2 Chứng minh công thức đánh giá E(6) ≤ 463
2.4 Các trường hợp, trong đó sử dụng tính chất tối thiểu của
thiểu của bát giác
Trong trường hợp này chúng ta sẽ xét các cấu hình dạng
(8,3,≥2),(8,4,≥2),(8,5,≥3),(8,6,5).
Để chứng minh sự tồn tại của lục giác lồi rỗng trong các trường hợp này, chúng ta sử dụng các mệnh đề sau, thực chất đã được xét trong [15].
Mệnh đề 2. Giả thiết rằng trong mỗi cấu hình dạng (8, i, j) thỏa mãn
j ≥2 và giả sử 2≤ t ≤ min{i−1, j}. Xét t các đỉnh liên tiếp V1, V2, ..., Vt
của bao lồi conv(J). Kí hiệu qua Tn là tập tất cả các đỉnh của các i- giác bao lồi conv(I) nằm bên trong nửa mặt phẳng tương ứng với đường thẳng VnVn+1 mà nó không chứa các đỉnh khác của bao lồi conv(J) (khi j = 2 chúng ta có thể chọn bất kỳ một trong hai nửa mặt phẳng đó). Nếu
t−1 S n=1 Tn
< t thì cấu hình đã cho có một lục giác lồi rỗng.
Mệnh đề 2’. Giả thiết rằng trong cấu hình nào đó dạng (8, i, j) thỏa mãn j ≥ 2 và giả sử 2 ≤ t ≤ min{i − 1, j}. Xét t các đỉnh liên tiếp
V1, V2, ..., Vt của bao lồi conv(J). Kí hiệu qua Tn0 là tập tất cả các đỉnh của các i-giác bao lồi conv(I) nằm bên trong nửa mặt phẳng tương ứng với đường thẳng VnVn+1 mà nó không chứa các đỉnh khác của bao lồi conv(J)
(khi j = 2 chúng ta có thể chọn bất kỳ một trong hai nửa mặt phẳng đó).
Nếu t−1 S n=1 T0n
< t−1 thì cấu hình đã cho chứa một lục giác lồi rỗng. Chứng minh mệnh đề này trên thực tế dựa trên tính chất cực tiểu của lục giác trong cấu hình dạng (8, i, j).