2 Chứng minh công thức đánh giá E(6) ≤ 463
2.6.2 Cấu hình dạng (8,7,4)
Ta làm tương tự như mục 2.6.1. Cố định một cấu hình dạng (8,7,4) và xét cấu hình tạo thành từ thất giác nằm giữa và tứ giác bên trong như là
(7,4) phân bố (xem 1.3.2). Trong [15] đã chỉ ra rằng (7,4) phân bố này có một trong các dạng sau đây (chính xác đến cách viết tương đương)
[2,1,0,1,2,0,1,0],[1,1,1,1,1,0,2,0],[0,1,2,1,0,0,3,0]
Ta đi xét riêng biệt từng trường hợp.
Hình 38: Cấu hình dạng (8,7,4), trường hợp 1
Từ tính chất (7,4) phân bố của dạng đã cho suy ra, không hạn chế tổng quát, các đỉnh của thất giác ABCDEF G và tứ giác P QRS có thể phân bố như trong Hình 38. Phân bố này suy ra tính đúng đắn của sự xác định tất cả các miền được chỉ ra như chỉ ra trên Hình 38 được chỉ ra rõ ràng, ngoại trừ có thể, 5-sector (F SRP G) và (DRP SE). Các hạn chế tương ứng số đỉnh của bát giác trong cấu hình đã cho có thể phân bố vào trong những miền này cũng rõ ràng, ngoại trừ cách viết 2(AB)∩(AG) và
2(BC) ∩(CD) suy ra từ mục (c) của Mục 1. Rõ ràng, cuối cùng, những miền này phủ mặt phẳng bên ngoài thất giác. Tiếc rằng tổng của các hạn chế bằng 8 (ở đây chưa tính đến hạn chế 0(F SRP G) và 0(DRP SE)) và chúng ta không thể ngay lập tức sử dụng logic của mục 2.3.2.
Hình 39: Phương án không thể xảy ra phân bố các điểm trong trường hợp 1
Bây giờ chúng ta nghiên cứu kĩ càng hơn câu hỏi tồn tại 5-sector(F SRP G)
và (DRP SE). Nhận thấy rằng nếu như một trong các sector này tồn tại sẽ có một trong các hạn chế 0(F SRP G) hoặc 0(DRP SE) như chỉ ra trên Hình 38 và có thể áp dụng logic của Mục 2.3.2. Như thế chúng ta chứng minh rằng hoặc là tồn tại (F SRP G) hoặc là tồn tại(DRP SE). Giả thiết ngược lại. Khi ấy hai đỉnh G và F nằm về các phía khác nhau của đường thẳng P R và cũng như vậy đối với các đỉnh D và E. Nói một cách khác, ta sẽ có phương án phân bố điểm như trên Hình 39. Tập hợp tất cả những hạn chế chỉ ra trong các sector(F SP G),(ESF),(DRSE) (xem Hình 39), nói rằng, ở bên phải của đường đâm phân bố không ít hơn bốn đỉnh của bát giác. Giả sử bốn trong số chúng là L, M, N, O (ta coi chúng đi theo chiều kim đồng hồ). Khi đó xuất hiện bát giác LM N ODRP G nằm trong bát giác đã cho. Vì vậy là không thể được.
Như vậy logic Mục 2.3.2 trong trường hợp này áp dụng được và tồn tại lục giác lồi rỗng.
Trường hợp 2: (7,4)- phân bố sắp xếp dạng [1,1,1,1,1,0,2,0]
Hình 40: Cấu hình dạng (8,7,4), trường hợp 2
Trường hợp này đơn giản hơn trường hợp trước rất nhiều. trong Hình 40 biểu diễn phân bố của thất giác và tứ giác. Từ tính chất của (7,4) phân
bố dạng đã cho suy ra tất cả các miền được chỉ ra trên Hình 40 là đúng đắn và chúng phủ hoàn toàn mặt phẳng bên ngoài thất giác.
Hạn chế dạng 2(AG) ∩ (F G) (Hình 40) là hiển nhiên. Còn lại chỉ là sử dụng logic của Mục 2.3.2.
Trường hợp 3: (7,4)-phân bố dạng [0,1,2,1,0,0,3,0]
Hình 41: Cấu hình dạng (8,7,4), trường hợp 3
Các tính chất của (7,4) phân bố của dạng này chỉ ra rằng, sự phân bố các đỉnh của thất giác tương ứng với các đỉnh của tứ giác được xác định như trong Hình 41. Từ tất cả các miền được xác định trên hình vẽ thì chỉ còn có miền 5-sector (F SQP G),(DRQSE),(AP SQB) là chưa rõ ràng. Thật vậy, rất có thể, thí dụ đỉnh F nằm phía dưới đường thẳng QS. Nhưng trong trường hợp này tồn tại lục giác lồi rỗng F EDRQS và chứng minh xong. Hoàn toàn cũng như vậy đối với 5-sector (DRQSE). Đối với sector
(AP SQB) không hạn chế tổng quát, ta có thể giả thiết rằng đỉnh B nằm phía trên đường thẳngQS (nếu không thì sẽ xuất hiện cặp sector tương tự
(AP QB),(BQSRC). Những hạn chế trong các sector được chỉ ra trong Hình 39 là hiển nhiên. Sử dụng logic của mục 2.3.2 ta nhận được lục giác lồi rỗng.