2 Chứng minh công thức đánh giá E(6) ≤ 463
2.5.1 Cấu hình dạng (8,6,4)
Trước tiên chúng ta nhận thấy rằng cấu hình được tạo thành từ lục giác ở giữa và tứ giác ở trong với điều kiện không tồn tại trong đó một lục giác lồi rỗng có thể biểu diễn như (6,4)-phân bố chỉ một trong dạng sau đây chính xác đến cách viết tương đương (xem 1.3.2):
[3,0,0,0,3,0,0,0],[3,0,0,1,2,0,0,0],[3,0,0,1,1,1,0,0] [1,1,1,1,1,0,1,0],[2,1,0,1,2,0,0,0],[2,1,0,0,2,0,1,0] [2,1,0,0,2,0,0,1],[2,0,1,0,2,0,1,0],[2,1,0,1,1,0,1,0] [2,0,1,1,1,1,0,0],[2,0,1,1,1,0,1,0],[1,0,1,1,0,1,1,0]
Hình 25: Sơ đồ tất cả những phân bố có thể cho cấu hình (8,6,4)
Chứng minh nhận xét này dẫn đến việc chọn tất cả các trường hợp mà ở đây ta không thực hiện. Để sáng tỏ chúng ta chỉ ra trong Hình 25 sơ đồ của (6,4)-phân bố được tính ở trên (so sánh 1.3.2), ở đây a1 là số điểm ở trong góc trên cùng còn cách viết [a1, b1, ...] được tính theo chiều kim đồng hồ. Nhận thấy rằng cấu hình cụ thể mà hoàn toàn có thể có một số dạng nhắc đến ở trên nhưng cách viết của các dạng này hoàn toàn khác
nhau về nguyên tắc (xem 1.3.2). Số điểm do đó chúng ta phải làm việc với từng trường hợp trong số đó.
Hình 26: Sơ đồ chính xác hóa các phân bố cho cấu hình dạng (8,6,4)
Để giảm các trường hợp, chúng ta xét trước tiên hai trường hợp: Trường hợp thứ nhất, xét phân bố dạng:
[2,0,1,0,2,0,1,0],[2,0,1,1,0,1,1,0],[2,0,1,1,1,0,1,0]
Trường hợp thứ 2 ta xét các phân bố còn lại.
Nhận thấy rằng trong mỗi cách phân bố này tồn tại đỉnh của tứ giác và cắt 3 miền (xem Hình 26), chứa trong tổng thể không quá ba đỉnh của lục giác.
Trường hợp thứ nhất: (Hình 27) Không hạn chế tổng quát đã biểu diễn các phân bố của ba dạng mà chúng ta xét trong trường hợp này. Từ cái tính chất hiển nhiên của các phân bố này suy ra tính đúng đắn của các miền mà đã được chỉ ra trên hình vẽ một cách tường minh (ví dụ:
(BC),(AP QCB), .... Trong mỗi phân bố của ba cách phân bố như trên hình thì tổng các hạn chế này không vượt quá 7. Áp dụng logic Mục 2.3.2 suy ra tồn tại lục giác lồi rỗng trong cấu hình này.
Hình 28: Phân bố chuẩn do tính cực tiểu của lục giác
Trường hợp thứ 2: Cố định phân bố của một trong những dạng đã cho trong trường hợp này. Như trong Mục 2.4, ta cần phải xác định cách chia mặt phẳng xung quanh lục giác từ phân bố này thành bốn 4-sector và hai 3-sector (so sánh với Mục 2.4.4 và Hình 28). Điều này sẽ không được chứng minh bởi vì nó đã trở thành bình thường với chúng ta.
Ta chỉ nhấn mạnh rằng chính sự đúng đắn của nó thực chất dựa trên tính cực tiểu của bát giác và sử dụng chúng đã được thông báo ngay trong tên gọi của mục này.
Hình 29: Sự phân chia với những hạn chế tương ứng cho các sector
Nhận thấy rằng Hình 26 cần phải chính xác hóa (xem Hình 29). Tiếc rằng sử dụng logic của Mục 2.3.2 không phải ngay lập tức đã đạt được kết quả bởi vì tổng các số chứa trong các sector trong Hình 29 bằng 8. Bây giờ chúng ta sẽ chỉnh sửa một chút các hình vẽ, sao cho cuối cùng ta trở về logic của Mục 2.3.2.
Hình 30: Khả năng chính xác hóa các sự phân chia
Như chúng ta đã chú ý trong phần đầu của mục này, trong phân bố đang xét có một đỉnh của một tứ giác, mà có ba miền cắt nó chứa trong tổng thể là không qua ba đỉnh của lục giác. Phần tương ứng của sự phân chia từ Hình 26 có thể thấy, không hạn chế tổng quát, trên Hình 30. Đây chính là hai 4-sector, trong đó trên Hình 29 chúng ta đã chỉ ra các hạn chế dạng
phía dưới hoặc là nằm phía trên của đường thẳng QS. Trong mọi trường hợp thì hợp của 4-sector có thể thay bằng hợp của một 5-sector và một 4-sector. Ví dụ nếu B nằm phía trên QS thì ta có 5-sector (AP SQB) và 4-sector (BQRC). Khi đó phép phân chia trong Hình 29 biến đổi thành phép phân chia trong Hình 31. Áp dụng logic của Mục 2.3.2 ta có điều cần chứng minh.
Hình 31: Phân chia đúng của mặt phẳng
Nhận xét rằng, tất nhiên, trong trường hợp thứ nhất, ta có thể phân chia mặt phẳng xung quanh lục giác thành bốn 4-sector và hai 3-sector. Nhưng chính xác hóa phép phân chia này, tương tự như chúng ta đã làm trong trường hợp 2, thì chúng ta không làm được: Khả năng chính xác hóa xảy ra chính là từ quan sát ba miền liên tiếp nhau (Hình 26, hình thứ 2 trong góc) tổng thể chứa không ít hơn ba đỉnh của lục giác.