2 Chứng minh công thức đánh giá E(6) ≤ 463
2.7.1Cấu hình dạng (8,7,3)
Hình 42: Thất giác giữa và tam giác bên trong
Như trong rất nhiều trường hợp trước, đầu tiên chúng ta chỉ xét một phần cấu hình, đó là cấu hình tạo bởi thất giác giữa(ABCDEF G) và tam giác bên trong (XY Z). Nếu như nó chứa một lục giác lồi rỗng thì kết thúc chứng minh. Ngược lại, phải có hạn chế đủ chặt đặt lên phân bố các đỉnh của thất giác, xem trong [15]. Nhiều khi hạn chế này đơn giản hơn cả là được viết trong ngôn ngữ của (7,3) phân bố dạng này hoặc dạng khác, mà chúng ta đã xác định trong mục 1.3.2 và đã nhiều lần sử dụng. Từ [15] suy ra là cấu hình chúng ta đang xét trong giả thiết rằng không tồn tại
lục giác lồi rỗng chính là (7,3)-phân bố dạng[1,1,1,2,0,2] (chính xác đến cách viết tương đương). Và nó được biểu diễn trên Hình 42
Hình 43: Cấu hình dạng (8,7,3)
Bây giờ chúng ta xét đến bát giác bên ngoài cấu hình này. Chúng ta muốn xác định xem các đỉnh của nó được phân bố tương ứng với cấu hình bên trong tức là thất giác và tam giác như thế nào. Để làm việc này một cách tự nhiên, chúng ta sẽ quan sát xem bát giác có tối thiểu không và mọi cấu hình không chứa lục giác lồi rỗng. Ta có Mệnh đề sau đây:
Mệnh đề 1. Nếu trong cấu hình (8,7,3) có cấu trúc tạo thành từ thất giác và tam giác là một (7,3)-phân bố dạng [1,1,1,2,0,2] và trong cấu hình đó không có lục giác lồi rỗng thì các đỉnh của thất giác bắt buộc phải được phân bố như trong Hình 43.
Trước khi chứng minh mệnh đề này chúng ta giải thích một số kí hiệu từ Hình 43 và tính chính xác của nó. Đầu tiên, kẻ sọc những miền mà trong đó có vẻ không có các đỉnh của bát giác (tại sao nói "có vẻ không có" xem chứng minh). Cách viết dạng ” = 1(F EZG)” có nghĩa là, trong 4-sector
(F EZG) dứt khoát phải có đúng một đỉnh của bát giác và đỉnh này tất nhiên nằm trong miền 4-sector không bị gạch.
Khi nói về tính chính xác của hình vẽ chúng ta hiểu là những miền chỉ ra trên hình vẽ đó được xác định một cách chính xác và được phân bố tương ứng với nhau chính xác như trong hình vẽ. Ví dụ, bản thân sự tồn tại của 4-sector(F EZG)nhắc tới ở trên hoặc sự tồn tại 4-sector (CY ED)
suy ra từ quan sát đơn giản sau: Các điểm Y và Z có thể coi là không phụ thuộc vào ∆CDE và ∆EF G tương ứng và do đó tứ giác CDEY và
EF GZ thì không hạn chế tổng quát phải là lồi và rỗng. Ta cũng có thể coi như vậy vì trong trường hợp ngược lại sẽ xuất hiện lục giác lồi rỗng
BCY EZX, EZGAXY. Nói chung, tính chính xác của hình vẽ thực chất được qui định bởi cấu trúc tạo thành từ thất giác và tam giác là (7,3)-phân bố dạng [1,1,1,2,0,2]. Nói riêng các miền gạch dưới đây được xác định là chính xác
(AXY ZG),(BXZY C),(DY ZF E),(F ZY DE) (CBXY D),(F ZXAG),(AGF ZX),(BCDY X)
(Xem Hình 42).
Hình 44: Phản ví dụ cho trường hợp (8,7,3)
Chúng ta nhấn mạnh rằng các hạn chế về biểu diễn trên hình vẽ mang một đặc điểm khác một cách nguyên tắc với những hạn chế xuất hiện trước đây khi chúng ta sử dụng logic của Mục 2.3.2. Trong mỗi miền cần phải phân bố chính xác bao nhiêu đỉnh của bát giác, như đã chỉ ra bấy nhiêu
như trên hình vẽ. Hơn nữa, các phân bố này thực sự là có thể vì tồn tại những phản ví dụ (Hình 44). Mệnh đề 1 đặt lên những hạn chế rất chặt. Dưới đây chúng ta sẽ chứng minh mệnh đề này.
Chứng minh mệnh đề 1 Đầu tiên xét 5-sector
(AXY ZG),(BXZY C),(DY ZF E),(F ZY DE)
Chúng là những miền cấm và hiển nhiên không chứa các đỉnh của bát giác . Do đó miền "gạch lưới" trong hình 43 là có cơ sở.
Phần mặt phẳng bên ngoài thất giác không phủ bởi miền gạch lưới, nằm trong hợp của bốn miền, ba miền đầu tiên là 3-sector(AXB),(CY D),(F ZG), miền thứ tư chứa các điểm đồng thời tách khỏi thất giác các đường thẳng
DE và EF (xem Hình 45). Ta nghiên cứu các miền này một cách kĩ càng hơn. Mỗi miền này chứa không nhiều hơn hai đỉnh của bát giác: với các 3-sector thì rõ ràng, còn trong miền thứ tư ta áp dụng mục (c) của Mệnh đề 1. Như vậy, mỗi miền đó cần chứa đúng hai đỉnh của bát giác. Ví dụ, không hạn chế tổng quát, ta giả sử trong miền đầu tiên các điểm là L và
M, trong miền thứ tư các điểm là P và Q (xem Hình 43). Tại sao trong Hình 43 các điểm được phân bố đúng như vậy chứ không thể phân bố khác chúng ta cần giải thích kĩ hơn.
Nhận xét rằng miền tạo bởi 3-sector (CY D) bị chia bởi đường thẳng
DE ra làm hai phần. Phần thứ nhất là 4-secter (CY ED), phần thứ hai là phần bù của nó, tương ứng là (CY D)\(CY ED). Rõ ràng, từ hai đỉnh của bát giác không nhiều hơn một đỉnh sẽ rơi vào (CY D). Trong khi đó miền thứ hai tách khỏi thất giác bởi đường thẳng DE, do đó theo mục (a) Mệnh đề 1, trong miền này sẽ có đúng một đỉnh tương ứng của bát giác (hai đỉnh còn lại từ khẳng định của Mệnh đề 1 là các đỉnh P và Q
sẽ không thuộc vào miền (CY D)\(CY ED)). Như vậy, trong mỗi miền đang xét có chính xác một đỉnh của bát giác và tương ứng với cách viết
” = 1(CY ED)” và ” = 1(CY D)\(CY ED) trên Hình 43. Kí hiệu các đỉnh đó là N và O. Phân tích tương tự tương ứng với 3-sector(F ZG) bảo đảm cho chúng ta sự xuất hiện đỉnh R và S (và chỉ có chúng) trong miền
(F ZG)\(F EZG) và(F EZG). Điều này hoàn toàn tương ứng với hình vẽ.
Với các phần "trái" , "phải" của hình vẽ chúng ta đã xem xét rồi. Bây giờ chúng ta xét phần "trên" của hình vẽ. Trước tiên chúng ta thấy tồn tại
thêm bốn miền 5-sector là
(CBXY D),(F ZXAG),(AGF ZX),(BCDY X) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
mà trước đây chúng ta không nhắc tới và chúng tương ứng với hình "kẻ theo đường thẳng" trên Hình 43. Theo mục (a) của Mệnh đề 1, mỗi đường thẳng AG và BC tách khỏi thất giác đúng ba đỉnh của bát giác. Ngoài ra, do sự xuất hiện của đường gạch kẻ trên hình vẽ, hai đường thẳng chỉ ra trong tổng thể sẽ tách khỏi thất giác đúng sáu đỉnh, đó là các đỉnh
R, S, L, M, N, O. Nghĩa là:
1) Trong miền (BC)∩(AG) không có đỉnh nào của bát giác.
2) Các đỉnh Q và P không tách khỏi thất giác bởi các đường thẳng AG
và BC.
Tiếp tục, ta nhận thấy rằng đường thẳng BC tách các đỉnh M, N, O khỏi thất giác. Điều này suy ra ngay từ mục (a) của Mệnh đề 1 và từ sự không tồn tại các đỉnh của bát giác trong miền (BC) ∩ (AG). Do mục (b) của Mệnh đề 1, đường thẳng CD tách khỏi thất giác bộ ba đỉnh của bát giác mà không trùng với bộ ba đỉnh{M, N, O}. Đó chính là ba đỉnh {N, O, P}. Từ đó suy ra rằng các đỉnh M và P nhất định phải nằm trên các miền tương ứng với chúng trong Hình 43 và trong miền (AXB)∩(CD) không có đỉnh nào của bát giác. Tương tự, vị trí của đỉnh L và Q (trong Hình 43) được khẳng định và đồng thời không có đỉnh nào của bát giác trong miền (AXB)∩(F G).
Nhận xét một lần nữa rằng các miền
(BC)∩(AG),(AXB)∩(CD),(BXZY C),(CY D)\(CY ED) (DY ZF E),(CD)∩(EF),(DE)∩(F G),(F ZY DE) (F ZG)\(F EZG),(F EZG),(AXY ZG),(AXB)∩(F G)
được xác đinh một cách chính xác và được phân bố bên ngoài thất giác đúng như hình vẽ. Nhờ nhận xét này, trong cấu hình tạo thành từ thất giác và tam giác là một (7,3)-phân bố dạng [1,1,1,2,0,2]. Mệnh đề được chứng minh.
Để kết thúc mục này, ta chính xác hóa Mệnh đề 1. Ta biết rằng đường thẳng AB phải tách khỏi thất giác đúng ba đỉnh của bát giác và hai trong số chúng chính là L và M còn đỉnh thứ ba, không hạn chế tổng quát, ta có thể coi là đỉnh N.