên có thể xét ví dụ: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC Kí hiệu: AB= c, AC= b, BC= a; BAC A ABC; B ACB; C

+ Trước tiên ta xét trường hợp đặc biệt: Nếu tam giác ABC vuông tại A Tìm mối liên hệ giữa các cạnh?

Học sinh rất dễ dàng có đẳng thức sau 2 2 2 2 2 2

AB  AC  BC  c +b a (Định lý Pitago)

Nếu AB2 + AC2 = BC2 thì biểu thức véctơ: 2 2 2

Từ định lí trên, suy ra một cách dễ dàng

bc

a c

2  

 ;

ac

b c a B

2 cos

2 2

2  

 ;

ab

c a b C

2 cos

2 2

2  

Trong quá trình giảng dạy, tôi thấy học sinh có thể nhớ và làm bài tập với mức độ tính toán đơn giản Ví dụ như xác định được cạnh tam giác khi biết hai cạnh khác và góc xen giữa qua bài tập ”Cho tam giác ABC thỏa mãn: b = 5; c= 7; cosA= 3/5 Tính cạnh a, và Côsin của các góc còn lại”

+ Cho phép ta xét được các góc tam giác nhọn, tù hay vuông thông qua các yếu tố cạnh của tam giác

Với mọi tam giác ABC luôn có :

a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA

b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB

c2 = a2 + b2 – 2bc.cosC