cơ học chất lỏng

ĐỐI TƯỢNG, PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ LĨNH VỰC ỨNG DỤNG CỦA CƠ HỌC CHẤT LỎNG Cơ học là ngành khoa học nghiên cứu các qui luật tổng quát về cân bằng, chuyểnđộng cơ học và tác dụng tương hỗ

CHƯƠNG 1.

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN MỞ ĐẦU.

§ 1.1 ĐỐI TƯỢNG, PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ LĨNH VỰC ỨNG DỤNG CỦA CƠ HỌC CHẤT LỎNG

Cơ học là ngành khoa học nghiên cứu các qui luật tổng quát về cân bằng, chuyểnđộng cơ học và tác dụng tương hỗ của vật thể đặt trong ba trạng thái: rắn, lỏng và khí

Do trạng thái, tính chất khác nhau của vật thể và yêu cầu của kỹ thuật, cơ học đượcchia làm ba lĩnh vực lớn: Cơ học đạ cương – bao gồm: Cơ học lý thuyết, Lý thuyết daođộng, Lý thuyết ổn định, Lý thuyết va chạm…; Cơ học vật rắn – bao gồm: Sức bền vật liệu,

Lý thuyết đàn hồi, Lý thuyết dẻo, bản, vỏ, Lý thuyết nhiệt – nhớt – đàn hồi…và Cơ học chấtlỏng – bao gồm: Cơ học chất lỏng lý thuyết, Thuỷ lực công trình, Thuỷ lực dầu khí, Lýthuyết thấm, Thuỷ khí động lực học…

Cơ học chất lỏng – ngành khoa học thuộc lĩnh vực toán ứng dụng nghiên cứu các quiluật chuyển động, cân bằng của chất lỏng, chất khí và sự tác động tương hỗ cơ học giữachúng với vật thể rắn

Do tính chất, phương pháp và kết quả nghiên cứu thu được giữa chất lỏng và chất khíkhông khác nhau đáng kể, nên trong cơ học chất lỏng khái niệm chất lỏng bao hàm cả chất khí

Cũng như các lĩnh vực khác của cơ học, cơ học chất lỏng được chia ra ba phần: Tĩnhhọc – phần cơ học chất lỏng nghiên cứu các điều kiện cân bằng của chất lỏng, được gọi làthuỷ tĩnh học Động học hay còn gọi là thuỷ động học, nghiên cứu chuyển động của chấtlỏng trong thời gian không kể đến nguyên nhân gây nên chuyển động và phần Động lực học– hay thuỷ động lực học, nghiên cứu chuyển động của chất lỏng trong mối liên hê với sựtương tác giữa chúng với các vật thể khác

Tuy các vấn đề nghiên cứu trong cơ học chất lỏng xuất phát từ hiện tượng mang bảnchất vật lý gắn liền với các vấn đề kỹ thuật, nhưng phương pháp nghiên cứu nó là toán họcgiải tích chặt chẽ như: Giải tích, đại số cao cấp, hình giải tích, phương trình vi, tích phân,phương trình toán – lý…Đặc biệt, là việc vận dụng “Lý thuyết hàm biến phức và cácphương pháp của hàm biến phức” như công cụ chính để giải quyết hàng loạt vấn đề chuyênngành hẹp, mang tính kỹ thuật cao của cơ học chất lỏng như: Sức cản của vật chuyển độngtrong chất lỏng, Chuyển động không xoáy của chất lỏng, Lý thuyết cánh, chong chóng, chânvịt, Lý thuyết lớp biên, Lý thuyết sóng, Lướt, xâm thực và va đập, Lý thuyết về phản lựcthuỷ động…

Tuy nhiên, để kiểm tra và bổ sung cho lý thuyết, ngoài phương pháp toán học chặtchẽ, phương pháp thực nghiệm hoặc bán thực nghiệm kết hợp lý thuyết cũng đóng vai tròđáng kể khi nghiên cứu cơ học chất lỏng

Cơ học chất lỏng được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của giaothông vận tải, kỹ thuật quân sự, hàng không vũ trụ, thiên văn khí tượng, thuỷ lợi…, để giảiquyết các vấn đề xảy ra trong thực tế kỹ thuật, thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau như: Chế tạomáy bay và tên lửa, Đóng tàu và chế tạo máy, Khai thác dầu mỏ và khí đốt, cấp thoát nước

và hệ thống tưới tiêu, Kỹ thuật nhiệt hoá học và luyện kim, Kỹ thuật đánh bắt hải sản trênsông, biển…Ví nhụ như trong việc giải quyết các vấn đề: Điều khiển các vật bay như tênlửa, máy bay, tàu vũ trụ, đạn đạo…, và vật nổi như tàu thuỷ, tàu ngầm…, Sự ổn định, chòngchành, lắc của tàu, thuyền, phà, phao…, Việc tạo hình dáng cho máy bay, tên lửa, tàu thuỷ,tàu ngầm…, để làm xuất hiện lực nâng, giảm bớt sức cản, tăng vận tốc Việc tạo hình dángcho prôfin cánh, bánh công tác của tua bin bơm đạt hiệu suất cao; Vấn đề bôi trơn thuỷ độngtránh hao mòn, chóng nóng, tăng tuổi thọ cho động cơ, máy móc; Vấn đề sức cản của nướcđối với vật nổi, sức cản của nước đối với độ mở của lưới đánh bắt hải sản; Việc chống xóimòn đê đập, tiêu năng ở hạ lưu công trình thuỷ lợi; hay vấn đề thấm, nứt, loang, rò chảy dầukhí trong khai thác dầu mỏ và khí đốt…

Cơ học chất lỏng đặt cơ sở hoặc liên quan trực tiếp các môn chuyên ngành như: Lýthuyết tàu; Khí tượng hải dương; Vật liệu ngư cụ; Máy phụ và trang bị động lực; Kỹ thuậthàng hải; Máy khai thác; Máy chế biến; Kỹ thuật thuỷ sản…

Việc ra đời và hoàn thiện cơ học chất lỏng thành một ngành khoa học độc lập –ngành toán học ứng dụng quan trọng gắn liền tên tuổi các nhà bác học: Arixtốt, Acsimét,Stokes, Poadơi, Reinôn, Kraman, Prăng, Jukovski, Traplưgin…

§ 1.2 CÁC GIẢ THIẾT VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA CHẤT LỎNG

1.2.1 Giả thiết cơ bản trong cơ học chất lỏng

Toàn bộ lý thuyết cũng như việc giải quyết các bài toán của cơ học chất lỏng đượcxây dựng trên cơ sở giả thiết: Chất lỏng là môi trường liên tục Theo giả thiết đó, vật chất –các hạt lỏng, được coi là phân bố liên tục trong khoảng không gian bị chiếm và các đạilượng đặt trưng cơ học của môi trường, biểu diễn các tính chất của chất lỏng, cũng nhưdòng chảy của nó là các hàm liên tục của tọa độ không gian và thời gian

1.2.2 Các tính chất cơ bản của chất lỏng

a Tính lưu động – dễ chảy

Chất lỏng là vật thể vật lý có tính lưu động – là khả năng biến dạng không đàn hồilớn khi tác dụng lên nó ngoại lực nhỏ Do có tính lưu động dễ chảy, chất lỏng không có hìnhdạng riêng như vật rắn, mà lấy vật chứa làm hình dạng của mình Do lực liên kết nhỏ, nênchất lỏng hầu như không chịu được lực cắt và lực kéo

b Khối lượng riêng

Để đặc trưng cho sự phân bố khối lượng trong không gian bị lấp đầy bởi chất lỏng,người ta thường sử dụng đại lượnggọi là khối lượng riêng Đối với chất lỏng không đồngchất, khối lượng riêng tại một điểm, được bao bằng thể tích ∆V có khối lượng ∆m, đượcxác định bằng giới hạn:

lim

V

m V

Trong đó, m – khối lượng của chất lỏng chứa trong thể tích V

Khối lượng riêng chất lỏng phụ thuộc bởi nhiệt độ, áp suất và các đặc trưng chuyểnđộng của môi trường Trong trường hợp tổng quát nó có thể được biểu diễn dưới dạng hàmcủa tọa độ và thời gian:

Và có đơn vị kg/m3 Trong hệ đơn vị kỹ thuật MKS, khối lượng riêng có đơn vị KGS2/m4

Trong tính toán kỹ thuật, đối với nước sạch ρ= 1000 kg/m3 và đối với đơn vị kỹthuật lấyρ= 102 KGS2/m4

Dưới nhiệt độ trung bình 20°C và áp suất 760 mmHg, không khí có khối lượng riêng

ρ= 1,293 kg/m3 Trong tính toán người ta thường lấy giá trị trung bình đối với khối lượngriêng của không khí hayρ= 1,228 kg/m3hayρ= 0,125 KGS2/m4

0

1 V m /N,cm /KG

Trong đóρvàρ0là khối lượng riêng tương ứng với áp suất P và P0.

Đại lượng ngịch đảo củaβgọi là môđun đàn hồi của chất lỏng, ký hiệu E:

1 N/m ,KG/cm

ρ ≠Const

e Tính nhớt

Một trong những tính chất vật lý quan trọng, có nhiều đặc tính kỹ thuật quan trọng làtính nhớt của chất lỏng Đó là tính chất chống lại sự chuyển dịch bản thân chất lỏng hay tínhchất biểu diễn nội lực ma sát của nó Tính nhớt là nguyên nhân gây nên tổn thất năng lượngkhi chất lỏng chuyển động

Nội lực ma sát, thường gọi là lực nhớt được biểu diễn bằng định luật Niutơn:

V n

∂

∂ - gradien vận tốc theo phương n thẳng góc với hướng dòng chảy.

µ- hệ số nội lực ma sát hay hệ số nhớt động lực học của chất lỏng, có thứ nguyên:

Đơn vị củaνlà m2/s, St (Stokes) với 1St = 1 cm2/s.

Mô hình chất lỏng được lý tưởng hóa không có độ nhớt gọi là chất lỏng không nhớthay chất lỏng lý tưởng Còn chất lỏng kể đến độ nhớt, tức là kể đến nội lực ma sát, được gọi

là chất lỏng thực hay chất lỏng nhớt

Ngoài các tính chất trên, chất lỏng còn có một số tính chất khác như tính sức căngmặt ngoài, tính bốc hơi và hòa tan, tính giãn nở…

§ 1.3 PHÂN LOẠI LỰC TÁC DỤNG LÊN CHẤT LỎNG

Xét trong chất lỏng chuyển động một thể tích bất kỳ V, giới hạn bởi mặt S (hình 1.1)thì các lực tác dụng vào thể tích chất lỏng này không thể là lực tập trung, mà là lực phân bố,bao gồm lực khối và lực mặt

1.3.1 Lực khối

Là những lực tác dụng lên mỗi hạt lỏng và tỉ lệ với khối lượng của nó

Lực khối còn gọi là lực thể tích, ví dụ như trọng lực, lực quán tính, lực điện từ

Ký hiệu ∆f- lực khối tác dụng lên hạt lỏng có khối lượng ∆ = ∆m  V thì ứng suấtlực khối F 

tại điểm khảo sát được xác định bằng giới hạn:

Trong trường hợp tổng quát F

là hàm của tọa độ điểm và thời gian:

( ), ( , , , )

F =F r t =F x y z t

   

(1-17)Khi lực khối là trọng lực, trọng lượng của thể tích yếu tố ΔV có khối lượng Δm là

ΔP=Δm.g=.ΔV.g Chọn trục z hướng lên, lực khối ∆ = − ∆f k P, với k

- vectơ đơn vịtrục z, khi đó ta có vectơ ứng suất lực khối từ (1-15) được xác định:

F= −k.g

 

(1-18)Hay: Fx =0, Fy =0, Fz = −g (1-19)Trong đó Fx, Fy, Fz– các thành phần hình chiếu của F

lên các trục tọa độ Đecac.Trong trường hợp lực khối có thế, ký hiệu U – thế của ứng suất lực khối, thì F cóthể biểu diễn như gradien của hàm vô hướng U:

F= −grad U



(1-20)

Trường trường hợp lực khối là trọng lưc, từ (1-19) và (1-20), ta có: U = gz + C Vì

giá trị hằng số C không ảnh hưởng đến việc xác định vectơ F, nên có thể bỏ qua, vậy:

1.3.2 Lực mặt

Là những lực tác dụng lên mặt S của thể tích chất lỏng khảo sát V

Ví dụ lực mặt như áp lực của không khí tác dụng lên mặt thoáng của chất lỏng

Ký hiệu ∆P n - lực mặt đặt vào diện tích ∆S với pháp tuyến ngoại n, thì ứng suất lựcmặt tại điểm khảo sát được xác định bằng giới hạn:

0

lim n n

S

P P

Xét trong chất lỏng chuyển động phân tố chất lỏng dạng tứ diện có một mặt bất kỳ,

ba mặt còn lại tạo thành tam diện vuông; có thể tích ∆V với khối lượng ∆V (hình 1.2) Kýhiệu    P P P P n, x, y, z

- các vectơ ứng suất lực mặt tác dụng lên tâm diện tích tương ứng, , ,

cos ,cos ,cos ,

x n

y

n

z n

S

n x S

S

n y S

S

n z S

V S

Ký hiệu đầu trong các thành phần ứng suất là mặt trên đó ứng suất khảo sát tác dụng,

ký hiệu thứ hai – trục trên đó ứng suất chiếu lên Ví dụ Pxy, thì x là mặt Px dụng, còn y làtrục P x chiếu lên Các đại lượng vô hướng Pxx, Pyy, Pzz là các thành phần ứng suất pháptuyến, còn các đại lượng Pxy, Pyz, Pzx… - các thành phần ứng suất tiếp

Ứng suất pháp và tiếp tác dụng lên ba mặt vuông góc với nhau của hình hộp, được

tách ra trong chất lỏng, biểu diễn trên hình 1.3 Sử dụng định lý mômen đối với góc tọa độ

cho các ứng suất tác dụng lên các mặt của hình hộp, ta có tính chất:

Các đẳng thức này cho phép phát biểu tính chất của ứng suất pháp: Nếu trong chấtlỏng không có ứng suất tiếp thì ứng suất pháp tại điểm khảo sát không phụ thuộc phươngdiện hướng của diện tích Sự phụ thuộc (1-35) đúng cho chất lỏng nhớt đứng yên tĩnh haycho chất lỏng không nhớt chuyển động cũng như đứng yên.

Thực nghiệm chứng tỏ rằng chất lỏng có khả năng chịu được lực nén theo hướngpháp tuyến mà không gây nên gián đoạn môi trường Thực tế chất lỏng bị gián đoạn khi bịkéo Có nghĩa trong chất lỏng chỉ có thể xuất hiện ứng suất pháp tuyến nén, được gọi là áp suất

Như vậy, khi ứng suất tiếp trong chất lỏng không tham gia thì giá trị của ứng suấtpháp gọi là áp suất P, được biểu diễn từ (1-35) là:

P= −P = −P = −P = −P (1-36)

Từ đây, ta thấy áp suất không phụ thuộc vào phương diện hướng của diện tích

Áp suất cũng như ứng suất lực mặt theo hệ MKS được đo bằng Kg/m2 Trong tínhtoán kỹ thuật, thường đo bằng atmotphe kỹ thuật, ký hiệu at

1 at = 1 KG/cm2= 10.000 KG/m2.Đơn vị đo của áp suất trong hệ đơn vị quốc tế SI là N/m2

và chất lỏng không nhớt chuyển động

§ 1.5 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT LỎNG DẠNG ỨNG SUẤT

Xét trong chất lỏng chuyển động thể tích bất kỳ V, giới hạn bằng mặt S (hình 1.4).Bên trong nó, xét thể tích yếu tố hạt lỏng dV với khối lượngρdV Tác dụng lên hạt lỏng này

bao gồm các lực khối với ứng suất F và các lực mặt với ứng suất P n

Ký hiệu gia tốc khối tâm của hạt lỏng dV

dt



thì phương trình chuyển động của nó cho:

n P

∆

n S

y

x z

Để thuận tiện cho việc nghiên cứu chuyển động của chất lỏng, ta biến đổi (1-42) lạinhư sau:

Chiếu phương trình vectơ (1-44) lên các trục tọa độ, chúng ta thu được hệ phươngtrình vi phân chuyển động dạng ứng suất của chất lỏng viết dưới dạng hình chiếu:

§ 2.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÂN BẰNG CỦA CHẤT LỎNG VÀ TÍCH PHÂN TỔNG QUÁT.

2.1.1 Phương trình vi phân cân bằng chất lỏng

Khi chất lỏng ở trạng thái yên tĩnh, các thành phần ứng suất tiếp bằng không, còn cácthành phần ứng suất pháp thỏa mãn (1-37) Lúc đó thay dV 0

x

y

z

P F

x P F

y P F

2.1.2 Tích phân tổng quát của phương trình vi phân cân bằng

Xét chất lỏng không nén được, tức làρ= Const, khi đó (2-1) cho:

(2-3) cho thấy lực khối F

có thể biểu diễn vào dạng gradien của hàm vô hướng U gọi là thế của lực khối:

-F = −gradU



(2-4)Như vậy, chất lỏng không nén được cân bằng khi lực khối tác dụng lên nó phải cóthế, (2-3) và (2-4) cho:

Lực khối F

luôn tác dụng vuông góc với mặt đẳng áp

2.2.2 Phương trình vi phân của mặt đẳng áp

Nhân các phương trình của hệ (2-2) tương ứng với dx, dy, dz và cộng lại ta có:

2.2.3 Mặt phân chia giữa hai môi trường

Xét mặt phân chia giữa hai môi trường chất lỏng không nén được, không hòalẫn với nhau và có khối lượng riêng 1 ≠2

Vì trên mặt phân chia áp suất và lực khối như nhau đối với cả hai loại chất lỏng nên (2-8)cho:

Như vậy mặt phân chia giữa hai môi trường chất lỏng là mặt đẳng áp

Trong trường hợp lực khối tác dụng lên hai môi trường chất lỏng là trọng lực,

U = gz, ta thấy mặt phân chia giữa chúng là mặt nằm ngang

Mặt phân chia giữa chất lỏng và chất khí (thường là không khí) gọi là mặt tự do haymặt thoáng của chất lỏng

§ 2.3 PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA THỦY TĨNH ÁP SUẤT TUYỆT ĐỐI, ÁP SUẤT DƯ VÀ ÁP SUẤT CHÂN KHÔNG.

Xét trường hợp chất lỏng tĩnh không nén được, chịu tác dụng của lực khối chỉ làtrọng lực Lúc này chất lỏng được gọi là chất lỏng thực Khi đó thay U = gz từ (1-22) vào(2-7) ta có:

P P

Phương trình (2-14) cho phép kết luận: Cùng một loại chất lỏng cân bằng, áp suất tạimọi điểm ở cùng một độ sâu thì bằng nhau (2-14) là công thức dùn để tính áp suất tại mộtđiểm bất kỳ ở trong chất lỏng tĩnh.

Trị số áp suất tính theo công thức (2-14) gọi là áp suất tuyệt đối Ptđ

Khi mặt nằm ngang z0 = 0 là mặt thoáng tự do có P0= Pa– áp suất atmotphe, (2-14)được viết lại:

§ 2.4 CÂN BẰNG TƯƠNG ĐỐI CỦA CHẤT LỎNG

Xét trường hợp khi chất lỏng ở trạng thái cân bằng tương đối Lúc này, thể tích khốilỏng khảo sát không biến dạng, xem như vật rắn tuyệt đối

Phương trình vi phân cân bằng tương đối của chất lỏng được biểu diễn bằng phươngtrình (2-8)

Từ cơ học lý thuyết biết rằng: Bài toán động lực có thể đưa về bài toán tĩnh, nếuthêm vào ngoại lực các lực quán tính

Khảo sát hai bài toán đặc trưng sau:

Bài toán 1: Bình chứa chất lỏng chuyển động thẳng với gia tốc không đổi a

trênđường thẳng ngang (hình 2.2) Xét sự phân bố áp suất và mặt tự do của chất lỏng

Hình chiếu của lực khối đơn vị lên các trục toạ độ là:

Trên biên, tại điểm x = 0, z = 0 ta có P = P0= C Vậy ta thu được biểu thức phân bố

áp suất tại mọi điểm trong chất lỏng như sau:

Biểu thức (2-21) cho thấy a = 0 thì tg = 0 tức khi bình chứa chuyển động đều, mặt

tự do của chất lỏng là mặt nằm ngang

Bài toán 2: Xét sự cân bằng tương đối của chất lỏng trong bình chứa hình trụ quay

quanh trục thẳng đứng với vận tốc không đổiω(hình 2.3) Khảo sát mặt tự do và sự phân bố

Hằng số tích phân được xác định từ điều kiện biên:

- Khi x = y = z = 0⇒P = P0= C Vậy áp suất thuỷ tĩnh phân bố theo luật:

2.5.1 Áp lực của chất lỏng lên mặt cong

Xét mặt cong bất kỳ S ngập ở trong chất lỏng yên tĩnh (hình 2.4) Khi đó áp lực yếu tố

d R

tác dụng lên diện tích dS là d R= −PndS , trong đó n

- vectơ pháp tuyến ngoại

Từ đây, áp lực chất lỏng tác dụng lên mặt cong S là:

S

R= −∫∫PndS

(2-27)Chú ý (2-13), khi P0= Pa; P = Pa -γz (2-28) và bỏ qua áp suất khí quyển Lúc đó, chiếu(2-27) lên các trục toạ độ ta có:

( ) ( ) ( )

cos , xcos , y

= ∫∫ = ∫∫ - toạ độ trọng tâm hay độ sâu trọng tâm của

Sx, Sy– là hình chiếu của mặt cong S lên mặt x và y V – thể tích khối trụ chất lỏng giới hạn

bởi mặt cong S, mặt chiếu của nó lên mặt tự do S′, với mặt bên là các đường thẳng đứng.Lưu ý, khi thu thành phần thẳng đứng Rz ta đã sử dụng công thức Gaux – Oxtrogratki.(2-29) cho ta thấy thành phần áp lực thuỷ tĩnh Rz bằng trọng lượng thể tích khối lỏng hìnhtrụ V

Độ lớn của áp lực thuỷ tĩnh tác dụng lên mặt cong S được xác định theo công thức:

2.5.2 Áp lực chất lỏng tác dụng lên thành phẳng

Xét thành phẳng S ngập hoàn toàn trong chất lỏng, nghiêng với mặt tự do một gócα

(hình 2.5) Trường hợp này các áp lực thuỷ tĩnh tác dụng lên mặt S lập thành hệ lực songsong được quy về một hợp lực tác dụng thẳng góc với mặt phẳng được xác định như sau,với chú ý bỏ qua áp suất atmotphe:

S

= ∫∫ - độ sâu trọng tâm hay toạ độ trọng tâm của thành phằng S

Để xác định điểm đặt A của hợp lực R

, dựng mặt phẳng Q chứa S, cắt mặt tự dotheo giao tuyến Oy Cùng với hệ toạ độ Oxyz, xét hệ toạ độ Ox’y’z’ sao cho Oy’ ≡Oy, ox’thuộc Q Khi đó, toạ độ của điểm M bất kỳ thuộc S được biểu diễn bằng mối liên hệ:

'

' '

x S

I y

Theo định lý Giuravski I1=I C +Sx C' 2 Trong đó ICmômen quán tính của mặt S đối vớitrục đi qua trọng tâm C và song song với giao tuyến Oy Khi đó công thức đầu (2-36) đượcviết lại:

- trọng lực tác dụng lên thể tích khối lỏng này.

Đẳng thức (2-42) nói lên rằng: Vectơ chính của các áp lực chất lỏng tác dụng lên mặt vậtngập trong đó nó có trị số bằng trọng lượng thể tích khối lỏng bị vật chiếm chỗ và hướng thẳngđứng từ dưới lên trên

Mômen chính của áp lực chất lỏng tác dụng lên mặt vật có dạng:

rot Pr = prot r+grad P∧ = − ∧r r grad P

Khi đó kết hợp với phương trình (2-41), biểu thức (2-43) được viết lại:

-γ– là trọng lượng riêng của chất lỏng

    

(2-46)Và: R M  =R r ( D∧R) (=r D R∧R)=0 (2-47)Các biểu thức (2-47) và (2-46) cho thấy các áp lực chất lỏng tác dụng lên mặt vậtđược qui về một hợp lực có đường tác dụng đi qua trọng tâm của khối lỏng bị vật chiếm chỗ

Định luật Acsimét cũng đúng cho vật ngập không hoàn toàn ở trong chất lỏng Khi

đó vật chịu tác dụng của một lực đẩy có trị số bằng trọng lượng thể tích khối lỏng phần ngậpcủa vật choán chỗ

§ 2.7 ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG VÀ ỔN ĐỊNH CỦA VẬT NGẬP TRONG CHẤT LỎNG

Xét vật thể ngập trong chất lỏng, khi đó nó chịu tác dụng đồng thời của hai lực: Lực

đẩy Acsimét R

đặt tại tâm đẩy D, hướng thẳng đứng từ dưới lên trên và trọng lượng G

đặttại trọng tâm của vật C, hướng xuống dưới (hình 2.7)

Điều kiện cần và đủ để vật ở trạng thái cân bằng là hai lực này có điểm đặt cùng nằmtrên đường thẳng đứng và có cùng trị số, tức là:

- Nếu G > R hayγv>γthì vật sẽ chìm tới đáy.

- Nếu G = R hay γv= γ thì vật sẽ nổi ở lưng chừng trong chất lỏng tại bất kỳ

Vấn đề ổn định của vật nổi rất quan trọng và thường gặp nhiều ở trong kỹ thuật Ví

dụ như sự ổn định cân bằng của tàu thuỷ, tàu ngầm…Điều kiện ổn định đối với vật ngậphoàn toàn ở trong chất lỏng khác với vật nổi ở trên mặt tự do

2.7.1 Điều kiện ổn định đối với vật ngập hoàn toàn trong chất lỏng (hình 2.9)

a Khi tâm đẩy D có vị trí cao hơn trọng tâm C của vật, nếu vật nghiêng so với

phương thẳng đứng, thì R

và G

lập thành ngẫu lực quay vật về vị trí cân bằng lúc ban đầu

Sự cân bằng của vật trong trường hợp này gọi là cân bằng ổn định

b Khi D có vị trí thấp hơn C, lúc này R

và G

lập thành ngẫu lực, làm cho vật quay

xa vị trí cân bằng ban đầu Trạng thái của vật là cân bằng không ổn định

c Khi D trùng với C thì R

và G

không lập thành ngẫu lực, tức là vật cân bằng ngaytại vị trí khảo sát và trạng thái cân bằng của nó là cân bằng phiếm định

2.7.2 Điều kiện ổn định đối với vật nổi trên mặt tự do của chất lỏng

Đối với vật ngập một phần trong chất lỏng, thì vấn đề ổn định của nó phức tạp hơnvật ngập hoàn toàn trong chất lỏng Vì khi vật nghiêng khỏi vị trí cân bằng, thì thể tích khốilỏng bị vật chiếm chỗ thay đổi hình dạng, dẫn đến sự thay đổi vị trí tâm đẩy D

Trường hợp tâm đẩy D cao hơn trọng tâm C, vật nổi cân bằng luôn ổn định

Khi C có vị trí cao hơn D, để nghiên cứu điều kiện ổn định của vật nổi, ta đưa ra một

số định nghĩa ứng với vật nổi ở trạng thái cân bằng, về một số yếu tố như sau (hình 2.10):

- Mớn nước: là giao tuyến của vật nổi với mặt nước

- Mặt nổi: là mặt phẳng có chu vi đường mớn nước.

- Trục nổi: là đường thẳng góc với mặt nổi đi qua trọng tâm của vật nổi

Khi vật nổi nghiêng một góc α so với phương thẳng đứng thì tâm đẩy D dời đến vịtrí D’ (hình 2.11) Giao điểm của trục nổi với đường tác dụng của lực đẩy mới gọi là tâmđịnh khuynh M Khi đó ký hiệu các đoạn:

Có thể xảy ra các khả năng sau:

a Khi hM> 0, tức M có vị trí cao hơn C, ngẫu lực do R

và G

làm cho vật quay vềtrạng thái cân bằng lúc đầu, ta có vật nổi cân bằng ổn định

b Khi hM < 0, hay M thấp hơn C, ngẫu lực ( )R G ,

có xu hướng làm vật càngnghiêng đi, vật ở trạng thái cân bằng không ổn định

c Khi hM= 0, M trùng C Trường hợp này ( )R G , 0

, không tạo nên ngẫu lực Vật

ở mọi vị trí đều cân bằng Sau khi nghiêng, vật nổi ở trạng thái nghiêng, màkhông trở lại vị trí cân bằng lúc đầu, nên ta có vật nổi cân bằng phiếm định.Vậy để xác định điều kiện ổn định của vật nổi ta cần xác định đại lượng hM Trong

kỹ thuật, với một loại tàu, thuyền có hình dạng, kích thước, tải trọng nhất định ta sẽ xác địnhđược trọng tâm C, tâm đẩy D Còn bán kính định khuynhρ(khi góc nghiêngα < 15°) đượctính theo công thức:

I V

§ 2.8 MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 2.1

Xác định áp suất dư của không khí trong bình áp lực theo độ chỉ của áp kế thuỷ ngâncấu tạo từ 2 ống chữ U nối với nhau (hình 2-12) Mực nước trong bình và thuỷ ngân trongống so với mặt nằm ngang là:

Thay (2) vào (1) cho:

1sin2

R=T − b Lb

Thay giá trị tính toán ta được: R = 4,35 T (tấn)

Độ sâu tâm áp lực nước tác dụng lên phần bên của tàu được xác định theo công thức(2-38):

3 2

sin

12

R=z S =H + 

3 2

a a b / 12

a2

sin ab2

sin

a2

Giải:

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ thì Rx= 0, khi đó:

.2

z y

Trong trường hợp mặt cầu hoặc hình trụ tròn thì đường tác dụng của R

phải đi qua

tâm của chúng Cho nên để xác định tâm áp lực A ta vẽ R

qua 0 hợp với 0E một gócα.Bài 2.6:

Xác định vị trí mặt thoáng của dầu trong một khoang hở đựng dầu của tàu thuỷ khi

nó chuyển động chậm dần đều với gia tốc a =0,03 m/s2 Kiểm tra xem dầu có bị tràn ra khỏithành không, nếu khi tàu chuyển động đều, dầu ở cách mép thành một khoảng e = 16 cm.Khoang tàu dài L = 8 m (hình 2.17)

Giải:

Hệ toạ độ được chọn như hình vẽ, khi đó:

Fx= 0; Fy= 0; Fz= -gThay vào phương trình mặt đẳng áp (2-9):

Fxdx + Fydy + Fzdz = 0

Ta có:

a.dy – g.dz = 0Tích phân cho:

a.y – gz = CVới C được xác định từ điều kiện biên y = 0, z = 0 nên C = 0 Vậy phương trình mặt

=

Mức dầu dâng lên ở thành phía trước, cách góc toạ độ y = L/2 = 4 m, so với lúcchuyển động đều, được tính:

Xe ô tô trọng lượng GX = 3T (29420 N) đậu trên phà với các kích thước: L = 8 m,

b = 4 m, H = 1 m (hình 2.18) Kiểm tra tính ổn định của phà, nếu trọng lượng của nó

GP= 5T (49033 N) đặt tại một nửa chiều cao H, còn trọng tâm của ô tô đặt trên một độ cao

hX= 1 m so với mặt trên của phà

Hãy xác định xem độ cao định huynh hM sẽ thay đổi như thế nào nếu trên xe đặtthêm một tải trọng GT = 3T (29420 N), trọng tâm của tải trọng cách mặt phẳng trên của phàmột khoảng hT= 2 m

V h bL

Vì vậy, trong tâm phần ngập của phà (tâm đẩy Acsimét) kể từ mặt dưới của nó:

0,125 m2

2 Khi đặt thêm tải trọng lên xe, làm tương tự ta có:

CHƯƠNG 3.

ĐỘNG HỌC CHẤT LỎNG.

Động học chất lỏng là phần cơ học chất lỏng chỉ nghiên cứu các tính chất hình họccủa chuyển động chất lỏng Do đó các kết quả của nó đúng đối với cả chất lỏng lý tưởng lẫnchất lỏng thực

§ 3.1 HAI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT LỎNG.

3.1.1 Phương pháp Lagrăng

Nếu ta xét mỗi hạt lỏng của dòng chảy là một chất điểm (chất điểm lỏng) thì đểnghiên cứu chuyển động của dòng chảy ta có thể áp dụng quan điểm động học của cơ hệtrong cơ học lý thuyết Như vậy, dòng chảy được xác định hoàn toàn nếu biết qui luậtchuyển động của mọi hạt lỏng Chẳng hạn xét trong hệ tọa độ Đêcac , gọi (x0, y0, z0) là tọa

độ ban đầu của một hạt lỏng nào đó, qui luật chuyển động của nó cho bởi phương trìnhchuyển động:

(3-4)Trong đó (x, y, z) là tọa độ của điểm cùng với biến thời gian t gọi là các biến Euler.Trong trường hợp tổng quát, vận tốc của hạt lỏng là hàm của tọa độ và thời gian, nên

gia tốc W

của hạt lỏng chuyển động với vận tốc V

là đạo hàm toàn phần của vận tốc theothời gian, sẽ được biểu diễn:

Chiếu (3-5) lên các trục tọa độ, ta có:

§ 3.2 PHÂN LOẠI CHUYỂN ĐỘNG

Để thuận tiện trong nghiên cứu, ta phân biệt các loại chuyển động sau:

3.2.1 Chuyển động dừng và chuyển động không dừng

Nếu trường vận tốc không phụ thuộc biến vào thời gian thì chuyển động gọi là dừng(còn gọi là ổn định hay yên định) Khi đó:

3.2.2 Chuyển động có thế và chuyển động không có thế

Chuyển động của chất lỏng gọi là chuyển động có thế nếu tồn tại một hàm vô hướng

(x y z t, , , )

 sao cho:

grad

Còn nếu không thì chuyển động là không có thế.

3.2.3 Chuyển động có xoáy và chuyển động không có xoáy

Trong giáo trình toán cao cấp đã chứng minh được:

Nếu cóV=grad thì rot V=0 và ngược lại

Vectơ Ω = rot V với các thành phần

Theo trên ta thấy chuyển động không xoáy và chuyển động có thế là đồng nhất vớinhau

§ 3.3 PHÂN TÍCH CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT LỎNG

r = +r r

  

Các đại lượng trên lấy giá trị tại điểm M0.

Ta hãy xét ý nghĩa vật lý của các đại lượng này

Để đơn giản ta xét chuyển động song phẳng trong mặt phẳng x0y

Ta xét sự biến dạng của hạt lỏng có mặt cắt hình vuông cạnh a dưới tác dụng của sựchuyển động của các điểm M1và M2 Hình chiếu vận tốc tương đối của hai điểm này đối vớiđiểm M0là:

∂ ∂ (hình 3-2c), các cạnh không bị kéo dài mà bị quay đi Ta qui

ước chiều quay ngược chiều kim động hồ là chiều dương, cùng chiều kim đồng hồ là chiều

âm Gọiδ1vàδ2là các góc quay vàω1,ω2là vận tốc góc của các cạnh M0M1và M0M2 Ta có:

∧ và ( 1)

z r

∧ Đặt 0 =V r 0.1=V x0x 1+V y0y 1+V z0z 1 thì ta có:

của điểm cực, vận tốc quay quanh trục tức thời quađiểm cực Vq = ∧ r1 và vận tốc biến dạng Vbd =grad

tố, gọi là toàn dòng

3.4.3 Lưu lượng, vận tốc trung bình

Lưu lượng chất lỏng qua một mặt cong S là thể tích chất lỏng chảy qua mặt cong đótrong một đơn vị thời gian

n S

Nếu chất lỏng là không nén được thì phương trình liên tục có tác dạng:

Nếu chất lỏng không nén được, chuyển động có thế thì divV=div grad = ∆ lúc

đó phương trình liên tục (3-30) được viết lại:

Nếu ta xét một đoạn dòng chảy giới hạn bởi mặt cong kín gồm hai mặt cắt ướt S1và

S2và mặt bên là mặt dòng hay thành cứng trên đó Vn= 0 Khi đó:

§ 3.6 CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA TRƯỜNG XOÁY

3.6.1 Đường xoáy, ống xoáy

Đường xoáy là đường cong trong trường xoáy mà tại một thời điểm nhất định, tạimỗi điểm của nó vectơ xoáy trùng phương với vectơ tiếp tuyến

∫∫ Nhưng theo công thức Gaux:

Ta có thể dùng đại lượng tích phân này đặc trưng cho tác dụng của ống xoáy, tương

tự như khái niệm lưu lượng trong trường vận tốc, ta định nghĩa cường độ ống xoáy:

S

Nó là đại lượng không đổi dọc theo ống xoáy

3.6.3 Định lý Stokes

Nếu S là măt hở dựng trên chu tuyến kín L Ta đã có công thức Stokes trong giải tích toánhọc:

V ndS = V d l

Áp dụng công thức này vào mặt cắt của ống xoáy ta có định lý Stokes:

Dòng vectơ xoáy qua một mặt cong hở tùy ý bằng lưu số vận tốc dọc theo chu tuyến kín là vành của mặt cong và do đó cường độ ống xoáy bằng lưu số vận tốc dọc theo một chu tuyến kín của mặt cắt ống xoáy.

§ 3.7 TRƯỜNG VẬN TỐC DO XOÁY GÂY RA

3.7.1 Hai bài toán của chuyển động xoáy

Khi nghiên cứu chuyển động xoáy, ta xét hai bài toán:

a Bài toán thuận: Cho trường vận tốc V x y z t( , , , )

, đòi hỏi xác định các đặc trưngcủa trường xoáy Bài toán này có thể giải tương đối dễ dàng Từ công thức (3-14)của các thành phần của vectơ xoáy, sau đó tích phân hệ phương trình (3-34) để cócác đường xoáy và nhờ công thức (3-35) thu được cường độ của ống xoáy

b Bài toán nghịch: Cho trường xoáy Ω(x y z t, , , ) trong một miền (V) và giả sửngoài miền này Ω = 0, cần xác định trường vận tốc do xoáy gây ra, gọi là trườngvận tốc cảm ứng

3.7.2 Trường vận tốc do xoáy gây ra

Ta tìm V

Trong đó A

thỏa mãn điều kiện: divA=0 (3-38)

Ta hãy tìm quan hệ giữa A

và Ω

Ta có Ω = rotV=rotA

Từ đó:

( ) ( )

3.7.3 Trường vận tốc do ống xoáy đơn gây ra

Xét một yếu tố thể tích của ống xoáy đơn dV = dS.dl, trong đó dS là yếu tố măt cắt ống xoáy, dl là yếu tố dài của ống xoáy.

Ta có: cos( ), x

x

dx x

A A

3

4 L

r d l V

Trong đóαlà góc giữa bán kính vectơ r

và tiếp tuyến của trục ống xoáy