phương pháp số trong cơ học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG CƠ HỌC LÊ CÔNG LẬP 1 Chương 1: Cơ sở của phương pháp phần tử hữu hạn 1. Giới thiệu chung 1.1.Giới thiệu về phương pháp phần tử hữu hạn  Trong phân tích kết cấu, thường gặp bài toán yêu cầu xác định trường giá trị của một hay nhiều đại lượng nào đó (chuyển vị, ứng suất, biến dạng ) trong một miền xác định.  Khi xây dựng mô hình toán học cho kết cấu thực, thường nhận được một hay hệ phương trình vi phân. o Ví dụ:  Nếu như miền tính, điều kiện biên hay tải đặt lên kết cấu phức tạp  không thể giải bài toán theo phương pháp giải tích mà phải sử dụng các phương pháp số như phương pháp sai phân hữu hạn, phần tử hữu hạn, phần tử biên…  Trong các phương pháp số kể trên, phương pháp phần tử hữu hạn (PPPTHH) là một phương pháp mạnh trong phân tích kết cấu.  Khi áp dụng PPPTHH trong phân tích kết cấu tùy thuộc chuyển vị hay ứng suất được lựa chọn là ẩn số chính, ta có PPPTHH dựa trên chuyển vị hay dựa trên ứng suất. 2  Trên thực tế, PPPTHH dựa trên ứng suất ít được sử dụng, nên chỉ nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên chuyển vị.  Theo PPPTHH dựa trên chuyển vị:  Kết cấu liên tục được rời rạc hóa hay được coi như gồm các bộ phận kết cấu có dạng hình học đơn giản ghép lại, gọi là phần tử (hình 1.1).  Các phần tử được nối với nhau tại một số điểm nhất định nằm trên biên phần tử gọi là điểm nút hay nút.  Vì trường chuyển vị thực bên trong kết cấu là chưa biết, giả thiết nó được xấp xỉ bằng các hàm đơn giản trong phạm vi từng phần tử.  Các hàm xấp xỉ này được biểu diễn theo các giá trị chuyển vị tại các nút của phần tử - gọi là bậc tự do của phần tử  Sau khi “lắp ghép” các phần tử lại, được hệ phương trình đại số tuyến tính trong đó ẩn số là chuyển vị tại các nút của kết cấu.  Bằng cách giải hệ phương trình này, các giá trị chuyển vị tại nút được xác định và từ đó có thể tìm được biến dạng, ứng suất…. tại bất cứ điểm nào trong kết cấu. 3 Hình 1.1: Rời rạc hóa miền phẳng  Trong khuôn khổ của học phần Phương pháp phần tử hữu hạn, nghiên cứu các nét cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn và áp dụng nó trong phân tích (tính toán) kết cấu.  Các giả thiết nghiên cứu tương tự như Sức bền vật liệu - vật liệu đồng nhất, đẳng hướng, đàn hồi tuyến tính; biến dạng và chuyển vị của kết cấu đủ nhỏ. 1.2.Sơ lược về sự ra đời của phương pháp  Năm 1943, nhà toán học Courant sử dụng lời giải dạng đa thức piecewise cho bài toán xoắn thanh mà về sau được thừa nhận là đã đưa ra những ý tưởng cơ bản của PPPTHH. 4  Năm 1956, Turner và ctv sử dụng phương pháp độ cứng để giải quyết bài toán phẳng sử dụng các phần tử tam giác ba nút.  Năm 1960, Clough lần đầu tiên đưa ra khái niệm phần tử hữu hạn. Sau đó, phương pháp phần tử hữu hạn đã được thừa nhận về mặt toán học và được áp dụng rộng rãi cho các bài toán trường như truyền nhiệt, nước ngầm, trường điện từ và các lĩnh vực khác.  Các phần mềm PTHH cỡ lớn có mục đích chung đã xuất hiện trong những năm 1970.  Vào cuối những năm 1980, đã có những chương trình cho máy tính cá nhân.  Cho đến giữa những năm 1990, trên toàn thế giới có khoảng 40.000 bài báo và đầu sách về PPPTHH và các ứng dụng của nó. 1.3.Các loại phần tử Theo hình học của phần tử, có các kiểu phần tử thông dụng (hình 1.2). a) Các phần tử đường 5 b) Các phần tử phẳng c) Các phần tử khối Hình 1.2: Các kiểu phần tử cơ bản 1.4.Các chương trình tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn - Cho nghiên cứu và giáo dục: trong các trường đại học để nghiên cứu và học tập: + RDM (Résistance des Materiaux) – Viện Đại học Công nghệ Le Mans – Pháp. + CALFEM (Computer Aided Learning of the Finite Element Method) - Đại học Lund - Thụy Điển. 6 + FEAP – Đại học California – Mỹ. - Cho thương mại: tại các công ty, xí nghiệp: + SAP (Structural Analysis Programs) - Computers  Structures.Inc (CSI) - Mỹ. + STAAD (Structural Analysis And Design) - Mỹ + ANSYS - Ansys.Inc - Mỹ. + SAMCEF – SAMTECH - Bỉ. + CASA (Computer Aided Stuctural Analysis) - Công ty tin học Hài hoà - Việt Nam 2. Bài toán phân tích tĩnh kết cấu 2.1. Khái niệm về bài toán phân tích tĩnh kết cấu Tìm nội lực, ứng suất, biến dạng, chuyển vị của kết cấu dưới tác dụng của tải tĩnh đã biết. 2.2. Các phương pháp cơ bản trong phân tích tĩnh kết cấu Có rất nhiều phương pháp đã được xây dựng, tạm thời phân loại như sau: 2.2.1. Theo kết quả nhận được  Phương pháp giải tích: lời giải là một hàm phụ thuộc vào biến số tọa độ không gian. 7  Phương pháp trực tiếp (còn gọi là phương pháp véctơ): giải trực tiếp phương trình vi phân chủ đạo của bài toán.  Phương pháp năng lượng: dựa vào một nguyên lý năng lượng nào đó như nguyên lý bảo toàn cơ năng, nguyên lý di chuyển khả dĩ, nguyên lý thế năng toàn phần cực tiểu….  Phương pháp số: lời giải là một tập hợp giá trị số của đại lượng cần tính tại một số hữu hạn điểm trên miền tính. Cụ thể, có các phương pháp sau:  Phương pháp sai phân hữu hạn.  Phương pháp phần tử hữu hạn.  Phương pháp phần tử biên…. 2.2.2. Theo ẩn số chính  Phương pháp lực: lực được coi là ẩn số chính (được tìm trước), là phương pháp được sử dụng phổ biến trong Sức bền vật liệu  Phương pháp chuyển vị: lấy chuyển vị làm ẩn số chính, là khởi nguồn của phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên chuyển vị.  Phương pháp hỗn hợp: coi lực và chuyển vị là độc lập nhau và tìm đồng thời. 2.3. Nhắc lại Lý thuyết về thanh chịu lực dọc trục 8  Xét 1 thanh thẳng có tiết diện không đổi chịu lực dọc trục như trên hình 1.3.  Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị: dx du x   (1.1) u = chuyển vị dọc trục của mặt cắt ngang có tọa độ x,  x = biến dạng dài tỉ đối tại đó. Hình 1.3  Nếu vật liệu chỉ làm việc trong miền đàn hồi, theo định luật Hooke: xx E   (1.2) 9 E = mô-đun đàn hồi của vật liệu,  x = ứng suất pháp trên mặt cắt ngang,  x = biến dạng dài tỉ đối.  Thay (1.1) vào (1.2)  mối quan hệ giữa ứng suất và chuyển vị: dx du E x   (1.3)  Nếu  x = const trên mặt cắt ngang  quan hệ giữa lực dọc và chuyển vị: dx du EAN  (1.4)  Phương trình vi phân chủ đạo của bài toán:   0 2 2  xq dx ud EA (1.5) A = diện tích tiết diện, q(x) = cường độ của lực phân bố (hình 1.3)  Mật độ năng lượng biến dạng: [...]... rằng, ngoài cách thành lập phương trình phần tử theo phương pháp chính tắc như trên, chúng ta còn có thể sử dụng phương pháp trực tiếp Mặc dù phương pháp này đơn 32 giản và dễ hiểu hơn nhưng chỉ áp dụng được cho một số phần tử đơn giản như phần tử lò xo hay thanh chịu lực dọc trục 4.4 Thiết lập phương trình kết cấu  Sau đây, ta tìm hiểu cách thành lập phương trình kết cấu từ các phương trình phần tử cũng... chọn hàm chuyển vị gần với chuyển vị thật trong thanh Chẳng hạn, nếu lấy ux   1 x   2 x 2 , sẽ nhận được lời giải chính xác qL2/2EA u x qL qL/2 N x theo phương pháp trực tiếp (chính xác) 21 _ _ _ _ theo phương pháp Rayleigh - Ritz Hình 1.8: So sánh lời giải gần đúng với lời giải chính xác Ví dụ 1.5 Tìm u của thanh chịu lực như hình 1.9 theo phương pháp Rayleigh-Ritz 2A A P x A B L C L Hình...   1uC L  L  với L  x  2L (f) Như vậy, để xác định trường chuyển vị trong thanh, cần xác định giá trị của uA, uB và uc Các chuyển vị này đóng vai trò như các tọa độ tổng quát trong phương pháp Rayleigh - Ritz Tuy nhiên, do đã biết uA ( = 0), chỉ cần xác định uB và uC theo phương pháp Rayleigh – Ritz 23 NLBD tích luỹ trong thanh: 2 2 1 1  du   du  U  U 1  U 2   2 EA 1  dx   EA 2... nhận được 1 hệ phương trình đại số tuyến tính  Giải hệ phương trình trên, ta nhận được các hệ số i cần tìm 18 Ví dụ 1.4 Xác định u và N trong thanh theo phương pháp Rayleigh - Ritz Biết thanh có L, A và E q x L Hình 1.7 Lời giải Giả sử hàm chuyển vị trong thanh có dạng: u x   1 x (a) Dễ nhận thấy, u(x) thỏa mãn ĐKB về chuyển vị (u(0) = 0) NLBD trong thanh: 2 1 1  du  U  EA   dx  EAL 12 2... tại mọi điểm trong phần tử chỉ có chuyển vị dọc trục và tại 3 nút, có các chuyển vị là u1, u2 và u3, là các ẩn số chính của bài toán 2A A P x L L (a) u1 1 (1) u2 (2) 2 u3 x (3) (b) R1 0 27 P x (c) Hình 1.10 4.2 Xấp xỉ chuyển vị trong phần tử  Xét phần tử thứ e bất kỳ trong 2 phần tử trên Phần tử có chiều dài là Le, diện tích tiết diện không đổi Ae và mô-đun đàn hồi Ee  Trong hệ tọa độ địa phương xy... số điểm nhất định nằm trên biên phần tử gọi là điểm nút hay nút  Vì chưa biết trường chuyển vị thực bên trong kết cấu, ta giả thiết nó được xấp xỉ bằng các hàm đơn giản trong phạm vi từng phần tử  Các hàm xấp xỉ này được biểu diễn theo các giá trị chuyển vị tại các nút của phần tử - gọi là bậc tự do của phần tử  Sau khi “lắp ghép” các phần tử, ta sẽ nhận được hệ phương trình đại số tuyến tính trong. .. EA EA  uB  uC  P L  L (l) Giải hệ phương trình trên, được: uB  PL 2 EA và uC  3PL ; 2 EA (m) Vậy chuyển vị dọc trục trong thanh: u1  x   Px 2 EA u 2 x   P 2 x  L  với L  x  2L 2 EA với 0  x  L 25 (n) (o) 4 Phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên chuyển vị  Kết cấu liên tục được rời rạc hóa hay được coi như gồm các bộ phận kết cấu có dạng hình học đơn giản ghép lại gọi là phần tử ... 2 E 2 (1.6)  Năng lượng biến dạng tích lũy trong thanh có chiều dài L: 2 1  du  U   EA  dx 2 0  dx  L (1.7) Ví dụ 1.1 Biết L, A và E Xác định u và N theo phương pháp trực tiếp q x L Hình 1.4 Lời giải Phương trình vi phân chủ đạo: 10 EA d 2u q 0 dx2 (a) Và các điều kiện biên: u ( x  0)  0 N ( x  L)  EA (b) du 0 dx x L (c) Tích phân 2 vế của phương trình (a) 2 lần: EA du  qx  C dx EAu... ngoại lực: W  P.u (a) NLBD tích luỹ trong hệ: U 3 EA 2 u 2 L (b) Thế năng toàn phần của hệ:   U W  3 EA 2 u  Pu 2 L (c) Theo NLTNTPCT, hệ cân bằng khi: 16  0 u (d) Thay (c) vào (d) và thực hiện đạo hàm, được: 3 EA uP0 L (e) Giải phương trình (e), được chuyển vị của điểm đặt lực: u PL 3EA (f) 3.3 Phương pháp Rayleigh – Ritz  Được đề xuất bởi Lord Rayleigh trong những năm 1880 và được tổng... học của bài toán Thường thì trường chuyển vị được chọn dưới dạng: N u x     i f i x  (1.11) i 1 17 i = các hệ số chưa biết, được gọi là các tọa độ tổng quát, fi(x) = các hàm liên tục phụ thuộc tọa độ x, thỏa mãn các điều kiện biên động học (về chuyển vị) và độc lập tuyến tính  Áp dụng NLTNTPCT để xác định các tọa độ tổng quát Tức cho:  0  i (1.12) để nhận được 1 hệ phương trình đại số . toán theo phương pháp giải tích mà phải sử dụng các phương pháp số như phương pháp sai phân hữu hạn, phần tử hữu hạn, phần tử biên…  Trong các phương pháp số kể trên, phương pháp phần tử hữu. có các phương pháp sau:  Phương pháp sai phân hữu hạn.  Phương pháp phần tử hữu hạn.  Phương pháp phần tử biên…. 2.2.2. Theo ẩn số chính  Phương pháp lực: lực được coi là ẩn số chính. GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG CƠ HỌC LÊ CÔNG LẬP 1 Chương 1: Cơ sở của phương pháp phần tử hữu hạn 1. Giới