2 Chứng minh công thức đánh giá E(6) ≤ 463
2.7.3Cấu hình dạng (8,6,1)
Như trong các mục trước, đầu tiên chúng ta xét cấu hình tạo bởi lục giác giữa ABCDEF và một điểm X bên trong. Kẻ các đường chéo chính
AD, BE, CF. Chúng chia lục giác này thành 7 phần, 6 phần từ chúng chứa các cạnh của lục giác, còn một phần là phần trung tâm (phần này có thể không có). Điểm X sẽ nằm ở một trong các miền đó (xem Hình 52). Bây giờ có thể phát biểu hạn chế chặt đặt lên phân bố các đỉnh của bát giác trong cấu hình đang xét.
Hình 52: Lục giác giữa với 1 điểm bên trong
Mệnh đề 3 Có 2 trường hợp khác nhau về mặt nguyên tắc sau đây. (a)Nếu như trong cấu hình dạng (8,6,1), tạo thành từ lục giác ABCDEF
và điểm X sao cho điểm X ở bên trong phần chứa cạnh AB (Hình 52 bên trái) và trong cấu hình này không có lục giác lồi rỗng thì các đỉnh của bát giác bắt buộc phải nằm như trên Hình 53.
(b) Nếu phân bố trong cấu hình dạng (8,6,1), tạo thành từ lục giác
ABCDEF và điểm X sao cho điểm X ở phần trung tâm (Hình 50 bên phải) thì trong mọi phân bố các đỉnh của bát giác trong cấu hình này sẽ chứa lục giác lồi rỗng.
Trước khi chứng minh Mệnh đề 3, ta minh họa khẳng định của Mệnh đề. Trên Hình 53 có sáu miền 4-sector được tô đậm, trong mỗi miền điều kiện dứt khoát phải được thỏa mãn là chứa một đỉnh của bát giác. Do đó chúng ta sẽ giả thiết rằng, các điều kiện tương ứng các tên gọi của 4-sector cũng được chỉ ra. Nhận xét rằng 4-sector(BAXC),(AXCB),(ABXF),(AF XB)
có thể không tồn tại. Ví dụ (BAXC),(AXCB) không tồn tại nếu như X
nằm ở bên trong ∆ABC. Như trong trường hợp này xuất hiện lục giác lồi rỗng AXCDEF, trái với lại các điều kiện của giả thiết. Các phân tích
tương tự khẳng định tính đúng đắn của việc xét 4-sector(ABXF),(AF XB). Như vậy, phân bố của sáu đỉnh của bát giác là rõ ràng. Hai đỉnh còn lại của bát giác về thực chất hoặc là M và N hoặc là U và V và chúng nằm trong các miền tam giác được biểu diễn trên Hình 53.
Chứng minh Mệnh đề 3 Đầu tiên chúng ta chứng minh mục (a)
Hình 53: Cấu hình dạng (8,6,1)
Theo mục (a) của Mệnh đề 1, mỗi đường thẳng AB và DE tách khỏi luc giác đúng ba đỉnh của bát giác. Có nghĩa là có không ít hơn hai đỉnh của bát giác tách bởi một trong những đường thẳng đã cho, nghĩa là nằm trong miền R2\((AB) ∪ (DE)). Với giả thiết đặt lên X, trong cấu hình đang xét có một ngũ giác lồi rỗng CDEF X mà nó sinh ra một miền cấm
(F XCDE) và (CXF ED). Miền R2\((AB)∪(DE)) chia bởi miền đã cho và các 4-sector (ABXF) và (BAXC) thành bốn miền không cắt nhau. Ngoài ra trong những phần tương ứng với miền cấm thì không thể có các đỉnh của bát giác. Hơn nữa, trong mỗi miền 4-sector chứa không nhiều hơn một đỉnh của bát giác (Hình 54). Vì các điều khẳng định ở trên, có đúng một đỉnh của bát giác nằm trong miền 4-sector (ABXF) và có đúng một đỉnh nằm trong 4-sector (BAXC)
Hình 54: Chia mặt phẳng quanh lục giác thành các sector
Bây giờ cũng có thể nhìn hình vẽ dưới góc nhìn khác. Chính là: có thể xét thay vì cặp AB và DE cặp đường thẳng BC và EF, hay cặp CD
và AF. Suy luận hoàn toàn tương tự như trên dẫn chúng ta đến khẳng định có đúng một đỉnh của bát giác nằm trong mỗi miền 4-sector sau đây:
(AXCB),(CBXD),(AF XB),(F AXE).
Tính đúng đắn của mục (a) trong Mệnh đề 3 về bản chất đã được khẳng định. Thật vậy, như Hình 53 chỉ ra:
A0 ∈ (AXCB), B0 ∈ (AF XB), C0 ∈ (BAXC)
D0 ∈ (CBXD), E0 ∈ (F AXE), F0 ∈ (ABXF).
Còn lại ta phải chứng minh: 1) A0 6= B0.
2) Đỉnh còn lại hoặc là M và N, hoặc là U và V.
Trước tiên ta chứng minh A0 6= B0. Giả sử rằng A0 = B0 ∈ ABK (Hình 55). Nhận xét rằng A0 không thể nằm trong các miền bị gạch vì ngược lại đỉnh này phải rơi vào trong miền cấm của ngũ giácAF EDX vàBCDEX. Nhưng trong trường hợp này 5-sector(CBA0XD)và (F AA0XE)được tạo ra cấm chúng ta đặt đỉnhD0 vào 4-sector(CBXD), và đỉnhE0vào 4-sector
Hình 55: Phân tích trường hợp A’ = B’
Cuối cùng ta xét hai đỉnh còn lại của bát giác. Đầu tiên chúng ta nhận thấy rằng toàn bộ mặt phẳng bên ngoài lục giác A0B0C0D0E0F0 được phủ bởi các miền 4-sector (A0ABB0),(B0BCC0), v.v...
Bây giờ mỗi đường thẳng chứa cạnh của lục giác tách khỏi nó đúng hai đỉnh của bát giác (Hình 53), còn sau khi thêm những đỉnh chưa có của bát giác thì mỗi đường thẳng này cần phải tách ba đỉnh. Như vậy, mỗi đường trong số sáu đường thẳng này tách khỏi lục giác đúng 1 trong 2 đỉnh mới thêm vào. Vì 2 đường thẳng kẻ qua các cạnh đối diện của lục giác không thể tách cùng một đỉnh ấy (Hình 54) nên mỗi điểm thêm vào bị tách bởi 3 đường thẳng. Rõ ràng, các điểm thêm vào phải nằm trong các miền đối nhau dạng (A0ABB0). Nhưng không có điểm bổ sung nào có thể phân bố trong miền(A0ABB0) vì sự tồn tại của 5-sector (A0AXBB0). Như vậy, các điểm thêm vào hoặc là phân bố trong miền (B0BCC0) và (E0EF F0) (các điểm M và N), hoặc là trong các miền (C0CDD0) và (A0AF F0) (các điểm U và V) và phần (a) của Mệnh đề được chứng minh.
Bây giờ ta chứng minh phần (b) của Mệnh đề. Lý luận hoàn toàn tương tự như trong chứng minh của mục (a), chỉ ra rằng, có thể biểu diễn các điểm như trên Hình 56 dưới đây. Nói một cách khác, các đỉnhA0, B0, C0, D0, E0, F0
của bát giác dứt khoát phải phân bố chính xác như được minh họa trên Hình 53. Trong khi đó, trong các miền 4-sectorA0AF F0, B0BCC0, D0DEE0
không hề có các đỉnh của bát giác vì sự tồn tại các miền cấm A0AXF F0, B0BXCC0, D0DXEE0 (so sánh với phần cuối của chứng minh trong mục (a)). Nhưng như trong phần cuối của chứng minh trong mục (a) ta nhận thấy rằng hai đỉnh còn lại của bát giác bắt buộc phải nằm bên trong các sector đối diện dạng A0AF F0. Trong trường hợp này thì phân bố tương tự không thể xảy ra, do đó phần (b) được chứng minh. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Mệnh đề 3 hoàn toàn được chứng minh.
Như trong mục trước, kết quả của mục (a) cho phép chính xác hóa hơn. Thật vậy từ chứng minh suy ra ngay lập tức tính đúng đắn của mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 3’ Nếu trong cấu hình đã cho dạng (8,6,1), tạo thành từ lục giác ABCDEF và điểm X sao cho điểm X nằm bên trong miền chứa cạnh AB và trong cấu hình đó không có lục giác lồi rỗng thì các đỉnh của bát giác bắt buộc phải nằm như trong Hình 57.
Trên hình này các miền 5-secter được tô đậm
(F EDXA),(BXEDC),(CXF ED) (DXAF E),(DCBXE),(F XCDE)
và các sector đó tất nhiên không thể chứa các đỉnh của bát giác đỉnh. Ngoài ra trong hình này thì cũng thấy rõ ràng, ba đỉnh nào tách khỏi lục giác bởi mỗi đường thẳng mà chứa các cạnh của nó.
Nhận xét cuối cùng, chọn trong các Mệnh đề 3 và 3’ miền chứa cạnh AB
thì chúng ta hoàn toàn không hạn chế tính tổng quát, suy luận hoàn toàn tương tự đúng cho năm trường hợp khác. Ví dụ được biểu thị trên Hình 56.
Hình 56: Phân tích trường hợp X nằm trong miền trung tâm
Hình 58: Phản ví dụ cho trường hợp (8,6,1)