Vận dụng quan điểm hoạt động trong dạy học chương tổ hợp xác suất ở lớp 11 THPT

VẬN DỤNG QUAN ĐIỂM HOẠT ĐỘNG TRONG DẠY HỌC CÁC TÌNH HUỐNG ĐIỂN HÌNH CỦA CHƯƠNG “ TỔ HỢP – XÁC XUẤT” LỚP 11 THPT .... MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Đề xuất các biện pháp sư phạm vận dụng quan điểm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

- -

ĐỖ MAI PHƯƠNG

VẬN DỤNG QUAN ĐIỂM HOẠT ĐỘNG TRONG

DẠY HỌC CHƯƠNG “TỔ HỢP – XÁC SUẤT”

(LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG)

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

HÀ NỘI – 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

- -

ĐỖ MAI PHƯƠNG

VẬN DỤNG QUAN ĐIỂM HOẠT ĐỘNG TRONG

DẠY HỌC CHƯƠNG “TỔ HỢP – XÁC SUẤT”

Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn toán

Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS BÙI DUY HƯNG

HÀ NỘI – 2017

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô giáo trong khoa Toán – Tin, đặc biệt là các thầy cô giáo trong tổ bộ môn Phương pháp dạy học môn Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội, đã nhiệt tình giảng dạy và chỉ bảo trong suốt thời gian tôi học tập và hoàn thành khóa luận

Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới TS Bùi Duy Hưng, người thầy luôn nhiệt tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi thực hiện và hoàn thành khóa luận

Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo tổ Toán – Tin và các em học sinh của trường THPT Bạch Đằng – Quảng Yên – Quảng Ninh đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong thời gian thực nghiệm sư phạm

Cuối cùng, cho tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, các anh (chị) học viên cao học chuyên nghành Lí luận và phương pháp dạy học môn Toán K25 đã luôn quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập

Dù đã rất cố gắng, luận văn không thể tránh khỏi những sai sót cần được góp ý, sửa chữa.Tôi rất mong nhận được những ý kiến, nhận xét của các thầy cô giáo và bạn đọc

Hà Nội, tháng 6 năm 2017 Tác giả

Đỗ Mai Phương

DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT

SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN

MỤC LỤC

Trang

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 2

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 2

4 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 2

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 3

6 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC 3

7 CẤU TRÚC LUẬN VĂN 3

CHƯƠNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Lịch sử nghiên cứu vấn đề 4

1.2 Quan điểm hoạt động trong dạy học môn Toán 5

1.2.1 Những thành tố cơ sở của phương pháp dạy học 5

1.2.2 Các dạng hoạt động của học sinh gắn với nội dung môn Toán 7

1.3 Dạy học các tình huống điển hình môn Toán 9

1.3.1 Dạy học khái niệm toán học 9

1.3.2 Dạy học định lí toán học 11

1.3.3 Dạy học các quy tắc – phương pháp 14

1.3.4 Dạy học giải bài tập toán học 15

1.4 Thực trạng dạy học chương “Tổ hợp – xác suất” lớp 11 THPT 17

1.4.1 Nội dung, mục tiêu dạy học chương “Tổ hợp – xác suất” 17

1.4.2 Thực trạng dạy học chương “Tổ hợp – xác suất” lớp 11 THPT 18

Kết luận chương I 22

CHƯƠNG II VẬN DỤNG QUAN ĐIỂM HOẠT ĐỘNG TRONG DẠY HỌC CÁC TÌNH HUỐNG ĐIỂN HÌNH CỦA CHƯƠNG “ TỔ HỢP – XÁC XUẤT” LỚP 11 THPT 23

2.1 Vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học các khái niệm 23

2.2 Vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học các định lí 28

2.3 Vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học quy tắc – phương pháp 35

2.4 Vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học giải bài tập 41

2.5 Thiết kế một số giáo án dạy học chương “Tổ hợp – xác suất” 51

Kết luận chương II 75

CHƯƠNG III THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 76

3.1 Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm 76

3.1.1 Mục đích thực nghiệm 76

3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 76

3.2 Triển khai thực nghiệm 76

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 76

3.2.2 Nội dung thực nghiệm 77

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 77

3.3.1 Nội dung và phương pháp đánh giá 77

3.3.2 Đánh giá định lượng 79

3.3.3 Đánh giá định tính 81

Kết luận chương III 83

KẾT LUẬN 84

TÀI LIỆU THAM KHẢO 85

tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo, từ đó người học lĩnh hội được tri thức, kĩ năng và cả cách thức tiến hành những hoạt động tương tự và đạt được mục tiêu dạy học

Hội nghị Trung ương khóa IX đã ra nghị quyết số 29 – NQ/TW ngày 4/11/2013 về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo Một trong những quan điểm chỉ đạo của nghị quyết là: “Chuyển mạnh quá trình giáo dục

từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học” (Theo ([16]) Theo GS TSKH Nguyễn Bá Kim: “Năng lực có thể

và chỉ có thể được hình thành, phát triển và biểu hiện trong hoạt động và bằng hoạt động” (Theo [13], trang 78)

Thực tế hiện nay, một bộ phận không nhỏ GV chưa thậtsự chú ý đếnviệc tổ chức các HĐ cho HS, còn nặng về cung cấp tri thức dưới dạng có sẵn,chưa khơi dậy tính tích cực học tập của HS; một số GV còn quá chú trọng

kĩ năng giải toán, xem nhẹ việc rèn luyện tư duy cho HS dẫn đến HS học một cách máy móc, bị động, rập khuôn, lúng túng khi gặp bài toán mới, không biết tìm tòi sáng tạo trong học tập

Chương “Tổ hợp – xác suất” nằm trong chương trình Đại số và giải tích lớp 11 THPT, đây là một nội dung khó, và trừu tượng đối với học sinh trung

2

học phổ thông Tuy nhiên, nội dung của chương học lại có nhiều ứng dụng trong thực tế Vấn đề đặt ra là làm thế nào để khai thác được các hoạt động khi học nội dung này nhằm phát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh trong học tập

Với những lí do trên, chúng tôi xin chọn đề tài:

“Vận dụng quan điểm hoạt động trong dạy học chương “Tổ hợp – xác

suất” ( lớp 11 trung học phổ thông)”

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Đề xuất các biện pháp sư phạm vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học bốn tình huống điển hình môn Toán đối với chương “Tổ hợp – xác suất”, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học nội dung này ở trường THPT

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

3.1 Nghiên cứu quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học 3.2 Tìm hiểu tính hình thực tiễn dạy học chương “Tổ hợp – xác suất” ở THPT

3.3 Đề xuất các biện pháp vận dụng quan điểm hoạt động vào các tình huống điển hình trong dạy học chương “Tổ hợp – xác suất”

3.4 Tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của các đề xuất và đánh giá kết quả thực nghiệm

4 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

4.1 Đối tượng nghiên cứu: quá trình vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học chương “Tổ hợp – xác suất”

4.2 Phạm vi nghiên cứu: nội dung chương “Tổ hợp – xác suất” ( lớp 11 THPT)

3

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

5.1 Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu tâm lí học, giáo dục học, lí luận và phương pháp dạy học bộ môn toán, luận văn có liên quan đến

đề tài

5.2 Phương pháp điều tra: Tiến hành dự giờ, trao đổi với các giáo viên

về quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học, dùng phiếu điều tra thực trạng giảng dạy và học tập của giáo viên, học sinh trước và sau khi thực nghiệm để đánh giá kết quả thực nghiệm

5.3 Phương pháp thực nghiệm: Thực nghiệm dạy học theo giáo án đã thiết kế cho học sinh lớp 11 THPT

6 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu vận dụng quan điểm hoạt động trong dạy học chương “Tổ hợp – xác suất” cho học sinh lớp 11 THPT thông qua các biện pháp đã đề xuất trong luận văn thì có thể nâng cao hiệu quả dạy nội dung này, tăng cường tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh

7 CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và nội dung chính của luận văn gồm 3 chương:

Chương I Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương II Vận dụng quan điểm hoạt động trong dạy học các tình huống điển hình của chương “Tổ hợp – xác suất” lớp 11 THPT

Chương III Thực nghiệm sư phạm

HĐ trong dạy học là: Tổ chức cho học sinh học tập trong HĐ và bằng HĐ tự giác, tích cực, sáng tạo (Dựa theo ([18]))

Việc vận dụng quan điểm HĐ vào các nội dung dạy học cụ thể cũng được nhiều tác giả và các thầy cô giáo quan tâm như:

- Lê Kim Anh (2005), Vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học chương phương pháp tọa độ trong mặt phẳng (hình học 10), Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục, ĐHSP Hà Nội Trong luận văn, tác giả đã nghiên cứu việc vận dụng quan điểm HĐ bằng cách cụ thể hóa bốn thành tố cơ sở của PPDH

- Nguyễn Thị Hồng Nghĩa (2010), Vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học hình học không gian lớp 11 THPT, Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục, ĐHSP Vinh Trong luận văn, tác giả nghiên cứu việc vận dụng quan điểm HĐ trong dạy học hình học không gian lớp 11 THPT ở các tình huống dạy học cụ thể: Dạy học khái niệm; dạy học định lí, quy tắc, phương pháp; dạy học giải bài tập

- Nguyễn Đức Kiên (2014), Vận dụng quan điểm hoạt động trong dạy học Đại số và giải tích lớp 11 THPT, Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục, ĐH Tây Bắc Trong luận văn, tác giả nghiên cứu việc vận dụng quan điểm HĐ trong dạy học bốn tình huống dạy học điển hình của chương trình Đại số và giải tích lớp 11: Dạy học khái niệm; dạy học định lí; dạy học quy tắc, phương pháp; dạy học giải bài tập

1.2 Quan điểm hoạt động trong dạy học môn Toán

1.2.1 Những thành tố cơ sở của phương pháp dạy học

Phần này viết dựa vào tác phẩm ([13]) từ trang 92 đến trang 108, từ trang 67 đến trang 70, từ trang 268 đến trang 307

6

1.2.1.1 Hoạt động và các hoạt động thành phần

Nội dung chủ đạo của tư tưởng này là: Cho học sinh thực hiện và tập luyện những HĐ và HĐ thành phần tương thích với nội dung và mục tiêu dạy học Tư tưởng này có thể được cụ thể hóa như sau:

- Phát hiện những HĐ tương thích với nội dung;

- Phân tích HĐ thành các HĐ thành phần;

- Lựa chọn HĐ dựa vào mục tiêu;

- Tập trung vào những HĐ toán học

1.2.1.2 Động cơ hoạt động

Gợi động cơ là làm cho HS có ý thức về ý nghĩa của những HĐ và của đối tượng HĐ.Gợi động cơ làm cho những mục tiêu sư phạm biến thành những mục tiêu cá nhân Gợi động cơ không chỉ đơn giản là sự vào bài, đặt vấn đề một cách hình thức Những HS có ý thức và ham học hỏi, việc gợi động cơ của GV sẽ thôi thúc, kích thích tính tò mò, khám phá tri thức và các

em sẽ tham gia nhiệt tình phát hiện và giải quyết vấn đề

Việc gợi động cơ không chỉ là việc làm ngắn ngủi lúc bắt đầu dạy một tri thức nào đó, mà phải xuyên suốt quá trình DH, bao gồm:

- Gợi động cơ và hướng đích mở đầu cho HĐ;

- Gợi động cơ và hướng đích trong khi tiến hành HĐ;

- Gợi động cơ kết thúc HĐ

1.2.1.3 Tri thức trong hoạt động

Nội dung của tư tưởng chủ đạo này là: Dẫn dắt học sinh kiến tạo tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp như phương tiện và kết quả của HĐ Đứng trước một nội dung DH, GV cần nắm được tất cả các tri thức phương pháp có thể có trong nội dung đó Nắm được như vậy không phải để dạy tất cả cho học sinh một cách tường minh mà còn phải căn cứ vào mục tiêu

- Thông báo tri thức phương pháp trong quá trình HĐ;

- Tập luyện những HĐ ăn khớp với những tri thức phương pháp

tư duy, trong phát triển khả năng sáng tạo

1.2.2 Các dạng hoạt động của học sinh gắn với nội dung môn Toán

1.2.2.1 Nhận diện và thể hiện

Nhận diện một định nghĩa là phát hiện xem một đối tượng cho trước có thỏa mãn định nghĩa đó hay không Thể hiện một định nghĩa là tạo một đối tượng thỏa mãn định nghĩa đó (có thể còn đòi hỏi thỏa mãn một số yêu cầu khác nữa)

Nhận diện một định lí là xét xem một tình huống cho trước có ăn khớp với định lí đó hay không Thể hiện một định lí là xây dựng một tình huống ăn khớp với định lí cho trước

Nhận diện một phương pháp là phát hiện xem một dãy tình huống có phù hợp với các bước thực hiện phương pháp đó hay không.Thể hiện một

1.2.2.2 Những hoạt động toán học phức hợp

Chứng minh, định nghĩa, giải bài toán bằng cách lập phương trình, dựng hình, quỹ tích… thường xuất hiện nhiều trong toán phổ thông Cho HS tập luyện những HĐ này sẽ làm cho HS nắm vững những nội dung toán học

và phát triển những kĩ năng và năng lực toán học tương ứng

1.2.2.3 Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong môn Toán

HĐ lật ngược vấn đề, xét tính giải được (có nghiệm, nghiệm duy nhất, nhiều nghiệm), phân chia trường hợp…

1.2.2.4 Những hoạt động trí tuệ chung

Phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tương tự, trừu tượng hóa, khái quát hóa…

1.2.2.5 Những hoạt động ngôn ngữ

GV cho HS tóm tắt bài toán bằng các kí hiệu, phát biểu bài toán bằng nhiều cách khác nhau, chuyển bài toán sang dạng khác, trình bày lời giải một bài toán…

Ví dụ 1.1.Khi giải bài toán sau, HS phải thực hiện năm dạng HĐ trên:

Cho hình chóp S ABC, tam giác ABC cân tại A và BC = 2a Cạnh SA = và vuông góc với đáy (ABC) Góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng

450.Tính thể tích của khối chóp S ABC

- HĐ nhận diện: Hình chóp S ABC có cạnh SA vuông góc với đáy (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)

9

- HĐ giải bài toán (HĐ toán học phức hợp)

- HĐ phân tích (HĐ trí tuệ chung): Để tính được thể tích khối chóp S ABC cần tính được diện tích đáy và chiều cao của khối chóp S ABC,

do SA vuông góc với đáy (ABC) nên độ dài cạnh SA có thể coi là chiều cao khối chóp ứng với đáy là tam giác ABC

- HĐ xét tính giải được: Gọi D là trung điểm cạnh BC Xét tam giác SAD vuông tại A và góc SDA = 45 ta có thể tính được đường cao AD của tam giác ABC, do đó tính được diện tích đáy ABC và thể tích khối chóp S ABC theo công thức: V = S SA

- HĐ ngôn ngữ: Trình bày lời giải của bài toán

1.3 Dạy học các tình huống điển hình môn Toán

1.3.1 Dạy học khái niệm toán học

Có ba con đường tiếp cận khái niệm:

- Con đường suy diễn

- Con đường quy nạp

- Con đường kiến thiết

Quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường suy diễn thường diễn

iii Đưa ra một số ví dụ đơn giản để minh họa cho khái niệm vừa định nghĩa Quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường quy nạp thường diễn

ra như sau:

iii GV gợi mở để học sinh phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên và các đặc điểm đặc trưng của khái niệm

Con đường tiếp cận một khái niệm theo con đường kiến thiết thường diễn ra như sau:

i Xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần được hình thành hướng vào những yêu cầu tổng quát nhất định xuất phát từ nội bộ toán học hay từ thực tiễn;

ii Khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tượng đại diện, đi tới đặc điểm đặc trưng cho khái niệm cần hình thành;

iii Phát biểu định nghĩa được gợi ý do kết quả bước ii

Ví dụ 1.2 Để tiếp cận khái niệm hàm số ở lớp 9theo con đường quy

nạp, có thể tiến hành như sau:

i GV nêu lên lại một số tri thức mà HS đã học ở những lớp dưới để HS xem xét:

- Trong một chuyển động đều, quãng đường đi được tỉ lệ thuận với thời gian;

- Thời gian hoàn thành một khối lượng công việc tỉ lệ nghịch với năng suất thực hiện công việc đó;

- Nhiệt lượng tỏa ra từ một dây dẫn tỉ lệ với bình phương cường độ dòng điện

ii GV dẫn dắt HS phân tích, so sánh các trường hợp trên để:

11

- Thấy được rằng ở mỗi trường hợp đều có một đại lượng nhận giá trị trong một tập hợp số và một đại lượng nữa có giá trị tương ứng thuộc một tập hợp số thứ hai;

- Nêu bật được đặc điểm chung sau đây của cả ba trường hợp: Với mỗi phần tử x thuộc tập hợp số A đều tương ứng một phần tử xác định y thuộc tập hợp số B

iii Trên cơ sở nhận xét đạt được ở (ii), GV gợi ý để HS phát biểu được định nghĩa hàm số có nội dung như ở sách giáo khoa Toán 9

Củng cố khái niệm thường được thực hiện bằng các HĐ :

- Nhận diện và thể hiện khái niệm;

- HĐ ngôn ngữ;

- Khái quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa những khái niệm đã học

1.3.2 Dạy học định lí toán học

Có hai con đường dạy học định lí:

- Con đường có khâu suy đoán;

- Con đường suy diễn

Quy trình dạy học định lí theo con đường có khâu suy đoán như sau:

i Gợi động cơ học tập định lí xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ toán học;

ii Dự đoán và phát biểu định lí dựa vào những phương pháp nhận thức mang tính suy đoán: quy nạp không hoàn toàn, lật ngược vấn đề, tương tự hóa, khái quát hóa một định lí đã biết, nghiên cứu trường hợp suy biến, xét mối liên hệ và phụ thuộc,…

iii Chứng minh định lí, trong đó đặc biệt chú ý việc gợi động cơ chứng minh và gợi cho học sinh thực hiện những HĐ ăn khớp với phương pháp suy luận, chứng minh thông dụng và những quy tắc kết luận logic thường dùng

Ví dụ 1.3.Để dạy học định lí côsin trong tam giác theo con đường có

khâu suy đoán, có thể tiến hành như sau:

i Gợi động cơ học tập định lí xuất phát từ nhu cầu nảy sinh trong nội bộ toán học:

- GV yêu cầu HS tính độ dài cạnh huyền trong một tam giác vuông khi biết độ dài hai cạnh góc vuông;

- Khi tam giác không phải là tam giác vuông, nếu biết độ dài hai cạnh

và số đo góc xen giữa hai cạnh đó thì có tính được độ dài cạnh còn lại hay không?

ii Dự đoán và phát biểu định lí:

Xét bài toán: Cho tam giác ABC, biết góc A và hai cạnh AC, AB Tính

độ dài cạnh BC

Đặc biệt hóa: Xét các trường hợp với A lần lượt bằng 900, 1200, 600, 300

HS thực hiện HĐ nhóm và điền vào bảng:

- Nếu ô trống là sinA thì khi A=900 : BC2 = AC2 +AB2 – AC AB (sai)

- Nếu ô trống là cos A thì khi A=900: BC2 = AC2 +AB2 (đúng) Nhưng khi A=300: BC2=AC2 +AB2 – AC AB.√ (sai) Điểu chỉnh lại để khi A=300 kết quả đúng, chẳng hạn ô trống là 2cosA

- Dự đoán cuối cùng là : BC2 = AC2 +AB2 – 2AC AB CosA

iii Chứng minh định lí

GV gợi ý :

- Tìm mối liên hệ giữa độ dài cạnh BC và độ dài véctơBC⃗

- Biểu thị véctơ BC⃗ qua hai véctơ AB⃗ và AC⃗

- Khái quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa những định lí

1.3.3 Dạy học các quy tắc – phương pháp

Hình thành các bước xây dựng một quy tắc hoặc thuật giải thông qua

ba con đường:

- Dạy học tường minh quy tắc – phương pháp;

- Thông báo tri thức phương pháp trong quá trình HĐ;

- Tập luyện cho HS những HĐ ăn khớp với quy tắc, phương pháp mà ta muốn trang bị cho họ

Ví dụ 1.4.Dạy học tường minh quy tắc tính đạo hàm của hàm số tại một

15

1.3.4 Dạy học giải bài tập toán học

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Polya (1975) về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, phương pháp chung để giải bài toán như sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

- Phát biểu đề bài dưới những dạng khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán;

- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh;

- Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài

Bước 2: Tìm cách giải

- Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho và cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, giải toán dựng hình, quỹ tích…

- Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức liên quan

- Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp lí nhất

Bước 3: Trình bày lời giải

Từ các cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện mạch lạc các bước đó

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

16

- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng, khái quát hóa hay lật ngược vấn đề

Ví dụ 1.5 Hướng dẫn HS lớp 11 giải bài toán sau theo bốn bước của

Polya:“Cho tứ diện OABC có OA=a, OB=b, OC=c và đôi một vuông góc với nhau Gọi H là trực tâm tam giác ABC

- Đưa bài toán về kiến thức đã biết đó

Bước 3: Trình bày lời giải

OM =

1

OB +

1 OC

c .

17

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Từ lời giải bài toán trên ta có thể có các bài toán khác:

Bài toán 1:Cho tứ diện OABC có OA=a, OB=b, OC=c và đôi một

vuông góc với nhau Gọi H là hình chiếu của O lên mặt phẳng(ABC) Chứng minh đẳng thức: = + +

Bài toán 2: Cho tứ diện OABC có OA=a, OB=b, OC=c và đôi một

vuông góc với nhau Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC)

1.4 Thực trạng dạy học chương “Tổ hợp – xác suất” lớp 11 THPT

1.4.1 Nội dung, mục tiêu dạy học chương “Tổ hợp – xác suất”

Nội dung dạy học chương “Tổ hợp – xác suất” lớp 11 THPT bao gồm:

- Quy tắc đếm: quy tắc cộng, quy tắc nhân;

- Chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp (không lặp);

- Nhị thức Niu tơn;

- Phép thử và biến cố;

- Định nghĩa xác suất Các quy tắc tính xác suất

Mục tiêu dạy học chương “Tổ hợp – xác suất” trong chương trình phổ thông:

 Đại số tổ hợp (quy tắc cộng và quy tắc nhân; chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp; nhị thức Niu tơn)

Về kiến thức: Biết quy tắc cộng và quy tắc nhân; hoán vị, chỉnh hợp, tổ

hợp chập k của n phần tử; công thức nhị thức Niu- tơn (a+b)n

Về kĩ năng:

- Bước đầu vận dụng được quy tắc cộng và quy tắc nhân

18

- Tính được số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp chập k của n phần tử

- Biết khai triển nhị thức Niu- tơn với một số mũ cụ thể

- Tìm được hệ số của xk trong khai triển nhị thức Niu- tơn thành đa thức

 Xác suất (phép thử và biến cố; xác suất của biến cố và các tính chất

cơ bản của xác suất; công thức cộng xác suất, công thức nhân xác suất)

Về kiến thức:

- Biết được: Phép thử ngẫu nhiên; không gian mẫu; biến cố liên quan đến phép thử ngẫu nhiên Định nghĩa cổ điển, định nghĩa thống kê xác suất của biến cố

- Biết được các khái niệm: Biến cố hợp; biến cố xung khắc; biến cố đối; biến cố giao; biến cố độc lập;

- Biết được tính chất: P()=0; P()=1; 0P(A)1

- Biết (không chứng minh) định lí cộng xác suất và định lí nhân xác suất

- Biết sử dụng máy tính bỏ túi hỗ trợ tính xác suất

1.4.2 Thực trạng dạy học chương “Tổ hợp – xác suất” lớp 11 THPT

1.4.2.1 Phương pháp tiến hành điều tra – khảo sát

Để nắm được thực trạng dạy học chương “Tổ hợp – xác suất” ở lớp 11 THPT, chúng tôi tiến hành:

19

a Phát phiếu thăm dò ý kiến 30 GV toán và 150 HS lớp 11 ở các trường THPT Bạch Đằng, THPT Nguyễn Tất Thành, THPT Hồng Đức, Tỉnh Quảng Ninh (Phụ lục 1)

b Dự giờ 02 tiết học tại trường THPT Bạch Đằng, Quảng Yên, Quảng Ninh

1.4.2.2 Kết quả điều tra thống kê

a Đối với GV: Chúng tôi phát ra 30 phiếu điều tra, thu về 30 phiếu Kết quả trả lời các câu hỏi là:

20

1.4.2.3 Phân tích, đánh giá kết quả khảo sát

Từ bảng thống kê kết quả điều tra thông qua phiếu khảo sát ở trên và quá trình dự giờ 02 tiết học, chúng tôi rút ra một số kết luận về thực trạng dạy học chương “Tổ hợp – xác suất” ở lớp 11 THPT như sau:

21

- GV đã cố gắng tìm hiểu, nắm vững nội dung và kiến thức về tổ hợp

và xác suất, cẩn thận trong việc soạn giáo án, tuy nhiên do thời lượng mỗi tiết học ngắn nên việc khắc sâu, mở rộng cho HS còn hạn chế

- Vẫn còn một số GV không nắm vững quan điểm HĐ, thể hiện ở việc xác định HĐ bài dạy chưa chính xác, không khai thác được các dạng HĐ gắn với nội dung dạy học Một số GV có hiểu quan điểm này nhưng còn lúng túng trong việc vận dụng vào thực tế giảng dạy ở trường phổ thông

- Trình độ và năng lực của HS trong lớp không đồng đều gây khó khăn cho giáo viên khi phân bậc HĐ

- GV chưa thực sự quan tâm đến việc hướng dẫn HS tự học ở nhà

- Kĩ năng làm việc theo nhóm, tinh thần làm việc chưa cao Nếu phân công việc cho nhóm chỉ có ít HS có năng lực làm việc, còn các HS khác thụ động chờ kết quả

- Nhiều HS không có thói quen đọc sách và các tài liệu tham khảo, không tích cực tự học ở nhà Khi đến lớp, phần lớn HS còn thụ động, không tích cực tham gia vào xây dựng bài và các HĐ của GV đưa ra

- HS thường mắc những sai lầm: Nhầm lẫn giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân;lúng túng không biết khi nào thì dùng chỉnh hợp, khi nào thì dùng tổ

22

hợp; không xác định đúng không gian mẫu và biến cố cần tìm dẫn đến tính sai xác suất của biến cố…

Kết luận chương I

Trong chương I, chúng tôi đã nghiên cứu:

- Sơ lược về lịch sử nghiên cứu vấn đề vận dụng quan điểm HĐ trong dạy học và cơ sở lí luận về quan điểm HĐ

- Thực trạng dạy học và vận dụng quan điểm HĐ trong dạy học chương “Tổ hợp xác suất”, tuy đã được quan tâm nhưng chưa được thực hiện một cách đồng bộ và hợp lí, nhiều GV chưa thực sự chú ý đầu tư vào việc tổ chức các

HĐ học tập cho HS

23

CHƯƠNG II VẬN DỤNG QUAN ĐIỂM HOẠT ĐỘNG TRONG DẠY HỌC CÁC TÌNH HUỐNG ĐIỂN HÌNH CỦA CHƯƠNG “ TỔ HỢP –

XÁC XUẤT” LỚP 11 THPT 2.1 Vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học các khái niệm

Các khái niệm Toán học được trình bày trong chương “Tổ hợp – xác suất” bao gồm: Khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp; phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu của phép thử, biến cố , xác suất của biến cố

Dạy học khái niệm cần đảm bảo ba bước:

Bước 1: Hình thành khái niệm (tiếp cận khái niệm)

Như trình bày ở chương 1, có ba con đường tiếp cận khái niệm:

- Con đường suy diễn

- Con đường quy nạp

- Con đường kiến thiết

Căn cứ vào nội dung các khái niệm trong chương, con đường tiếp cận khái niệm thường được sử dụng là con đường quy nạp Trong quá trình tiếp cận khái niệm theo con đường quy nạp, mỗi bước sẽ gắn với những HĐ cụ thể của GV và HS:

(i) GV đưa ra những ví dụ cụ thể để HS thấy được sự tồn tại hoặc tác

dụng của một loạt đối tượng nào đó GV là người đưa ra các ví dụ nhưng để HS không thụ động, GV có thể yêu cầu HS thực hiện một

số HĐ liên quan đến ví dụ

(ii) GV dẫn dắt HS phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm chung

của các đối tượng đang được xem xét GV là người dẫn dắt bằng những câu hỏi gợi mở, HS thực hiện các HĐ phân tích, so sánh, khái quát hóa được lên lớp đối tượng đang xem xét HS có thể đưa ra đối

24

chiếu một vài đối tượng không có đủ các đặc điểm của lớp đối tượng đó

Bước 2: Phát biểu định nghĩa khái niệm

GV tổ chức cho HS tiến hành các HĐ ngôn ngữ, khái quát hóa, dùng kí hiệu để phát biểu được định nghĩa khái niệm

Bước 3: Củng cố, vận dụng khái niệm

Hai ví dụ sau đây sẽ minh họa việc dạy học khái niệm vận dụng quan điểm HĐ

Ví dụ 2.1 Dạy học khái niệm chỉnhhợp

Bước 1: Tiếp cận khái niệm: (Theo con đường quy nạp)

(i) GV đưa ra ví dụ cụ thể để học sinh thấy được một số đối tượng của

khái niệm chỉnh hợp

Chẳng hạn:

GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi: Một nhóm học sinh có năm bạn A, B,

C, D, E Hãy kể ra vài cách phân công ba bạn làm trực nhật: Một bạn quét nhà, một bạn lau bảng và một bạn sắp bàn ghế

25

(ii) GV dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm

chung của các đối tượng vừa tìm được:

- Để phân công công việc cần chọn ra bao nhiêu bạn?

- Hai cách phân công trực nhật trên khác nhau như nào?

Bước 2: Phát biểu định nghĩa khái niệm

GV gợi ý cho HS khái quát hóa:

- Mỗi đối tượng là kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ tập hợp gồm n phần tử

- Hai đối tượng khác nhau nếu ít nhất một phần tử lấy ra khác nhau hoặc thứ tự sắp xếp các phần tử đó khác nhau

Như vậy: Mỗi cách lấy k phần tử khác nhau từ tập hợp gồm n phần tử và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó là một chỉnh hợp chập k của n phần tử

Bước 3: Củng cố khái niệm

- HĐ nhận diện khái niệm: Trong các trường hợp sau đây, trường hợp nào

26

c Một đoàn khách du lịch cần lập một danh sách sắp thứ tự 4 điểm du lịchtrong 4 dịp nghỉ lễ trong năm từ 8 địa điểm Hà Nội, Quảng Ninh, Ninh Bình,Vũng Tàu, Hà Giang, Lào Cai, Quãng Bình, Cần Thơ

d Mỗi cách chọn ra ba đỉnh của một tam giác từ 12 điểm trong mặt phẳng mà trong đó ba điểm bất kì không thẳng hàng

Đáp án: b và c

- HĐ thể hiện khái niệm: lấy ví dụ về chỉnh hợp chập k của n phần tử (với

k và n cụ thể)

- Các HĐ ngôn ngữ: Phát biểu khái niệm chỉnh hợp theo lời lẽ của HS

- HĐ đặc biệt hóa khi k = n, mỗi chỉnh hợp là một hoán vị của n phần tử

- HĐ hệ thống hóa, so sánh: Sau khi HS học các khái niệm hoán vị và tổ hợp, HS thực hiện HĐ hệ thống hóa, so sánh để nhận biết sự khác nhau giữa

ba khái niệm: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Ví dụ 2.2.Dạy học khái niệm phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu của

phép thử

Bước 1: Tiếp cận khái niệm

(i) GV đưa ra ví dụ cụ thể để học sinh tìm một số đối tượng của khái

niệm phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu của phép thử

Chẳng hạn:

GV yêu cầu học sinh chuẩn bị mỗi nhóm một đồ dùng: Đồng tiền kim loại đồng chất có hai mặt khác nhau, một cỗ bài tú lơ khơ (cỗ bài 52 lá), một con súc sắc

Nhóm 1: Trước khi gieo đồng tiền hai mặt, học sinh dự đoán kết quả sẽ

xuất hiện

27

Nhóm 2: Rút một quân bài từ cỗ bài đã chuẩn bị, học sinh dự đoán đó

là quân bài nào

Nhóm 3: Trước khi tung súc sắc, học sinh dự đoán kết quả mặt bao

nhiêu chấm sẽxuất hiện

HS dự đoán và thực hiện các phép thử để kiểm tra kết quả đã dự đoán

(ii) GV dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh và nêu bật những đặc

điểm chung của các đối tượng vừa tìm được:

- Có đoán trước được chính xác kết quả của các phép thử trên hay không?

- Có biết được tất cả những kết quả có thể có của phép thử trên không? Nếu có hãy liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử?

Bước 2: Phát biểu định nghĩa khái niệm

GV gợi mở để HS phát biểu định nghĩa khái niệm phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu của phép thử thông qua HĐ khái quát hóa và ngôn ngữ:

- Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử

đó

- Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử

Bước 3: Củng cố khái niệm

- Xét xem các phép thử sau, phép thử nào là phép thử ngẫu nhiên: (giải thích)

a Ta ra đường, kết quả là những người mà mà ta sẽ gặp trong ngày

b Đề cương ôn thi gồm 100 câu Một HS đi thi nhận một đề thi gồm 5 câu, biết rằng các câu trong đề thi đều có trong đề cương ôn thi

HĐ tích cực của HS, góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung và tạo điều kiện cho họ nâng cao tính độc lập trong việc đưa ra định nghĩa.Dạy học các khái niệm khác trong chương có thể vận dụng tương tự như trình bày trong hai ví dụ trên

2.2 Vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học các định lí

Trong chương “Tổ hợp – xác suất” lớp 11 THPT, các định lí toán học được trình bày gồm: Định lí tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp; định lí về tính chất của xác suất

Mỗi bước dạy học định lí sẽ gắn với những HĐ cụ thể của GV và HS:

Bước 1: Gợi động cơ

GV gợi động cơ học tập định lí xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ toán học Chương “Tổ hợp – xác suất” có nội dung gắn nhiều với thực tiễn, do đó gợi động cơ xuất phát từ thực tiễn không chỉ kích thích HS học tập mà còn cho HS thấy được ứng dụng của định lí trong cuộc sống.Đối với cách gợi động cơ này, GV đưa ra một tình huống có thể là một bài toán, HS giải quyết và nhận thấy vấn đề

29

Bước 2: Hình thành định lí

Trong bước này, căn cứ vào nội dung định lí và điều kiện cụ thể, GV lựa chọn con đường dạy học phù hợp:

Hình thành định lí theo con đường có khâu suy đoán:

(i) Dự đoán và phát biểu định lí: Bằng các HĐ quy nạp không hoàn

toàn, lật ngược vấn đề, tương tự hóa, khái quát hóa một định lí đã biết, nghiên cứu trường hợp suy biến, xét mối liên hệ và phụ thuộc,…HS dự đoán và phát biểu nội dung định lí Trong bước này,

GV đóng vai trò dẫn dắt HS đến nội dung định lí thông qua các câu hỏi gợi mở Tùy vào đối tượng HS, GV có thể điều chỉnh tính phức tạp của câu hỏi

(ii) Chứng minh định lí: HS độc lập chứng minh định lí bằng suy luận

của mình hoặc theo gợi mở của GV

Hình thành định lí theo con đường suy diễn:

(i) Xuất phát từ những tri thức Toán học đã biết, dùng suy diễn logic

dẫn tới định lí: HS độc lập suy luận hoặc GV dẫn dắt, gợi mở

(ii) Phát biểu định lí: Từ kết quả suy diễn trên, HS phát biểu định lí, GV

chính xác hóa định lí

Bước 3: Vận dụng, củng cố định lí

(i) Vận dụng: HS sử dụng định lí để giải quyết vấn đề được đặt ra ban

đầu và giải bài tập cụ thể do GV đưa ra Các bài tập GV đưa ra phải đảm bảo tính phân loại, nâng dần mức độ

(ii) Củng cố định lí: HS khái quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa các

định lí

30

Cũng như dạy học khái niệm, GV cần phân bậc HĐ cho HS và gợi động cơ học tập không chỉ được thực hiện ở giai đoạn đầu mà trong toàn bộ quá trình dạy học định lí

Hai ví dụ sau đây sẽ minh họa việc dạy học định lí vận dụng quan điểm HĐ:

Ví dụ 2.3 Dạy học định lí tính số chỉnh hợp

Bước 1: Gợi động cơ học tập định lí

Xuất phát từ một bài toán thực tế:

GV chia nhóm, phát phiếu học tập, yêu cầu học sinh không dùng phương pháp liệt kê

Nhóm 1: Một nhóm học tập gồm có năm bạn Có bao nhiêu cách để

phân công ba bạn trực nhật: một bạn quét nhà, một bạn lau bảng và một bạn sắp bàn ghế?

Nhóm 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số có

bốn chữ số khác nhau?

Nhóm 3: Tổ toán của một trường có 10 GV Có bao nhiêu cách cử một

nhóm gồm ba GV trong tổ để làm các chức vụ: tổ trưởng, tổ phó và thủ quỹ?

HS thực hiện các HĐ trí tuệ chung để tìm ra lời giải và cử đại diện trình bày lời giải:

Nhóm 1: Chọn một bạn trong năm bạn để quét nhà, có 5 cách

Chọn một bạn trong bốn bạn còn lại để lau bảng, có 4 cách

Chọn một bạn trong ba bạn còn lại để sắp bàn ghế, có 3 cách

Theo quy tắc nhân, có 5.4.3 =60 cách phân công

Nhóm 2: Giả sử số có bốn chữ số cần lập là abcd

31

Chọn chữ số a từ tập {1, 2, 3, 4, 5, 6}, có 6 cách

Chọn chữ số b từ tập hợp các chữ số trên bỏ đi chữ số a, có 5 cách Chọn chữ số c từ tập hợp các chữ số trên bỏ đi chữ số a và b, có 4 cách Chọn chữ số d từ tập hợp các chữ số trên bỏ đi chữ số a, b và c, có 3cách

Theo quy tắc nhân, có 6.5.4.3 =360 số

Nhóm 3:Chọn một GV trong 10 GV để làm tổ trưởng, có 10 cách

Chọn một GV trong 9 GV còn lại để làm tổ phó, có 9 cách

Chọn một GV trong 8 GV còn lại để làm thủ quỹ, có 8 cách

Theo quy tắc nhân, có 10.9.8 = 720 cách

Bước 2: Hình thành định lí.(Theo con đường có khâu suy đoán)

(i) Suy đoán bằng quy nạp không hoàn toàn từ những ví dụ trên

GV yêu cầu HS dự đoán kết quả bài toán tổng quát sau dựa vào các kết quả của ba bài toán trên: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥1) Có bao nhiêu cách lấy k phần tử trong n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng vào các vị trí khác nhau?

HS dự đoán từ việc quy nạp không hoàn toàn kết quả của ba bài toán trên: Số cách lấy k phần tử trong n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng vào các vị trí khác nhau là n(n – 1)…(n –k +1)

GV gợi mở để HS thấy được:

- Mỗi cách chọn trong ba bài toán trên là một chỉnh hợp

- Số cách chọn là số chỉnh hợp

GV cho HS thực hiện các HĐ nhận diện và thể hiện định lí

 Bài toán nào sau đây có kết quả A :

a Một tổ có 10 HS Có bao nhiêu cách để GV chọn ra ba bạn trong tổ

đi làm trực nhật?

b Một tổ có 7 HS nam và 3 HS nữ Có bao nhiêu cách để GV chọn ra

ba bạn đi làm trực nhật?

c Một tổ có 7 HS nam và 3 HS nữ Có bao nhiêu cách để GV chọn ra

ba bạn để phân công các công việc quét nhà, lau bảng, đổ rác?

d Một tổ có 7 HS nam và 3 HS nữ Có bao nhiêu cách để GV chọn ra 2 bạn nam và 1 bạn nữ đi trực nhật?

Ví dụ 2.4.Dạy học định lí về tính chất của xác suất

Bước 1: Gợi động cơ học tập

Cũng giống như việc gợi động cơ học tập định lí về tính số chỉnh hợp

đã trình bày ở trên, GV có thể xuất phát từ một tình huống thực tiễn:

GV chia lớp thành 2 nhóm:

Nhóm 1: Gieo một con súc sắc Hãy xác định một biến cố không và

một biến cố chắc chắn Tính xác suất của các biến cố đó

(Chằng hạn, biến cố: “Con súc sắc xuất hiện mặt 7 chấm” là biến cố không, còn biến cố: “Con súc sắc xuất hiện mặt có số chấm không vượt quá 6” là biến cố chắc chắn.)

Nhóm 2: Lấy ngẫu nhiên một thẻ trong một hộp chứa tám cái thẻ được

đánh số từ 1 đến 8 Xác định một biến cố không và một biến cố chắc chắn.Tính xác suất của các biến cố đó

(Chẳng hạn, biến cố: “thẻ rút ra là thẻ được đánh số 9” là biến cố không, còn biến cố: “Thẻ rút ra được đánh số nhỏ hơn 9” là biến cố chắc chắn.)

Việc đưa ra yêu cầu trên vừa có thể kiểm tra được kiến thức đã học, vừa dẫn dắt học sinh phát hiện được vấn đề: Tính chất của xác suất biến cố không và biến cố chắc chắn

HS thực hiện HĐ, đại diện trình bày lời giải

34

GV gợi mở, HS dự đoán: Phải chăng ở bất kì phép thử nào, xác suất biến cố không và xác suất biến cố chắc chắn luôn là hằng số và xác suất của một biến cố của một phép thử còn có các tính chất nào khác?)

Bước 2: Hình thành định lí.(Theo con đường suy diễn)

(i) GV dẫn dắt HS suy diễn dẫn tới định lí về tính chất của xác suất

thông qua các HĐ trí tuệ (phân tích, so sánh, tổng hợp):

- Từ định nghĩa về biến cố không, biến cố chắc chắn và định nghĩa cổ điển của xác suất, HS chứng minh được: P(∅) = 0, P(Ω) = 1

- Gọi A là biến cố bất kì của phép thử So sánh n(A) và n(Ω), từ đó nhận xét về giá trị của P(A)

- Nếu A và B là hai biến cố xung khắc của một phép thử thì biến cố A∪B

có số phần tử như nào? Từ đó, có thể tính xác suất biến cố A∪B thông qua xác suất biến cố A và B hay không?

Việc trả lời các câu hỏi trên thực chất là HS đã thực hiện HĐ chứng minh định lí:

- Từ định nghĩa về biến cố không, biến cố chắc chắn và định nghĩa cổ điển của xác suất: n(∅)=0⟹ P(∅)= (∅)

(Ω)= 0; P(Ω)= (Ω)

(Ω) = 1.

- Với A là biến cố bất kì: n(∅) ≤ n(A) ≤ n(Ω) ⟹ 0 ≤ P(A) ≤ 1

- A và B là hai biến cố xung khắc:A∩B=∅⟹n(A∪ B) = n(A) + n(B)