Diện tích mặt cắt ướt A, Chu vi ướt P, Bán kính thủy lực R=A/P Nhận xét: Lưu lượng chính là thể tích của biểu đồ phân bố vận tốc : Biểu đồ phân bố vận tốc... Từ đó suy ra gia tốc tại đầu
Trang 1I HAI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CHUYỂN ĐỘNG CỦA LƯU CHẤT
r 0 (x 0 , y 0 , z 0 )
r(x, y, z)
y
x
z Quỹ đạo
1 Phương pháp Lagrange (J.L de Lagrange, nhà toán học người Pháp,1736-1883)
¾Trong phương pháp Lagrage , các yếu tố chuyển
động chỉ phụ thuộc vào thời gian , VD: u = at2+b
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
⇔
=
) t , z , y , x ( x z
) t , z , y , x ( x y
) t , z , y , x ( x x )
t
,
r
f
r
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
G
G
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
⇔
=
dt
dz u dt
dy u dt
dx u dt
r d u
z y
x
G G
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
⇔
=
=
2
2 z
2
2 y
2
2 x
2 2
dt
z d a dt
y d a dt
x d a
dt
r d dt
u a
G G
G
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
⇔
=
) t , z , y , x ( u u
) t , z , y , x ( u u
) t , z , y , x ( u u ) t , z , y ,
x
(
u
x x G
G
Các đường dòng tại thời điểm t (L Euler, nhà toán học người Thụy Sĩ, 1707-1783)
2 Phương pháp Euler
Trang 2Ví dụ 1b: ux=x2y+2x; uy=-(y2x+2y);
) y 2 xy
(
dy x
2 y x
dx
2
Trong trường hợp này ta không thể chuyển các số hạng có cùng biến x, y về
cùng một phía, nên không thể lấy tích phân hai vế được, ta sẽ giải bài toán này
sau trong chương thế lưu
Ví dụ 1a: ux=3x2; uy=-6xy; uz=0
xy 6
dy x
3
dx
2 = − Thiết lập phương trình đường dòng:
y
dy x
dx 2 y
dy x
xdx 2
Chuyển các số hạng có biến x về vế trái, biến y về vế phải:
C y x C ln ) y ln(
) x ln(
2
y
dy x
dx 2
2 =
⇔ +
−
=
⇔
−
= ∫
∫ Tích phân hai vế:
Vậy phương trình đường dòng có dạng: x 2 y = C
Thiết lập phương trình đường dòng:
II CÁC KHÁI NIỆM THƯỜNG DÙNG
3 Lưu lượng Q,
Vận tốc trung bình m/ cắt
ướt V:
A
Q V
udA dA
u Q
uot c / Am Abatky
n
=
=
u
A m/c ướtø
1 Đường dòng, dòng nguyên tố dA
ống dòng
P
Dòng có áp Dòng không
áp
Dòng tia
2 Diện tích mặt cắt ướt A,
Chu vi ướt P,
Bán kính thủy lực R=A/P
Nhận xét: Lưu lượng chính là thể tích
của biểu đồ phân bố vận tốc : Biểu đồ phân bố vận tốc
Trang 3¾Thí nghiệm Reynolds
III PHÂN LOẠI CHUYỂN ĐỘNG:
1 Theo ma sát nhớt: Chuyển động chất lỏng lý tưởng, : không có ma sát
Chuyển động chất lỏng thực: có ma sát
-Re=VD/ν=V4R/ν:tầng(Re<2300) -rối (Re>2300)
2 Theo thời gian: ổn định-không ổn định
3 Theo không gian: đều-không đều
4 Theo tính nén được: số Mach M=u/a
a: vận tốc truyền âm; u:vận tốc phần tử lưu chất
trên âm thanh (M>1) - siêu âm thanh (M>>1)
masat
quantinh
F
F
Re =
lưu đối phần thành bộ
-t.ph.cục
z
u u y
u u x
u u t
u dt
du a
z
u u y
u u x
u u t
u dt
du a
z
u u y
u u x
u u t
u dt
du a
z z
z y
z x z
z z
y z
y y
y x y y
y
x z
x y
x x x x
x
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
=
=
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
=
=
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
=
=
t
u dt
u d a
) t , z , y , x ( u
∂
∂
=
=
⇒
=
G G
G G
IV GIA TỐC PHẦN TỬ LƯU CHẤT :
•Theo Euler:
•Theo Lagrange:
Trang 4V PHÂN TÍCH CHUYỂN ĐỘNG CỦA LƯU CHẤT:
Trong hệ trục toạ độ O(x,y,z), xét vận tốc của hai điểm M(x,y,z) và
M1(x+dx,y+dy,z+dz), vì hai điểm rất sát nhau, nên ta có:
vận tốc biến dạng dài vận tốc biến dạng gócvà vận tốc quay
vận tốc chuyển
động tịnh tiến
dz z
u dy
y
u dx
x
u u
u
dz z
u dy
y
u dx
x
u u
u
dz z
u dy
y
u dx
x
u u
u
z z
z z
1 z
y y
y y
1
x x
x x
1
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
=
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
=
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
=
1 Tịnh tiến Chuyển
3 Biến dạng
Vận tốc
G G
2
1
=
ω
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂
z y
x u u
u x y z
k j
iG G G
2
1
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
z
u y
u z y x
2
1 ω
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
x
u z
u x z
y
2
1 ω
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
y
u x
u y x
z
2
1
ω
Biến dạng dài Suất biến dạng dài
x
u
∂
=
y
u
∂
∂
=
z
u
∂
=
Biến dạng góc
Suất biến dạng góc
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂ +
∂
∂
=
=
z
u y
u 2
1 ε
yz
zy
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂ +
∂
∂
=
=
x
u z
u 2
1 ε
zx
xz
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂ +
∂
∂
=
=
y
u x
u 2
1 ε
yx
xy
¾Định lý Hemholtz
Trang 5•Chuyển động quay của phần tử lưu chất:
u y Δt
x
y
dy
dx
u x Δt
β α
∂u x / ∂ydyΔ
t
∂u y / ∂xdxΔ
t
+
z x
y
y x
rotu 2
1 y
u x
u
2
1
dx
t Δ dx x
u dy
t Δ dy y u t Δ 2
1 t
Δ
1
2
β
α
ω
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
− +
∂
∂
−
=
+
−
=
0 ) u (
0 ) u ( rot G ≠
chuyển động không quay (thế) chuyển động quay
Ví dụ 2: Xác định đường dòng của một dòng chảy có : ux= 2y và uy= 4x
y
x u
dy u
dx =
x
dy y
dx
4
2 =
ydy xdx 2
ydy xdx= 2
C y x
+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
2 2 2
2 2
C y
x2− 2 = 2
Trang 6Dòng chảy qua một đoạn ống thu hẹp dần với vận tốc dòng vào và ra lần lượt là 10 m/s và 50 m/s
Chiều dài của ống là 0,5m
Hãy tìm quy luật biến thiên của vận tốc và gia tốc theo trục ống Từ đó suy ra gia tốc tại đầu vào và ra của vòi
Giả thiết dòng một chiều, và vận tốc biến đổi tuyến tính dọc theo trục ngang của ống
Ví dụ 3:
Quy luật biến thiên vận tốc tuyến tính dọc theo trục ống:
u = ax + b a, b là hằng số
Chọn trục x như hình vẽ, với gốc “0” ở đầu ống, ta có tại x=0, u =10 m/s; tại x=0,5m, u = 50 m/s Thế cá điều kiện trên vào ta suy ra được a=80; b=10 Suy ra quy luật biến thiên vận tốc dọc theo trục x là:
u = (80x + 10) m/s Từ đó suy ra quy luật biến thiên gia tốc như sau:
Thế giá trị x=0 và x=0,5 vào ta suy ra được gia tốc tại đầu vào và ra
của ống lần lượt là: 800 m/s2và 4000m/s2
Lời Giải:
Trang 7VI ĐỊNH LÝ VẬN TẢI REYNOLDS- PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH KIỂM SOÁT
A
dw
CV
W: thể tích kiểm soát
X : Đại lượng cần nghiên cứu
k : Đại lượng đơn vị ( đại lượng X trên 1 đơn vị khối lượng)
u
k = G
∫∫∫ρ
= W
dW X
∫∫∫ ρ
= W dW u
=
W
2
dW 2
u X
Ví dụ: X là khối lượng: k=1 ;
X là động lượng:
X là động năng: k=u2/2 ;
1 Thể tích kiểm soát, và đại lượng nghiên cứu:
∫∫∫
=
WkρdW X
Xét thể tích W trong không gian lưu chất chuyển động W có diện tích bao
quanh là A Ta nghiên cứu đại lượng X nào đó của dòng lưu chất chuyển
động qua không gian này Đại lượng X của lưu chất trong không gian W
được tính bằng:
Diện tích
A 1
Diện tích
A 2
n n
Định lý vận tải Reynolds- phương pháp thể tích kiểm soát:
Tại t: lưu chất vào chiếm đầy thể tích
kiểm soát W
Tại t+Δt: lưu chất từ W chuyển động
đến và chiếm khoảng không gian W1
¾Nghiên cứu sự biến thiên của đại lượng X theo thời gian khi dòng chảy qua W
t
) X X ( ) X X
( lim t
X X
lim t
X X
lim t
X lim
dt
0 t
W W
0 t
t t t 0 t 0
t
1
Δ
+
− +
= Δ
−
= Δ
−
= Δ
Δ
→ Δ
→ Δ
Δ +
→ Δ
→
Δ
t
X X
lim t
X X
lim
t
X X
lim t
) X X ( ) X X
( lim
t t A t t C 0 t
t W t
t W 0 t
t t A t t C 0 t
t B
t A t
t A t t B 0 t
Δ
− +
Δ
−
=
Δ
− +
Δ
+
− +
=
Δ + Δ
+
→ Δ
Δ +
→ Δ
Δ + Δ
+
→ Δ
Δ + Δ
+
→ Δ
∫∫
∫∫ k ρ undA + Δ t k ρ undA t
Δ
∫∫ ρ
+
∂
∂
=
A
n W
dA u k t
X dt
dX
Trang 80 z
u y
u x
u 0
) u (
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
⇔
=
0 dW ) u ( div dW
t A
d u t
dW dt
dX
W W
Gauss d b A
n
∂
ρ
∂
= ρ
+
∂
ρ
∂
0 ) u ( div
∂
ρ
∂ Hay: : dạng vi phân của ptr liên tục
VII ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TTKS
•Nếu ρ=const→ ptr vi phân liên tục của lưu chất không nén được:
Dòng nguyên tố chuyển động ổn định: → ptr liên tục của dòng nguyên tố
chuyển động ổn định:
2 2 2 1 1 1 A
ndA 0 u dA u dA
ρ
u2
dA2
X là khối lượng: theo đ luật bảo toàn khối lượng: 0
dt
dX =
∂
∂
=
A
n W
dA u k t
X dt
dX
•Đối với toàn dòng chuyển động ổn định (có một m/c vào, 1 m/c ra), lưu chất
không nén được:→ptr liên tục cho toàn dòng lưu chất không nén được
chuyển động ổn định:
const Q
hay Q
•Đối với toàn dòng chuyển động ổn định (có một m/c vào, 1 m/c ra) →ptr liên
tục cho toàn dòng lưu chất chuyển động ổn định dạng khối lượng:
2 1
2 2 2 2 A
1 1 1 A
M M
dA u dA
u
1
=
⇔ ρ
=
ρ ∫
∫
M1: khối lượng lưu chất vào m/c A1 trong 1 đv t.gian
M2: khối lượng lưu chất ra m/c A2 trong 1 đv t.gian
•Trong trường hợp dòng chảy có nhiều mặt cắt vào và ra, c động ổn định, lưu
chất không nén được, tại một nút, ta có: →ptr liên tục tại một nút cho toàn
dòng lưu chất không nén được chuyển động ổn định:
Trang 92 PHƯƠNG TRÌNH NĂNG LƯỢNG
Khi X là năng lượng của dòng chảy có khối lượng m (ký hiệu là E, bao gồm nội
năng, động năng và thế năng (thế năng bao gồm vị năng lẫn áp năng), ta có:
X = E = Eu + 1/2mu 2 + mgZ với Z=z+p/γ
Như vậy, năng lượng của một đơn vị khối lượng lưu chất k bằng: k = e + u +gz+ρp
2
1 trong đó: eu là nội năng của một đơn vị khối lượng
1/2u2 là động năng của một đơn vị khối lượng
gz là vị năng của một đơn vị khối lượng
p/ρ là áp năng của một đơn vị khối lượng
Định luật I Nhiệt động lực học: số gia năng lượng được truyền vào chất lỏng
trong một đơn vị thời gian (dE/dt) , bằng suất biến đổi trong một đơn vị thời gian
của nhiệt lượng (dQ/dt) truyền vào khối chất lỏng đang xét, trừ đi suất biến đổi
công (dW/dt) trong một đơn vị thời gian của khối chất lỏng đó thực hiên đối với
môi trường ngoài (ví dụ công của lực ma sát):
dt
dW dt
dQ dt
dE
−
=
∫∫ ρ
+
∂
∂
=
A
n W
dA u k t
X dt
dX
Như vậy
∫∫
ρ + + + +
ρ ρ + + +
∂
∂
=
−
A
n u
w
u u gz p) dw (e u gz p) u dA e
( t dt
dW
dt
2
1 2
của P tr NL
3 PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG
u
W
dW u
Khi X là động lượng:
Định biến thiên động lượng:biến thiên động lượng của lưu chất qua thể tích
W (được bao quanh bởi diện tích A) trong một đơn vị thời gian bằng tổng
ngoại lực tác dụng lên khối lưu chất đó:
∫∫
∫∫∫
∂
∂
=
A
n w
dA u ρ ) u ( dw ρ ) u ( t
quát của p.tr
Như vậy, từ kết quả của pp TTKS: ; ta có: +∫∫ ρ
∂
∂
=
A
n W
dA u k t
X dt dX
ngoạilực
∑
dt X d
Trang 10Ví dụ 4: Một dòng chảy ra khỏi ống có vận tốc phân bố dạng như hình
vẽ, với vận tốc lớn nhất xuất hiện ở tâm và có giá trị Umax = 12 cm/s Tìm vận tốc trung bình của dòng chảy
Giải:
Lưu lượng :
3
R u π 3
r 2
Rr R
u π 2 rdr π 2 ) R ( R
u Q
2 max R
r
3 2 max
R
0
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
−
=
=
∫
Tại tâm ống, u=umax; tại thành ống, u=0
Ta có trên phương r,; vận tốc dòng
chảy phân bố theo quy luật tuyến tính:
) R ( R
u
u = max −
U max
dr
dA=2πrdr r
3
u A
Q
V = = max
s / cm 4
V=
Ví dụ 5:
( ) ⎥⎦⎤
⎢
⎣
⎡
−
R
r 1 u u
Lưu chất chuyển động ổn định trong đường ống có đường kính D Ở đầu vào của
đoạn ống, lưu chất chuyển động tầng, vận tốc phân bố theo quy luật :
u1: vận tốc tại tâm ống khi chảy tầng
r : được tính từ tâm ống (0 ≤ r ≤ D/2)
u2: vận tốc tại tâm ống khi chảy rối
y : được tính từ thành ống (0 ≤ y ≤ D/2)
Tìm quan hệ giữa u1và u2
Giải:
dy ) y R ( π R
y u Q
; rdr π R
r 1 u Q
7 R
0 2 2 R
0
2
2 1
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
Theo phương trình liên tục:
2
1 Q
Q =
Khi lưu chất chuyển động vào sâu trong ống thì chuyển sang chảy rối, với phân
bố vận tốc như sau :
r
u1
o
u2 R
r
o dr
dA=2π rdr
R u )
R ( 4
r 2
r u 2 rdr π 2 R
r 1 u Q
2 1 R r 2
4 2 1 R
0
2
2 1
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
=
∫
2 2 R
y
7 7 15 7 7 2
7 R
0
7 R
0 2
60
49 R
15
y R
8
y 7 u 2 dy R
y y dy R
y R u 2
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
=
=
−
∫
∫
7 / 1 2
R
y u
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
2
30
49
u =
⇒
Trang 11Ví dụ 5:
Giải:
Chất lỏng lý ltưởng quay quanh trục thẳng đứng (oz) Giả sử vận tốc
quay của các phân tố chất lỏng tỷ lệ nghịch với khoảng cách từ trục
quay trên phương bán kính (V=a/r; a>0 là hằng số Chúng minh rằng
đây là một chuyển động thế Tìm phương trình các đường dòng
0 y
u x
uy x
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
0 )
u ( rot G z = chuyển động không quay (thế)
O r
u
y x
2 2 2 y
2 2 2 x
y x
ax r
ax r
x r
a ) oy , u cos(
u u
; y x
ay r
ay r
y r
a ) ox , u cos(
u u
+
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
+
−
=
−
=
−
=
= Suy ra:
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 x
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 y
) y x (
) x y ( a )
y x (
) y ( ay ) y x ( a y
x
ay y
y
u
; ) y x (
) x y ( a )
y x (
) x 2 ( ax ) y x ( a y x
ax x x
u
+
−
= +
+ +
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
−
∂
∂
=
∂
∂
+
−
= +
− +
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
∂
∂
=
∂
∂
y
u x
u
z x
∂
∂
−
∂
∂
Đây là chuyển động Một chuyển động thế trên mặt phẳng xOy
Phương trình các đường dòng:
C ) y x (
dx y x
ax dy
y x
ay dx
u dy u
2 2
2 2 2
2 y
x
= +
⇔
+
= +
−
⇔
=