2 Chứng minh công thức đánh giá E(6) ≤ 463
2.6.1 Cấu hình dạng (8,6,3)
Cố định cấu hình dạng (8,6,3) và xét cấu hình tạo thành từ lục giác giữa và tam giác bên trong như là một (6,3)-phân bố (xem 1.3.2). Trong [15] đã chỉ ra rằng (6,3)-phân bố có một trong bốn dạng sau đây (chính xác đến cách viết tương đương):
[2,0,1,2,0,1],[1,1,1,1,1,1],[1,1,1,2,0,1],[1,0,1,2,0,2]
Ta đi xét riêng biệt 4 trường hợp này.
Trường hợp 1: (6,3)-phân bố sắp xếp dạng [2,0,1,2,0,1]
Hình 34: Cấu hình dạng (8,6,3), trường hợp 1
Bởi vì trong trường hợp này chúng ta có (6,3)-phân bố của dạng đã chỉ ra nên các đỉnh của lục giác ABCDEF không hạn chế tổng quát có thể coi như là phân bố tương ứng với các đỉnh của ∆P QR như trên Hình 34. Hình ở góc dưới trái chỉ ra rằng, trong tam giác "đầu tiên" của phần mặt phẳng hai đỉnh của lục giác (ở đây là đỉnh C và D). Trong miền tứ giác tiếp theo không có đỉnh của lục giác. Sự phân bố các đỉnh của lục giác và
tam giác cho phép tồn tại phủ của mặt phẳng bên ngoài lục giác bởi sáu sector, tên gọi của chúng được ghi trong Hình 34. Trong mỗi sector này có không nhiều quá số đỉnh của bát giác từ cấu hình đã cho như đã chỉ ra trên hình vẽ (bằng cách sử dụng logic của Mục 2.3.2). Có nghĩa là trong cấu hình đã cho tồn tại lục giác lồi rỗng.
Trường hợp 2: (6,3)-phân bố sắp xếp dạng [1,1,1,1,1,1]
Hình 35: Cấu hình dạng (8,6,3), trường hợp 2
Như trường hợp trước, Hình 35 trước hết mô tả vị trí của các đỉnh của lục giác ABCDEF và ∆P QR. Xét ∆BDF. Nếu một trong ba đỉnh P, Q, R
không thuộc tam giác này thì rõ ràng tồn tại lục giác lồi rỗng BQDRF P
và ta chứng minh xong.
Ngược lại tối thiểu một trong những điểm đang xét nằm bên trong
∆BDF với (6,3)-phân bố dạng [1,1,1,1,1,1] đối xứng theo nghĩa trong mỗi miền xuất hiện thực chất chỉ một điểm. Như vậy chúng ta có thể không hạn chế tổng quát giả thiết rằng R ∈ BDF. Điều này có nghĩa là 4-sector (DRF E) (xem Hình 35) được xác định một cách chính xác. Sự tồn tại các sector còn lại (và các miền khác) được chỉ ra trong Hình 35 một cách hiển nhiên, được suy ra từ các tính chất của sự phân bố các điểm trong (6,3)-phân bố dạng đã cho.
Các miền mô tả ở trên phủ hoàn toàn mặt phẳng bên ngoài lục giác và trong mỗi miền ấy số đỉnh của bát giác trong cấu hình đã cho không vượt quá số điểm đã chỉ ra trên Hình 35. Cách viết 2(AB)∩ (BC) là hệ quả
của mục (c) trong Mệnh đề 1. Sử dụng logic của Mục 2.3.2 dẫn đến sự tồn tại lục giác lồi rỗng.
Trường hợp 3: (6,3)-phân bố sắp xếp dạng [1,1,1,2,0,1]
Hình 36: Cấu hình dạng (8,6,3), trường hợp 3
Chúng ta làm tương tự như trong trường hợp 2. Vì các tính chất của (6,3)
phân bố dạng đã cho, các đỉnh của lục giác giữa có thể được coi như phân bố tương ứng với lại các đỉnh của tam giác bên trong (như Hình 36). Các đỉnh A, B, C, D, E, F và P, Q, R được cố định trên hình vẽ một cách tùy ý (không hạn chế tổng quát). Xét ngũ giác AP QDF, nếu R không thuộc ngũ giác thì ta sẽ có lục giác AP QDRF và chứng minh xong. Ngược lại,
R ∈ AP QDF thì chúng ta sẽ xác định được 4-sector(F RDE), chỉ ra trên Hình 36. Các sector còn lại cũng cũng được xác định rõ ràng trên hình vẽ. Các sector chỉ ra ở trên phủ mặt phẳng bên ngoài lục giác và trong mỗi miền ấy số đỉnh của bát giác trong cấu hình đã cho không vượt quá số đại lượng chỉ ra trên Hình 36. Áp dụng logic Mục 2.3.2 suy ra tồn tại lục giác lồi rỗng trong cấu hình đang xét.
Trường hợp 4: (6,3)− phân bố sắp xếp dạng [1,0,1,2,0,2]
Hình 37: Cấu hình dạng (8,6,3), trường hợp 4
Sự tồn tại tất cả các sector chỉ ra trên Hình 37 hiển nhiên vì tính chất
(6,3) phân bố dạng đã cho. Những sector này phủ mặt phẳng ngoài lục giác và số đỉnh của bát giác trong các sector ấy được hạn chế như trên hình vẽ. Sử dụng logic của Mục 2.3.2, ta đi đến kết luận là tồn tại lục giác lồi rỗng.