2 Chứng minh công thức đánh giá E(6) ≤ 463
2.4.2Cấu hình dạng (8,4 ,≥ 2)
Hình 21: Cấu hình (8,4, ≥ 2)
Áp dụng Mệnh đề 2 với t = 2 ≤ min{i−1, j}. Cố định ba đỉnh liên tiếp của j-giác P = V1, Q = V2 và R = V3 (ở đây P = R nếu j = 2). Kí hiệu TP Q là tập hợp T1, TQR là tập hợp T2.
Theo Mệnh đề 2, nếu |TP Q| < 2 hoặc |TQR| < 2 thì trong cấu hình đã cho có lục giác lồi rỗng và ta chứng minh xong. Như vậy, ta chỉ còn xét trường hợp |TP Q| ≥ 2 hoặc |TQR| ≥ 2.
Nhận xét rằng P = R(j = 2) thì điều kiện |TP Q| ≥ 2 , |TQR| ≥ 2có nghĩa là xảy ra hiện tượng như trong Hình 21 trái. Và ta chứng minh xong (xem mục 2.3.2).
Bây giờ áp dụng Mệnh đề 2 với t = 3 ≤ min {i − 1, j}, j ≤ 3. Trong phần này, nếu |TP Q ∪TQR| < 3, thì trong cấu hình sẽ có lục giác lồi rỗng. Như vậy chúng ta phải giả thiết rằng |TP Q ∪TQR| ≥ 3.
Điều kiện trên nói rằng, với cách sắp đặt các vị trí của tứ giác ABCD, không hạn chế tổng quát, chỉ có thể có hai khả năng xảy ra: hoặc là
TP Q và {C, D} ⊂ TQR (Hình 21 bên phải).
Trong trường hợp đầu tiên,cần phải xét các sector
(AP QB),(BQRC),(CRD),(AP D)
phủ mặt phẳng quanh tứ giác ABCD. Tiếp theo, khi cần hai sector cạnh nhau có thể thay bằng sector (CR0D) và (AP0D) tương ứng với logic của mục trên (Hình 21). Trong trường hợp này hoàn toàn có thể xảy raR0 = P
hoặcP0 = R. Như vậy trong mọi cách sắp đặt thì phủ của mặt phẳng xung quanh tứ giác ABCD bị phủ bởi hai 3-sector và hai 4-sector với hạn chế tương ứng về số đỉnh của bát giác trong mỗi sector (Hình 21).
Trong trường hợp thứ 2 chúng ta có các sector sau đây:
(AP QB),(BQC),(CQRD),(AP D).
Cũng như trước đây thì có thể thay sector (AP D) bằng sector (AP0D)
(hoặc là sector (ARD), nếu R ∈ AP D) và một lần nữa ta lại nhận được một phủ cần thiết.
Trong cả hai trường hợp, áp dụng logic của Mục 2.3.2 và ta tìm được lục giác lồi rỗng trong cấu hình đã cho.
Nhận xét rằng cả hai trường hợp vừa xét, ta sử dụng số 3-sector và 4- sector bằng nhau. Bức tranh tương tự cũng sẽ được quan sát trong các phần tiếp theo.