2 Chứng minh công thức đánh giá E(6) ≤ 463
2.5Các trường hợp áp dụng tính cực tiểu của bát giác
Điều quan sát này cùng với Mệnh đề 2’ sẽ dẫn đến mâu thuẫn trong hai trường hợp đầu. Trong trường hợp thứ nhất mỗi ∀T0 hoặc là tập con của
{L1, L2, L3} hoặc là tập con của {L5}. Theo Mệnh đề 2’ thì điều này chỉ có thể xảy ra khi L1, L2, L3 chứa không nhiều hơn ba tập hợp, còn {L5}
chứa không nhiều hơn một tập hợp T0. Mâu thuẫn.
Còn lại trường hợp thứ 3. Kí hiệu Mi là cạnh cuối cùng (theo cách đánh số) của ngũ giác sao cho trong tập tương ứng với nó là T0 có cạnh L4. Khi đó có thể có 5 trường hợp khác nhau của cách sắp xếp các cạnh Mi, Mi+1
(i+ 1 được lấy theo modul 5 nếu cần thiết) và tất cả chúng được biểu diễn trong Hình 24. Ở đây trong trường hợp đầu tiên đường thẳng đi quaMi+1
chỉ cắt cạnh L4 , trong trường hợp thứ 2 cắt cạnh L4 và L6, ... Trong ba trường hợp đầu ta có mâu thuẫn với giả thiết rằng L5, L6 không thuộc T0
nào. Hai trường hợp cuối cùng mâu thuẫn với Mệnh đề 2.
Bây giờ chúng ta áp dụng định lý Holl để tìm ra năm 4-sector và một 3-sector phủ mặt phẳng quanh lục giác, tương tự như trong Hình 23. Theo Mục 2.3.2 thì lục giác lồi rỗng tồn tại trong cấu hình này.
Nhận thấy rằng trong tất cả cấu hình mà chúng ta đã xét trong mục này thì điều kiện là2i−j < 8là thỏa mãn. Nói một cách khác (2i−j) liên quan trong rất nhiều trường hợp, chúng ta áp dụng logic của Mục 2.3.2 với việc phủ mặt phẳng bởi j cái 4-sector và (i−j) cái 3-sector. Do đó ta có 2i−j = 1.j+ 2.(i−j) (so sánh với Hình 23).
2.5 Các trường hợp áp dụng tính cực tiểu của bátgiác giác
Trong Mục này chúng ta xét các trường hợp khá gần với trường hợp ở mục trên, nhưng suy luận tương tự không áp dụng được cho các trường
hợp này. Tức là ta đi xét trường hợp 2i−j = 8. Đây là những trường hợp dạng (8,6,4) và (8,5,2). Ta xét thêm trường hợp (8,7,5).