Cấu hình dạng (8,7,5)

Một phần của tài liệu Luận văn Về sự tồn tại lục giác lồi rỗng trong bài toán Erdós (Trang 40)

2 Chứng minh công thức đánh giá E(6) ≤ 463

2.5.3 Cấu hình dạng (8,7,5)

Hình 33: Cấu hình dạng (8,7,5)

Đầu tiên, ta chỉ xét một phần của cấu hình, từ cấu hình tạo ra từ thất giác ABCDEF G và một ngũ giác P QRST bên trong nó. Bát giác bên ngoài chúng ta sẽ xem xét sau.

Nhận xét rằng trong cấu hình này có 5 miền cấm của ngũ giác (Hình 33 bên trái, trong đó các miền cấm được tô đậm). Nếu như các đỉnh nào đó của thất giác nằm ở một trong các miền này thì lục giác lồi rỗng tồn tại và do đó ta chứng minh xong.

Trong trường hợp ngược lại, tất cả các đỉnh của thất giác nằm bên ngoài miền cấm (xem Hình 33 bên trái). Hơn nữa, mỗi trong số các đường thẳng chứa cạnh này hoặc cạnh khác của ngũ giác sẽ tách ngũ giác ra thành không nhiều hơn 3 đỉnh của thất giác. Do đó cấu trúc lục giác lồi là không có (so sánh với Mục 2.2.5). Trong [15] đã chỉ ra rằng, khi giả thiết tồn tại lục giác lồi rỗng trong cấu hình ta mô tả thì các đỉnh của lục giác dứt khoát phải phân bố như trong Hình 33 bên trái (có nghĩa là, không hạn chế tổng quát, đường thẳngT P và P Q đồng thời tách đỉnh A, B khỏi ngũ giác, đường thẳng P Q và QR tách đỉnh C khỏi ngũ giác, ...).

Bây giờ chúng ta nhớ lại rằng, trong cấu hình ban đầu có bát giác bên ngoài. Sử dụng logic của Mục 2.3.2 trên Hình 31 bên phải biểu diễn cách phủ mặt phẳng và trong mỗi một miền đã chỉ ra hạn chế tương ứng số đỉnh của bát giác. Tổng các hạn chế này bằng 7 và do đó trong cấu hình này tồn tại lục giác lồi rỗng.

Một phần của tài liệu Luận văn Về sự tồn tại lục giác lồi rỗng trong bài toán Erdós (Trang 40)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(71 trang)