57 bài tập giải tích 2 có lời giải

phân kỳ theo tc D’alembert Câu 4... Các đk công thức Gauss thỏa... Tìm hàm hy thảo mãn điều kiện: h1=1 và biểu thức hyPx,ydx+ hyQx,ydy là vi phân toàn phần của hàm ux,y nào đó... phân kỳ

D=prxOyS là hình chiếu của phần mặt nón xuống xOy, D={x2+y2=1}

6.4.2

)12 (

5.3

)12 (

5.3

phân kỳ theo tc D’alembert

Câu 4 Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa

31

Câu 5 Tìm diện tích phần mặt cầu z  R2 x2 y2 nằm trong hình trụ x2 y2  Rx.

Gọi S là phần mặt cầu z  R2 x2 y2nằm trong hình trụ x2 y2  Rx

Các đk công thức Gauss thỏa

x=-9: phân kỳ theo tc tích phân

x=7: hội tụ theo tc Leibnitz

Câu 11 Cho P(x,y)= y, Q(x,y)= 2x-ye y Tìm hàm h(y) thảo mãn điều kiện: h(1)=1 và biểu thức h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó Với h(y) vừa tìm, tính tích phân

L

dy y x Q y h dx y

Câu 15 Tìm cực trị có điều kiện: f x y ( , ) 2  x2 12 xy y  2; x2 4 y2  25

L(x,y,λ)= 2x)= 2x2+12xy+y2 +λ)= 2x(x2+4y2-25)

 x=3,y= , λ)= 2x=2 v x=-3,y= , λ)= 2x=2 v x=4,y= , λ)= 2x=-17/4 v x=-4,y= , λ)= 2x=-17/4

 f(x,y) đạt cực đại tại (4,3/2), (-4,-3/2)

Câu 16 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

33

1

2 2

1

n

n

n n

1

2 2

1

n

n

n n

phân kỳ theo tc Cauchy

Câu 17 Tìm miền hội tụ của chuỗi:

)1ln(

)1(

)5(2)1

n n

=> -1/2<x-5<1/2 => 9/2<x<11/2

x=9/2: phân kỳ theo tc tích phân

x=11/2: hội tụ theo tc Leibnitz

Tính tích phân I với C là phần ellipse

Câu 23 Khảo sát cực trị hàm số z= x 3 + y 3 + 3x 2 - 3xy +3x-3y +1

Điểm dừng:  x=0, y=1 v x=-1,y=0

A= z’’xx=6x+6 B=z’’xy=-3 C=z’’yy=6y

1 4 9 (4 3)!!

n

n n

x

.4

3.)1(

= - 8= 12

Câu 28 Tính tích phân đường loại một I= , với C là nửa trên đường tròn x2 y2  2 y.

x=rcost, y=rsint => r= 2sint

x y z và x y z    0, chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z.

S là mặt giao của C là giao của x2 y2 z2  4 và x y z    0

L(x,y,λ)= 2x)= 1-4x-8y+λ)= 2x(

 x=-4,y=1, λ)= 2x=-1/2 v x=4,y=-1, λ)= 2x=1/2

d2L= dx2 - dy2

x2 = 8y2+8 => 2xdx=16ydy

x=-4,y=1, λ)= 2x=-1/2 => d2L>0 => f(x,y) đạt cực tiểu tại (-4,1)

x=4,y=-1, λ)= 2x=1/2 => d2L<0 => f(x,y) đạt cực đại tại (4,-1)

Câu 32 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

1

2 !n

n n

n n

n

n

x n

 trong đó ( ) là đường tròn x 2 +y 2 = 2x lấy theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ).

Câu 36 Tính tích phân mặt loại một  2

z x y và z   2 2 y, chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z.

S là mặt giao của của z x  2 y2 và z   2 2 y, n= (0,

5.3.1

9.4

!)12 (

5.3.1

9.4

phân kỳ theo tc D’alembert

Câu 41 Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa

dy y x Q x h dx y

n

!).13 (

10.7.4

).2 (

6.4.2

n n

n n





=> hội tụ theo tc Cauchy

=> phân kỳ theo tc D’alembert

n

n x

ρ=

=> -4<x+3<4 => -7<x<1

x=-7: hội tụ theo tc Leibnitz

 f(x,y) đạt cực tiểu tại (1,1), (-1,-1)

Câu 52 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

21

hội tụ theo tc Cauchy

Câu 53 Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa

không qua gốc O và không cắt trục tung.

=> tp ko phụ thuộc đường đi