Đang tải... (xem toàn văn)
Chương 3 gồm có những nội dung chính sau: Hai phương pháp nghiên cứu chuyển động của lưu chất, các khái niệm thường dùng, phân loại chuyển động, gia tốc phần tử lưu chất, phân tích chuyển động của lưu chất,… Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm nội dung chi tiết.
TS Nguyễn Thò Bảy - ĐHBK HCM -Bài Giảng CLC CHƯƠNG I HAI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CHUYỂN ĐỘNG CỦA LƯU CHẤT Phương pháp Lagrange (J.L de Lagrange, nhà toán học người Pháp,1736-1883) ⎧ d2x dx ⎧ = a ⎪ x ⎪u x = dt dt ⎪ ⎧x = x(x0 , y0 , z0 , t) r ⎪ r r ⎪ r r r dr dy ⎪ ⎪ r du d r d2y ⎪ u = ⇔ ⎨u y = r = f (r0 , t) ⇔ ⎨y = x(x0 , y0 , z0 , t) a= = ⇔ ⎨a y = dt dt dt dt dt ⎪ ⎪ ⎪z = x(x , y , z , t) 0 ⎩ ⎪ dz ⎪ ⎪a z = d z ⎪uz = dt ⎩ ⎪⎩ dt Quỹ đạo z ¾Trong phương pháp Lagrage , yếu tố chuyển động phụ thuộc vào thời gian , VD: u = at2+b Phương phaùp Euler r(x, y, z) y r0(x0, y0, z0) (L Euler, nhà toán học người Thụy Só, 1707-1783) ⎧u x = u x ( x, y, z, t ) r r ⎪ u = u ( x, y, z, t ) ⇔ ⎨u y = u y ( x, y, z, t ) ⎪ ⎩u z = u z ( x, y, z, t ) dx dy dz = = ¾Phương trình đường dòng: ux uy uz x Các đường dòng thời điểm t (x,y,z) ĐỘNG HỌC TS Nguyễn Thò Bảy - ĐHBK HCM -Bài Giảng CLC Ví dụ 1a: ux=3x2; uy=-6xy; uz=0 Thiết lập phương trình đường dòng: dx dy = 3x − xy Chuyển số hạng có biến x vế trái, biến y vế phải: xdx dy 2dx dy = ⇔ = x −y x −y Tích phân hai veá: ∫ 2dx = x dy ∫ −y ⇔ ln( x ) = − ln( y ) + ln C ⇔ x y = C Vậy phương trình đường dòng có dạng: x y = C Ví dụ 1b: ux=x2y+2x; uy=-(y2x+2y); dx dy = x y + 2x − ( xy + y ) Thiết lập phương trình đường dòng: Trong trường hợp ta chuyển số hạng có biến x, y phía, nên lấy tích phân hai vế được, ta giải toán sau chương lưu II CÁC KHÁI NIỆM THƯỜNG DÙNG ống dòng dA Đường dòng, dòng nguyên tố P Diện tích mặt cắt ướt A, Chu vi ướt P, Bán kính thủy lực R=A/P A Dòng có áp Lưu lượng Q, Vận tốc trung bình m/ cắt ướt V: Q= V= A Dòng không aùp Doøng tia u ∫ u dA = ∫ udA Abất kỳ n Abatky A Am / c.uot Q A Nhận xét: Lưu lượng thể tích biểu đồ phân bố vận tốc : ĐỘNG HỌC Am/c ướtø Biểu đồ phân bố vận tốc TS Nguyễn Thò Bảy - ĐHBK HCM -Bài Giảng CLC III PHÂN LOẠI CHUYỂN ĐỘNG: Theo ma sát nhớt: Chuyển động chất lỏng lý tưởng, : ma sát Chuyển động chất lỏng thực: có ma sát -Re = Fquantinh Fmasat Re=VD/ν=V4R/ν:tầng(Re2300) Theo thời gian: ổn đònh-không ổn đònh Theo không gian: đều-không Theo tính nén được: số Mach M=u/a a: vận tốc truyền âm; u:vận tốc phần tử lưu chất âm (M1) siêu âm (M>>1) ¾Thí nghiệm Reynolds IV GIA TỐC PHẦN TỬ LƯU CHẤT : •Theo Euler: du x ∂u x ∂u ∂u ∂u = + ux x + uy x + uz x dt ∂y ∂z ∂t ∂x du ∂u ∂u ∂u ∂u a y = y = y + ux y + uy y + uz y dt ∂t ∂x ∂y ∂z du ∂u z ∂u ∂u ∂u az = z = + ux z + uy z + uz z dt ∂t ∂x ∂y ∂z { 14444244443 ax = t.ph.cục - thành phần đối lưu •Theo Lagrange: r r r r du ∂u u = u (x , y0 , z0 , t) ⇒ a = = dt ∂t ĐỘNG HỌC TS Nguyễn Thò Bảy - ĐHBK HCM -Bài Giảng CLC V PHÂN TÍCH CHUYỂN ĐỘNG CỦA LƯU CHẤT: Trong hệ trục toạ độ O(x,y,z), xét vận tốc hai điểm M(x,y,z) M1(x+dx,y+dy,z+dz), hai điểm sát nhau, nên ta có: ∂u x ∂u x ∂u x dx + dy + dz ∂z ∂x ∂y ∂u y ∂u y ∂u y = uy + dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z ∂u z ∂u z ∂u z = uz + dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z u x1 = u x + u y1 u z1 vận tốc chuyển động tònh tiến vận tốc biến dạng dài vận tốc biến dạng góc vận tốc quay ¾Đònh lý Hemholtz Tònh tiến Chuyển Vận tốc ωr = Rotur = quay: Quay động Biến dạng Biến dạng góc ε zy = ε yz ⎞ ⎟⎟ ⎠ ε ε xz = ε zx ⎛ ∂u x ∂u z ⎞ = ⎜ + ⎟ ⎝ ∂z ∂x ⎠ ε ⎛ ∂u y ∂u x ⎜⎜ + ∂y ⎝ ∂x r k ⎞⎟ ∂ ⎟ ∂z ⎟ u z ⎟⎠ Suất biến dạng dài = ε xy = ε yx = r j ∂ ∂y uy Biến dạng dài Suất biến dạng goùc ⎛ ∂u z ∂u y ⎜⎜ + ∂z ⎝ ∂y r ⎛ i ⎜ 1⎜ ∂ ⎜ ∂x ⎜u ⎝ x ⎞ ⎟⎟ ⎠ ε xx yy zz ∂u x = ∂x = ∂u y ∂y ∂u z = ∂z ĐỘNG HỌC ωx = ⎛ ∂uz ∂u y ⎞ ⎜ ⎟ − ∂z ⎟⎠ ⎜⎝ ∂y ωy = ⎛ ∂u x ∂u z ⎞ − ⎜ ⎟ ∂x ⎠ ⎝ ∂z ωz = ⎛ ∂u y ∂u x ⎞ ⎜ ⎟ − ∂y ⎟⎠ ⎜⎝ ∂x TS Nguyễn Thò Bảy - ĐHBK HCM -Bài Giảng CLC •Chuyển động quay phần tử lưu chất: ⎛ ∂ux ⎞ ∂u dy∆t − y dx∆t ⎟ ⎜ α +β 1 ⎜ ∂y ⎟ ω=− =− + ∂x ⎟ dx ∆t 2∆t ⎜ dy ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ∂u y ∂ux ⎞ ⎟ = rotuz = ⎜⎜ − ⎝ ∂x ∂y ⎟⎠ x ux∆t ∂ux/∂ydy∆ t α β dy + ∂uy/∂xdx∆ t uy∆t dx Ví dụ 2: r rot ( u ) = chuyển động không quay (thế) r rot (u ) ≠ chuyển động quay Xác đònh đường dòng dòng chảy có : ux = 2y vaø uy = 4x dx dy = ux u y dx dy = y 4x xdx = ydy xdx = ydy ⎛ x2 ⎞ y2 +C 2⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ 2⎠ 2x2 − y2 = C ĐỘNG HỌC y TS Nguyễn Thò Bảy - ĐHBK HCM -Bài Giảng CLC FLUID MECHANICS - CASE STUDY Example 3: In a testing facility, the inlet and outlet velocities of a nozzle along the center line are measured to be 10 m/s and 50 m/s, respectively Technician John is asked to provide a customer with the velocity and acceleration distribution of the fluid in the nozzle The length of the nozzle is 0.5 m, as shown in the figure Derive the equations for the velocity and acceleration What is the local acceleration of the fluid entering and exiting the nozzle? •Assume that the flow is one-dimensional, and it varies linearly along the centerline in the nozzle CASE STUDY SOLUTION For the center streamline, the velocity of the fluid is one-dimensional and linear: u = ax + b where a and b are constants Based on the experimental measurements, u is 10 m/s when x is zero (inlet) while u is 50 m/s when x is 0.5 m (outlet) Hence, it can be determined that the constants a and b are 80 and 10, respectively The velocity distribution is thus given by u = (80x + 10) m/s The acceleration of the fluid is given by (use the fact that v = w = for 1-D flow): The local accelerations of the fluid at the inlet and outlet are then determined to be 800 m/s2 and 4,000 m/s2, respectively ĐỘNG HỌC TS Nguyễn Thò Bảy - ĐHBK HCM -Bài Giảng CLC VI ĐỊNH LÝ VẬN TẢI REYNOLDS- PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH KIỂM SOÁT Thể tích kiểm soát, đại lượng nghiên cứu: Xét thể tích W không gian lưu chất chuyển động W có diện tích bao quanh A Ta nghiên cứu đại lượng X dòng lưu chất chuyển động qua không gian Đại lượng X lưu chất không gian W CV tính bằng: A X = ∫∫∫ kρdW W W W: thể tích kiểm soát u dw X : Đại lượng cần nghiên cứu k : Đại lượng đơn vò ( đại lượng X đơn vò khối lượng) Ví dụ: X khối lượng: k=1 ; r X động lượng: k = u X động năng: k=u2/2 X = ∫∫∫ ρdW v X = ;X= W v ∫∫∫ u ρ dW W ∫∫∫ W u2 ρ dW Đònh lý vận tải Reynolds- phương pháp thể tích kiểm soát: ¾Nghiên cứu biến thiên đại lượng X theo thời gian dòng chảy qua W Diện tích dX ∂X = + kρu n dA Diện tích A2 dt ∂t W A∫∫ A1 C A B n n Tại t: lưu chất vào chiếm đầy thể tích kiểm soát W Tại t+∆t: lưu chất từ W chuyển động W1 đến chiếm khoảng không gian W1 W t +∆t t +∆t t t XW1 −XW (XB + XC ) − (XA + XB ) ∆X Xt +∆t −Xt dX = lim = lim = lim = lim ∆t ∆t ∆t dt ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t →0 ∆t →0 t + ∆t t + ∆t t t t + ∆t X t + ∆t − XA (X B + XA ) − (X A + XB ) + lim C ∆t ∆t ∆t →0 ∆t →0 = lim t + ∆t t + ∆t X tW+ ∆t − X tW XC − XA = lim + lim ∆t ∆t ∆t →0 ∆t →0 ∂X = ∂t W ∂X ∂t W = + lim ∆ t ∫∫ k ρ u n dA + ∆ t ∫∫ k ρ u n dA A2 + ∫∫ k ρ u A1 ∆t ∆t→ n dA A ĐỘNG HỌC TS Nguyễn Thò Bảy - ĐHBK HCM -Bài Giảng CLC dX ∂X + kρu n dA = dt ∂t W A∫∫ VII ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TTKS PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC dX =0 dt X khối lượng: theo đ luật bảo toàn khối lượng: dX = dt Hay : ∂ ∫∫∫ ρ dW W + ∂t = ∫∫ ρ u n d A b d Gauss ∫∫∫ A W ∂ρ dW + ∂t ∫∫∫ div ( ρ u ) dW =0 W ∂ρ + div (ρ u ) = : dạng vi phân ptr liên tục ∂t •Nếu ρ=const→ ptr vi phân liên tục lưu chất không nén được: div ( u ) = ⇔ ∂u x ∂u y ∂u z + + =0 ∂y ∂x ∂z Dòng nguyên tố chuyển động ổn đònh: → ptr liên tục dòng nguyên tố chuyển động ổn đònh: dA1 ∫∫ ρu n dA = ⇔ ρ1u1dA1 = ρ2u 2dA2 u1 A dA2 u2 •Đối với toàn dòng chuyển động ổn đònh (có m/c vào, m/c ra) → ptr liên tục cho toàn dòng lưu chất chuyển động ổn đònh dạng khối lượng: ∫ ρ1u1dA1 = A1 ∫ ρ2 u 2dA2 ⇔ M1 = M A2 M1: khối lượng lưu chất vào m/c A1 đv t.gian M2: khối lượng lưu chất m/c A2 đv t.gian •Đối với toàn dòng chuyển động ổn đònh (có m/c vào, m/c ra), lưu chất không nén được: → ptr liên tục cho toàn dòng lưu chất không nén chuyển động ổn đònh: Q1 = Q2 Q = const hay •Trong trường hợp dòng chảy có nhiều mặt cắt vào ra, c động ổn đònh, lưu chất không nén được, nút, ta có: → ptr liên tục nút cho toàn dòng lưu chất không nén chuyển động ổn đònh: Qđến = Qđi ĐỘNG HỌC TS Nguyễn Thò Bảy - ĐHBK HCM -Bài Giảng CLC PHƯƠNG TRÌNH NĂNG LƯNG dX = ∂ X dt ∂t + W ∫∫ k ρ u n dA A Khi X lượng dòng chảy có khối lượng m (ký hiệu E, bao gồm nội năng, động (thế bao gồm vò lẫn áp năng), ta có: X = E = Eu + 1/2mu2+ mgZ với Z=z+p/γ p Như vậy, lượng đơn vò khối lượng lưu chất k bằng:k = e u + u + gz + ρ đó: eu nội đơn vò khối lượng 1/2u2 động đơn vò khối lượng gz vò đơn vò khối lượng p/ρ áp đơn vò khối lượng Đònh luật I Nhiệt động lực học: số gia lượng truyền vào chất lỏng đơn vò thời gian (dE/dt) , suất biến đổi đơn vò thời gian nhiệt lượng (dQ/dt) truyền vào khối chất lỏng xét, trừ suất biến đổi công (dW/dt) đơn vò thời gian khối chất lỏng thực hiên môi trường (ví dụ công lực ma sát): dE dQ dW = − dt dt dt Như 1 dQ dW ∂ p p − = ∫∫∫(eu + u2 + gz + )ρdw+ ∫∫(eu + u2 + gz + )ρundA 2 dt dt ∂t w ρ ρ A Daïng tổng quát P tr NL PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯNG Khi X động lượng: v X = r k=u v ∫∫∫ u ρ dW W Đònh biến thiên động lượng: biến thiên động lượng lưu chất qua thể tích W (được bao quanh diện tích A) đơn vò thời gian tổng ngoại lực tác dụng lên khối lưu chất đó: dX = ∑ F ngoạilực dt Như vậy, từ kết pp TTKS: ∑F = ngoạilực dX ∂X + kρu n dA = dt ∂t W A∫∫ ∂ (u )ρdw + ∫∫ (u)ρu n dA ∂t ∫∫∫ w A ĐỘNG HỌC ; ta có: Dạmg tổng quát p.tr ĐL TS Nguyễn Thò Bảy - ĐHBK HCM -Bài Giảng CLC Một dòng chảy khỏi ống có vận tốc phân bố dạng hình vẽ, với vận tốc lớn xuất tâm có giá trò Umax = 12 cm/s Tìm vận tốc trung bình dòng chảy Ví dụ 4: dA=2πrdr Giải: Tại tâm ống, u=umax; thành ống, u=0 Ta có phương r,; vận tốc dòng chảy phân bố theo quy luật tuyến tính: u= Lưu lượng : r Umax dr u max (R − r ) R u max 2πu max ⎡ Rr r ⎤ πu max R Q=∫ (R − r )2πrdr = − ⎥ = ⎢ R R ⎦ r =R ⎣ Q u V = = max A R V = 4cm / s Ví dụ 5: Lưu chất chuyển động ổn đònh đường ống có đường kính D Ở đầu vào đoạn ống, lưu chất chuyển động tầng, vận tốc phân bố theo quy luật : ⎡ r2 ⎤ u1: vận tốc tâm ống chảy tầng u = u1 ⎢1 − 2⎥ r : tính từ tâm ống (0 ≤ r ≤ D/2) ⎣ (R ) ⎦ Khi lưu chất chuyển động vào sâu ống chuyển sang chảy rối, với phân 1/ bố vận tốc sau : u2: vận tốc tâm oáng chaûy roái ⎛y⎞ u = u2⎜ ⎟ y : tính từ thành ống (0 ≤ y ≤ D/2) ⎝R⎠ Tìm quan hệ u1 u2 dA=2π r Giải: rdr r R Theo phương trình liên tục: u1 o u2 o dr Q1 = Q2 R ⎡ r2 ⎤ ⎡y⎤ Q1 = ∫ u1 ⎢1 − ⎥ 2πrdr; Q = ∫ u ⎢ ⎥ 2π(R − y)dy ⎣R ⎦ ⎣ R ⎦ 0 R ⎡ ⎡ r2 r2 ⎤ r4 ⎤ πu1R Q1 = ∫ u1 ⎢1 − π rdr π u = − = 1⎢ 2⎥ 2⎥ ⎣ 4(R ) ⎦ r =R ⎣ (R ) ⎦ R ⎡ R y 17 ⎤ ⎡ y 7 y15 −1 ⎤ y 49 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ Q2 = −2πu ⎢∫ R ⎢ ⎥ dy − ∫ y⎢ ⎥ dy⎥ = 2πu ⎢ R 7− R ⎥ = πu R R⎦ 15 60 ⎢0 ⎣R ⎦ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎣ ⎣ ⎦ y =R 49 ⇒ u1 = u 30 R ĐỘNG HỌC 10 TS Nguyễn Thò Bảy - ĐHBK HCM -Bài Giảng CLC Chất lỏng lý ltưởng quay quanh trục thẳng đứng (oz) Giả sử vận tốc Ví dụ 5: quay phân tố chất lỏng tỷ lệ nghòch với khoảng cách từ trục quay phương bán kính (V=a/r; a>0 số Chúng minh chuyển động Tìm phương trình đường dòng r Giải: ⎛ ∂u y ∂u x ⎞ rot ( u ) z = chuyển động không quay (theá) ⎜⎜ ⎟⎟ = − ∂ ∂ x y a − y − ay − ay ⎝ ⎠ ; u = u cos(u, ox) = = = x Suy ra: r r r2 x2 + y u a ⎛ x ⎞ ax ax uy = u cos(u, oy) = ⎜ ⎟ = = r⎝r⎠ r x + y2 y r ∂uy ∂ ⎛ ax ⎞ a(x2 + y ) − ax(2x) a(y − x2 ) ⎟= = 2 2; = ⎜ ∂x ∂x ⎜⎝ x2 + y ⎟⎠ ( x + y )2 (x + y ) O x ∂ux ∂ ⎛ − ay ⎞ − a(x2 + y ) + ay(2y) a(y − x2 ) ⎟= = 2 = ⎜ ( x + y )2 (x + y ) ∂y ∂y ⎜⎝ x2 + y ⎟⎠ ∂u y ∂u x = ⇔ rot ( u ) z = ∂x ∂y Đây chuyển động Một chuyển động mặt phẳng xOy Vậy: − Phương trình đường dòng: u x dy = u y dx ⇔ ⇔ (x + y ) = C ĐỘNG HỌC 11 ax − ay dy = dx 2 x +y x + y2 ... t.ph.cục - thành phần đối lưu •Theo Lagrange: r r r r du ∂u u = u (x , y0 , z0 , t) ⇒ a = = dt ∂t ĐỘNG HỌC TS Nguyễn Thò Bảy - ĐHBK HCM -Bài Giảng CLC V PHÂN TÍCH CHUYỂN ĐỘNG CỦA LƯU CHẤT: Trong... tốc TS Nguyễn Thò Bảy - ĐHBK HCM -Bài Giảng CLC III PHÂN LOẠI CHUYỂN ĐỘNG: Theo ma sát nhớt: Chuyển động chất lỏng lý tưởng, : ma sát Chuyển động chất lỏng thực: có ma sát -Re = Fquantinh Fmasat... ĐỘNG HỌC ωx = ⎛ ∂uz ∂u y ⎞ ⎜ ⎟ − ∂z ⎟⎠ ⎜⎝ ∂y ωy = ⎛ ∂u x ∂u z ⎞ − ⎜ ⎟ ∂x ⎠ ⎝ ∂z ωz = ⎛ ∂u y ∂u x ⎞ ⎜ ⎟ − ∂y ⎟⎠ ⎜⎝ ∂x TS Nguyễn Thò Bảy - ĐHBK HCM -Bài Giảng CLC •Chuyển động quay phần tử lưu chất: