57 bài tập giải tích 2 có lời giải

D=prxOyS là hình chiếu của phần mặt nón xuống xOy, D={x2+y2=1}

 2 2 

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số: a/

)12 (5.3.

phân kỳ theo tc D’alembert

Câu 4 Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa

( 1) (3)2ln

Câu 5 Tìm diện tích phần mặt cầu zR2x2y2 nằm trong hình trụ x2y2 Rx.

Gọi S là phần mặt cầu zR2x2y2nằm trong hình trụ x2y2 Rx

Các đk công thức Gauss thỏa

S1={x= }, S2={ x= }

x=-9: phân kỳ theo tc tích phân

x=7: hội tụ theo tc Leibnitz

 Miền hội tụ (-9,7]

Câu 10 Tính tích phân x2 y2.ln(x2 y2)

 dxdy với D là miền 1  x2+y2e2

x=rcosφ, y=rsinφ

2 y ln(xyx

 dxdy = )rdr = (2/9e3+1/9)

Câu 11 Cho P(x,y)= y, Q(x,y)= 2x-yey Tìm hàm h(y) thảo mãn điều kiện: h(1)=1 và biểu thứch(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó Với h(y) vừa tìm, tính tích phân

h( ) ( , ) ( ) ( , ) trong đó L là đường cong có phương trình: 4x2+9y2=36, chiềungược kim đồng hồ từ điểm A(3,0) đến B(0,2).

h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó

uxy e

Câu 15 Tìm cực trị có điều kiện: f x y( , ) 2x212xy y 2; x24y2 25

L(x,y,λ)= 2x)= 2x2+12xy+y2 +λ)= 2x(x2+4y2-25)

 x=3,y= , λ)= 2x=2 v x=-3,y= , λ)= 2x=2 v x=4,y= , λ)= 2x=-17/4 v x=-4,y= , λ)= 2x=-17/4

d2L= (4+2λ)= 2x)dx2 + (2+8λ)= 2x)dy2 + 24dxdyx2 = -4y2+25 => 2xdx=-8ydy

x=3,y= , λ)= 2x=2 v x=-3,y= , λ)= 2x=2 =>d2L>0

 f(x,y) đạt cực tiểu tại (3,-2), (-3,2)

x=4,y= , λ)= 2x=-17/4 v x=-4,y= , λ)= 2x=-17/4 => d2L<0

 f(x,y) đạt cực đại tại (4,3/2), (-4,-3/2)

Câu 16 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

phân kỳ theo tc Cauchy

Câu 17 Tìm miền hội tụ của chuỗi:

=> -1/2<x-5<1/2 => 9/2<x<11/2

x=9/2: phân kỳ theo tc tích phân

x=11/2: hội tụ theo tc Leibnitz

Tính tích phân I với C là phần ellipse

= 36e

Câu 23 Khảo sát cực trị hàm số z= x3+ y3+ 3x2- 3xy +3x-3y +1

Điểm dừng:  x=0, y=1 v x=-1,y=0

A= z’’xx=6x+6 B=z’’xy=-3 C=z’’yy=6y

1 4 9(43)!!

 

Câu 25 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa n



= - 8= 12

Câu 28 Tính tích phân đường loại một I=, với C là nửa trên đường tròn x2y2 2y.

x=rcost, y=rsint => r= 2sint

xyz và x y z  0, chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z.

S là mặt giao của C là giao của x2y2z2 4 và x y z  0

 ( 2,1)= -6

Câu 31 Tìm cực trị có điều kiện: f x y( , ) 1 4 x8 ; y x28y28.

0 5 2 6 112

với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi các đường x2+y2= 1(x, y

 0), x2+y2=33 (x, y 0 ), y=x, y = x 3.

 trong đó ( ) là đường tròn x2+y2 = 2x lấy theo chiều dương(ngược chiều kim đồng hồ).

Câu 36 Tính tích phân mặt loại một  2

z xy và z 2 2y, chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z.

S là mặt giao của của z x 2y2 và z 2 2y, n= (0,

f(0,0)= 4 f(-1,-1)=f(1,-1)=5f( f(1,1)=f(-1,1)=7

Maxf= 7Minf= 4

Câu 40 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số a/

phân kỳ theo tc D’alembert

Câu 41 Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa



Miền hội tụ [-1,5]

Câu 42 Tính tích phân kép   

9 dxdy với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi nữa đường

tròn x2 + y2 = 9, y 0 và các đường thẳng y = x, y = -x

  

Câu 43 Cho 2 hàm P(x,y)= (1+x+y)e-y, Q x y( , ) (1x y e) y

  Tìmhàm h(x) để biểu thức h(x)P(x,y)dx + h(x)Q(x, y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó Với h(x) vừa tìm, tính tích phân

h( ) ( , ) ( ) ( , ) trong đó L là nữa đường tròn x2 + y2 = 9 nằm bên phải trục tung,chiều đi từ điểm A(0, -3) đến điểm B(0, 3).

=> hội tụ theo tc Cauchy

=> phân kỳ theo tc D’alembert

 

ρ=

=> -4<x+3<4 => -7<x<1

x=-7: hội tụ theo tc Leibnitz

x y

(x,y) khác (0,0): f’x(x,y) =

 => Δ= 96>0, A= 10>0 f(x,y) đạt cực tiểu tại (1,1), (-1,-1)

Câu 52 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

hội tụ theo tc Cauchy

Câu 53 Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa

xn n



không qua gốc O và không cắt trục tung.

=> tp ko phụ thuộc đường đi