Bài giảng cơ lý thuyết về động học

Đây là bài giảng được trình bài đầy đủ, dễ hiểu về phần động học của môn cơ lý thuyết. Bài giảng được tóm tắt cụ thể về nội dung lý thuyết và công thức về phần động học. Bài giảng được biên soạn bởi GS.TS Trương Tích Thiện

8/17/2010 BK TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HỒ CHÍ MINH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN II: ĐỘNG HỌC PGS TS. TRƯƠNG Tích Thiện Tp. Hồ Chí Minh, 01/ 2007 Bộ môn Cơ KỹThuật PHẦN II: ĐỘNG HỌC - Động học phần học lý thuyết nhằm khảo sát quy luật vật rắn không gian theo thời gian mà không quan tâm đến nguyên nhân sinh quy luật chuyển động - Đối tượng động học gồm có hai loại: chất điểm hệ nhiều chất điểm nối cứng với Chất điểm chất điểm thuộc vật rắn có khối lượng và vật rắn xem hệ gồm có vô số chất điểm nối cứng với - Khi kích thước vùng không gian mà vật rắn chuyển động chiếm lớn so với kích thước vật thì toàn vật rắn xem chất điểm gọi vật điểm Khối lượng vật điểm khối lượng toàn vật 8/17/2010 CHƯƠNG 3: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM § 1: Các Đặc Trưng Chuyển Động Của Chất Điểm Để khảo sát chuyển động điểm M, ta cần chọn trước vật làm vật quy chiếu chiếu Trên vật quy chiếu ta chọn điểm O r tùy ý làm điểm gốc O Vị trí M xác định vectơ định vị r (hình 3.1) Chú ý vật chọn làm vật quy chiếu phải thỏa tiên đề quán tính Galiléo Với sai số có thể chấp nhận được, người ta thường chọn trái đất làm ậ q quy y chiếu để khảo sát loại chuyển y động ộ g thông g thường g chất điểm vật Để xác định đầy đủ chuyển động điểm ta cần xác định ba đặc trưng chuyển động điểm Đó phương trình chuyển động điểm, vận tốc điểm gia tốc điểm ʓ O* ≡ MO M r k O x r i r r r v r a r j (C ) y Hình 3.1 8/17/2010 1 Phương trình chuyển động điểm: ™ Định nghĩa: Phương trình chuyển động điểm phương trình toán giúp xác định vị trí điểm không gian theo thời gian Dạng tổng quát phương trình chuyển động điểm sau: r r r = OM = r (t ) (1) • Quỹ tích M không gian gọi quỹ đạo (C) điểm Phương trình toán biểu diễn đường cong quỹ đạo (C) gọi phương trình quỹ đạo điểm • Ở điểm đường cong quỹ đạo (C) ta có mặt phẳng mật tiếp với đường cong điểm đo đó • Vòng tròn lớn có khả tiếp xúc với đường cong, mặt phẳng mật tiếp đường cong điểm xét gọi đường tròn mật tiếp với đường cong điểm Bán kính đường tròn mật tiếp gọi bán kính cong ρ quỹ đạo 1.2 Vận tốc điểm ™ Định nghĩa: Vận tốc rđiểm đại lượng vector biểu diễn sự biến thiên vector định vị r theo t • Vận tốc điểm ký hiệu xác định sau: r r dr r& r v= = r = v (t ) (m / s ) dt (2) • Vector vận tốc điểm phản ánh phương, chiều tốc độ thay đổi vị trí điểm Vận tốc có tính chất tiếp tuyến với quỹ đạo hướng theo chiều chuyển động điểm quỹ đạo 1.3 Gia tốc điểm: ™ Định nghĩa: Gia tốc củar điểm đại lượng vector biểu diễn sự biến thiên vector vận tốc vt theo thời gian t • Gia tốc điểm ký hiệu xác định sau: r r dv r& &r& r = v = r = a (t ) (m / s ) a= dt (3) • Vector gia tốc điểm có hai tính chất: – Nằm mặt phẳng mật tiếp với quỹ đạo điểm xét – Luôn hướng về phía lõm quỹ đạo 8/17/2010 § 2: Các Phương Pháp Khảo Sát Chuyển Động Của Điểm Phương pháp tọa độ Descartes • Theo phương pháp tọa độ Descartes ta dựng gốc O hệ trục tọa độ Descartes chiều thuận Oxy để khảo sát chuyển động điểm M Phương trình chuyển động r r điểm r r r = OM = x i + y j + ʓ k ọ M ((x,y,ʓሻ⇒ ,y,ʓሻ Gọi ⎧ r = x(t ) r ⎪ x r r r Mà: r = rx i + ry j + rʓ k ⇒ ⎨ ry = y (t ) ⎪r = ʓ (t ) ⎩ʓ (4) Vị trí điểm M xác định hoàn toàn ta xác định hệ ba phươngg trình ((4) p ) Do đó hệ̣ p phươngg trình ((4)) ợ gọ gọi p phươngg trình chuyển động điểm theo phương pháp tọa độ Descartes r (5) ⇒ r = x2 + y2 + ʓ 2 [ ] • Khử biến thời gian t hệ ba phương trình (4) ta một hàm hai biến dạng (6 ) (6) ʓ = ʓ ( x, y ) • Phương trình (6 ) gọi phương trình quỹ đạo ( C) Vận tốc điểm • Theo định nghĩa (2) ta biễu diễn vận tốc điểm theo phương pháp tọa độ Descartes sau: Mà: r r r r r r r d r d r v = r& = (r ) = ( x.i + y j + ʓ k ) = x&.i + y& j + ʓሶ k dt dt ⎧ v = x& (t ) r ⎪ x r r r (7 ) v = v x i + v y j + vʓ k ⇒ ⎨ v y = y& (t ) ⎪vʓ = ʓሶ (t ) ⎩ Muốn xác định độ lớn vận tốc v ta dùng định lý Pitago (7) ⇒ vr = [x& + y& + ʓሶ ] (8) Gia tốc điểm Theo định nghĩa (3) gia tốc điểm xác định theo phương pháp r Descartes sau: r r r r dv r& = v = &x&.i + &y& j + ʓ ̈ k a= dt 8/17/2010 r r r r Mà : a = ax i + a y j + aʓ k ⎧ ax = &x&(t ) ⎪ ⎨a y = &y&(t ) ⎪ a = ʓ̈ (t ) ⎩ ʓ Do đó: (9) (9) ⇒ ar = [&x&2 + &y&2 + ʓ̈ ] (10) Bán kính cong quỹ đạo: ρ= (x& + y& + ʓሶ ) ʓሶ ʓሶ ⎡ x& y& y& + ⎢ &y& ⎢⎣ &x& &y& 2 + ʓ̈ ʓ̈ x& ⎤ ⎥ &x& ⎥ ⎦ (11) 2 Phương pháp tọa độ tự nhiên: Chỉ sử dụng biết trước quỹ đạo (C) điểm Phương trình chuyển động điểm • Phương pháp tọa độ tự nhiên sử dụng quỹ đạo biết điểm làm trục tọa độ cong Trên trục cong ta chọn tùy ý điểm làm điểm gốc O* (thường chọn điểm gốc O* trùng vị trí ban đầu MO điểm M) (hình 3.2) O* ≡ M O r M r r aτ τ η r an O n r v r a t (C) Hình 3.2 • Chọn chiều dương cho trục tọa độ cong theo chiều chuyển động điểm • Phương trình chuyển động điểm phương trình đại số xác định đoạn đường mà điểm quỹ đạo s ≡ O * M = s(t ) (12) 8/17/2010 • Quan hệ tọa độ tự nhiên tọa độ Descartes: t s = ∫ x& + y& + ʓሶ dt (13) Vận tốc điểm • Để xác định vector vận tốc vector gia tốc điểm ta cần phải dựng thêm hệ trục tọa độ đô vuông góc Mtn chuyển động với điểm M sau: + Điểm gốc điểm M chuyển động + Trục tiếp tuyến t tiếp tuyến với quỹ đạo có chiều dương hướng theo chiều chuyển động điểm Trên trục tiếp tuyến ta dựng vector r đơn vị τ r Chú ý rằng, τ có phương thay đổi theo chuyển động điểm M + Dựng D t trục pháp há tuyến t ế n đặt t i M, M nằm ằ t mặt ặt phẳng hẳ mật ật tiếp tiế với ới quỹ đạo M, vuông góc với trục tiếp tuyến t có chiều (+) hướng về phía r lõm quỹ đạo Trên trục pháp tuyến ta dựng vector đơn vị η • Vận tốc điểm M xác định theo công thức sau: r r r (14) v = s&.τ = v.τ ⎫ r r r ⎬ ⇒ v ↑↑ τ Với: v = s& = hct (v ) ≥ 0, (m s )⎭ Gia tốc điểm: • Theo định nghĩa (3): r r r d r r r dv r d dτ v r a = (v ) = (v.τ ) ⇔ a = τ + v = v&.τ + v( η ) ρ dt dt dt dt r r r r r (15) ⇒ a = aτ τ + an η = aτ + an r r r r ⎧aτ = aτ τ = v&.τ = &s&.τ : thành phần gia tốc tiếp ⎪ Ta có: ⎨ r r v2 r an = η = an η : thành phần gia tốc pháp ⎪⎩ ρ r r ⎧ aτ > ⇔ v& > ⇔ && s > ⇔ aτ ↑↑ v : M chuyển động nhanh dần r r ⎪ : M chuyển động đều Với: ⎨ aτ = ⇔ v& = ⇔ aτ = r r ⎪ aτ < ⇔ v& < ⇔ aτ ↑↓ v : M chuyển động chậm dần ⎩ an > ⇔ ρ hữu hạn ⇔ (C) đường cong an = ⇔ ρ → ∞ ⇔ (C) đường thẳng 8/17/2010 §3: Bậc Tự Do Và Tọa Độ Suy Rộng 3.1 Bậc tự (dof ) Định nghĩa: • Bậc tự hệ số thông số độc lập cần dùng để có thể khảo sát chuyển động toàn hệ • Thi Thí dụ: d (hình (hì h 3.3) 3) O - Để khảo sát chuyển động toàn hệ ta cần xác định thông số độc lập cần dùng (φ1) (φ2) ⇒ dof d f =2 y ϕ1 A ϕ2 B x Hình 3.3 Xác định dof vật rắn tự hoàn toàn a Trong không gian chiều (hình 3.4) o Xét hệ có chất điểm tự hoàn toàn không gian chiều Cần xác định hai tọa độ x1 , y1 Đây hai thông số độc lập Vậy dofhệ = o Xét hệ có hai chất điểm nối cứng tự hoàn toàn không gian hai chiều Ta cần xác định tọa độ Ta có ràng buộc: d12 = (x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 = const Do số thông số độc lập cần dùng là: - = Vậy bậc tự hệ gồm hai điểm 3: dofhệ = o Xét hệ có chất điểm y không thẳng hàng, M3 nối cứng tự hoàn toàn mặt phẳng chứa điểm Cần xác định tọa M1 độ Ta có ràng buộc ⇒ số thông số độc lập cần y1 dùng: – = hay dofhệ O x1 = 3!!! M4 M2 d12 x Hình 3.4 8/17/2010 ‰ Kết luận : • Bậc tự vật rắn tự hoàn 2D dof mô hình gồm có chất điểm bất kỳ, nối cứng thuộc vật rắn Do DofVR = • Khi khảo sát chuyển động vật rắn không gian hai chiều ta không cần khảo sát chuyển động tất điểm thuộc vật mà cần khảo sát chuyển động mô hình gồm có hai chất điểm nối ối cứng ứ thuộc th ộ vật ật đủ đủ b Trong không gian chiều: 3D (hình 3.5) o Hệ có điểm tự hoàn toàn không gian chiều Cần xác định tọa độ cho ʓ M4 M3 điểm Ba tọa độ thông số độc lập Do hệ có: dofhệ = M2 o Hệ gồm điểm nối cứng tự hoàn toàn d12 M1 y không gian chiều Ta cần O xác định tọa độ cho hệ Ta có ràng buộc nối x cứng: Hình 3.5 d12 = (x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + ( ʓ 2− ʓ1 )2 = const Do đó, số thông số độc lập cần dùng (tọa độ) – (ràng buộc): - 1= Vậy bậc tự hệ: dofhệ = o Hệ gồm điểm không thẳng hàng nối cứng với và tự hoàn toàn không gian chiều Cần xác định tọa độ Ta có ràng buộc D đo, Do đ ́ sô ố thông thô sô ố độc độ lập lậ cần ầ dùng h hệ là: - 3= 6 Vậy Vậ bậc bậ tự t d ủ hệ: dofhệ = o Hệ gồm điểm không đồng phẳng nối cứng với và tự hoàn toàn không gian chiều Cần xác định 12 tọa độ Ta có ràng buộc Do đó số thông số độc lập cần dùng là: 12 - 6= Vậy bậc tự hệ: dofhệ = !!! ‰ Kết luận : • Bậc tự vật rắn (hệ gồm vô số chất điểm nối cứng) tự hoàn toàn không gian chiều (3D) với dofhệ hệ gồm có chất điểm bất kỳ, không thẳng hàng, nối cứng thuộc vật ⇒ dofhệ = • Khi khảo sát vật rắn 3D ta cần khảo sát chuyển động mô hình gồm có chất điểm không thẳng hàng, nối cứng thuộc vật đủ 8/17/2010 Tọa độ suy rộng hệ: Định nghĩa: ™ Tọa độ suy rộng hệ số thông số độc lập chọn để khảo sát chuyển động cho toàn hệ Số tọa độ suy rộng hệ bậc tự hệ Với hệ ta có nhiều cách để chọn tọa độ suy rộng Thí dụ: a Thí dụ 1:(hình 3.6) Khảo sát chuyển động vật phẳng (S) mặt phẳng chứa Dựng hệ trục tọa độ descartes hai chiều Oxy để khảo sát chuyển động vật Do vật rắn chuyển động 2D nên bậc tự toàn vật là: DofVR= y Mô hình khảo sát chuyển động cho toàn vật hệ gồm hai B (S ) điểm A B tùy ý nối cứng thuộc vật Ta cần xác định tọa ϕ độ cho hệ: xA , yA , xB , yB A Ta có thông số độc lập l tọa độ Do có tọa độ suy rộng: O Hình 3.6 x Ta chọn tọa độ suy rộng : (xA , y A , xB ), (xA , y A , yB ), (xB , yB , y A ), (xB , yB , xA ) ⎧ y& → y B = l − ( xB − x A ) + y A ⇒ ⎨ B ⎩ &y&B Đơn giản ta nên chọn tọa độ suy rộng sau: xA , y A ,ϕ ⎧x = xA + l cosϕ ⎧ x& = x& A + l.(− sin ϕ ).ϕ& ⇒⎨ B ⇒⎨ B ⎩ yB = y A + l sin ϕ ⎩ y& B = y& A + l cosϕ.ϕ& ⎧ x A = x A ((t ) ⎪ Hệ ba phương trình biến thiên theo thời gian t: ⎨ y A = y A (t ) ⎪ ϕ = ϕ (t ) ⎩ Hệ phương trình biểu diển sự biến thiên tọa độ suy rộng đã chọn theo thời gian t gọi phương trình chuyển động toàn vật 8/17/2010 b Thí dụ 2: Khảo sát chuyển động vật rắn quay quanh trục cố định, chọn tọa độ suy rộng cho vật rắn (hình 3.7) o Định nghĩa chuyển động vật rắn quay quanh trục quay cố định: ƒ Chuyển động vật rắn gọi chuyển động quay quanh trục quay cố định trình chuyển động vật rắn có tối thiểu điểm ể thuộc vật đứng yên Đường thẳng ẳ nối ố liền ề điểm ể đứng yên ấ gọi trục quay cố định vật − Mô hình khảo sát chuyển động cho toàn vật hệ gồm chất điểm không thẳng hàng nối cứng thuộc vật Ta chọn mô hình gồm điểm A, B M − Do điểm A và B đứng yên nên ta khảo sát chuyển động điểm M đô cho điểm M, M ta lại có ràng buộc điểm M với − Ta cần xác định tọa độ điểm A và điểm B Do đó, số thông số độc lập cần dùng cho mô hình là: tọa độ – ràng buộc = Vậy dogVR = − Hệ có tọa độ suy rộng chọn sau: + Dựng mặt phẳng P chứa điểm M trục quay cố định vật Mặt phẳng gắn liền với vật và chuyển động quay với vật quanh trục quay cố định + Dựng mặt phẳng π chứa trục quay cố định trùng với vị trí ban đầu mặt phẳng Mặt phẳng mặt phẳng cố định gọi mặt phẳng quy chiếu ʓ B ϕ ε O* ω π n r η H rM ϕ r an a r rMM k aτ r ω A r ε (V ) (C ) r t r τ v P Hình 3.7 + Gọi φ góc nhị diện hợp mặt phẳng P π: φ = [(P), (π)] Chọn φ làm tọa độ suy rộng cho toàn vật rắn phương trình chuyển động cho toàn vật có dạng sau: φ = φ(t) 10 8/17/2010 CHƯƠNG 4: ĐỘNG HỌC VẬT RẮN Có nhiều chuyển động vật rắn không gian từ đơn giản đến phức tạp Một chuyển động phức tạp vật rắn chứng minh kết việc tổ hợp chuyển động đồng thời: chuyển động tịnh tiến chuyển động quay quanh trục cố định §1 §1 Hai H i Chuyển Ch ể Động Độ Cơ C Bản Bả Của Củ Vật Rắn Rắ 1.1 Chuyển động tịnh tiến vật rắn Định nghĩa: Chuyển động tịnh tiến vật rắn loại chuyển động cho đoạn thẳng thuộc vật điều chuyển động song song với nó.(hình 4.1) B0 (V0 ) (CB ) (V ) B A A0 (CA ) Hình 4.1 ∀(AB) ⊂ (V): AB // A0B0, ∀t Tính chất Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến ta có tính chất sau: • Quỹ đạo diểm thuộc vật giống • Vector vận tốc vector gia tốc tất điểm thuộc vật Nhận xét • Mô hình khảo sát cho vật rắn tịnh tiến diểm tùy ý thuộc vật (thường chọn khối tâm (C) vật làm mô hình • Bậc tự vật rắn chuyển động tịnh tiến không gian chiều: DofVR = 1.2 Chuyển động vật rắn quay quanh trục cố định Định nghĩa: (Xem lại thí dụ chương 3) ƒ Chuyển động vật rắn gọi chuyển động quay quanh trục quay cố ố định ế trình chuyển ể động vật rắn ắ có tối ố thiểu ể điểm ể vật có tối thiểu điểm thuộc vật đứng yên Đường thẳng nối liền điểm đứng yên gọi trục quay cố định vật Khảo sát chuyển động toàn vật • Phương trình chuyển động toàn vật là: φ = φ(t) • Vận tốc toàn vật - vận tốc góc 11 8/17/2010 Trên trục quay cố định ta chọn điểm tùy ý làm điểm gốc O Dựng vector đơn vị gốc O có phương nằm trục quay cố định có chiều xác định theo quy tắc bàn tay phải so với chiều quay vật Chọn trục tọa độ r ʓ có phương trùng với trục quay có chiều (+) trùng với chiều k Vận tốc góc vật rắn đại lượng vector ký hiệu xác định sau: r r r r ⎫ r ω = ϕ& k = ω.k ⇒ ω ↑↑ k ⎬ & ≥ , rad s = s−1 ⎭ Với: ω = ϕ ƒ Gia tốc toàn vật - gia tốc góc r r r r r dω & k = ε.k &&.k = ω ε= =ϕ dt r r & > ⇔ ε ↑↑ ω : vật quay nhanh dần ⎧> ⇔ ω ⎪ r r & =ϕ && ⎨ = ⇔ ω & = ⇔ ε = : vật quay Với: ε = ω r r ⎪< ⇔ ω & < ⇔ ε ↑↓ ω : vật quay chậm dần ⎩ B ʓ (V ) ϕ ε O* ω π n (C ) r η H r ϕ a r k r anM r M aτM r t rτ v r ω A r ε Hình 4.2 P 12 8/17/2010 Khảo sát chuyển động điểm thuộc vật • Khảo sát chuyển động điểm M thuộc vật rắn (V) mặt phẳng (P) quay quanh trục ʓ cố định Từ điểm M ta dựng đường cao MH vuông góc với trục quay cố định Khi vật rắn quay thì đoạn thẳng HM chuyển động tạo hình tròn tâm H bán kính HM = R nằm mặt phẳng vuông góc với trục quay ʓ Gọii O* * l giao i điểm điể i đường đ tròn (C ( ) mặt phẳng hẳ (π) ( ) {O *} = (C ) ∩ (π ) ⇒ O * HM = ϕ • Do ta biết quỹ đạo điểm M lả đường tròn (C) nên ta dùng phương pháp tọa độ tự nhiên để khảo sát chuyển động cho điểm a) Phương trình chuyển động điểm M o Lấy y đường g tròn q quỹ ỹ đạo C điểm M trục ụ tọa ọ độộ congg chọn ọ O* làm điểm gốc o Vị trí điểm M quỹ đạo xác định phương trình chuyển động có dạng sau: b) Vận tốc điểm M s = O * M = s(t ) = R.ϕ(t ), ϕ : rad r r r r r v = s&.τ = ( R.ϕ& ).τ = ( R.ω ).τ = v.τ r r v = R.ω ≥ , m s ⇒ v ↑↑ τ r ⎧v ⊥ HM ⇒⎨ r ⎩ Chiều v : quay quanh tâm H theo chiều ω Với: c) Gia tốc điểm M: Với: r r r a M = aτM + anM r r ⎧⎪aτM ⊥ HM chiều aτM quay quanh tâm H theo chiều ε ⎨ rM ⎪⎩ aτ = HM ε = R.ε r r ⎧aτM ↑↑ v : vật quay nhanh dần ⎨ rM r : vật quay chậm dần ⎩aτ ↑↓ vuuuu r r ⎧⎪ anM ↑↑ MH ⎨ rM 2 ⎪⎩ an = HM.ω = R.ω 13 8/17/2010 §2 Chuyển Động Phức Hợp Của Vật Rắn 2.1 Chuyển động phức hợp điểm Khái niệm: ™ Khi chất điểm thực đồng thời từ hai chuyển động trở lên chuyển động chất điểm gọi chuyển động phức hợp • Khảo Khả sát át chuyển h ể động độ ủ điểm điể M t khô gian không i ủ trục t O1x1y1ʓ1 Đồng thời hệ trục lại mang không gian gắn liền với chuyển động không gian hệ trục cố định O2x2y2ʓ2 (hình 4.3) • Chuyển động điểm M M ʓ1 ʓ2 không gian hệ trục tọa độ động y1 gọi chuyển động tương đối Chuyển động hệ trục tọa độ động với O1 không gian gắn liền với x1 hệ trục cố định O2 gọi chuyển động y2 x2 kéo theo Hình 4.3 Chuyển động điểm M hệ trục cố định gọi chuyển động tuyệt đối • Vận tốc gia tốc điểm M hệ trục tọa độ động gọi vận tốc gia tốc tương đối điểm M + Ký hiệu: r r vrM , arM • Vận tốc gia tốc điểm M hệ trục tọa độ đô cô cố định gọi vận tốc gia tốc tuyệt đối điểm M + Ký hiệu: r r vaM , aaM • Một điểm cố định hệ động trùng với điểm M chuyển động động gọi trùng điểm M* điểm M Vận tốc gia tốc trùng điểm M* hệ trục cố định gọi vận tốc gia tốc kéo theo điểm M r veM , r ⎧veM Với: ⎨ r M ⎩ae + Ký hiệu: r aeM r ≡ vaM * r ≡ aaM * 14 8/17/2010 Định lý hợp chuyển động (xem hình 4.3) a) Định lý hợp vận tốc: r r r vaM = veM + vrM b) Định lý hợp gia tốc ( r r r r aaM = aeM + arM + acM ) r r r acM = ωe ∧ vrM : gia tốc Coriolis M r ωe : vận tốc góc chuyển r ωe α động kéo theo hệ động hệ cố định r r tiến ⇒ ωe = ⇔ hệ động tịnh tiến r r r ⎧ acM ⊥ mp (ωe , vrM ) ⎪ rM ⎨ Chiều ac : RHR ⎪ ar M = 2ω v M sin α e r ⎩ c M ⊕ r vrM r acM Hình 4.4 r r ⎧ωe = : hệ động tịnh tiến r rM r ⎪r ac = thì: ⇔ ⎨vrM = : điểm M đứng yên hệ r rM ⎪ω // v ⎩ e r 2.2 Chuyển động song phẳng vật rắn Định nghĩa: ™Chuyển động vật rắn gọi chuyển động song phẳng trình chuyển động vật điểm thuộc vật chuyển động mặt phẳng song song với mặt phẳng quy chiếu cố định (π) đã chọn trước (hình 4.5) (V) (S) (P) mặt phẳng chuyển động M điểm M: (P) // (π) ) P (Q) mặt phẳng chuyển N hM động điểm N: (Q) // (π) Q hN ⇒ (Q) // (P) ⎧hM = const , ∀(M , N ) ∈ (V ) ⎨ ⎩ hN = const π Hình 4.5 15 8/17/2010 Mô hình khảo sát • Gọi (S) = P ∩ (V) tiết diện giao (P) (V) Chọn (S) làm mô hình khảo sát chuyển động (hình 4.6) • Do tiết diện (S) chuyển động mặt phẳng (P) chứa nên tiết diện (S) chuyển động không gian chiều Lúc ta chọn lại mô hình khảo sát hệ gồm điểm A, B tùy ý nối cứng thuộc tiết diện (S) Đ Đoạn thẳ AB thẳng hỉ chuyển h ể động độ t mặt ặt phẳng hẳ (P) (P) y1 • Dựng hệ trục tọa độ S vuông góc cố định Oxy y y mặt phẳng (P) để khảo sát chuyển động x2 B đoạn thẳng AB ( ) - Xem X lại l i thí dụ d chương h 3 - DofVR = ⇒ có tọa độ suy rộng ⎧ xA = xA (t ) ⎪ ⎨ y A = y A (t ) ⎪ ϕ = ϕ (t ) ⎩ ϕ yA x1 A O Hình 4.6 xA x Phân tích chuyển động song phẳng • Để phân tích chuyển động song phẳng ta cần dựng thêm hệ trục tọa độ vuông góc chuyển động với điểm M sau: ⎧ Ax // Ox Ax1y1 : ⎨ Ax2 y2 : Ax2 ⊃ AB ⎩ Ay1 // Oy ⇒ Hệ Ax1y1 chuyển ể động tịnh tiến ế đối ố với hệ trục cốố định Oxy • Chuyển động song phẳng mô hình AB chuyển động song phẳng hệ trục động Ax2y2 Vì hệ trục gắn liền với đoạn thẳng AB phân tích hợp chuyển động đồng thời: o Chuyển động kéo theo chuyển động tịnh tiến hệ động hệ trục cố định Oxy ⇒ r r r r ⇒ ωe = ⇒ acM = o Chuyển động tương đối chuyển động quay hệ động quanh tâm A hệ động với ω = φ̇ Khảo sát chuyển động điểm M thuộc tiết diện (S) Khảo sát chuyển động M ∈ (S) Ta cần xác định vận tốc tuyệt đối gia tốc tuyệt đối cho điểm 16 8/17/2010 a) Bài toán vận tốc Có cách xác định vận tốc tuyệt đối điểm M: a.1) Cách 1: (hình 4.7) • Chọn điểm biết vận tốc thuộc tiết diện (S) làm điểm cực A • Sử dụng định lý hợp vận tốc r r r ∗ vaM = veM + vrM rM rM* r A (Vì A , M* nằm hệ trục Ax1y1 tịnh tiến Với ve ≡ va = va (M* điểm cố định hệ trục động Ax1y1 trùng với điểm M thuộc hệ trục động Ax2y2) r r r ∗ vrM = vMA : vMA ω r ⎧ vMA ⊥ AM r ⎪ ⎨ Chiều vMA : quay quanh A theo chiều ω ⎪ vr = AM.ω ⎩ MA A r r r Vậy: vaM = vaA + vMA r vaM r vaA M r vaA Hình 4.7 a.2) Cách 2: • Ở thời điểm khảo sát tồn điểm thuộc tiết diện (S) có vận tốc tuyệt đối Điểm gọi tâm vận tốc tức thời tiết diện (S) thời điểm khảo sát • Ký hiệu tâm vận tốc tức thời P • Nếu chọn P điểm cực thay cho điểm cực A vận tốc tuyệt đối điểm ể M xác định đơn giản sau: r r r r vaM = vaP + vMP = vMP r ⎧ vaM ⊥ PM ⎪ r ⇒ ⎨ Chiều vaM : quay quanh P theo ω ⎪ vr M = PM ω ⎩ a • Nếu chọn tâm vận tốc tức thời P làm cực để dựng hệ trục tọa độ thì chuyển động song phẳng mô hình AB phân tích gồm có chuyển động quay quanh tâm vận tốc tức thời P Chú ý rằng: tâm quay tức thời P chuyển động song phẳng liên tục thay đổi vị trí theo thời gian 17 8/17/2010 • Xác định vị trí P thời điểm khảo sát o Trường hợp 1: Khi vật rắn lăn không trượt bề mặt cố định Đây trường hợp đặc biệt chuyển động song phẳng, tâm vận tốc tức thời P điểm thuộc vật vắn trùng với bề mặt cố định (hình 4.8) ω r vaL (S ) K L r vaK P Hình 4.8 o Trường hợp 2: Khi biết phương vận tốc điểm vật vật r vaA B r vaB A Hình 4.9 P o Trường hợp 3: Biết phương, vận tốc điểm AB phương song song với (hình 4.10) B A r r vaB // vaA r r vaB // vaA B r vaA P P→∞ r vaA A b)) a)) Hình 4.10 Khi P→∞ vật tịnh tiến tức thời, ta có: ω = (s −1 ) ε ≠ ( s −2 ) r r r r vaB = vaA ; aaA ≠ aaB 18 8/17/2010 b) Bài toán gia tốc (hình 4.11) • Chọn điểm tiết diện (S) biết gia tốc làm điểm cực A: • Áp dụng định lý hợp gia tốc: r r r ⎧ aeM ≡ aeM* = aaA ⎪ r M r MA r MA r MA Với: ⎨ar = a = aτ + an r rM r ⎪ rM = ω a ( e ∧ vr ) = ⎩r c r r MA r MA M A Vậy: aa = aa + ( aτ + an ) r r r r aaM = aeM + arM + acM ε r aaA M r aτMA ω ⎧ ar MA ⊥ AM ⎪⎪ τ r τ Với: ⎨Chiều aMA : q quayy q quanh A theo chiều ε r MA a ⎪ r MA n ⎪⎩ aτ = AM.ε uuur ⎧⎪ arnMA ↑↑ MA : (hướng tâm A) A ⎨ r MA a = AM ω ⎪⎩ n r aaA r aaM r a MA Hình 4.11 2.3 Động học hệ nhiều bánh Hệ nhiều bánh thường a) Định nghĩa: ™ Hệ nhiều bánh thường hệ nhiều vật rắn có dạng đĩa tròn tiếp xúc lăn không trượt với và chúng quay quanh tâm quay cố định trùng với tâm đường tròn Các đĩa tròn gọi bánh Bậc tự hệ nhiều bánh thường: Dofhệ = + > (chứng tỏ hệ có khả chuyển động ) b) Động học hệ nhiều bánh thường(hình 4.12) • Gọi rk, ωk bán ω2 kính vận tốc ω3 ① ω4 góc bánh r r O ă thứ k r1 O1 hệ ωk xem O2 O4 dương ③ bánh thứ k ω1 quay chiều ② (+) đã chọn n r4 L rn On ④ ωn Hình 4.12 19 8/17/2010 ™ Định nghĩa tỷ số truyền: o Tỷ số truyền từ bánh thứ j đến bánh thứ k hệ sau: i jk = ωj ωk o Nếu tỷ số truyền ijk > thì bánh thứ j k quay chiều o Nếu ijk < thì bánh thứ j k quay ngược chiều o Nếu⏐ijk⏐> thi thì bánh thứ j quay nhanh bánh thứ k k Lúc bộ truyền giảm tốc tứ bánh thứ j đến bánh thứ k o Nếu⏐ijk⏐=1 thì bộ truyền đẳng tốc từ bánh thứ j Æ k o Nếu ⏐ijk⏐ ω4 r1 r1 hoặc: i41 = ω4 r r = (− 1) = + > ω1 r4 r4 Hệ bánh hành tinh vi sai a) Định nghĩa: ™ Là hệ nhiều vật rắn có dạng đĩa tròn lăn không trượt với cho tối thiểu có đĩa tròn có tâm quay chuyển động Vật rắn mang tâm quay bánh chuyển động gọi cần cần có chuyển động quay xung quanh tâm O1 cố định Bánh có tâm quay cô cố định với cần gọi bánh trung tâm 1 Cần bánh trung tâm có dạng chuyển động : quay quanh tâm quay cố định O1 Hai chuyển động quay vật rắn hoàn toàn độc lập với Các bánh lại có dạng chuyển động song phẳng (hình 4.13) ① ω1 ε1 ③ O1 ωc O2 εc cần O3 ② Hình 4.13 20 8/17/2010 • Nếu bánh trung tâm giữ cố định hệ gọi hệ bánh hành tinh Bậc tự hệ bánh hành tinh = +1 Dofht = +1 • Nếu cần giữ cố định thì hệ bánh trở thành hệ bánh thường • Nếu bánh trung tâm có chuyển động quay quanh tâm quay O1 cố định độc lập với chuyển động quay cần thì hệ se gọi hệ bánh vi sai DofVS = +2 Động học hệ bánh hành tinh vi sai • Để có thể sử dụng công thức tính động học hệ bánh thường ta cần phải chọn hệ qui chiếu cho hệ qui chiếu tất tâm bánh hệ cố định Ta chọn cần làm hệ qui chiếu mới, lúc vận tốc góc tương đối bánh thứ k cần r tính sau: ωk = ωk − ωc • Tỷ số truyền tương đối bánh thứ j bánh thứ k ω jr ω j − ωc m r i = r = = (−1) k ωk ωk − ωc rj r jk m r ⇔ ω j − ωc = (− 1) k (ωk − ωc ) rj ¾ Đây công thức Willis cho toán vận tốc ¾ Công thức Willis cho toán gia tốc: Đạo hàm vế công thức Willis cho toán vận tốc theo thời gian ta công thức Willis cho toán gia tốc : m rk ⇔ ε j − ε c = (− 1) (ε k − ε c ) rj Ghi chú: ọ Chọn: ⎧ωc > ⎨ ⎩ε c > 21 8/17/2010 22