Luận văn Về sự tồn tại lục giác lồi rỗng trong bài toán Erdós

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HẰNG VỀ SỰ TỒN TẠI LỤC GIÁC LỒI RỖNG TRONG BÀI TOÁN ERD ˝ OS LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN-2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HẰNG VỀ SỰ TỒN TẠI LỤC GIÁC LỒI RỖNG TRONG BÀI TOÁN ERD ˝ OS Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. TẠ DUY PHƯỢNG THÁI NGUYÊN-2015 Mục lục Mở đầu iii 1 Tổng quan bài toán Erd ˝ os về đa giác lồi rỗng 1 1.1 Giới thiệu và xây dựng kết quả chính . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Phương pháp chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Định nghĩa và kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2 Vị trí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Chứng minh công thức đánh giá E(6) ≤ 463 14 2.1 Trường hợp đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Trường hợp với j = 0 (1 ≤ i ≤ 5) . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.1 Cấu hình dạng (8,1,0) . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.2 Cấu hình dạng (8,2,0) . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.3 Cấu hình dạng (8,3,0) . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.4 Cấu hình dạng (8,4,0) . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.5 Cấu hình dạng (8,5,0) . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Trường hợp với một điểm ở trong . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.1 Cấu hình dạng (8,3,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.2 Cấu hình dạng (8,4,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.3 Cấu hình dạng (8,7,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4 Các trường hợp, trong đó sử dụng tính chất tối thiểu của bát giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.1 Cấu hình dạng (8,3, ≥ 2) . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4.2 Cấu hình dạng (8,4, ≥ 2) . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4.3 Cấu hình dạng (8,5, ≥ 3) . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4.4 Cấu hình dạng (8,6,5) . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5 Các trường hợp áp dụng tính cực tiểu của bát giác . . . . . 27 2.5.1 Cấu hình dạng (8,6,4) . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 i 2.5.2 Cấu hình dạng (8,5,2) . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.5.3 Cấu hình dạng (8,7,5) . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.6 Trường hợp cá biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.6.1 Cấu hình dạng (8,6,3) . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.6.2 Cấu hình dạng (8,7,4) . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.7 Phần cơ bản của chứng minh: Các trường hợp đặc biệt . . . 42 2.7.1 Cấu hình dạng (8,7,3) . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.7.2 Cấu hình dạng (8,6,2) . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.7.3 Cấu hình dạng (8,6,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.7.4 Cấu hình dạng (8,5,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Kết luận 63 ii Mở đầu Giả thuyết Erd ˝ os-Szekeres được đề cập từ rất sớm (vào năm 1935): Mọi tập không ít hơn 2 n−2 +1 điểm trên mặt phẳng ở vị trí tổng quát (không có ba điểm nào thẳng hàng) đều chứa n điểm là đỉnh của một đa giác lồi. Bất chấp sự cố gắng của hàng trăm nhà toán học đã nghiên cứu và viết hàng trăm bài báo, giả thuyết Erd ˝ os-Szekeres mới chỉ được chứng minh trọn vẹn cho các trường hợp n = 3, 4, 5. Gần đây, năm 2006, trường hợp n = 6 đã được chứng minh bởi Szekeres và Peters nhờ máy tính. Sau đó, năm 2009, ba nhà toán học là Knut Dehnhardt, Heiko Harboth và Zsolt Lángi đã đưa ra một chứng minh thuần túy toán học cho một trường hợp riêng của trường hợp n = 6. Năm 1978, Erd ˝ os đã phát biểu một bài toán mới, đó là bài toán Erd ˝ os về đa giác lồi rỗng: Cho n là một số tự nhiên bất kỳ, tồn tại hay không số nguyên dương nhỏ nhất E(n) sao cho từ mọi tập chứa tối thiểu E(n) điểm ở vị trí tổng quát trên mặt phẳng đều có thể chọn ra được n điểm là đỉnh của một đa giác lồi rỗng. Bài toán này đã thu hút nhiều nhà nghiên cứu hình học tổ hợp trên thế giới. Ngay sau đó, cũng vào năm 1978, Harborth đã chứng minh E(5) = 10. Năm 1983, với mọi n, Horton đã xây dưng tập mà với n ≥ 7 không thể lấy ra được đa giác lồi rỗng 7 đỉnh. Như vậy,chỉ còn lại trường hợp n = 6. Năm 2003, Overmars đã chứng minh nếu, E(6) tồn tại thì E(6) ≥ 30. Năm 2008, Koselev đã Chứng minh định lý: mọi tập với tối thiểu 463 điểm ở vị trí tổng quát trên mặt phẳng đều chứa 6 điểm tạo thành lục giác lồi rỗng. Luận văn có mục đích trình bày chứng minh công thức E(6) ≤ 463 theo bài báo của Koselev [20]. Để làm rõ bức tranh toàn cục, Luận văn cũng trình bày tổng quan về bài toán Erd ˝ os về đa giác lồi rỗng. Luận văn gồm 2 chương: iii Chương 1: Tổng quan về bài toán Erd ˝ os về đa giác lồi rỗng. Chương 2: Chứng minh đánh giá E(6) ≤ 463 của Koselev. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Tạ Duy Phượng. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình tập dượt nghiên cứu và viết luận văn. Tôi xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô giáo trường Đại học Khoa học - Đạị học Thái Nguyên và Viện Toán học Việt Nam đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ để tôi hoàn thành khóa học. Cuối cùng xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên, giúp đỡ, khích lệ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Thái Nguyên, ngày 10 tháng 4 năm 2015 Nguyễn Thị Hằng iv Chương 1 Tổng quan bài toán Erd ˝ os về đa giác lồi rỗng 1.1 Giới thiệu và xây dựng kết quả chính Năm 1935 Erd ˝ os-Szekeres đã phát biểu bài toán sau đây. Bài toán 1(Erd ˝ os-Szekeres) Cho số nguyên n ≥ 3, hãy tìm một số nguyên dương nhỏ nhất g(n) sao cho từ một tập hợp bất kỳ các điểm trên mặt phẳng ở vị trí tổng quát và chứa tối thiểu g(n) điểm thì có thể chọn ra một tập hợp con có n điểm là đỉnh của một đa giác lồi n cạnh. Năm 1978 Erd ˝ os đã phát biểu một dạng khác của bài toán trên. Bài toán 2 (Erd ˝ os-Szekeres) Cho số nguyên bất kì n ≥ 3, hãy tìm số nguyên dương nhỏ nhất h(n) sao cho từ mọi tập điểm X trên mặt phẳng ở vị trí tổng quát và chứa tối thiểu h(n) điểm có thể chọn ra một tập hợp gồm n điểm mà các phần tử của nó là đỉnh của một n giác lồi và rỗng. Nghĩa là n giác lồi này không chứa một điểm nào bên trong X. Ta nhắc lại tập các đỉnh trên mặt phẳng ở vị trí tổng quát nếu như không có ba điểm nào nằm trên một đường thẳng. Cả hai bài toán đều là những bài toán điển hình trong hình học tổ hợp và lý thuyết Ramsey (xem [5], [6], [7]). Bài toán thứ nhất Erd ˝ os-Szekeres đã xét trong bài báo [2]. Erd ˝ os-Szekeres 1 đã chứng minh rằng tồn tại g(n) với n bất kì và được dựa trên đánh giá trên g(n) ≤  2n − 4 n − 2  +1 và cũng đưa ra một giả thuyết g(n) = 2 n−2 +1. Giả thuyết này đã được khẳng định cho n ≤ 6. Ở đây trường hợp g(n) = 3 là hiển nhiên. Trường hợp g(4) = 5 đã được chứng minh bởi Klein năm 1935 (xem trong Hình 1 trong đó biểu thị tất cả khả năng phân bố các điểm trên mặt phẳng). Mệnh đề g(5) = 9 đã được Ender Makai chứng minh. Tuy nhiên, có vẻ như Makai mới chỉ ra phản ví dụ nói rằng g(5) ≥ 9. Mệnh đề g(5) = 9 đã được chứng minh bởi Đoàn Hữu Dũng 1967 [1]. Mệnh đề g(6) = 17 đã được khẳng dịnh bởi Szekeres và Peter năm 2006. Ngoài ra năm 1961, Erd ˝ os-Szekeres đã chứng minh đánh giá dưới g(n) ≥ 2 n−2 +1. Hình 1: Mọi tập hợp từ năm điểm đều chứa tứ giác lồi Bất đẳng thức g(n) ≤  2n − 4 n − 2  + 1 đã được nhiều lần làm tốt lên. Đã có ba kết quả liên tiếp vào năm 1998. Kết quả đầu tiên thuộc về hai vợ chồng F.Chung và R.Graham: g(n) ≤  2n − 4 n − 2  (xem [9]). Kết quả thứ hai thuộc về Kleitman và Pachter là g(n) ≤  2n − 4 n − 2  + 7 − 2n (xem [10]). Và cuối cùng đánh giá tốt thứ ba thì thuộc về Tóth và Valtr g(n) ≤  2n − 5 n − 3  +2 (xem [11]). Trong năm 2005 thì Tóth và Vailtr thay đánh giá trên bằng đánh giá g(n) ≤  2n − 5 n − 3  + 1 với (n ≥ 5) tốt hơn một đơn vị (xem [12]) và đây cũng là đánh giá tốt nhất cho tới nay. Như vậy giả thuyết Erd ˝ os-Szekeres chưa được chứng minh cũng chưa có phản ví dụ. Bài toán 2 được nghiên cứu tương đối sâu hơn. Đẳng thức h(3) = 3 và h(4) = 5 là hiển nhiên (xem Hình 1). Đánh giá h(5) = 10 đã được chứng minh bởi Harborth 1978 (xem [13]). Năm 1983 Horton đã chứng 2 minh rằng h(n) không tồn tại khi n ≥ 7 (xem [14]). Mãi đến năm 2006 Gerken mới chứng minh được tồn tại của h(6) và chứng minh bất đẳng thức h(6) ≤ g(9) ≤  13 6  + 1 = 1717 (xem [15]). Và tất cả những đánh giá dưới cho h(6) đã chứng minh được bằng máy tính. Đánh giá dưới đầu tiên thuộc về Overmars và Scholten năm 1988, đó là h(6) ≥ 27 (xem [16]). Đánh giá tiếp theo năm 2001 cũng bởi Overmars và cũng là đánh giá tốt nhất hiện nay h(6) ≥ 30 (xem [17]). Sai khác giữa đánh giá trên và đánh giá dưới là quá lớn. Làm giảm đánh giá này là một bài toán khó. B.A.Koselev đã chứng minh định lý sau đây. Định lí 1. (Koselev, [20], 2008) Ta có bất đẳng thức h(6) ≤ max {g(8), 400} ≤ 463. Lịch sử của bài toán Erd ˝ os-Szekeres có thể xem trong bài báo tổng quan của Soltan [5]. 1.2 Phương pháp chứng minh Ta nói rằng một tập hữu hạn điểm trên mặt phẳng chỉ chứa k-giác đã cho nếu như từ tập đó có thể chọn được tập hợp k điểm là các đỉnh của một k-giác. Hình 2: Định nghĩa các tập H, I, J, K Để chứng minh Định lý 1 cần khẳng định rằng trong một tập hợp bất kì trên mặt phẳng ở vị trí tổng quát mà có số điểm lớn hơn hoặc bằng 463 3 thì phải tồn tại lục giác lồi rỗng. Ta cố định một tập điểm bất kì, ta nhận xét rằng tập điểm X chứa tối thiểu X một bát giác lồi. Quan hệ bao hàm trong tập hợp tất cả các bát giác lồi tạo nên tập hợp X là một quan hệ chặt. Bởi vậy luôn luôn có thể nói về các bát giác nhỏ nhất kể các điểm từ trong X. Chọn một trong chúng và kí hiệu tập đỉnh của chúng là tập H. Kí hiệu I  = (conv(H)\H) ∩ X là tập tất cả các điểm của X nằm bên trong bao lồi của H. Hoặc I  là rỗng (khi đó ta có bát giác rỗng). Hoặc là conv(I  ) chứa đa giác lồi là một đoạn (2-giác) hoặc là một điểm (1-giác). Ta kí hiệu I là tập tất cả các đỉnh (I = ∂(conv(I  )) ∩ X). Nếu |I| > 2 thì có thể xây dựng J  = (conv(I)\I) ∩ X như là tập hợp tất cả các điểm của X mà nằm bên trong bao lồi của I. Nhận xét rằng nếu J  = 0 thì conv(J  ) cũng là đa giác lồi (có thể là 1-giác hoặc 2-giác), bởi vậy thì ta có thể xây dựng J như là tập hợp tất cả các đỉnh của nó. Tương tự xây dựng tập K, L và quá trình này sẽ kết thúc sau hữu hạn bước. Hình 3: Tập hợp dạng (8,0,0, ) và (8,3,0, ) Đặt i = |I| và j = |J|, Ta nói rằng tập X có dạng (8, i, j, ). Trong trường hợp suy biến thì xuất hiện dạng (8, 0, 0, ), (8, i, 0, ), (xem Hình 3). 4 [...]... bi ) ≤ 7 i=1 Vô lý Vậy tồn tại lục giác lồi rỗng 17 2.2.5 Cấu hình dạng (8,5,0) Hình 16: Cấu hình (8,5,0) Giả sử trong tập H = conv(H) ∩ X không có lục giác lồi rỗng, trong đó H là bát giác lồi, X là tập tất cả các điểm ban đầu Khi đó ngũ giác bao lồi của I (ngũ giác nằm trong bát giác) sinh ra các miền cấm trong đó các đỉnh của bát giác không thể nằm trong miền đó (xem Hình 16, trong đó miền cấm đã... 7) Hiển nhiên trong mỗi cấu hình này tồn tại lục giác lồi rỗng Đồng thời trong mục này chúng ta có thể đưa thêm vào trường hợp (8, 7, 2), vì trong cấu hình bất kỳ của dạng này chứa lục giác lồi rỗng Chỉ cần kẻ một đường thẳng đi qua hai điểm X và Y nằm trong 7 -giác, khi đó một trong hai nửa mặt phẳng chứa tối thiểu 4 đỉnh của thất giác và do đó cùng với X và Y tạo thành lục giác lồi rỗng 2.2 Trường... minh sự tồn tại của lục giác lồi rỗng trong tập hợp X thì đầu tiên chúng ta xét tập con H = conv(H) ∩ X Ta có bổ đề sau: Bổ đề (Valtr) Cho X, H, I, J, K như trong định nghĩa ở trên Nếu |H| ≥ 7 và trong X không có lục giác lồi rỗng thì K = ∅ Câu nói "như trong bổ đề" nói chung không hoàn toàn là chính xác bởi vì từ trước tới nay ta luôn luôn giả thiết rằng |H| = 8 Nhưng rõ ràng trong định nghĩa về các... bát giác và tồn tại lục giác lồi rỗng trong cấu hình đang xét hoặc là trong mỗi miền (AXB), (BXC), (AXC) thì có không nhiều hơn 2 đỉnh của bát giác Điều này không thể xảy ra 2.3.2 Cấu hình dạng (8,4,1) Hình 18: Cấu hình (8,4,1) 19 Ở đây việc đầu tiên chúng ta phải đưa các đường chéo của tứ giác ABCD và chúng ta cố định 1 trong 4 miền mà điểm O nằm trong (xem Hình 18) Vì chỉ có một điểm trong tứ giác. .. một lục giác lồi rỗng trong cấu hình đã cho 2.4 Các trường hợp, trong đó sử dụng tính chất tối thiểu của bát giác Trong trường hợp này chúng ta sẽ xét các cấu hình dạng (8, 3, ≥ 2), (8, 4, ≥ 2), (8, 5, ≥ 3), (8, 6, 5) Để chứng minh sự tồn tại của lục giác lồi rỗng trong các trường hợp này, chúng ta sử dụng các mệnh đề sau, thực chất đã được xét trong [15] Mệnh đề 2 Giả thiết rằng trong mỗi cấu hình... hai 3-sector Khi ấy trong mỗi sector này xuất hiện giới hạn số đỉnh của bát giác nằm tương ứng trong miền đó mà không xuất hiện lục giác lồi rỗng (xem Hình 20) Theo logic của mục 2.3.2 thì lục giác lồi rỗng trong cấu hình này một lần nữa lại tồn tại 2.4.2 Cấu hình dạng (8,4, ≥ 2) Hình 21: Cấu hình (8,4, ≥ 2) Áp dụng Mệnh đề 2 với t = 2 ≤ min {i − 1, j} Cố định ba đỉnh liên tiếp của j -giác P = V1 , Q =... (AP QCB), Trong mỗi phân bố của ba cách phân bố như trên hình thì tổng các hạn chế này không vượt quá 7 Áp dụng logic Mục 2.3.2 suy ra tồn tại lục giác lồi rỗng trong cấu hình này Hình 28: Phân bố chuẩn do tính cực tiểu của lục giác Trường hợp thứ 2: Cố định phân bố của một trong những dạng đã cho trong trường hợp này Như trong Mục 2.4, ta cần phải xác định cách chia mặt phẳng xung quanh lục giác từ... này đã được xét trong mục 2.2.1 Nói cách khác, lục giác lồi rỗng trong cấu hình này là tồn tại Điều này vô lý với giả thiết ban đầu Bây giờ giả sử một đỉnh B của bát giác bị tách bởi thất giác bởi hai đường thẳng Không hạn chế tổng quát, điều này có nghĩa là xuất hiện một cấu hình từ thất giác lồi T U V BXY Z với hai điểm bên trong là L, W (xem Hình 19) Thực chất cấu hình này đã được xét trong mục 2.1...Hình 4: Sự các định không duy nhất của các dạng Ta nhận xét rằng các dạng này không duy nhất Ví dụ tập hợp trong Hình 4 có dạng (8, 4, 1, ), nếu như bát giác lồi tối thiểu trong đó lấy A1 A2 A8 Ta sẽ có dạng (8, 5, 2, ), nếu như xét bát giác B1 B2 B8 Dưới đây chúng ta sẽ không nói về sự đa dạng của các bát giác lồi trong X Khi ta nói về dạng của tập X, thì ta hiểu X có một bát giác lồi, tương... bát giác phải tách khỏi bao lồi của I đồng thời bởi tối thiểu 2 đường thẳng chứa các cạnh của ngũ giác ấy Vì h = 8 là số đỉnh của bát giác nên một đường thẳng Yi Yi+1 (Y1 = Y6 ) nào đó tách khỏi bao lồi của I như là tối thiểu 2h 2.8 = = 4 điểm 5 5 Bốn điểm này cùng với các đỉnh của Yi và Yi+1 tạo thành lục giác lồi rỗng Vậy giả thiết ban đầu không đúng và trong mọi trường hợp thì có một lục giác lồi rỗng . HẰNG VỀ SỰ TỒN TẠI LỤC GIÁC LỒI RỖNG TRONG BÀI TOÁN ERD ˝ OS LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN-2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HẰNG VỀ SỰ TỒN TẠI LỤC GIÁC LỒI RỖNG TRONG. toán Erd ˝ os về đa giác lồi rỗng. Luận văn gồm 2 chương: iii Chương 1: Tổng quan về bài toán Erd ˝ os về đa giác lồi rỗng. Chương 2: Chứng minh đánh giá E(6) ≤ 463 của Koselev. Luận văn được hoàn. của các bát giác lồi trong X. Khi ta nói về dạng của tập X, thì ta hiểu X có một bát giác lồi, tương ứng với nó thì X có một dạng đã cho. Để chứng minh sự tồn tại của lục giác lồi rỗng trong tập