2 Chứng minh công thức đánh giá E(6) ≤ 463
2.7.4 Cấu hình dạng (8,5,1)
Như trước đây, trong cấu hình dạng (8,5,1), ta xét cấu hình tạo thành từ ngũ giácABCDE và điểm X bên trong nó. Ta kẻ các đường chéo trong ngũ giác, chúng chia ngũ giác thành các miền, ngoài ra một trong các miền đó không có đỉnh của ngũ giác trên biên. Miền này chúng ta gọi là miền trung tâm. Ta chỉ ra rằng, nếu điểm X không phân bố trong miền trung tâm thì tồn tại lục giác lồi rỗng. Thật vậy, nếu giả thiết rằng tồn tại điểm
X không nằm bên trong miền trung tâm thì tồn tại một ngũ giác nhỏ hơn (trên Hình 59 là BCDEX. Từ quan sát này có thể xây dựng một phân chia mặt phẳng ra thành các sector (Hình 59) và sử dụng logic Muc 2.3.2. Bây giờ ta giả thiết rằng X nằm trong miền trung tâm, khi đó ta có
Mệnh đề 4. Nếu trong cấu hình (8,5,1) không có lục giác lồi rỗng thì các đỉnh của bát giác bắt buộc phải phân bố như trong Hình 60.
Thực tế Mệnh đề 4 khẳng định rằng, với điều kiện không tồn tại lục giác lồi rỗng trong cấu hình, sẽ có đúng một dỉnh của bát giác LM N OP QRS
nằm trong mỗi miền
Q0, P1, P2, P3, P4 ∪ P5, P6, P7, P8.
Trong những miền còn lại như chỉ ra trên Hình 60, không có đỉnh của bát giác.
Chứng minh Mệnh đề 4. Đầu tiên chúng ta chỉ ra rằng
4
S
i=0
Qi chứa ít nhất một đỉnh của bát giác. Giả thiết ngược lại, khi đó mỗi đỉnh của bát giác bị tách khỏi ngũ giác tối thiểu bởi hai đường thẳng đi qua các cạnh của nó. Điều này có nghĩa là, tồn tại đường thẳng đi qua các cạnh của ngũ giác tách khỏi ngũ giác không ít hơn
8.2 5
= 4 đỉnh của bát giác. Như vậy lục giác lồi rỗng trong trường hợp này là tồn tại. Vô lý.
Hình 59: Phân bố với điểm X không nằm trong miền trung tâm
Bây giờ chúng ta chỉ ra rằng trong
4
S
i=0
Qi có đúng một đỉnh của bát giác. Giả thiết ngược lại, khi ấy chỉ có thể có hai khả năng khác nhau về mặt nguyên tắc:
1)Tồn tại hai đỉnh của bát giác (chẳng hạn là V và W) thuộc các miền liên tiếp Qi.
2) Tồn tại hai đỉnh của bát giác (kí hiệu là V và W) thuộc vào trong hai miền không liền kề dạng Qi. Không hạn chế tổng quát trong trường hợp thứ nhất ta coi V ∈ Q4, W ∈ Q0, trong trường hợp thứ hai ta coi
V ∈ Q3, W ∈ Q0.
Hình 61: Phân tích trường hợp, khi
4
S
i=0
Qi chứa không quá một đỉnh Xét trường hợp thứ nhất. Hình 61 ở bên trái chỉ ra cách phủ mặt phẳng bên ngoài ngũ giác bởi một số miền, trong mỗi miền này không có nhiều hơn số đỉnh của bát giác mà đã chỉ ra trong hình vẽ. Thật vậy, với các sector này thì mọi chuyện đều rõ ràng, còn trong F1 và F2 không thể có các đỉnh của bát giác bởi vì nếu không sẽ mâu thuẫn với tính lồi của nó. Nhận xét rằng, theo nguyên nhân này thì các đỉnh của bát giác không thể nằm trong tứ giác EV W C. Như vậy trong trường hợp này thì chúng ta chỉ có 7 đỉnh từ 8 đỉnh. Vô lý.
Xét trường hợp thứ hai. Ở đây ta nhân thấy rằng 2-sector (DE) có thể phủ bởi 5 miền như chỉ ra trên Hình 61 phải. Rõ ràng, số lượng các đỉnh của bát giác không tồn tại trong các 5-sector, còn trong 3-sector thì chúng không vượt quá 2, trong các miền F1 và F2 chúng không có do tính lồi của bát giác. Như vậy, đường thẳng DE tách khỏi bát giác không quá 2 đỉnh của bát giác. Mâu thuẫn với Mệnh đề 1.
Như vậy, không hạn chế tổng quát, có duy nhất đỉnh P của bát giác nằm trong
4
S
i=0
Qi phân bố trong Q0. Nhận thấy rằng, nói chung, miền Q0 (cũng như những miền Qi khác) là 5-sector mà chúng ta thường mô tả như là miền cấm của ngũ giác. Nhưng không có mâu thuẫn ở đây vì trong trong trường hợp này thì ngũ giác ABCDE không phải là rỗng. Do đó lục giác
ABCP DE là lồi, nhưng không rỗng.
Các đỉnh L, M, N, O, Q, R, S của bát giác phân bố ngoài miền
4
S
i=0
Qi. Nghĩa là mỗi điểm trong chúng bị tách khỏi ngũ giác tối thiểu bởi hai đường thẳng đi qua các cạnh của nó. Mặt khác, mỗi đường thẳng đi qua các cạnh của ngũ giác tách khỏi nó đúng 3 đỉnh của bát giác (Mệnh đề 1 phần (a)). Cuối cùng, tính cả số bội, ta nhận được 5.3 = 15 "đỉnh". Giả thiết rằng tồn tại tối thiểu 1 đỉnh mà nó tách khỏi ngũ giác bởi 3 đường thẳng hoặc là nhiều hơn (có nghĩa là đỉnh nằm 1 trong các miền Ri). Khi đó tổng được đánh giá bởi cận dưới là 1 + 2.6 + 3 = 16 (ở đây 1 chính là bội của P, 3 chính là bội của đỉnh mà chúng ta giả thiết tồn tại, và 2 là bội của mỗi đỉnh còn lại). Mâu thuẫn. Như thế, trong các miền R1, ..., R5
không có đỉnh của bát giác.
Chúng ta khẳng định rằng trong miền P9 ∪ R5 ∪ P10 cũng không có các đỉnh của bát giác. Thật vậy, trong các miền cấm(P CBXD)và(P DEXC)
các đỉnh này không thể có, nếu chúng rơi vào các miền (P9 ∪ R5 ∪ P10) ((P CBXD)∪(P DEXC)) thì mâu thuẫn với tính lồi của bát giác.
Như chúng ta dã nói ở đầu chứng minh, mỗi miền P1, ..., P8 là 1 phần của một 4-sector nào đó cho nên nó có thể chứa không quá 1 đỉnh của bát giác.
Bây giờ xét đường thẳng BC. Theo Mệnh đề 1 thì nó sẽ tách khỏi ngũ giác đúng ba đỉnh của bát giác. Nghĩa là trong mỗi miền P1, P2, P3 có đúng 1 đỉnh của bát giác. Không hạn chế tổng quát, các đỉnh đó làO, N, M (Hình
60). Suy luận hoàn toàn tương tự chỉ ra rằng, các miền P6, P7, P8 có đúng 1 đỉnh của bát giác. Các đỉnh này chính là S, P, Q (Hình 60). Kết quả là 7 đỉnh của bát giác đã được xét, còn đỉnh cuối cùng thì từ những quan sát trên ta thấy nó bắt buộc phải nằm hoặc là trong P4 hoặc là trong P5. Điều đó đã được khẳng định. Mệnh đề được chứng minh.
Ta có thể chính xác hóa hơn Mệnh đề 4. Có thể thấy rằng đỉnh P và
L của bát giác bắt buộc phải nằm ở nửa mặt phẳng khác nhau của đường thẳng AX. Thật vậy, có miền cấm AXP CB và khi đó L ∈ P5, hoặc là có miền cấm AXP DE khi đó L ∈ P4.
Trên Hình 62 chỉ ra một cấu hình thỏa mãn điều kiện của Mệnh đề 4 và không chứa lục giác lồi rỗng.
Kết luận
Luận văn trình bày chứng minh của Koselev về đánh giá trên của số điểm cần thiết ở vị trí tổng quát trên mặt phẳng mà từ đó có thể lấy ra sáu điểm tạo thành lục giác lồi rỗng. Chương 1 của Luận văn đã trình bày tổng quan bài toán Erd˝os-Szekeres về tồn tại đa giác lồi và bài toán Erd˝os về tồn tại đa giác lồi rỗng. Chương 2 của Luận văn trình bày chứng minh công thức đánh giá trên E(6) ≤ 463 dựa theo chứng minh trong bài báo của Koselev: mọi tập với tối thiểu 463 điểm ở vị trí tổng quát trên mặt phẳng đều chứa sáu điểm tạo thành lục giác lồi rỗng.
Chứng minh của Koselev là rất tỉ mỉ, công phu và nó có thể dược sử dụng để nghiên cứu các giả thuyết Erd˝os-Szekeres và bài toán Erd˝os.
Tài liệu tham khảo
[1] Đoàn Hữu Dũng (1967), Lời giải của bài toán Ecđôtsơ trong một trường hợp đặc biệt (với lời nhận xét của Hoàng Chúng), tạp chí Toán học và Tuổi trẻ, số 33, tháng 6, 1967, trang 14-16.
[2] Paul Erd˝os and George Szekeres (1935), A combinatorial problem in geometry, Compositio Mathematica, 2, 463-470.
[3] Paul Erd˝os and G. Szekeres (1960-1961), On some extremum problems in elementary geometry, Ann. Universitatis Scientiarum Budapestinensis, E¨otv¨os, Sectio Mathematica III-IV, 53-62.
[4] Paul Erd˝os (1978), Some more problems on elementary geometry, Aus- tral. Math. Soc. Gazette, 5, 52-54.
[5] W. Morris, V. Soltan (2000), The Erd˝os - Szekeres problem on points in convex position, Bulletin (new series) of the Amer. Math. Soc., 37:4, 437-458.
[6] F.P.Ramsey (1930), On or problem of formal logic, Proc. London Math. Soc. Ser., 30, 264-286.
[7] Graham R.L., Rothschild B.L., Spencer J.H. (1990), Ramsey theory, eds. John Wiley and Sons. NY.
[8] G. Szekeres, L. Peters (2006), Computer solution to the 17-point Erd˝os - Szekeres problem, ANZIAM J., 48, 151-164.
[9] F. Chung, R. Graham (1998), Forrced conver n-gón in the plane, Dis- crete Comput. Geom., 19, 367-371.
[10] D. Kleitman, L. Pachter (1998), Finding conver sets among points in the plane, Discrete Comput. Geom., 19, 405-410.
[11] G.Tóth, P.Valtr (1998),Note on the Erd˝os - Szekeres theorem , Discrete Comput. Geom., 19, 457-459.
[12] G.Tóth, P.Valtr (2005), The Erd˝os - Szekeres theorem: upper bounds and related results, Combinatorial and Computational geometry, 50, 557- 568.
[13] H. Harboth (1978), Konvexe Funfecke in ebenen Punktmengen, Elem. Math., 33, 116-118.
[14] J,D. Horton (1983), Sets wuth no empty 7-gons, Canad. Math., 26, 482-484.
[15] T. Gerken (2008), On empty convex hexagons in planar point set, Discrete Comput. Geom., 39, 239-272.
[16] M. Overmars, B. Scholten, I. Vincent (1989)sets without empty convex 6-gons, Bull. European Assoc. Theor. Comput. Sci., 37, 160-168.
[17] M. Overmars (2003), Finding sets of points without empty convex 6- gons, Discret Comput. Geom. 29, 153-158.
[18] V. A. Koselev ( 2007), Around Erd˝os-Szekeres Problem, Doclady Mathematics, Vol. 76, No1, pp. 603-605.
[19] V. A. Koselev (2009), On the Erd˝os-Szekeres Problem, Doclady Math- ematics, Vol. 79, No3, pp. 360-361.
[20] V. A. Koselev (2009), Bài toán Erd˝os-Szekeres về lục giác lồi rỗng trên mặt phẳng, Mô hình hóa và phân tích hệ thống thông tin, Tập 16 , No 2, 22-74 (Tiếng Nga).