2 Chứng minh công thức đánh giá E(6) ≤ 463
2.7.2 Cấu hình dạng (8,6,2)
Trước tiên chúng ta xét cấu hình gồm lục giác ở giữa ABCDEF và hai điểm bên trong X, Y. Nếu nó chứa lục giác lồi rỗng thì chứng minh kết thúc, ngược lại bài toán sẽ dẫn đến xây dựng một phản ví dụ.
Hình 45: Phân bố không đúng của hai điểm bên trong lục giác
Trước tiên, chúng ta nhận thấy rằng với giả thiết không tồn tại lục giác lồi rỗng trong cấu hình đang xét thì đường thẳng XY bắt buộc cắt các cạnh đối của lục giác (ví dụAB và DE). Thật vậy nếu như điều này không xảy ra thì, không hạn chế tổng quát, chúng ta sẽ có hình ảnh trong Hình 45 và trong đó sẽ tạo ra lục giác lồi rỗng ABCDY X.
Hình 46: Trường hợp khi XY không cắt đường chéo FC
Tiếp theo, chúng ta thấy rằng với các giả thiết trên nếu các điểm X, Y
nằm về phía khác nhau tương ứng với mọi đường chéo chính của lục giác
ABCDEF. Thật vậy, không hạn chế tổng quát, có thể xét đường chéo
1) Đường thẳng XY cắt cạnh AB và DE của lục giác. 2) Đường thẳng XY cắt cạnh F A và CD của lục giác.
Trong trường hợp thứ nhất khi XY cắt cạnh BC và EF của lục giác. Trường hợp thứ 2 hoàn toàn tương tự. Cả hai trường hợp này đều được biểu diễn trên Hình 46. Tính chính xác của cách phân bố các miền được chỉ ra trên hình vẽ này được suy ra từ các giả thiết được nêu trong khuôn khổ các trường hợp tương ứng. Hạn chế số đỉnh của bát giác nằm trong mỗi miền đã cho hoàn toàn bình thường. Tổng tất cả điều trên, chúng ta đi đến mâu thuẫn trong cả hai trường hợp.
Hình 47: Phân bố đúng của hai điểm bên trong lục giác
Như vậy, cấu hình tạo thành từ lục giác với hai điểm bên trong, không hạn chế tổng quát, sẽ có dạng trong Hình 47.
Bây giờ chúng ta nhớ lại bát giác trong cấu hình ban đầu. Trong mệnh đề sau chúng ta chỉ ra một hạn chế chặt chẽ đặt lên phân bố các đỉnh của nó.
Mệnh đề 2. Nếu như trong cấu hình dạng (8,6,2) không có lục giác lồi rỗng thì các đỉnh của bát giác phải bắt buộc nằm như trong Hình 48
Hình 48: Cấu hình dạng (8,6,2)
Theo một nghĩa nào đó, Hình 48 được xây dựng theo đúng nguyên tắc như Hình 43 của mục trước. Đó là:
1) Các miền tô đậm không chứa các đỉnh của bát giác.
2) Cách viết dạng ” = 2(AF) ∩(EF)” được hiểu là tồn tại đúng hai đỉnh của bát giác nằm trong miền tương ứng.
Tính chính xác của các miền này suy ra từ nhận xét rằng, cấu trúc tạo thành từ lục giác với hai điểm trong, ngay từ đầu đã hạn chế một cách đáng kể.
Chứng minh Mệnh đề 2 Trước tiên chúng ta thấy miền bị gạch lưới là miền 5-sector (BXY DC),(CBXY D),(AXY EF),(F AXY E), trong đó các đỉnh của bát giác không thể nằm trong. Mặt khác, mà các miền kẻ sọc là hợp của các miền cấm(BCDY X)∪(AF EY X),(DCBXY)∪(EF AXY). Do đó, cũng không có đỉnh của bát giác trong các miền này.
Những phần không bị gạch của mặt phẳng bao quanh lục giác được phủ bởi bốn miền, trong đó hai miền là 3-sector(AXB)và(DY E), hai miền là giao của các 2-sector (BC)∩(CD) và (AF)∩(EF). Trong mỗi miền 3-sector chứa không nhiều hơn hai đỉnh của bát giác. Theo mục (b) của Mệnh đề 1, điều này cũng đúng cho hai miền còn lại. Bởi vì tổng phải có đủ tám đỉnh nên trong mỗi một trong bốn miền cần có đúng hai đỉnh của bát giác. Giả sử L, M ∈ (AXB), N, O ∈ (BC)∩(CD), P, Q ∈ (DY E), R, S ∈ (AF)∩(EF) (xem Hình 48).
Còn lại phải chứng minh tại sao các trong miền 3-sector hai đỉnh tìm được của bát giác lại phân bố đúng như trong Hình 48.
Xét các đường thẳngBC vàAF. Theo Mệnh đề 1, mỗi một đường thẳng từ hai đường thẳng BC và AF tách khỏi lục giác đúng ba đỉnh của bát giác. Khi đó hợp lại hai đường thẳng này sẽ tách khỏi lục giác đúng sáu điểm của bát giác, đó là các điểm R, S, L, M, N, O. Có nghĩa là đường thẳng
AF buộc phải tách khỏi lục giác các đỉnh R, S, L, vì đường thẳng BC cần phải tách khỏi lục giác các đỉnhM, N, O. Cuối cùng thì ta nhận được cách viết đúng sau đây ” = 1(AXB)\(AF)” và ” = 1(AXB)\(BC)”. Tương tự chứng minh khẳng định tương ứng với 3-sector (DY E).
Mệnh đề được chứng minh.
Hình 49: Chính xác hóa hình vẽ 48: Trường hợp thứ nhất
Mệnh đề 2’ cho ta một chính xác hóa của Mệnh đề 2.
Mệnh đề 2’ Nếu như trong cấu hình (8,6,2) không có lục giác lồi rỗng thì các đỉnh của bát giác bắt buộc phải nằm như trong Hình vẽ 49 hoặc là như trong Hình vẽ 50 .
Hình 50: Chính xác hóa hình vẽ 48: Trường hợp thứ hai
Mệnh đề 2’ suy ra từ nhận xét rằng, theo Mệnh đề 1, mỗi đường thẳng
AB và DE tách khỏi lục giác đúng ba đỉnh của bát giác. Thật vậy, từ bốn đỉnh nằm trong các miền (BC)∩(CD),(AF)∩(EF) có hai điểm bị tách khỏi lục giác bởi các đường thẳng AB và DE. Hai trường hợp khác nhau về mặt nguyên tắc xuất hiện trong sự phụ thuộc vào việc hai điểm này có nằm trong cùng một miền hay nằm trong các miền khác nhau.
Hình 51: Phản ví dụ cho trường hợp (8,6,2)
Trong Hình 51 chỉ ra hai phản ví dụ, một trong những phản ví dụ đó là Hình 49, trường hợp còn lai trong Hình 50