bài giảng cơ học chất lỏng - động học

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 1 CHƯƠNG I. HAI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CHUYỂN ĐỘNG CỦA LƯU CHẤT r 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) r(x, y, z) y x z Quỹ đạo 1. Phương pháp Lagrange (J.L de Lagrange, nhà toán học người Pháp,1736-1883) ¾Trong phương pháp Lagrage , các yếu tố chuyển động chỉ phụ thuộc vào thời gian , VD: u = at 2 +b ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ⇔= )t,z,y,x(xz )t,z,y,x(xy )t,z,y,x(xx )t,r(fr 000 000 000 0 GG ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ⇔= dt dz u dt dy u dt dx u dt rd u z y x G G ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ⇔== 2 2 z 2 2 y 2 2 x 2 2 dt zd a dt yd a dt xd a dt rd dt ud a G G G ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ⇔= )t,z,y,x(uu )t,z,y,x(uu )t,z,y,x(uu )t,z,y,x(uu zz yy xx GG Các đường dòng tại thời điểm t (x,y,z) ¾Phương trình đường dòng: zyx u dz u dy u dx == (L. Euler, nhà toán học người Thụy Só, 1707-1783) 2. Phương pháp Euler PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 2 Ví dụ 1b: u x =x 2 y+2x; u y =-(y 2 x+2y); )y2xy( dy x2yx dx 22 +− = + Trong trường hợp này ta không thể chuyển các số hạng có cùng biến x, y về cùng một phía, nên không thể lấy tích phân hai vế được, ta sẽ giải bài toán này sau trong chương thế lưu Ví dụ 1a: u x =3x 2 ; u y =-6xy; u z =0 xy6 dy x3 dx 2 − = Thiết lập phương trình đường dòng: y dy x dx2 y dy x xdx2 2 − =⇔ − = Chuyển các số hạng có biến x về vế trái, biến y về vế phải: CyxCln)yln()xln(2 y dy x dx2 2 =⇔+−=⇔ − = ∫∫ Tích phân hai vế: Vậy phương trình đường dòng có dạng: Cyx 2 = Thiết lập phương trình đường dòng: II. CÁC KHÁI NIỆM THƯỜNG DÙNG 3. Lưu lượng Q, Vận tốc trung bình m/ cắt ướt V: A Q V udAdAuQ uot.c/AmAbatky n = == ∫∫ A bất kỳ u A m/c ướtø 1. Đường dòng, dòng nguyên tố dA ống dòng A A A P Dòng có áp Dòng không áp Dòng tia 2. Diện tích mặt cắt ướt A, Chu vi ướt P, Bán kính thủy lực R=A/P Nhậnxét:Lưu lượng chính là thể tích của biểu đồ phân bố vận tốc : Biểu đồ phân bố vận tốc PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 3 ¾Thí nghiệm Reynolds III. PHÂN LOẠI CHUYỂN ĐỘNG: 1. Theo ma sát nhớt: Chuyển động chất lỏng lý tưởng, : không có ma sát Chuyển động chất lỏng thực: có ma sát - Re=VD/ν=V4R/ν:tầng(Re<2300) - rối (Re>2300) 2. Theo thời gian: ổn đònh-không ổn đònh. 3 Theo không gian: đều-không đều. 4 Theo tính nén được: số Mach M=u/a a: vận tốc truyền âm; u:vận tốc phần tử lưu chất dưới âm thanh (M<1) - ngang âm thanh (M=1) trên âm thanh (M>1) - siêu âm thanh (M>>1) masat quantinh F F Re = N  lưốiphầnthành bộ-t.ph.cục z u u y u u x u u t u dt du a z u u y u u x u u t u dt du a z u u y u u x u u t u dt du a z z z y z x zz z y z y y y x yy y x z x y x x xx x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ == ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ == ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ == t u dt ud a)t,z,y,x(uu 000 ∂ ∂ ==⇒= GG G G IV. GIA TỐC PHẦN TỬ LƯU CHẤT : •Theo Euler: •Theo Lagrange: PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 4 V. PHÂN TÍCH CHUYỂN ĐỘNG CỦA LƯU CHẤT: Trong hệ trục toạ độ O(x,y,z), xét vận tốc của hai điểm M(x,y,z) và M1(x+dx,y+dy,z+dz), vì hai điểm rất sát nhau, nên ta có: vận tốc biến dạng dài vận tốc biến dạng góc vàvậntốcquay vận tốc chuyển động tònh tiến dz z u dy y u dx x u uu dz z u dy y u dx x u uu dz z u dy y u dx x u uu zzz z1z yyy y1y xxx x1x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ += ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ += ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ += 1. Tònh tiến Chuyển động 2. Quay 3. Biến dạng Vận tốc quay: uRot G G 2 1 = ω ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ zyx uuu zyx kji G G G 2 1 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = z u y u y z x 2 1 ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = x u z u zx y 2 1 ω ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = y u x u x y z 2 1 ω Biến dạng dài Suất biến dạng dài x u ε x xx ∂ ∂ = y u ε y yy ∂ ∂ = z u ε z zz ∂ ∂ = Biến dạng góc Suất biến dạng góc ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ == z u y u 2 1 εε y z yzzy ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ == x u z u 2 1 εε zx zxxz ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ == y u x u 2 1 εε x y yxxy ¾Đònh lý Hemholtz PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 5 •Chuyển động quay của phần tử lưu chất: u y Δt x y dy dx u x Δt β α ∂u x /∂ydyΔ t ∂u y /∂xdxΔ t + z x y y x rotu 2 1 y u x u 2 1 dx tΔdx x u dy tΔdy y u tΔ2 1 tΔ 1 2 βα ω = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − + ∂ ∂ −= + −= 0)u(rot = G 0)u(rot ≠ G chuyển động không quay (thế) chuyển động quay Ví dụ 2: Xác đònh đường dòng của một dòng chảy có : u x = 2y và u y = 4x yx u dy u dx = x dy y dx 42 = ydyxdx 24 = ydyxdx =2 C yx += ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 22 2 22 Cyx =− 22 2 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 6 Dòng chảy qua một đoạn ống thu hẹp dần với vận tốc dòng vào và ra lần lượt là 10 m/s và 50 m/s. Chiều dài của ống là 0,5m Hãy tìm quy luật biến thiên của vận tốc và gia tốc theo trục ống. Từ đó suy ra gia tốc tại đầu vào và ra của vòi Giả thiết dòng một chiều, và vận tốc biến đổi tuyến tính dọc theo trục ngang của ống. Ví dụ 3: Quy luật biến thiên vận tốc tuyến tính dọc theo trục ống: u = ax + b. a, b là hằng số Chọn trục x như hình vẽ, với gốc “0” ở đầu ống, ta có tại x=0, u =10 m/s; tại x=0,5m, u = 50 m/s. Thế cá điều kiện trên vào ta suy ra được a=80; b=10. Suy ra quy luật biến thiên vận tốc dọc theo trục x là: u = (80x + 10) m/s Từ đó suy ra quy luật biến thiên gia tốc như sau: Thế giá trò x=0 và x=0,5 vào ta suy ra được gia tốc tại đầu vào và ra của ống lần lượt là: 800 m/s 2 và 4000m/s 2 . Lời Giải: PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 7 VI ĐỊNH LÝ VẬN TẢI REYNOLDS- PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH KIỂM SOÁ T A W u dw CV W: thể tích kiểm soát X : Đại lượng cần nghiên cứu k : Đại lượng đơn vò ( đại lượng X trên 1 đơn vò khối lượng) uk G = ∫∫∫ ρ= W dWX ∫∫∫ ρ= W dWuX K K ∫∫∫ ρ= W 2 dW 2 u X Ví dụ: X là khối lượng: k=1 ; X là động lượng: X là động năng: k=u 2 /2 ; 1. Thể tích kiểm soát, và đại lượng nghiên cứu: ∫∫∫ = W dWρkX Xét thể tích W trong không gian lưu chất chuyển động. W có diện tích bao quanh là A. Ta nghiên cứu đại lượng X nào đó của dòng lưu chất chuyển động qua không gian này. Đại lượng X của lưu chất trong không gian W được tính bằng: A B C Diện tích A 1 Diện tích A 2 W W 1 n n . Đònh ly ù va ä ntảiReynolds-ph ư ơng pha ù pthe å t í ch kie å msoa ù t: Tại t: lưu chất vào chiếm đầy thể tích kiểm soát W. Tại t+Δt: lưu chất từ W chuyển động đến và chiếm khoảng không gian W1. ¾Nghiên cứu sự biến thiên của đại lượng X theo thời gian khi dòng chảy qua W t )XX()XX( lim t XX lim t XX lim t X lim dt dX t B t A tt C tt B 0t WW 0t ttt 0t0t 1 Δ +−+ = Δ − = Δ − = Δ Δ = Δ+ Δ + →Δ→Δ Δ+ →Δ→Δ t XX lim t XX lim t XX lim t )XX()XX( lim tt A tt C 0t t W tt W 0t tt A tt C 0t t B t A tt A tt B 0t Δ − + Δ − = Δ − + Δ +−+ = Δ+Δ+ →Δ Δ+ →Δ Δ+ Δ + →Δ Δ + Δ+ →Δ ∫∫ ∫∫∫∫ + ∂ ∂ = + + ∂ ∂ = → A n W A n A n 0tΔ W dAuρk t X tΔ dAuρktΔdAuρktΔ lim t X 12 ∫∫ ρ+ ∂ ∂ = A n W dAuk t X dt dX PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 8 0 z u y u x u 0)u(div z y x = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ⇔= 0dW)u(divdW t Adu t dW dt dX WW Gauss.d.b A n W =ρ+ ∂ ρ∂ =ρ+ ∂ ρ∂ = ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫ 0)u(div t =ρ+ ∂ ρ ∂ Hay: : dạng vi phân của ptr liên tục VII ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TTKS •Nếu ρ=const → ptr vi phân liên tục của lưu chất không nén được: Dòng nguyên tố chuyển động ổn đònh: → ptr liên tục của dòng nguyên tố chuyển động ổn đònh: 222111 A n dAudAu0Adu ρ=ρ⇔=ρ ∫∫ dA 1 u 1 u 2 dA 2 X là khối lượng: theo đ. luật bảo toàn khối lượng: 0 dt dX = 1. PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC ∫∫ ρ+ ∂ ∂ = A n W dAuk t X dt dX •Đối với toàn dòng chuyển động ổn đònh (có một m/c vào, 1 m/c ra), lưu chất không nén được: → ptr liên tục cho toàn dòng lưu chất không nén được chuyển động ổn đònh: constQhayQQ 21 = = = i QQ đ đến •Đối với toàn dòng chuyển động ổn đònh (có một m/c vào, 1 m/c ra) → ptr liên tục cho toàn dòng lưu chất chuyển động ổn đònh dạng khối lượng: 21222 2A 111 A MMdAudAu 1 =⇔ρ=ρ ∫∫ M1: khối lượng lưu chất vào m/c A1 trong 1 đv t.gian M2: khối lượng lưu chất ra m/c A2 trong 1 đv t.gian •Trong trường hợp dòng chảy có nhiều mặt cắt vào và ra, c. động ổn đònh, lưu chất không nén được, tại một nút, ta có: → ptr liên tục tại một nút cho toàn dònglưuchấtkhôngnénđượcchuyểnđộngổnđònh: PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 9 2. PHƯƠNG TRÌNH NĂNG LƯNG Khi X là năng lượng của dòng chảy có khối lượng m (ký hiệu là E, bao gồm nội năng, động năng và thế năng (thế năng bao gồm vò năng lẫn áp năng), ta có: X = E = Eu + 1/2mu 2 + mgZ với Z=z+p/γ Như vậy, năng lượng của một đơn vò khối lượng lưu chất k bằng: ρ +++= p gzuek u 2 2 1 trong đó: e u là nội năng của một đơn vò khối lượng. 1/2u 2 là động năng của một đơn vò khối lượng. gz là vò năng của một đơn vò khối lượng. p/ρ là áp năng của một đơn vò khối lượng. Đònh luật I Nhiệt động lực học: số gia năng lượng được truyền vào chất lỏng trong một đơn vò thời gian (dE/dt) , bằng suất biến đổi trong một đơn vò thời gian của nhiệt lượng (dQ/dt) truyền vào khối chất lỏng đang xét, trừ đi suất biến đổi công (dW/dt) trong một đơn vò thời gian của khối chất lỏng đó thực hiên đối với môi trường ngoài (ví dụ công của lực ma sát): dt dW dt dQ dt dE −= ∫∫ ρ+ ∂ ∂ = A n W dAuk t X dt dX Như vậy ∫∫∫∫∫ ρ ρ ++++ρ ρ +++ ∂ ∂ =− A nu w u dAu) p gzue(dw) p gzue( tdt dW dt dQ 22 2 1 2 1 Dạng tổng quát của P. tr NL 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯNG uk G = ∫∫∫ ρ= W dWuX K K Khi X là động lượng: Đònh biến thiên động lượng: biến thiên động lượng của lưu chất qua thể tích W (được bao quanh bởi diện tích A) trong một đơn vò thời gian bằng tổng ngoại lực tác dụng lên khối lưu chất đó: ∫∫∫∫∫ ∑ + ∂ ∂ = A n w dAuρ)u(dwρ)u( t F ngoạilực Dạmg tổng quát của p.tr ĐL Như vậy, từ kết quả của pp TTKS: ; ta có: ∫∫ ρ+ ∂ ∂ = A n W dAuk t X dt dX ngoạilực ∑ = F dt Xd PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 10 Ví dụ 4: Một dòng chảy ra khỏi ống có vận tốc phân bố dạng như hình vẽ, với vận tốc lớn nhất xuất hiện ở tâm và có giá trò U max = 12 cm/s . Tìm vận tốc trung bình của dòng chảy Giải: Lưu lượng : 3 Ruπ 3 r 2 Rr R uπ2 rdrπ2)rR( R u Q 2 max Rr 32 max R 0 max = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −=−= = ∫ Tại tâm ống, u=u max ; tại thành ống, u=0. Ta có trên phương r,; vận tốc dòng chảy phân bố theo quy luật tuyến tính: )rR( R u u max −= U max dr dA=2πrdr r 3 u A Q V max == s/cm4V = Ví dụ 5: () ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −= 2 2 1 R r 1uu Lưu chất chuyển động ổn đònh trong đường ống có đường kính D. Ở đầu vào của đoạn ống, lưu chất chuyển động tầng, vận tốc phân bố theo quy luật : u 1 : vận tốc tại tâm ống khi chảy tầng. r : được tính từ tâm ống (0 ≤ r ≤ D/2) u 2 : vận tốc tại tâm ống khi chảy rối y : được tính từ thành ống (0 ≤ y ≤ D/2) Tìm quan hệ giữa u 1 và u 2 Giải: dy)yR(π2 R y uQ;rdrπ2 R r 1uQ 7 1 R 0 22 R 0 2 2 11 − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −= ∫∫ Theo phương trình liên tục: 21 QQ = Khi lưu chất chuyển động vào sâu trong ống thì chuyển sang chảy rối, với phân bố vận tốc như sau : r u 1 o u 2 R r o dr dA=2π rdr () 2 Ruπ )R(4 r 2 r uπ2rdrπ2 R r 1uQ 2 1 Rr 2 42 1 R 0 2 2 11 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −= = ∫ 2 2 Ry 7 1 7 15 7 6 7 8 2 7 1 R 0 7 1 R 0 22 Ruπ 60 49 R 15 y7 R 8 y7 uπ2dy R y ydy R y Ruπ2Q = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −= = − ∫∫ 7/1 2 R y uu ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 21 u 30 49 u =⇒ [...]... Thi Bay, DHBK tp HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Chất lỏng lý ltưởng quay quanh trục thẳng đứng (oz) Giả sử vận tốc Ví dụ 5: quay của các phân tố chất lỏng tỷ lệ nghòch với khoảng cách từ trục quay trên phương bán kính (V=a/r; a>0 là hằng số Chúng minh rằng đây là một chuyển động thế Tìm phương trình các đường dòng Giải: ⎛ ∂u y ∂u x ⎞ rot ( u ) z = 0 chuyển động không quay (thế) ⎜ ⎟ ⎜ ∂x − ∂y ⎟ = 0 − ay... ) ∂x ⎜ x2 + y 2 ⎟ ⎝ ⎠ O x ∂ux ∂ ⎛ − ay ⎞ − a(x2 + y 2 ) + ay(2y) a(y 2 − x2 ) ⎟= = 2 2 2 = ⎜ ( x 2 + y 2 )2 (x + y ) ∂y ∂y ⎜ x2 + y 2 ⎟ ⎝ ⎠ ∂u y ∂u x = 0 ⇔ rot ( u ) z = 0 ∂x ∂y Đây là chuyển động Một chuyển động thế trên mặt phẳng xOy Vậy: − Phương trình các đường dòng: u x dy = u y dx ⇔ ⇔ (x 2 + y 2 ) = C DONG HOC 11 ax − ay dy = 2 dx 2 2 x +y x + y2 . Reynolds III. PHÂN LOẠI CHUYỂN ĐỘNG: 1. Theo ma sát nhớt: Chuyển động chất lỏng lý tưởng, : không có ma sát Chuyển động chất lỏng thực: có ma sát - Re=VD/ν=V4R/ν:tầng(Re<2300) - rối (Re>2300) 2 ĐỘNG CỦA LƯU CHẤT r 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) r(x, y, z) y x z Quỹ đạo 1. Phương pháp Lagrange (J.L de Lagrange, nhà toán học người Pháp,173 6-1 883) ¾Trong phương pháp Lagrage , các yếu tố chuyển động. tổng quát của P. tr NL 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯNG uk G = ∫∫∫ ρ= W dWuX K K Khi X là động lượng: Đònh biến thiên động lượng: biến thiên động lượng của lưu chất qua thể tích W (được bao quanh bởi