Luận án Góp phần phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh Trung học phổ thông qua dạy học Đại số và Giải tích

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Toán học với đời sống thực tiễn của con người 12 12 1.2 Hoạt động toán học hóa các vấn đề thực tế 16 1.3 Vấn đề ứng dụng toán học vào đời sống thực tiễn và

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết

quả nêu trong Luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ

công trình nào khác

Tác giả Luận án

Phan Anh

MỤC LỤC Trang

1.1

Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Toán học với đời sống thực tiễn của con người

12

12

1.2 Hoạt động toán học hóa các vấn đề thực tế 16

1.3 Vấn đề ứng dụng toán học vào đời sống thực tiễn và vấn đề toán học

hóa tình huống thực tiễn trong dạy học Toán ở trường phổ thông

21

1.4 Năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn của học sinh phổ thông 31

1.5 Tiềm năng của đại số và giải tích trong việc phát triển năng lực toán

học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh Trung học phổ thông

49

Chương 2 CÁC BIỆN PHÁP SƯ PHẠM NHẰM GÓP PHẦN

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC HÓA TÌNH HUỐNG

THỰC TIỄN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

QUA DẠY HỌC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

2.1 Các định hướng cho việc xác định các biện pháp sư phạm 51

2.2 Một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển năng lực toán

học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh

54

2.2.1 Biện pháp 1 Gợi động cơ bên trong của hoạt động toán học hóa

tình huống thực tiễn cho học sinh qua dạy học Đại số và Giải tích

54

2.2.2 Biện pháp 2 Chú trọng rèn luyện cho học sinh cả về ngôn ngữ

tự nhiên và ngôn ngữ toán học trong dạy học Toán theo tinh thần

chuẩn bị cho việc mô tả tình huống thực tiễn một cách chuẩn xác

60

2.2.3 Biện pháp 3 Rèn luyện cho học sinh quen dần với việc tự đặt ra

các bài toán để giải quyết một số tình huống đơn giản trong thực tiễn

75

2.2.4 Biện pháp 4 Rèn luyện cho học sinh kỹ năng xây dựng mô hình

toán học cho các tình huống thực tiễn

92

2.2.5 Biện pháp 5 Tổ chức cho học sinh khai thác các chức năng của

mô hình, đồng thời kiểm tra và điều chỉnh mô hình toán học

112

2.2.6 Biện pháp 6 Làm rõ quá trình vận dụng các phương pháp xác suất

và thống kê vào thực tiễn đời sống trong dạy học Toán; trên cơ sở đó, bồi

dưỡng các thành tố của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn

131

2.2.7 Biện pháp 7 Cung cấp cho giáo viên thông tin về PISA và bổ

sung các bài toán có nội dung thực tiễn trong các chủ đề Đại số - Giải

tích theo tư tưởng của PISA làm tư liệu trong dạy học nhằm góp phần

phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho người học

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1 Chúng ta biết rằng, toán học có vai trò to lớn đối với các ngành khoa học

khác và thực tiễn đời sống Thực tiễn là nguồn gốc, động lực, vừa là nơi kiểm nghiệm tính chân lý của mọi khoa học nói chung và toán học nói riêng Toán học phát triển được là nhờ có mối liên hệ mật thiết với thực tiễn, thông qua đó để bộc lộ sức mạnh lý thuyết vốn có của nó Mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn có tính chất phổ dụng, toàn bộ và nhiều tầng Do đó, nhiều tình huống trong đời sống ta không thể vận dụng trực tiếp các tri thức toán học mà phải qua một bước trung gian

quan trọng là toán học hóa Chẳng hạn, các bài toán giải quyết vấn đề về kinh tế, xã

hội,… có sử dụng tri thức toán thường diễn ra qua bốn bước Bước thứ nhất là xây dựng mô hình định tính cho vấn đề thực tế; vấn đề mấu chốt ở đây là phải xác định các yếu tố có ý nghĩa nhất Bước thứ hai là xây dựng mô hình toán học cho mô hình định tính, tức là diễn tả mô hình định tính bằng ngôn ngữ toán học; công việc quan trọng nhất là xây dựng hàm mục tiêu và diễn tả các điều kiện kinh tế, kỹ thuật bằng các phương trình, bất phương trình,… Bước thứ ba là giải bài toán trong bước thứ hai, đồng thời chọn phương pháp giải tối ưu, viết chương trình cho thuật toán và chạy trên máy tính, in ra kết quả Bước thứ tư là kiểm tra kết quả, đối chiếu với thực

tế để điều chỉnh cả quy trình [103, tr.7] Do đó, trong dạy học Toán ở bậc phổ thông, để “ làm rõ mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn”, việc bồi dưỡng năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh là một vấn đề cần thiết

1.2 Học sinh Trung học phổ thông là những người đang trưởng thành, chuẩn

bị tham gia trực tiếp vào lao động sản xuất, phát triển xã hội; tương lai các em phải đối mặt với cuộc sống hiện đại đa chiều, đầy biến động Bởi vậy, việc trang bị cho người học những năng lực thích ứng với cuộc sống nói chung, năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn nói riêng khi còn ngồi trên ghế nhà trường là một vấn đề cần được đặc biệt quan tâm

1.3 Hầu hết các nước trên thế giới, trong giảng dạy Toán đều chủ trương giản

lược lý thuyết hàn lâm, tăng cường thực hành và không ngừng vận dụng Nhiều nước đã dùng các bài toán có nội dung thực tiễn vào trong các kì thi ở bậc phổ thông, điển hình là Pháp, Nga, Đức,… Đặc biệt, trong những năm đầu của thế kỷ XXI, các nước trong tổ chức OECD (Organization for Economic Cooperation and Development) đã đưa ra chương trình đánh giá quốc tế PISA (Programme for International Student Assessment) cho học sinh phổ thông ở lứa tuổi 15 PISA không kiểm tra nội dung cụ thể chương trình học trong nhà trường phổ thông, mà tập trung đánh giá năng lực vận dụng tri thức vào việc giải quyết các tình huống đặt

ra trong thực tiễn Theo PISA, một quá trình cơ bản mà học sinh vận dụng toán học

để giải quyết các vấn đề thực tế được đề cập đến là “toán học hóa” Việt Nam đang trên con đường hội nhập với các quốc gia khác trên thế giới, giáo dục nước nhà cũng nằm trong xu hướng sẽ tham dự PISA vào năm 2012 Do đó, quan tâm đến việc phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh phổ thông là một vấn đề cấp thiết, có tính thời sự

1.4 Chương trình sách giáo khoa bộ môn Toán ở trường Trung học phổ thông

hiện hành kế thừa và phát huy truyền thống dạy học Toán ở Việt Nam, tiếp cận trình

độ giáo dục toán học phổ thông của các nước phát triển trong khu vực và trên thế giới Nội dung được biên soạn theo tinh thần lựa chọn những kiến thức toán học cơ bản, thiết thực, có hệ thống, trình bày tinh giản; thể hiện tính liên môn và tích hợp các nội dung dạy học; thể hiện vai trò công cụ của môn Toán, đồng thời tăng cường thực hành và vận dụng, thực hiện dạy học gắn liền với thực tiễn Đặc biệt, đại số và giải tích tạo điều kiện rất lớn trong việc phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh, điều đó được được thể hiện qua các khía cạnh sau:

- Khái niệm hàm số là sợi chỉ đỏ xuyên suốt cấp học trong chương trình đại số

và giải tích, là công cụ để mô tả tình huống một cách sinh động và đa dạng Tính sinh động thể hiện ở việc hàm số có thể mô tả sự vật, hiện tượng trong trạng thái động; tính đa dạng của nó thể hiện qua việc biểu diễn dưới nhiều hình thức khác nhau: biểu thức giải tích, bảng hoặc bằng biểu đồ, đồ thị, Chính hình thức thể hiện

đa dạng phong phú của khái niệm hàm số giúp cho người học có nhiều cách thức

mô tả hiện tượng, hình thành nhiều phương án ứng phó với các tình huống Trong giáo trình Đại số và Giải tích, có không ít các tình huống mà sách giáo khoa dùng hàm số để mô tả Chẳng hạn, sách giáo khoa Đại số 10 dùng hàm bậc nhất hai biến

mô tả bài toán quy hoạch sản xuất (bài đọc thêm); Đại số và Giải tích 11 dùng hàm

số tuần hoàn, mô tả các hiện tượng có chu trình hoạt động lặp đi lặp lại như chuyển động của các hành tinh trong hệ Mặt Trời, chuyển động của guồng nước quay, chuyển động của quả lắc đồng hồ, sự biến thiên của cường độ dòng điện, ; Giải tích lớp 12 dùng hàm số mũ để mô tả sự tăng trưởng của một số hiện tượng trong tự nhiên, xã hội Không những thế, tương quan hàm còn cho phép chúng ta xây dựng phương pháp tọa độ, là cơ sở của toán học hiện đại và là công cụ để đại số hóa hình học

- Lĩnh vực phương trình, bất phương trình được trình bày một cách có hệ thống, không những có tác dụng bồi dưỡng tư duy logic mà còn phát triển cả ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học cho học sinh; tạo điều kiện cho người học biểu diễn các tình huống thực tiễn dưới dạng biểu thức chứa biến Chủ đề phương trình còn là cơ hội tốt để học sinh giải các bài toán có nội dung thực tiễn Các tác giả trong [58] cho rằng: việc biểu diễn tình huống bằng biểu thức chứa biến là một vấn

đề vô cùng quan trọng trong việc phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho người học

- Chương trình đại số và giải tích còn vận dụng phương pháp mô hình hóa để xây dựng một số khái niệm có tính khái quát cao Chẳng hạn, khái niệm đạo hàm được xây dựng bằng cách khái quát hóa các biểu thức toán học của các đại lượng vật lý có liên quan như: cường độ dòng điện tức thời, vận tốc tức thời của chuyển động, Khái niệm tích phân được xây dựng bằng cách khái quát hóa các biểu thức toán học về diện tích hình thang cong, công của dòng điện, Thông qua dạy học, những đơn vị kiến thức này có thể hình thành cho học sinh phương pháp mô hình hóa, một yếu tố quan trọng cho việc phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn

- Toán ứng dụng, nhất là các lĩnh vực xác suất và thống kê, rất quan trọng đối với thực tiễn cuộc sống của con người, được đưa vào trong chương trình dạy học Cho đến thời điểm hiện nay, các tri thức này được trình bày trong chương trình Trung học phổ thông một cách có hệ thống Cụ thể là, thống kê toán học được trình bày hẳn trong Chương V- Đại số 10; xác suất được trình bày trong Chương 2 - Đại

số và Giải tích lớp 11 Điều đặc biệt ở đây là: "quá trình vận dụng các phương pháp của thống kê toán vào thực tiễn cũng bao hàm những đặc trưng của các phương pháp vận dụng toán học vào giải quyết các bài toán của thực tiễn" [58, tr.242] Vấn

đề cực trị được đưa vào chương trình lớp 12, chiếm vị trí trung tâm, liên quan đến nhiều lĩnh vực trong đời sống của con người Sự sắp xếp như trên đã làm cho hệ thống các tri thức toán học này lập thành mạch toán ứng dụng, vì thế giáo viên có

cơ hội rèn luyện khả năng vận dụng toán học vào đời sống, cũng như phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh

- Các tác giả của sách giáo khoa Toán Trung học phổ thông cho rằng: “Trước đây, có xu hướng chỉ coi trọng rèn luyện tư duy (tư duy logic, tư duy sáng tạo, tư duy biện chứng,…) và trí tưởng tượng không gian Tuy nhiên, nhiều công trình nghiên cứu đã chứng tỏ rằng phát triển tư duy cho học sinh không thể tách rời việc rèn luyện các kỹ năng của khoa học thực nghiệm” [38, tr.15] nên sách giáo khoa Đại số và Giải tích rất chú ý đến các hoạt động kiểm nghiệm và dự đoán Bởi vậy, thông qua giảng dạy Toán, có thể lồng ghép các hoạt động thực nghiệm vào dự đoán quy luật của tình huống thực tiễn

- Sự thay đổi, cơ cấu lại các đơn vị kiến thức trong sách giáo khoa nói chung, Đại số và Giải tích ở bậc Trung học phổ thông nói riêng, theo hướng tích hợp liên môn, tạo điều kiện cho toán học xâm nhập vào các khoa học tự nhiên và đi sâu vào thực tiễn cuộc sống

- Sách giáo khoa đã có sự thay đổi rất lớn về cách trình bày, tăng cường các hoạt động của người học thông qua các tình huống, cho học sinh dự đoán ước tính

để phát hiện ra vấn đề Điều đó được thể hiện qua việc thiết kế các tình huống, đưa người học vào trong cuộc và ủy thác nhiệm vụ cho họ dưới dạng mở Mặt khác,

ngôn ngữ diễn đạt của sách giáo khoa đang hướng tới chuẩn mực quốc tế hiện hành, thuận lợi cho sự giao lưu hội nhập Kênh hình trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích cũng được chú ý hơn và đó là: " một phương tiện truyền tải trực quan nội dung kiến thức và là cầu nối giữa sách giáo khoa và thực tiễn đời sống" [88, tr.12]

1.5 Đã có một vài công trình nghiên cứu về mạch ứng dụng toán học trong

dạy học Toán ở trường phổ thông Điển hình là công trình “Ứng dụng phép tính vi phân (phần đạo hàm) để giải các bài tập cực trị có nội dung liên môn và thực tế trong dạy học toán lớp 12 Trung học phổ thông” của tác giả Nguyễn Ngọc Anh hay

“Tăng cường khai thác nội dung thực tế trong dạy học số học và đại số nhằm nâng cao năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh Trung học cơ sở” của

tác giả Bùi Huy Ngọc Tuy nhiên, chưa có công trình nào nghiên cứu phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh Trung học phổ thông

Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho Luận án

là: “Góp phần phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh Trung học phổ thông qua dạy học Đại số và Giải tích”

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Mục đích của Luận án là nghiên cứu xác định những thành tố đặc trưng của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn với đối tượng là học sinh Trung học phổ thông; trên cơ sở đó, đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển năng lực này ở người học qua dạy học Đại số và Giải tích

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Phân tích và tổng hợp một số quan điểm của các nhà khoa học về việc vận dụng toán học vào trong đời sống thực tiễn, đặc biệt là vấn đề toán học hóa tình huống thực tiễn trong dạy học Toán

- Đưa ra quan niệm về năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn của học sinh,

đề xuất những căn cứ làm cơ sở cho việc xác định các thành tố của năng lực này

- Đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh Trung học phổ thông qua dạy học Đại số và Giải tích

4 KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

- Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học môn Toán ở trường Trung học

phổ thông

- Đối tượng nghiên cứu: Năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn của học sinh và các vấn đề liên quan cùng cách thức rèn luyện năng lực này trong dạy học

môn Toán

5 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Dựa trên cơ sở lý luận và thực tiễn có thể xác định được một số thành tố chủ yếu của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh Trung học phổ thông Trên cơ sở đó, nếu xây dựng và thực hiện được một số biện pháp sư phạm thích hợp trong dạy học Đại số và Giải tích thì có thể phát triển năng lực này cho người học, góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy học Toán

6 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Phân tích, tổng hợp để tổng quan các công trình nghiên cứu trong và ngoài nước về các vấn đề thuộc phạm vi nghiên cứu của

đề tài; xây dựng cơ sở lí luận cho năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn của học sinh Trung học phổ thông và việc rèn luyện năng lực này trong dạy học Toán

- Phương pháp điều tra: Điều tra hoạt động dạy của giáo viên, hoạt động học tập của học sinh bằng phiếu hỏi và phỏng vấn nhằm đánh giá thực trạng việc rèn luyện năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho người học

- Phương pháp chuyên gia: Xin ý kiến của các chuyên gia về phạm vi nghiên cứu của đề tài

- Thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm sư phạm được tiến hành để kiểm nghiệm giả thuyết và tính khả thi, hiệu quả của một số biện pháp đã đề xuất

7 NHỮNG LUẬN ĐIỂM ĐƯA RA BẢO VỆ

- Quan niệm về năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn của học sinh phổ

thông; các thành tố của năng lực này của học sinh Trung học phổ thông (đã được trình bày trong Luận án)

- Các biện pháp đã đề xuất trong Luận án nhằm góp phần phát triển năng lực

toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh Trung học phổ thông

- Có thể làm sáng tỏ quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm

số f(x,y)axby trên một miền đa giác lồi nhằm hoàn thiện công cụ giải quyết một lớp các bài toán thường gặp trong cuộc sống, đảm bảo tính logic, tính chặt chẽ, tính sư phạm

8 NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN ÁN

8.1 Về mặt lí luận

- Đưa ra quan niệm về năng lực toán học hóa tình huống của học sinh phổ

thông, trên cơ sở phân tích hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn Luận án cũng đã mô tả hoạt động này đối với học sinh Trung học phổ thông trong dạy học Toán, đồng thời xác định các thành tố của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn làm cơ sở cho việc hình thành và phát triển năng lực này ở người học

- Đề xuất được một số biện pháp sư phạm khả thi nhằm phát triển năng lực

toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh qua dạy học Đại số và Giải tích

8.2 Về mặt thực tiễn

- Hệ thống các biện pháp sư phạm có thể giúp giáo viên phổ thông nhận thức và

hành động trong thực tiễn giảng dạy theo hướng tăng cường vận dụng toán học vào trong thực tiễn

- Hệ thống các bài tập, ví dụ trong Luận án là tư liệu tốt cho giáo viên phổ

thông tham khảo, vận dụng vào thực tiễn dạy học

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Toán học với đời sống thực tiễn của con người

1.1.1 Toán học với đời sống thường nhật của con người

Hằng ngày, con người phải đối mặt với cuộc sống, họ phải mua bán, tính toán thiệt hơn, trong đầu luôn thường trực một vấn đề là làm sao có lợi cho bản thân mình nhất Đặc biệt, trước khi quyết định một công việc quan trọng gì đó, họ đều đưa ra những phán đoán Trong cuộc sống hiện đại ngày nay, một cuộc sống đa chiều đầy biến động, con người lại càng phải tính toán; có thể nói: chỉ có khi đi ngủ mới không để phép tính ở trong đầu

Khi tác động vào thiên nhiên để tạo ra của cải cho mình, con người bắt gặp những “hình ảnh” của toán học: mặt hồ yên ả là hình ảnh của mặt phẳng; những đóa hoa hướng dương hình tròn, có số cánh được bố trí theo các số hạng của dãy Fi-bô-na-xi; những con ong xây tổ theo những hình lục giác đều,… Galilê nói: “Thiên nhiên cũng nói bằng ngôn ngữ toán: chữ cái của thứ ngôn ngữ đó là hình tròn, hình tam giác và các hình toán học khác” (dẫn theo [78]) Thiên nhiên quả là hấp dẫn con người, lôi kéo họ vào khám phá và cải tạo thế giới Trong lao động tạo ra của cải cho xã hội, con người đã phải tính toán đến vấn đề tiêu thụ để thu lãi về là lớn nhất Bởi vậy, họ phải tính toán đến chất lượng sản phẩm, nguồn nguyên liệu, những vấn

đề đó đều liên quan đến toán học

Khác với các động vật, con người được thừa hưởng nền văn minh của các xã hội trước đó, những kinh nghiệm và tri thức đã được tích lũy và lưu trữ trong sách

vở, trong đó có tri thức toán học Con người phải đến trường để lĩnh hội và phát triển vốn tri thức của xã hội truyền lại và đặc biệt là vận dụng vốn tri thức đó vào đời sống thực tiễn cho bản thân mình Đời sống thực tiễn của con người rất đa dạng

và phong phú: học tập, lao động sản xuất, chiến đấu bảo vệ Tổ quốc Không phải khi nào cũng cho phép chúng ta ngồi trong một phòng học đầy đủ các phương tiện

để giải quyết các vấn đề được đặt ra Chẳng hạn, cần xác định chiều cao của một tòa nhà mà không có dụng cụ đo hay xác định khoảng cách giữa vị trí của ta và mục

tiêu của địch,… Gặp những trường hợp như vậy, con người đã phải nỗ lực sáng tạo,

sử dụng phương pháp toán học, lợi dụng thiên nhiên để hoàn thành nhiệm vụ

Tóm lại,đối với người bình thường, cho dù họ là ai, ở cương vị nào trong xã hội thì trong cuộc sống hằng ngày cũng đụng chạm đến các tri thức toán học

1.1.2 Toán học và các khoa học khác

Chúng ta không thể xác định chính xác các ngành khoa học xuất hiện từ thời điểm nào trong lịch sử phát triển xã hội loài người Tuy nhiên, buổi đầu sơ khai của tất cả các khoa học là quá trình tích luỹ thông tin về các đối tượng mà nó nghiên cứu Đồng thời với quá trình đó là sự sắp xếp và phân loại thông tin Hai quá trình trên có tác động tương hỗ thông qua quá trình đồng nhất hoá Một đối tượng thu thập được xem xét kỹ lưỡng: nó thuộc nhóm nào đã có hay cần bổ sung thêm nhóm mới hoặc cuối cùng tuỳ theo mức độ thu thập thông tin mà xây dựng lại hệ thống phân loại Điều này cũng gần giống như một con người cụ thể trong việc xây dựng cấu trúc nhận thức cho bản thân mình Quá trình thứ ba trong sự phát triển của khoa học là việc xác định mối liên hệ và quan hệ (định tính và định lượng) giữa các đối tượng mà nó nghiên cứu Thời kỳ “mô tả” của các khoa học được đặc trưng bởi ba quá trình nói trên Thời kỳ này kéo dài hàng nghìn năm và chấm dứt khi đã có sự

“tích luỹ đủ về lượng”, chuẩn bị cho “bước nhảy” về “chất” Khi đó, lượng thông tin và các mối quan hệ cho phép căn cứ vào một số đối tượng nhất định có thể xác định đối tượng khác bằng con đường suy diễn (dẫn theo [30]) Chẳng hạn, bảng Hệ thống tuần hoàn các nguyên tố hoá học của Đ I Menđêlêep cho phép các nhà khoa học xác định được một số nguyên tố hoá học, ngay cả khi chưa tìm được chúng trong tự nhiên Trong quá trình phát triển, một số ngành khoa học có bước tiến vượt bậc, có các phương tiện cho phép đoán trước được kết quả của các quá trình mà nó nghiên cứu với độ chính xác tương đối lớn, trong một khoảng thời gian tương đối dài Những ngành khoa học đó được gọi là khoa học chính xác, các khoa học còn lại tuỳ theo mức độ được gọi là khoa học mô tả Thuật ngữ “khoa học chính xác” do các nhà vật lý ngày xưa đưa ra, họ quan niệm rằng: các phát minh mà họ tìm được

có tính chính xác tuyệt đối Theo A A Dorođnhixưn thì sự phân loại như trên chỉ

có tính chất tương đối, ông cho rằng: “Mọi ngành khoa học ở một giai đoạn nào đó

đã từng là khoa học mô tả, thậm chí kể cả toán học Lấy hình học làm ví dụ, thời xưa nó chỉ là một “bộ sưu tập các quy tắc”, đôi khi các quy tắc đó chỉ được thiết lập qua thực nghiệm” [30, tr.11]

Toán học là một khoa học suy diễn, nó cũng như các khoa học khác có nguồn gốc từ thực tiễn Các nhà toán học I I Blekman và A D Mưskix cho rằng: “Loại

bỏ ứng dụng ra khỏi toán học cũng có nghĩa đi tìm một thực thể sống chỉ còn bộ xương, không có tí thịt dây thần kinh hoặc mạch máu nào” (dẫn theo [107,tr 33]) Đánh giá tầm quan trọng của toán học đối với các hiện tượng vật lý, hiện tượng tự nhiên của môi trường sống xung quanh, Herbert Fremont cho rằng: “Hãy tưởng tượng xem làm sao có thể miêu tả và làm việc với các liên hệ vật lý mà không có ngôn ngữ đặc trưng của đại số, làm sao ta có thể điều tra, khai thác các cấu trúc thiên nhiên cũng như những đồ vật do con người tạo ra mà không có những khái niệm hình học…” [129, tr.3].Một đặc trưng của toán học là tính trừu tượng hoá cao

độ, chính đặc điểm này đã khiến cho nó đi vào mọi lĩnh vực của cuộc sống, “càng trừu tượng càng có nhiều khả năng ứng dụng cụ thể, làm cho toán học càng ngày càng xâm nhập vào nhiều lĩnh vực hoạt động của con người, tạo nên xu thế “toán học hoá” của khoa học kỹ thuật, công nghệ hiện đại, biến toán học trở thành nữ hoàng của các khoa học” [115, tr.131] V Upenski đã chỉ rõ: “toán học nêu ra những mô hình khá tổng quát và đủ rõ ràng để nghiên cứu thực tiễn xung quanh ta Đây chính là ưu điểm và sức mạnh của toán học so với các khoa học khác Mô hình toán học là điểm xuất phát và là yếu tố quan trọng của việc toán học hóa tình huống thực tiễn” (dẫn theo [1, tr.77]) Toán học không chỉ cung cấp những con số, những công thức, những hình hình học mà đặc biệt quan trọng là nó cung cấp “phương pháp toán học” cho các ngành khoa học, thể hiện qua việc mô hình hoá các lớp đối tượng mà nó nghiên cứu Điều này đã làm cho các ngành khoa học có sử dụng toán học phát triển như vũ bão, đang dần từng bước chuyển từ khoa học mô tả sang khoa học chính xác Trong lịch sử phát triển của các ngành khoa học tự nhiên, ta bắt gặp

vô vàn các thành quả ghi nhận có sự đóng góp của toán học Chẳng hạn, ở lĩnh vực

vật lý, có các mô hình cơ học của Newton, các mô hình vật lý ngẫu nhiên: mô hình Maxwell-Bolzman (M-B); mô hình Bore- Einstein (B-E); mô hình Femi-Drac (F-D) (dẫn theo [113]); ở lĩnh vực hóa học, người ta dùng toán học xác định lượng các chất tạo thành sau phản ứng hay tìm ra công thức hóa học của các vật liệu nhân tạo (theo dụng ý của con người) trước khi sản xuất ra chúng [116, tr.89] Không chỉ có lĩnh vực khoa học tự nhiên, ngay cả trong các lĩnh vực kinh tế - xã hội và tư duy con người, toán học cũng xâm nhập vào và thể hiện được vai trò quan trọng của nó Ở lĩnh vực kinh tế, tư tưởng tối ưu hóa đã được con người toán học hóa và trở thành công cụ phục vụ cho quy hoạch sản xuất, quản lý kinh tế mang lại lợi nhuận cao Điển hình trong lĩnh vực này là các mô hình tăng trưởng kinh tế của Karl Marx, các

mô hình tăng trưởng kinh tế của trường phái Keynes (dẫn theo [27]),… Trong xã hội nhiều sự kiện, hiện tượng tưởng chừng như “mông lung lắm”, vậy mà nhờ vào các phương pháp thống kê xã hội, con người vẫn nắm bắt được quy luật của nó Chẳng hạn, nhờ vào thống kê dư luận, người ta xử lý số liệu, cho phép dự đoán sự thay đổi hệ thống chính trị một quốc gia trong thời gian tới… Càng xâm nhập sâu vào các lĩnh vực của cuộc sống, toán học càng sắc sảo làm thay đổi tư duy của con người và trở thành công cụ nhận thức cho mọi khoa học Có thể thấy rằng toán học góp phần giúp cho con người thấy được vũ trụ như là một cái toàn thể không thể tách rời, “ Phát hiện ra cấu trúc toán học chính là đi sâu một bước vào tính thống nhất của thế giới về mặt quan hệ số lượng” [116, tr.93] Những kết quả của toán học và các khoa học khác cho phép các nhà khoa học nhìn nhận lại cách tư duy của mình, từ chỗ nghiên cứu phân tích bằng vi mô, các luật chi phối quan hệ giữa các bộ phận sang kiểu tư duy hệ thống Bước đột phá đầu tiên được thực hiện vào những năm 60, 70 của thế kỷ XX, khi Lorenz dùng mô hình toán học làm đơn giản hóa hiện tượng đối lưu của chất lỏng và phương pháp mô phỏng bằng máy tính đã phát hiện ra hành vi hỗn độn nghiệm của một hệ động lực phi tuyến Từ đó, cho ra đời một lý thuyết mới là lý thuyết hỗn độn Lý thuyết này cho phép biết được các kiểu hành vi của các hệ phi tuyến, có ổn định, có bất định, có trật tự, có hỗn độn và có khả năng chuyển hóa giữa các trạng thái đó Lý thuyết hỗn độn và các lý thuyết

khác là nền tảng cho sự ra đời một lý thuyết chung nghiên cứu các mô hình phổ

quát mang tên các hệ thống thích nghi phức tạp, có nhiều ứng dụng trong tự nhiên,

sinh vật, trong các hệ sinh thái và trong kinh tế, chính trị xã hội [114, tr.174]… Khó có thể mà kể hết được vai trò của toán học trong các khoa học, rõ ràng toán học

là công cụ, là đòn bẩy của phát minh, luôn đồng hành với mọi khoa học Đúng như Karl Marx đã khẳng định: “Một khoa học chỉ đạt được sự hoàn chỉnh khi nó sử dụng toán học”

1.2 Hoạt động toán học hoá các vấn đề thực tế

Mục 1.1 trên cho thấy toán học đã xâm nhập vào trong cuộc sống đời thường, trong lao động sản xuất và nghiên cứu của mọi ngành khoa học, đó là quá trình toán học hoá các vấn đề thực tế Theo Hans Freudenthal: "Toán học hóa dẫn thế giới của cuộc sống về thế giới của các ký hiệu…" [128, tr.41] Ông cho rằng: “Tiên đề hóa, công thức hóa, sơ đồ hóa được xem là tiền đề của sự ra đời thuật ngữ “toán học hóa”; trong đó tiên đề hóa là thuật ngữ chính đầu tiên xuất hiện trong các ngữ cảnh của toán học” Thuật ngữ “toán học hoá” thường được dùng trong các cuộc thảo luận của các nhà khoa học trước khi đưa vào trong các văn bản chính thức [128, tr.30] Bởi vậy, thuật ngữ này ra đời một cách tự nhiên và đi vào đời sống; do đó, khó xác định được ai đã sử dụng nó lần đầu tiên và xuất hiện từ thời điểm nào Trong [30], [116], [127], tuy không giải nghĩa thuật ngữ này một cách tường minh nhưng khi bàn đến quá trình toán học hóa thì trọng tâm mà các tác giả đề cập đến là việc xây dựng mô hình toán cho các tình huống thực tế Trong [1,tr.97], tác giả cho rằng: “Khả năng xây dựng mô hình toán học của một tình huống thực tế, được coi là

cơ sở của việc “toán học hóa các tình huống thực tế” Theo

http//www.merriamwebster.com/dictionary, thuật ngữ “toán học hóa” được giải nghĩa là: đưa về dạng toán học (Mathematization: reduction to Mathematical form)

Từ đó, có thể hiểu quá trình toán học hoá vấn đề thực tế là quá trình đưa vấn đề đó

về dạng toán học (xây dựng mô hình toán cho vấn đề thực tế) Do vậy, để có thể thực hiện được hoạt động toán học hóa các vấn đề thực tế, con người cần được trang

bị phương pháp mô hình hóa

1.2.1 Phương pháp mô hình hóa

Phương pháp mô hình hóa là phương pháp nhận thức khoa học mà con người dùng phương tiện là mô hình để nghiên cứu các sự vật và hiện tượng

1.2.1.1 Quan niệm về mô hình

Về mô hình, có nhiều quan niệm khác nhau, có thể dẫn ra đây một vài ví dụ

- Khách thể M là mô hình của khách thể A đối với một hệ thống S các đặc trưng nào đó, nếu M được xây dựng hoặc được chọn để bắt chước A theo những đặc trưng đó (dẫn theo [1, tr.107])

- Mô hình là một "vật" hay "hệ thống vật" đóng vai trò đại diện hoặc vật thay thế cho "vật" hay "hệ thống vật" mà ta quan tâm nghiên cứu [121, tr.175]

- Mô hình là một hệ thống được hình dung trong óc hoặc được thực hiện bằng vật chất phản ánh hay tái tạo lại đối tượng nghiên cứu [69, tr.347]

Nói tóm lại, mô hình là vật trung gian dùng để nghiên cứu đối tượng (vật gốc)

mà con người quan tâm tới

1.2.1.2 Các đặc trưng của mô hình

- Mô hình là vật đại diện, vật trung gian cho sự nghiên cứu nên nó phải bảo lưu được các mối quan hệ cơ bản của vật gốc (tính chất nào là cơ bản do con người quan niệm) Bởi vậy, mô hình phải đồng cấu hay đẳng cấu với vật gốc Mô hình đẳng cấu (đồng cấu) với vật gốc theo nghĩa: đồng nhất hoàn toàn về mặt cấu trúc (đồng nhất những tính chất và những mối quan hệ chủ yếu) Tính chất này cho phép con người xây dựng những mô hình đơn giản hơn vật gốc Iu M Xviregiev cho rằng: “Mô hình bao giờ cũng “nghèo nàn” hơn hiện thực mà nó mô tả” và ông khẳng định rằng: “Mô hình

có thể là thô thiển và chưa hoàn thiện, song nó phải xét đến mọi khía cạnh chính của thực tế, những khía cạnh mà chúng ta quan tâm tới” [127, tr.28] Tuy nhiên, không phải bao giờ mô hình cũng đơn giản hơn vật gốc Ngày nay, với sự phát triển của khoa học

kỹ thuật, con người sử dụng nhiều phương tiện hiện đại để mô tả đối tượng nghiên cứu, nên nó có thể phức tạp hơn vật gốc

- Đứng về mặt nhận thức, mô hình là sản phẩm của quá trình tư duy, nó ra đời nhờ quá trình trừu tượng hóa của ít nhiều các đối tượng cụ thể Trong quá trình trừu

tượng hóa, con người đã vứt bỏ những dấu hiệu không bản chất, chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất; hay nói cách khác, đối tượng nghiên cứu đã được lí tưởng hóa Bởi vậy, mô hình mang tính lí tưởng, tính chất này cho phép con người sáng tạo ra trên đó những yếu tố chưa hề có trong thực tiễn Điều này đã làm cho phương pháp

mô hình hóa có tính chất cách mạng, có tính phát triển Do đó, quá trình xây dựng

mô hình là một quá trình nhận thức khoa học tích cực [121, tr 177]

- Mô hình không thể thay thế hoàn toàn vật gốc Một mô hình chỉ phản ánh đến một mức độ nào đó, một vài mặt nào đó của vật gốc Để nghiên cứu các sự vật hiện tượng phức tạp, người ta dùng nhiều mô hình để mô tả chúng Tuy nhiên, việc lắp ráp chúng lại để có một sự đánh giá tổng quát về đối tượng ban đầu không phải

là một việc đơn giản

- Thực tiễn cuộc sống luôn luôn vận động và biến đổi; bởi vậy, mô hình không phải là cái bất biến Phát triển từ mô hình ở mức độ thấp lên mức độ cao hơn đòi hỏi phải phát hiện được tính quy luật chung của các nhóm mô hình của các quá trình cụ thể, trong đó mô hình tổng quát hơn phải tương thích với các mô hình cụ thể trước

đó Một mô hình có thể là chưa thành công về nhiều phương diện nhưng nó vẫn có

vai trò quan trọng trong việc phán đoán tình huống thực tiễn

Đặc điểm quan trọng của mô hình toán học là sử dụng ngôn ngữ toán học để

mô tả các hiện thực khách quan; chính điều này đã làm cho nó ưu việt hơn các mô hình của các khoa học khác Tác giả Nguyễn Cảnh Toàn cũng cho rằng: “Mô hình toán học khác các mô hình trong các khoa học khác ở chỗ nó bỏ qua các thuộc tính

về “chất” mà chỉ cần một ngôn ngữ nào đó chính xác diễn tả đúng những quan hệ số lượng cơ bản, từ đó có thể suy ra quan hệ số lượng khác” [116, tr.98] Vì “chất liệu” của mô hình toán là ngôn ngữ toán học nên chúng rất đa dạng và phong phú: có thể

là biểu thức giải tích, phương trình, bảng, biểu đồ, đồ thị, hình vẽ,… Từ đó, ta có các nhận xét sau đây:

- Mô hình toán học cũng là một loại mô hình (mô hình ký hiệu) nó cũng chỉ phản ánh một khía cạnh nào đó của thực tiễn

- Cùng một sự vật, hiện tượng có thể có nhiều mô hình toán học mô tả; bởi vậy, trong lớp các mô hình đó, có mô hình “tốt” hơn theo nghĩa đơn giản về mặt

toán học và mô tả sát thực hơn đối tượng của nó Tuy nhiên, mô hình càng đơn giản

về mặt toán học thì càng “ xa” thực tiễn, càng phức tạp về mặt toán học thì càng

“xích lại gần” thực tiễn Bởi vậy, con người cần có sự đánh giá vào điều chỉnh mô hình trong hoạt động của mình

1.2.1.3 Quá trình mô hình hóa

Quá trình mô hình hóa một sự kiện nào đó thường xảy ra ba giai đoạn chính:

- Giai đoạn 1 là giai đoạn xây dựng mô hình, đó là quá trình tìm “vật” đại diện; thông thường cần sự liên tưởng đến những vấn đề tương tự Trong giai đoạn này, vai trò của trí tưởng tượng và trực giác rất quan trọng Nhờ trí tưởng tượng và trực giác, người ta loại bỏ những mối quan hệ thứ yếu của đối tượng nghiên cứu, thay nó bằng một “hình mẫu” chỉ mang những tính chất, những mối quan hệ chủ yếu “Hình mẫu” chỉ có trong trí óc và căn cứ vào đó, người ta xây dựng mô hình thật (nếu như người đó sử dụng mô hình vật chất) hoặc liên tưởng tới những mô hình đã sẵn có

- Giai đoạn 2 là giai đoạn nghiên cứu trên mô hình Trong giai đoạn này, mô hình trở thành đối tượng nghiên cứu; trên đó, người ta áp dụng các phương pháp lý thuyết và thực nghiệm khác nhau

- Giai đoạn 3 là giai đoạn xử lý kết quả và điều chỉnh mô hình Trong giai đoạn này, kết quả thu được trên mô hình được chuyển về đối tượng nghiên cứu để đối chiếu, làm cơ sở cho việc điều chỉnh mô hình

1.2.2 Hoạt động toán học hóa các vấn đề thực tế

Hoạt động toán học hóa các vấn đề thực tế là hoạt động chuyển vấn đề thực tế

về vấn đề trong nội tại bản thân toán học nhằm sử dụng vai trò công cụ của khoa học này để nghiên cứu giải quyết Hoạt động này có thể phân chia thành hai dạng: dạng thứ nhất là hoạt động của các nhà khoa học; dạng thứ hai là hoạt động của những người có học vấn phổ thông

- Đối với các nhà khoa học, người ta quan tâm đến việc mô tả quy luật của tự nhiên, của xã hội bằng công cụ toán học để mang lại những ứng dụng thiết thực trong khoa học và đời sống Quá trình xây dựng mô hình toán học cho các vấn đề thực tế vô cùng phức tạp; nó xuất phát từ thực tiễn cuộc sống muôn hình muôn vẻ

Mô hình toán học có thể có nhiều cấp độ, có thể mô tả một lớp rộng rãi các đối tượng của hiện thực khách quan, cũng có thể phân chia thành nhiều lớp các mô hình riêng biệt và chúng có nhiều mức độ khác nhau, đơn giản nhất là mô hình của các

quá trình cụ thể Trong sự suy diễn ở trên là đi từ mô hình tổng quát đến mô hình

riêng biệt, cụ thể; tuy nhiên, trên thực tế, việc xây dựng mô hình đi ngược lại Quá trình xây dựng mô hình toán học không phải là quá trình hình thức hoá mà nó chứa đựng những giả định (giai đoạn trực giác), các tính toán dựa trên những giả định và

so sánh với thông tin thu nhận được Tuy phức tạp nhưng người ta cũng hình dung

ra được các giai đoạn phải thực hiện trong quá trình này Theo A A Dorođnhixưn, quá trình mô hình hóa của các nhà khoa học có thể phân thành các bước sau: 1)

Nhận biết các dạng liên hệ (người); 2) Xây dựng mô hình toán học (người); 3) Giải

bài toán trên mô hình (máy); 4) So sánh kết quả đã giải với thông tin thu được, xác

định những điều không phù hợp (máy); 5) Phân tích các nguyên nhân có thể gây nên sự không phù hợp (người); 6) Xây dựng mô hình toán học mới Sau đó quá

trình lặp lại từ 2 đến 6, số lần lặp lại tuỳ thuộc vào tư duy sắc bén của con người Nếu kết quả phù hợp thì có thể chấp nhận mô hình, ngược lại thì phải quay về bước

1 [30, tr.24]

- Đối với người có học vấn bậc phổ thông, hoạt động toán học hóa các vấn đề thực tế xảy ra khi họ đối mặt với các tình huống có ảnh hưởng trực tiếp đến cuộc sống cá nhân Họ phải nỗ lực chuyển những tình huống này về dạng toán học phổ thông để giải quyết, phục vụ cho hoạt động thực tiễn của bản thân mình Khác với dạng hoạt động thứ nhất là hoạt động nghiên cứu, hoạt động dạng thứ hai lại thiên

về việc vận dụng toán học vào trong các tình huống đơn giản, phổ biến thường xảy

ra trong cuộc sống Tuy nhiên, việc vận dụng đó lại mang tính chất gián tiếp Cụ thể

là, trước tình huống đối mặt trong cuộc sống, họ phải liên tưởng tới những tri thức toán học phù hợp để từ đó đặt ra được bài toán và tìm cách giải quyết nhằm thỏa mãn nhu cầu của mình Không những thế, người lao động còn biết nhìn lại quá trình giải quyết một cách nghiêm túc, tìm ra được lược đồ tối ưu để bổ sung vào vốn kinh nghiệm, phục vụ cho các hoạt động thực tiễn của mình

Hoạt động toán học hóa các vấn đề thực tế rất quan trọng, cần thiết đối với mọi người lao động Hoạt động dạng thứ hai vừa mô tả ở trên mang tính chất phổ biến cho những người có học vấn phổ thông, giúp cho họ năng động thích ứng với thực tiễn đời sống Luận án quan tâm đến việc phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh Trung học phổ thông nhằm góp phần đáp ứng các điều kiện cho hoạt động này trong tương lai của người học

1.3 Vấn đề ứng dụng toán học vào đời sống thực tiễn và vấn đề toán học hóa tình huống thực tiễn trong dạy học Toán ở trường phổ thông

Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn, tuy nhiên có tính trừu tượng cao độ, chính nhờ có đặc điểm này mà toán học có tính độc lập tương đối Tính trừu tượng cao độ của toán học chỉ che lấp chứ không làm mất đi nguồn gốc thực tiễn của nó, đồng thời càng tăng thêm sức mạnh ứng dụng của nó trong đời sống thực Sự hình thành

và phát triển của toán học được thể hiện qua hai xu hướng chính: toán học lý thuyết (toán học thuần túy) và toán học ứng dụng Sự phân chia đó cũng chỉ có tính chất tương đối, vì suy cho cùng, mọi lý thuyết của nó dù xa hay gần, cuối cùng cũng trở

về phản ánh, ứng dụng vào trong thực tiễn Lý thuyết càng trừu tượng thì ứng dụng của nó càng lớn, Newton cho rằng: “không có gì gần thực tiễn hơn là một lí thuyết

đẹp” (dẫn theo [52, tr.291]) Dạy học Toán nói chung, dạy học Toán ở bậc phổ

thông nói riêng, theo một nghĩa nào đó là phản ánh sự hình thành và phát triển của khoa học toán học nên trong cơ cấu chương trình không thể bỏ qua một trong hai nội dung các xu hướng nói trên

1.3.1 Thực trạng của việc ứng dụng toán học vào đời sống thực tiễn và vấn đề toán học hóa tình huống thực tiễn của giáo dục toán học phổ thông trên thế giới và trong khu vực

Các trào lưu dạy học trên thế giới hầu hết phụ thuộc rất nhiều vào một số quốc gia có nền kinh tế xã hội phát triển, có đông đảo các nhà khoa học tầm cỡ Những quốc gia khác chịu ảnh hưởng, tùy theo thể chế chính trị hay các mối quan hệ khác Nhìn trên một bình diện chung, giáo dục toán học từ thuở xa xưa, tư tưởng coi tri thức về lý thuyết là trí tuệ; những kỹ năng thực hành ứng dụng chỉ là những thao tác

thể hiện vẫn tồn tại trong dạy học, thậm chí nhiều khi còn thái quá dẫn đến hậu quả không lường trước được Chẳng hạn, trường phái Bourbaki (tập thể các nhà toán học Pháp) vào thập kỷ 80 của thế kỷ XX đã chủ trương hiện đại hóa chương trình toán học phổ thông, theo tinh thần "tập hợp, cấu trúc, ánh xạ", không chú trọng các tri thức thực hành ứng dụng; kết quả sản phẩm mà họ đào tạo ra là những học sinh mắc bệnh hình thức nặng (dẫn theo [116]) Xu thế chung của dạy học Toán ở bậc phổ thông hiện nay là chú trọng phát triển tư duy, coi trọng tính hệ thống của tri thức và gắn chặt tri thức truyền thụ với đời sống thực tiễn Điều khẳng định của các tác giả R Courant và H Robbins: “ Việc thiết lập lại mối liên hệ giữa tri thức thuần túy và tri thức ứng dụng, sự cân bằng lành mạnh giữa tính khái quát trừu tượng và tính cụ thể phong phú là nhiệm vụ của toán học trong một tương lai gần” [16, tr.10], đang dần trở thành hiện thực Sau sự thất bại của nhóm Bourbaki, giáo dục toán học thế giới đã cảnh tỉnh và đã có những sự điều chỉnh nhất định Ở Anh, năm 1989, bộ môn Toán trong chương trình quốc gia xác định 14 lĩnh vực kiến thức, trong lần sửa đổi năm 1991, giảm xuống còn 5 lĩnh vực: 1) Ứng dụng toán học; 2) Số; 3) Đại số; 4) Hình học; 5) Xử lí số liệu Tuy nhiên, môn Toán hiện nay xác định lại chỉ còn 4 lĩnh vực kiến thức: 1) Ứng dụng toán học; 2) Số và Đại số; 3) Hình học và đo lường; 4) Xử lý số liệu Riêng đối với lĩnh vực ứng dụng toán học, có ý kiến cho rằng: nếu không được tách riêng và đánh giá như các lĩnh vực khác thì giáo viên không dạy đầy đủ tuyến kiến thức quan trọng này (dẫn theo [23]) Các quốc gia khác như Cộng hòa dân chủ Đức, Liên Xô (cũ) trước đó cũng có xu hướng hiện đại hóa chương trình nhưng đến giữa thập kỷ 80, các nước đó đã điều chỉnh lại (dẫn theo [8, tr.2])

Trong những năm đầu của thế kỷ XXI (chính xác hơn là bắt đầu từ năm 1997), các nước trong tổ chức OECD đã đưa ra chương trình đánh giá quốc tế PISA cho học sinh phổ thông ở lứa tuổi 15 Ý tưởng của PISA là tìm câu trả lời cho câu hỏi: Cái gì có thể coi là đầu ra – kết quả cuối cùng trong nhà trường của một xã hội hiện đại? (What Should be the final outcomes of Schooling in modern Society?) Phạm

vi đánh giá năng lực học sinh của PISA có liên quan đến khả năng phân tích, suy

luận kết nối ý tưởng một cách có hiệu quả khi học sinh đặt câu hỏi, lập công thức, giải quyết vấn đề trong các tình huống Đánh giá của PISA tập trung vào vấn đề thực tế, chuyển những tình huống dạng này về vấn đề điển hình có thể gặp phải trong lớp học; chẳng hạn, khi mua bán, tham gia giao thông, khi giải quyết những công việc liên quan đến chính trị, xã hội,… mà ở đó trình độ toán học nhất định sẽ tạo điều kiện thuận lợi để giải quyết vấn đề Khi bàn đến năng lực toán học phổ thông, PISA cho rằng: “Năng lực toán học phổ thông là khả năng cá nhân có thể nhận dạng và hiểu vai trò của toán học trong thế giới để đưa ra những lời xét đoán,

để sử dụng và đưa vào toán học trên cái cách mà thấy được sự cần thiết của cuộc sống cá nhân đó như một công dân biết suy nghĩ, biết xem xét”[132] Rõ ràng trong cách định nghĩa về năng lực toán học phổ thông của PISA, không thấy bàn đến các kiến thức cơ bản và các kỹ năng cần thiết, nhưng để sử dụng toán học trong nhiều tình huống khác nhau nhất thiết phải cần các yếu tố đó Thuật ngữ “thế giới” trong định nghĩa của PISA được hiểu bao gồm: thiên nhiên, xã hội và văn hóa mà con người sống trong đó Cụm từ “để sử dụng và đưa vào…” được hiểu bao gồm cách giải quyết vấn đề toán học và cũng muốn nói đến sự liên quan rộng hơn đến con người qua kết nối, liên hệ,… thậm chí cả thưởng thức toán học Do đó, cách hiểu về năng lực toán học của PISA bao gồm cách ứng dụng vào thực tiễn của toán học theo nghĩa hẹp cũng như việc học tập sau này và các yếu tố mĩ học và giải trí của toán học Quan điểm của PISA rất chú trọng việc vận dụng toán học vào đời sống thực tiễn khi xét về năng lực toán học của học sinh phổ thông PISA cho rằng: quá trình học sinh sử dụng toán học để giải quyết vấn đề thế giới thực được nhắc đến như sự

“toán học hóa” và mô tả quá trình đó bằng sơ đồ 1.1

Trong đó:

1 Bắt đầu với tình huống đặt trong thực tế;

2 Tổ chức tình huống thực tế dựa theo các khái niệm toán học và phát hiện phần toán học có liên quan;

3 Từng bước một, đưa ra khỏi thực tế thông qua các quá trình như đặt giả thiết, khái quát hóa và chính thức hóa Những quá trình như vậy làm chuyển đổi vấn đề thực tế thành vấn đề toán học; có được sự chuyển đổi đó, vấn đề toán học đại diện cho tình huống một cách chân thực;

4 Giải quyết vấn đề toán học;

5 Hiểu và nắm chắc cách giải quyết tình huống thực tế bằng toán học bao gồm cả việc phát hiện ra các hạn chế của giải pháp đó [132]

Quan sát sơ đồ trên, có thể thấy được rằng, quá trình “toán học hóa” của học sinh phổ thông theo quan điểm của PISA thực chất là đơn giản hóa và cụ thể hóa quá trình xây dựng mô hình toán học cho tình huống thực tế theo quan điểm của A.A Dorođnhixưn mà chúng tôi đã trình bày ở phần 1.2 Sự quan tâm của PISA về vấn đề “toán học hóa” được xem như là mấu chốt phát triển năng lực toán học cho học sinh phổ thông

Một số nước như Singapore, Malaysia, giáo dục toán học phổ thông cũng có

xu hướng phát triển như trên đã trình bày Theo tác giả Vũ Kim Thủy [109], sách

Vấn đề thực tế

(Real world problem)

5 1,2,3

4

5

Thế giới toán học(Mathematical World)

Thế giới thực

(Real World)

Thế giới thực

giáo khoa ở hai nước này chỉ gọi là Toán và có nội dung gắn kết với cuộc sống thường ngày Các hoạt động ngoài trời như đo, vẽ, khảo sát, đều được chú trọng trong dạy học toán; học sinh sau khi ra trường rất tự tin trong cuộc sống

1.3.2 Thực trạng của việc ứng dụng toán học vào đời sống thực tiễn và vấn đề toán học hóa tình huống thực tiễn của giáo dục toán học phổ thông trong nước

Đối với Việt Nam, chương trình giảng dạy sử dụng trước năm 2000 chịu ảnh hưởng rất lớn bởi cách làm chương trình của một số nước như Liên Xô (cũ), Cộng hòa dân chủ Đức và Pháp Theo tác giả Trần Kiều: “Mặc dầu đã xác định đi theo hướng “ôn hòa” song không thể tránh được những biểu hiện thiên về sự hoàn chỉnh

lí thuyết, quá chú trọng tới tính khoa học chặt chẽ của hệ thống kiến thức,…Các khâu thực hành, ứng dụng, nhất là ứng dụng vào các tình huống thực tiễn, chưa được coi trọng đúng mức Nhiều kỹ năng cần thiết cho cuộc sống ít có cơ hội được rèn luyện phát triển” [8, tr.2] Với chương trình và cách thức đào tạo như vậy thì sản phẩm tạo ra là những con người không có khả năng thích ứng với một cuộc sống đa chiều, đầy biến động là điều không thể tránh khỏi Sớm nhìn nhận được điều sai lệch trong giáo dục toán học, các nhà khoa học giáo dục nước ta đã có những ý kiến xác đáng GS Nguyễn Cảnh Toàn có nhận xét về tình hình dạy học toán hiện nay:

“Dạy và học toán tách rời cuộc sống đời thường”; GS Hoàng Tụy cho rằng: “kiểu cách dạy học hiện nay còn mang nặng nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải những bài tập oái oăm, giả tạo, không phát triển trí tuệ mà xa rời thực tiễn.” (dẫn theo [70]) Nói đến những yêu cầu đối với toán học trong nhà trường, nhằm phát triển văn hóa toán học, tác giả Trần Kiều cho rằng: “Học toán trong nhà trường phổ thông không chỉ tiếp nhận hàng loạt các công thức, định lí, phương pháp thuần túy mang tính lý thuyết …, cái đầu tiên và cái cuối cùng của quá trình học toán phải đạt tới là hiểu được nguồn gốc thực tiễn của toán học và nâng cao khả năng ứng dụng, hình thành thói quen vận dụng toán học vào cuộc sống” (dẫn theo [107, tr.34]) Trước bối cảnh đó, ngành Giáo dục đã có một cuộc cách mạng là thay chương trình bậc học phổ thông, bắt đầu triển khai từ năm 2000, với định hướng: giảm nhẹ tính

chặt chẽ của lý thuyết, tăng cường ứng dụng thực tiễn, coi trọng hoạt động tự chiếm

lĩnh tri thức của người học Các nhà khoa học biên soạn sách giáo khoa nói chung,

sách giáo khoa bộ môn Toán nói riêng, đã cụ thể hóa tư tưởng định hướng trên trong các giáo trình bộ môn Chẳng hạn, sách giáo khoa bộ môn Toán cấp Trung

học phổ thông đã quán triệt các quan điểm sau: Sát thực, trực quan, nhẹ nhàng và đổi mới Các quan điểm đó đã hàm chứa sự thay đổi cả nội dung và phương pháp

trình bày của sách giáo khoa, với hy vọng có thể cải thiện được tình hình dạy học toán đã trình bày ở trên Để có thể rèn luyện cho học sinh khả năng vận dụng tốt các tri thức toán học vào đời sống thực tiễn, các tác giả trong [1], [46], [55], [58], [70],… cũng đã đề cập đến vấn đề “toán học hóa” trong dạy học Toán ở bậc phổ thông và xem đây là một yếu tố quan trọng cấu thành vốn văn hóa toán học, một mắt xích quan trọng trong quá trình vận dụng toán học vào thực tiễn, rất cần thiết cho người lao động trong xã hội hiện đại Trong một số tài liệu khác, kể cả sách giáo khoa phổ thông cũng dùng mô hình toán học để mô tả các tình huống thực tiễn Ngành giáo dục đã cố gắng trong sự chỉ đạo về đường lối, nhưng thực trạng dạy học Toán ở các trường phổ thông Việt Nam, trong những năm vừa qua vẫn chưa có những chuyển biến mạnh mẽ Qua tìm hiểu các cán bộ quản lý giáo dục, các chuyên gia cho thấy vẫn còn những tồn tại phổ biến:

- Chưa thực sự chú trọng mảng tri thức thực hành ứng dụng trong dạy học Toán Nhiều giáo viên còn quan niệm lệch lạc rằng: những tri thức đó chỉ nhằm ôn tập nội dung phần lý thuyết đã học sau từng bài, từng chương; bởi vậy, dạy học

chưa đúng hướng Những năng lực, kỹ năng thực hành ứng dụng quan trọng của người lao động không được chú ý rèn luyện, nhất là năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn Biểu hiện rõ nhất là phần lớn các thầy cô chưa có ý thức trong việc bồi dưỡng phương pháp mô hình hóa cho học sinh thông qua dạy học toán

- Nhiều học sinh tốt nghiệp cấp Trung học phổ thông, ra trường chưa thể hiện được vốn văn hóa toán học trong các hoạt động thực tiễn của bản thân Biểu hiện rõ nhất là hầu như họ không sử dụng tri thức, phương pháp toán học trong các tình huống cụ thể; sự chênh lệch về hiệu quả công tác của người có học vấn phổ thông và

người không đạt đến trình độ đó không phân biệt được Như vậy, có thể nói, giáo dục

toán học phổ thông chưa làm đúng vai trò của nó; vì cái đích cuối cùng của quá trình học tập là năng lực phản ánh khả năng đối phó với một tình huống cụ thể

- Quan điểm hoạt động hóa người học của các nhà khoa học giáo dục và các nhà sư phạm thể hiện trong sách giáo khoa không được các giáo viên đứng lớp thực hiện một cách nghiêm túc Nhiều giáo viên thực hiện chỉ dẫn của sách giáo khoa về

tổ chức các hoạt động cho học sinh một cách miễn cưỡng Tình trạng “thầy đọc trò chép” ở một số nơi còn tái diễn; cá biệt vẫn còn giáo viên dùng thời gian hoạt động của trò để thư giãn cho riêng mình; các hoạt động ngoài trời không được chú trọng Theo tác giả Trần Kiều: “Thực tế dạy học đã chỉ ra đây là một trong những thiếu sót quan trọng nhất của giáo dục phổ thông ở nước ta”[8] và thực trạng đó vẫn còn tồn tại cho đến tận bây giờ Giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh những gì có trong sách

mà không cho họ có cơ hội quan sát và tự thao tác các hoạt động, nhất là các hoạt động phản ánh quy trình vận dụng tri thức toán học vào đời sống

- Mạch toán ứng dụng trong sách giáo khoa được thiết kế một cách có hệ thống nhằm trang bị cho người học các tri thức như xác suất, thống kê có nhiều ứng dụng trong thực tế Tuy nhiên, trong thực tế dạy học, giáo viên chưa thực sự chú trọng thích đáng với vai trò của nó, thậm chí có nơi, có lúc còn bị cắt giảm một cách tùy tiện chỉ vì một lý do: “không thuộc vào phần phải thi cử” Tư tưởng của sách giáo khoa toán có chiều hướng tăng cường vận dụng vào thực tiễn; tuy nhiên các bài toán

có nội dung thực tiễn chưa nhiều, dẫn đến học sinh ít có cơ hội được bồi dưỡng năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn Chúng ta đã chủ trương tránh tình trạng

“quá tải” trong nội dung lý thuyết của chương trình nhằm cho học sinh có điều kiện rèn luyện một số năng lực quan trọng khác nhưng vấp phải tình trạng “quá tải” khác, đó là năng lực của giáo viên nhằm đảm nhận nhiệm vụ mới Theo tác giả Lê Văn Tiến [112] thì một số chủ đề mới mà sách giáo khoa đưa vào như xác suất, thống kê không ít giáo viên phải “học lại” trước khi dạy cho học sinh và để phù hợp với cấu trúc mới, giáo viên phải thay đổi cách tổ chức và phương pháp dạy học

Ngoài ra, giáo viên còn vấp phải một rào cản tâm lý khác đó là thói quen với những công việc vốn đã “thuộc lòng”, nên rất ngại sự thay đổi

Chúng tôi cũng đã thực hiện điều tra, quan sát việc dạy học vận dụng toán học vào đời sống thực tiễn với những người trong cuộc, các thầy cô giáo và các em học sinh cấp Trung học phổ thông Quá trình này được thực hiện dưới hai hình thức: hình thức thứ nhất là trò chuyện, trao đổi, quan sát; hình thức thứ hai là phỏng vấn

bằng anket

Ở hình thức thứ nhất, chúng tôi đã tiếp cận trực tiếp với dạy học toán ở một số trường Trung học phổ thông Nhiều giáo viên qua giao tiếp đã thổ lộ: chính bản thân họ cũng ý thức được việc tăng cường vận dụng toán học vào đời sống thực tiễn

là cần thiết; tuy nhiên, lối dạy học "thiên về lý thuyết hàn lâm" vẫn ngự trị trong tư tưởng chưa thể thay đổi được Với họ, hầu như chưa bao giờ đề cập đến vấn đề phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh Đi sâu vào thực tế dạy học toán ở trường Trung học phổ thông, chúng tôi được biết: giáo viên mới chú trọng rèn luyện cho học sinh những kỹ năng trong nội bộ môn Toán mà ít chú ý đến các kỹ năng vận dụng những tri thức toán học vào các môn học khác và thực tiễn đời sống Bởi vậy, việc kiểm tra đánh giá học sinh cũng chỉ chủ yếu dựa trên kỹ năng ở bình diện thứ nhất Như vậy, việc đánh giá năng lực toán học (xếp loại học lực bộ môn Toán) chưa thực sự toàn diện Thực tiễn cho thấy: những học sinh được đánh giá khá và giỏi toán thuộc hai nhóm Nhóm thứ nhất được coi là "con mọt sách", những học sinh này giải quyết rất nhanh những bài toán có nội dung toán học thuần túy, nhưng lại là những con người "trên trời rơi xuống, lạc giữa đời thường" Chúng tôi đã chứng kiến một câu chuyện có thực trong cuộc sống: một học sinh chuyên toán dắt xe vào tiệm sữa chữa xe đạp, chỉ cho ông chủ tiệm chỗ bị hỏng mà

không biết gọi tên bộ phận đó Các em trong diện này có thể giải rất nhanh các bài toán nhưng lại không có kỹ năng tự đặt ra các bài toán cho chính mình khi đối mặt với các tình huống trong cuộc sống Nhóm thứ hai (số lượng ít hơn) không những

giải quyết rất nhanh những bài toán có nội dung toán học thuần túy mà còn có khả năng kết nối các ý tưởng toán học vào các hiện tượng trong thực tiễn đời sống

Chẳng hạn, khi chúng tôi mở nhanh một két bia loại nhỏ (xếp đầy những hộp bia)

và đóng ngay lại rồi nói với một học sinh học khá về môn Toán: "Có 16 hộp" Em

đó nói ngay rằng: "Không đúng!" và giải thích: một hàng chỉ có 3 hộp mà 16 không phải là bội của 3 Không những thế, nhiều em trong nhóm này biết bố trí, sắp xếp công việc một cách hợp lý để mang lại hiệu quả cao trong cuộc sống Các em rất có hứng thú với hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn Kết quả học tập các môn khoa học tự nhiên của các em thuộc diện này rất cao Đối với các em thuộc diện trung bình, thì vấn đề vận dụng toán học vào các môn học khác và thực tiễn đời sống rất là khó khăn và dĩ nhiên là không quan tâm, hứng thú với vấn đề đó Đối với những học sinh dưới mức trung bình thì luôn luôn có những cảm giác "sợ hãi" đối với những gì liên quan đến toán học Quan sát hoạt động học tập của học sinh khi

dự giờ thăm lớp, chúng tôi nhận thấy: hầu hết các em còn hạn chế trong việc sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học Chẳng hạn, trong tiết dạy khái niệm:

“Tổ hợp” , thầy giáo đặt vấn đề: “ Có thể khẳng định được k

n

C là số tự nhiên không?”, khi đó nhiều em trong lớp đã tìm cách sử dụng công thức

phần tử của tập hợp n phần tử nên hiển nhiên nó là số tự nhiên Do đó, người học

rất dễ nhầm lẫn khi sử dụng tri thức toán học này vào việc mô tả các tình huống thực tiễn Trong nhiều tình huống khác, chúng tôi nhận thấy: các em không nắm chắc nghĩa của từ, nghĩa của thuật ngữ, dẫn đến diễn đạt tình huống không chuẩn

xác và điềù đặc biệt cần được lưu tâm ở đây là người học không nắm được giữa ngôn ngữ tự nhiên, ngôn ngữ các khoa học khác và ngôn ngữ toán học còn có những khoảng cách, dẫn đến việc chuyển tình huống thực tiễn về dạng toán học còn gặp nhiều khó khăn

Ở hình thức thứ hai, chúng tôi đã thăm dò giáo viên bằng phiếu hỏi (anket); nói một cách trung thực, cuộc khảo sát đầu tiên là hoàn toàn thất bại Nguyên nhân thất bại là do chưa có kinh nghiệm nên các câu hỏi đưa ra thiên về mặt lý luận, trong khi đó, giáo viên chưa có sự chuẩn bị nên không trả lời hoặc trả lời không

đúng hướng Rút kinh nghiệm, trong lần khảo sát thứ hai, chúng tôi đã chủ động trình bày quan điểm của mình với giáo viên trước khi xin ý kiến của họ Hệ thống các câu hỏi lần này, ngoài những câu hỏi yêu cầu giáo viên đưa ra quan điểm của mình, còn có các câu hỏi mang tính điều tra thực trạng Chẳng hạn, sự am hiểu của học sinh về đời sống thực tiễn, mức độ hứng thú đối với các hoạt động vận dụng tri thức toán học vào cuộc sống, khả năng giải các bài toán có nội dung thực tiễn có trong chương trình Kết quả tham khảo ý kiến ở 150 giáo viên dạy Toán, cho biết: 100% ý kiến cho rằng học sinh Trung học phổ thông còn yếu và thiếu nhận thức về đời sống thực tiễn; không nhận ra được mối quan hệ định tính trong các sự vật hiện tượng Có đến 120 ý kiến (chiếm 80%) cho rằng học sinh chưa thực sự hứng thú với các hoạt động ứng dụng toán học vào đời sống; có 75 ý kiến (chiếm 50%) cho rằng khả năng giải quyết các bài toán có nội dung thực tiễn của học sinh có trong chương

trình ở mức độ khá Một vấn đề rất quan trọng được chúng tôi chú ý nhất là hầu hết các ý kiến đều cho rằng: để hấp dẫn người học trong hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn, không chỉ dừng lại ở mức độ áp dụng các công thức, định lý toán học trực tiếp, mà còn phải được thể hiện cả trong việc xây dựng các thuật toán, công thức xuất phát từ những nhu cầu thực tiễn đặt ra

Với một thực trạng như đã trình bày ở trên, chúng tôi có thể đánh giá một cách tổng quan rằng: vận dụng toán học vào đời sống thực tiễn trong dạy học ở các trường Trung học phổ thông nước ta chưa thực sự được chú trọng so với bình diện chung của các nước tiên tiến trong khu vực và trên thế giới Đặc biệt, việc phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh còn có nhiều rào cản, cụ thể là:

- Học sinh chưa có hứng thú với hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn Nguyên nhân dẫn đến thực trạng này là trình độ toán học của các em còn hạn chế, những tình huống đưa vào trong dạy học chưa thực sự hấp dẫn

- Học sinh chưa có kỹ năng tự đặt ra các bài toán cho chính mình khi đối mặt với các tình huống trong cuộc sống

- Học sinh chưa có những hiểu biết nhất định về thế giới mà họ đang chung sống, nhất là những mối quan hệ định tính của sự vật và hiện tượng; khó khăn trong việc dùng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học để chuyển tình huống thực tiễn về dạng toán học

- Giáo viên chưa có kế hoạch cụ thể bồi dưỡng năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh; cụ thể là: chưa xác định được nội dung cũng như cách thức phù hợp bồi dưỡng năng lực này cho người học thông qua dạy học Toán

Những rào cản vừa được liệt kê ra ở trên là một trong những luận cứ quan trọng giúp chúng tôi xác định các biện pháp sư phạm, thực hiện mục đích của Luận án

1.4 Năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn của học sinh phổ thông

1.4.1 Khái niệm tình huống thực tiễn và bài toán có nội dung thực tiễn

Theo [73, tr.979], tình huống là "sự diễn biến của tình hình, có mặt cần phải đối phó" Như vậy, theo nghĩa này tình huống bao hàm sự biến thiên và phụ thuộc Trong [55,tr.183], tác giả Nguyễn Bá Kim quan niệm khái niệm này trên cơ sở của

lí thuyết hệ thống, ông cho rằng: một tình huống là một hệ thống phức tạp bao gồm chủ thể và khách thể, trong đó chủ thể có thể là người, còn khách thể là một hệ thống nào đó Một tình huống mà khách thể tồn tại ít nhất có một phần tử chưa biết, được gọi là tình huống bài toán đối với chủ thể Đứng trước một tình huống, chủ thể đặt ra mục đích tìm phần tử chưa biết, dựa vào các phần tử khác của khách thể thì

có một bài toán đối với chủ thể

Dựa vào quan điểm trên của tác giả Nguyễn Bá Kim, chúng tôi quan niệm:

Tình huống thực tiễn là tình huống mà khách thể của nó chứa đựng các yếu tố mang nội dung thực tiễn (tức là mang nội dung các hoạt động của con người) Bài toán có nội dung thực tiễn là bài toán mà khách thể của nó chứa đựng các yếu tố mang nội dung thực tiễn

Cần phải xác định một cách rõ ràng khái niệm “thực tiễn” và khái niệm “thực tế” “Thực tiễn” là toàn bộ là hoạt động của con người, trước hết là lao động sản xuất; trong khi đó, “thực tế” là tổng thể nói chung những gì đang tồn tại, đang diễn biến trong tự nhiên và trong xã hội về mặt có liên quan đến đời sống con người

Luận án chỉ quan tâm đến những tình huống thực tiễn đơn giản, phổ biến trong cuộc sống mà bằng kiến thức phổ thông, học sinh có thể nhận thức được

Quan niệm về tình huống thực tiễn và bài toán có nội dung thực tiễn như đã trình bày trên sẽ được chúng tôi sử dụng trong toàn bộ Luận án

1.4.2 Mối quan hệ giữa mô hình toán học của tình huống thực tiễn và mô

hình toán học của bài toán có nội dung thực tiễn

Xây dựng mô hình toán học cho tình huống thực tiễn là mô tả tình huống đó bằng ngôn ngữ toán học Giả sử rằng: tình huống thực tiễn (THTT) đang xét có mô hình toán học là M và trước tình huống đó chủ thể có nhu cầu N1 (tìm hiểu về khách thể) Nhu cầu này chuyển hóa thành mục đích và được diễn tả bởi một nội dung toán học là A1 Khi đó, mô hình của bài toán có nội dung thực tiễn vừa xuất hiện là

M1, có quan hệ với mô hình của tình huống ban đầu được diễn tả như sơ đồ 1.2

Cần phải lưu ý rằng đứng trước mỗi một tình huống thực tiễn, chủ thể có thể

có nhiều nhu cầu; do đó, ứng với mỗi tình huống có thể xây dựng được nhiều bài toán Sự tách bạch giữa các khái niệm tình huống thực tiễn và bài toán có nội dung thực tiễn, cùng việc mô tả mối quan hệ giữa các mô hình của chúng phù hợp với quan điểm của PISA về vấn đề này

Về phương diện dạy học, việc tách bạch rạch ròi như trên có những thuận lợi sau đây: 1) Làm cho học sinh thấy được rằng bài toán có nội dung thực tiễn có

Sơ đồ 1.2

nguồn gốc từ nhu cầu của con người, khi bản thân chứng kiến tình huống đó; 2) Làm cho học sinh thấy rõ có thể xây dựng mô hình bài toán có nội dung thực tiễn trên cơ sở mô hình toán học của tình huống thực tiễn; 3) Học sinh thấy được mỗi tình huống thực tiễn có thể có nhiều bài toán có nội dung thực tiễn Một điều cần phải thống nhất ở đây là không phải bao giờ cũng phân biệt các khái niệm trên một cách rạch ròi, chỉ khi nào thấy thực sự là hết sức cần thiết Bởi vậy, trong Luận án, khi đề cập tình huống thực tiễn trong khi bàn luận đến bài toán có nội dung thực tiễn thì ngụ ý muốn nói tình huống thực tiễn hàm chứa trong bài toán đó

1.4.3 Một số vấn đề khác xung quanh bài toán có nội dung thực tiễn

Điều đầu tiên phải khẳng định rằng, các bài toán có nội dung thực tiễn trong sách giáo khoa ở trường phổ thông đã được chính xác hóa và lý tưởng hóa Điều đó được thể hiện qua những điểm sau: các tình huống ẩn chứa trong các bài toán này chưa hẳn đã xảy ra trong cuộc sống thực; chẳng hạn, những tình huống diễn tả chuyển động đều, chuyển động nhanh dần đều, Mặt khác, giả thiết của bài toán không thiếu, không thừa, lời giải bao giờ cũng cho kết quả để trả lời cho câu hỏi thực tiễn, thậm chí kết quả còn "rất đẹp" Nói như thế không có nghĩa các bài toán

có trong sách giáo khoa không có tác dụng gì trong dạy học; ngược lại, nó có tác dụng rất lớn trong việc rèn luyện cho học sinh khả năng vận dụng tri thức toán học vào đời sống thực tiễn Những bài toán có nội dung thực tiễn là cầu nối đầu tiên nối liền toán học với cuộc sống, vì lí do sư phạm mà có sự can thiệp của các tác giả của sách giáo khoa như đã trình bày ở trên

Những bài toán có nội dung thực tiễn gần gũi với cuộc sống hơn là các bài toán mở, khi làm việc với chúng, học sinh phải tự mày mò tìm ra giả thiết hoặc kết luận Quan niệm về bài toán có nội dung thực tiễn mở dựa trên cơ sở quan điểm của các tác giả Nguyễn Văn Bàng (dẫn theo [70), Trần Vui [134] và Bùi Huy Ngọc [70]

về vấn đề này Các bài toán mở về phía giả thiết là các bài toán mà khi giải chúng, cần phải tham gia xây dựng giả thiết hay phải lựa chọn, điều chỉnh thêm về giả thiết Các bài toán mở về phía kết luận là các bài toán mà khi giải chúng cần phải mày

mò biện luận các trường hợp có thể xảy ra Trong dạy học, giáo viên nên quan tâm

đến các loại bài toán này, bởi chúng phản ánh thực tiễn sát thực và là cái giá giúp giáo viên hình thành cho học sinh nhiều thao tác tư duy, phẩm chất trí tuệ quan trọng

Trong dạy học Toán, giáo viên cần mô phỏng các tình huống thực tiễn, điều đó

là dĩ nhiên; tuy nhiên, cần chú ý: phải mô phỏng tình huống có thực (có thể lí tưởng hóa), tránh phi thực tiễn Khi bàn về tình huống thực trong các câu hỏi kiểm tra, PISA quan tâm đến các vấn đề như: học sinh có đánh giá bối cảnh (tình huống) đưa

ra trong câu hỏi là "thực" không? Câu hỏi có yêu cầu học sinh vận dụng những kiến thức và kỹ năng vào tình huống đưa ra hay không? Một vấn đề cần được xem xét ở đây nữa là tình huống phải có vấn đề theo cả nghĩa “bên trong” lẫn cả “bên ngoài” Theo nghĩa "bên ngoài" được hiểu là tình huống gay cấn trong cuộc sống hoặc có tính "thời sự" trong một thời điểm hiện tại; học sinh cảm thấy hữu ích khi dùng kiến thức, kỹ năng của mình để giải quyết tình huống đó Theo nghĩa "bên trong” được hiểu là mô hình toán học của tình huống đó là một tình huống có vấn đề trong nội tại bản thân toán học Sự xuất hiện tình huống có vấn đề kép này trong bài toán có nội dung thực tiễn mô phỏng sẽ có sức hấp dẫn gấp bội đối với học sinh, lôi kéo họ tham gia giải quyết vấn đề Với quan niệm như trên, các bài toán dân gian, dưới đạng ca dao hò vè, chưa hẳn đã là các bài toán có nội dung thực tiễn Z Usiskin cho rằng: “Những bài toán dưới dạng câu đố và tạo lập thành văn thông thường được xem như không phải thuộc về ứng dụng, mặc dầu dạy chúng thường có mục đích hình thành kỹ năng dịch chuyển” [122] Ngoài ra, giáo viên cần phải cảnh giác với những bài toán tưởng chừng phản ánh tình huống thực tiễn đích thực, nhưng không hẳn là vậy Có thể dẫn ra ví dụ sau đây để minh chứng cho điều đó

Một bể nước dạng hình hộp chứa 100 hl được làm đầy bởi ống nước dẫn vào trong 8h45 phút Ở mặt giáp đất, có một ống nước thoát ra, làm cạn bể trong 11 giờ Hiện tại bể không còn nước, nếu ta đồng thời mở cả ống dẫn vào lẫn ống dẫn

ra thì sau thời gian bao lâu bể sẽ đầy ?

Bài toán trên tưởng chừng phản ánh một tình huống thực tiễn đích thực, tốc độ nước chảy vào lớn hơn tốc độ nước chảy ra thì sẽ đến một lúc nào đó bể sẽ đầy Tuy nhiên, trực giác đã lừa đối chúng ta Rất nhiều người đã giải bài toán trên như sau:

Tốc độ của ống nước chảy vào:

h hl h

hl

/ 7

3 11 8

hl

/ 11

1 9 11

1 9 7

Để đơn giản cho việc trình bày, từ đây về sau Luận án quy định: khi nói đến bài toán là ngụ ý muốn nói đến bài toán có nội dung thực tiễn (khi bàn đến bài toán

có nội dung toán học thuần túy sẽ được lưu ý rõ)

1.4.4 Hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn của học sinh phổ thông trong dạy học Toán

Theo Hands Freudenthal, giáo dục toán học phải được kết nối với thực tiễn, đến gần trải nghiệm của trẻ em và liên quan đến xã hội để tri thức trở thành có giá trị đối với con người Trong giảng dạy toán học, điều quan trọng không phải nằm ở

hệ thống tri thức khép kín mà nằm trong các hoạt động, các quá trình toán học hóa Treffers đưa ra một cách rõ ràng ý tưởng về hai loại toán học hóa trong ngữ cảnh giáo dục, đó là toán học hóa “bề ngang” và “bề dọc” Quá trình toán học hóa “bề ngang” đòi hỏi học sinh phải tìm ra công cụ toán học để tổ chức giải quyết vấn đề được đặt trong tình huống thực tế Trong khi đó, toán học hóa “bề dọc” là quá trình

tổ chức lại trong chính hệ thống toán học [128, tr.41] Do đó, toán học hóa “bề

ngang” liên quan đến việc “đưa thế giới thực về thế giới của các ký hiệu”, còn toán học hóa “bề dọc” liên quan đến các chuyển hóa bên trong của thế giới ký hiệu Hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn của học sinh trong dạy học Toán thuộc

về quá trình toán học hóa “bề ngang”, tuy nhiên quá trình này không thể tách rời quá trình toán học hóa “bề dọc”

Hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn của con người có nhiều cấp độ, dưới góc độ dạy học, hoạt động này còn nhiều mức độ khác nhau, tùy thuộc vào vốn văn hóa của người học Chẳng hạn, đối với học sinh Tiểu học, hoạt động này được thể hiện qua giải các bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng; đối với học sinh Trung học cơ

sở, hoạt động chủ yếu là giải các bài toán có nội dung thực tiễn bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình, ngoài ra còn yêu cầu kiểm tra lại kết quả trên hai phương diện: có chính xác về mặt khoa học (toán học) không? Có phù hợp với thực tế không? Đối với học sinh Trung học phổ thông, các em có thể dùng hàm số, biểu đồ, hình vẽ để mô tả các tình huống thực tiễn, suy diễn trên mô hình,…

Trong [70], nghiên cứu nâng cao năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh Trung học cơ sở, tác giả Bùi Huy Ngọc cho rằng: quá trình vận dụng toán học vào thực tế được mô tả theo sơ đồ 1.3

Theo ông, sơ đồ trên diễn tả tương đối đầy đủ các bước vận dụng toán học vào thực tế; tuy nhiên, trong nhiều tình huống không nhất thiết phải đầy đủ như vậy Trên

cơ sở đó, tác giả quan niệm rằng: “Nói “toán học hóa một tình huống thực tế" thực chất là nói đến việc toán học hóa bài toán thực tế nảy sinh từ tình huống thực tế và sẽ

là thực hiện cả hai bước (b1) và (b2) của (Q)" [70, tr.25 -26] Như vậy, theo quan điểm này, hoạt động toán học hóa đối với học sinh Trung học cơ sở là hoạt động chuyển một tình huống trong thực tế về một tình huống trong nội tại bản thân toán học và được mô tả một cách rất cụ thể Tuy nhiên, trong thực tiễn dạy học, tác giả cũng thừa nhận rằng: "Mặc dù vẫn gọi là rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tế nhưng thực chất chỉ rèn luyện bước (b2) Các tình huống thực tế để rèn luyện bước (b1) còn ít được quan tâm xây dựng và khai thác" [70, tr.26] Đứng về góc độ dạy học, chúng tôi cho rằng, làm cho học sinh Trung học cơ sở nhận thức được quá trình

mô hình hóa tình huống thực tiễn ở mức độ như vậy là có thể chấp nhận được Trên

cơ sở đó, gia tăng những bài tập vừa sức nhằm tổ chức cho học sinh hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn trong dạy học, nhằm tăng cường khả năng vận dụng toán học vào trong thực tiễn đời sống

Về vấn đề mô hình toán cho các tình huống thực tiễn trong dạy học, quan điểm của chúng tôi là:

- Cùng một tình huống thực tiễn cũng có thể nhiều mô hình toán học khác nhau mô tả nó, mức độ mô tả sát với tình huống cũng không giống nhau Một mô hình “tốt” là mô hình đơn giản về mặt toán học và phản ánh chân thực đối tượng mà

nó nghiên cứu Do đó, cần có các hoạt động đánh giá, làm cơ sở cho công việc điều chỉnh mô hình

- Làm việc với mô hình toán học không chỉ là giải bài toán; có thể dùng mô hình để dự đoán hay "thí nghiệm" theo các dụng ý khác nhau để đưa toán học xâm nhập sâu rộng vào cuộc sống

Đối với học sinh Trung học phổ thông, các em đã trưởng thành, trí tuệ đã phát triển và được trang bị một vốn văn hóa tương đối toàn diện Hơn nữa, so với học sinh Trung học cơ sở, các em có trải nghiệm trong cuộc sống, có thể thực hiện được các hoạt động như đã trình bày ở trên Trên cơ sở đó, chúng tôi đưa ra sơ đồ 1.4 mô

tả quá trình học sinh Trung học phổ thông vận dụng gián tiếp các tri thức toán học trong việc giải quyết các vấn đề của thực tiễn như sau:

(Trong đó THTT, BTCNDTT, MHTH, MH lần lượt ký hiệu của các cụm từ: tình huống thực tiễn; bài toán có nội dung thực tiễn; mô hình toán học; mô hình)

Quá trình được mô tả theo sơ đồ trên hàm chứa hoạt động toán học hóa của học sinh Trung học phổ thông trong dạy học Toán Ở đây, chúng tôi quan niệm rằng cốt lõi của quá trình toán học hóa tình huống thực tiễn là xây dựng mô hình toán cho tình huống đó Tuy nhiên, vấn đề này không cách biệt với quy trình được mô tả trong sơ đồ trên Để có thể xây dựng được mô hình thực sự “tốt”, cần có sự điều chỉnh và điều này chỉ có thể thực hiện được trên cơ sở học sinh khai thác nó, nhận

ra được những vấn đề còn tồn tại Do đó, chúng tôi đồng tình với quan điểm của PISA về quá trình toán học hóa đã được trình bày ở mục 1.3.1 Cần lưu ý những

Sơ đồ 1.4

MHTH

Làm viêc với

MH

Thí nghiệm trên MH

Giải toán trên MH

BTCNDTT

Dự đoán, ước tính Liên tưởng

Kiểm tra

Bắt

BTCNDTT tương hợp với MH mới thu được

1.4.5 Năng lực toán học hoá tình huống thực tiễn của học sinh phổ thông

Năng lực là những đặc điểm tâm lý cá nhân của con người đáp ứng được yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành có kết quả tốt đẹp loại hoạt động đó Hệ thống các năng lực cùng với phẩm chất của một con người cụ thể hình thành nhân cách của con người đó Như đã trình bày trong mục 1.2, thuật ngữ "toán học hóa" ra đời một cách tự nhiên, không được định nghĩa một cách tường minh Khái niệm năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn được ngầm sử dụng trong các tài liệu tham khảo [1], [46], [55] Riêng trong [70, tr.41], trên cơ sở mô tả hoạt động toán học hóa như đã dẫn, tác giả quan niệm: "Năng lực toán học hóa tình huống thực tế là tổng hợp của ba thành tố: năng lực thu nhận thông tin toán học từ tình huống thực tế; năng lực chuyển đổi thông tin giữa thực tế

và toán học; năng lực thiết lập mô hình toán học của tình huống thực tế" Xuất phát

từ quan niệm về các thuật ngữ: “toán học hóa”, “tình huống thực tiễn” đã được đưa

ra trong các mục trước, chúng tôi quan niệm rằng:

Năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn của học sinh phổ thông là khả năng học sinh vận dụng những hiểu biết của mình để chuyển một tình huống thực tiễn về dạng toán học

Thực ra, để đưa được toán học vào thực tiễn không chỉ đơn thuần cần kiến thức và kỹ năng toán học, học sinh còn phải có vốn văn hóa nhất định, những vấn

đề nằm ngoài khuôn khổ toán học Do đó, chúng tôi đã dùng cụm từ hiểu biết, trong

đó hàm chứa cả kiến thức, kỹ năng toán học để diễn tả cho quan niệm của mình

Với quan niệm mô hình là “vật” thay thế cho đối tượng nghiên cứu nên dạng toán học trong quan niệm ở trên có thể coi là mô hình của tình huống thực tiễn Do đó,

có thể khẳng định rằng: cốt lõi của hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn là việc xây dựng mô hình toán học cho tình huống đó Năng lực toán học hóa tình

huống thực tiễn của học sinh Trung học phổ thông được hình thành và phát triển thông qua hoạt động toán học hóa, đó là hoạt động của người học được mô tả ở mục 1.4.4 Để làm rõ hơn khái niệm năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn của học

sinh Trung học phổ thông, cần thực hiện một nhiệm vụ quan trọng nữa đó là xác định các thành tố cấu thành nó Vấn đề này, chúng tôi sẽ trình bày ngay sau đây

1.4.6 Các thành tố đặc trưng của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn với đối tượng học sinh Trung học phổ thông

Mục đích của Luận án: góp phần phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh Trung học phổ thông nên việc xác định các thành tố của năng lực này là một vấn đề quan trọng Chúng tôi đã dựa vào các cơ sở: 1) Các quan điểm của các nhà khoa học liên quan đến vấn đề nghiên cứu; 2) Quy trình vận dụng tri thức toán học của con người vào đời sống thực tiễn; 3) Năng lực toán học của học sinh phổ thông; 4) Sơ đồ 1.1 của PISA (trong mục 1.3.1) để đưa ra các thành tố của năng lực này Trong những căn cứ được dẫn ra ở trên, ít nhiều chúng tôi đã đề cập đến; ở đây, xin bàn luận thêm về căn cứ thứ nhất là các quan điểm của các nhà khoa học về vấn đề này

- Một điều cần được khẳng định ngay là năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn của học sinh phụ thuộc hoàn toàn vào trình độ toán học và vốn hiểu biết của họ

về thế giới đang chung sống Xin bàn luận một vài vấn đề về khía cạnh thứ nhất vì

nó liên quan đến việc dạy học Toán Trình độ toán học của mỗi học sinh (được quy định thành chuẩn kiến thức, kỹ năng mà người học cần đạt được qua từng lớp, từng cấp) phụ thuộc vào năng lực toán học của cá nhân đó Năng lực toán học là vấn đề phức tạp, còn nhiều quan điểm khác nhau về thành phần cấu trúc của nó; tuy nhiên, chung quy lại, đó là các đặc điểm tâm lý giúp cho người học có khả năng lĩnh hội và sáng tạo các tri thức toán học Trọng tâm của Luận án không phải nghiên cứu về năng lực toán học của học sinh phổ thông mà chỉ xem xét nó như là một điều kiện cần để phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho người học Lứa tuổi học sinh phổ thông từ 12 đến 19 tuổi, theo J Piaget, tốc độ liên tưởng, kết nối thông tin nhanh, dẫn đến sự thay đổi nhanh về cấu trúc nhận thức; do đó, các em phát triển nhanh về mặt trí tuệ Hơn nữa, càng lớn tuổi, trẻ càng trải nghiệm trong cuộc sống nên khả năng phát hiện ra các mối quan hệ định tính của hiện thực khách quan càng phát triển Mặt khác, càng lớn, hệ thống tri thức toán học của học sinh

càng được trang bị đầy đủ hơn, ngôn ngữ toán học phong phú hơn Do đối tượng học sinh mà Luận án quan tâm nghiên cứu dàn trải tất cả các lớp của bậc Trung học phổ thông nên cho dù có cố gắng thì việc xác định các thành tố của năng lực này cũng chỉ mang tính chất tương đối

Theo tác giả Phan Đình Diệu: “Con người rút ra được các tri thức chủ yếu là thông qua việc nghiên cứu trên những mô hình” [117] Rất nhiều các tác giả khác như Hans Freudenthal, Pollak, Nguyễn Cảnh Toàn,… đều cho rằng quá trình vận dụng tri thức toán học vào thực tiễn chủ yếu tuân thủ theo quy trình: thế giới thực  mô hình toán học  xử lý mô hình  thế giới thực, và điều này đã được PISA vận dụng vào việc xây dựng quá trình “toán học hóa” của học sinh phổ thông

Theo tác giả Thái Duy Tuyên [121, tr.179 - 180], quá trình mô hình hóa nói chung gồm 3 giai đoạn: 1) Xây dựng mô hình; 2) Nghiên cứu trên mô hình; 3) Xử lí kết quả và điều chỉnh mô hình Xin nhắc lại quan điểm của A A Dorođnhixưn về quá trình xây dựng mô hình toán học của các nhà khoa học chia làm 6 giai đoạn (như

đã dẫn ở mục 1.2.2), có thể lặp đi, lặp lại nhiều lần và có sự điều chỉnh nhất định Các quan điểm của các tác giả Thái Duy Tuyên và A A Dorođnhixưn tuy hình thức có vẻ khác nhau, nhưng kỳ thực không mâu thuẫn nhau Quá trình mô hình hóa mà tác giả Thái Duy Tuyên đưa ra là quá trình mô hình hóa nói chung, còn quá trình mô hình hóa do A A Dorođnhixưn đưa ra là quá trình mô hình hóa sử dụng công cụ toán của các nhà khoa học Hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn của học sinh Trung học phổ thông trong dạy học toán không phải là hoạt động của các nhà khoa học nhưng có nhiều điểm tương đồng Bởi vậy, các quan điểm trên là các tư liệu tham khảo để đối chiếu trong khi xác định các thành tố của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn của học sinh mà Luận án quan tâm

Ý kiến của tác giả Nguyễn Cảnh Toàn: “Toán học (Quan hệ về số lượng) chỉ

có thể xâm nhập vào vấn đề thực tế khi những hiểu biết về định tính đã đạt đến một trình độ nào đó” [116, tr.93], cũng được chúng tôi chú ý đến khi xác định các thành

tố cho năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn Sự hiểu biết về mặt định tính của tình huống thực tiễn bao gồm: hiểu biết các yếu tố có mặt trong tình huống, mối liên