Bài tập giải tích 2 có lời giải

Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi: a.. Tính diện tích phần các mặt cong được chỉ ra sau đậy: a.. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt sau: a... Tính các tích phân đường lo

Chương 1

Tích phân bội

1.1 Tích phân kép

1.1 Tính các tích phân kép sau:

a I=RR

D

(4x + 2)dxdy, với D là miền: 0 ≤ x ≤ 2; x2 ≤ y ≤ 2x

b I=RR

D

y√

xdxdy, với D là miền: x ≥ 0; y ≥ x2; y ≤ 2 − x2

c I=RR

D

y ln xdxdy, với D là miền giới hạn bởi: xy = 1; y =√

x; x = 2

d I=RR

D

xydxdy, với D là nửa trên của hình tròn: (x − 2)2+ y2 ≤ 1; y ≥ 0

e I=RR

D

x + y

x2+ y2dxdy, với D là nửa trên của hình tròn: (x − 1)2+ y2 ≤ 1; y ≥ 0

f I=RR

D

xydxdy, với D là miền giới hạn bởi: y =√

2x − x2; y =√

3x; y = 0

g I=RR

D

(12 − 3x2− 4y)dxdy với D là miền giới hạn bởi x

2

4 + y

2 = 1

h I=RR

D

xy2dxdy, với D là miền giới hạn bởi: x2 + (y − 1)2 = 1; x2+ y2 = 4y

i I=RR

D

dxdy (x2+ y2)2, với D là miền giới hạn bởi: y = x; y = √

3 x; x2 + y2 = 4x; x2+

y2 = 8x

j I=RR

D

|y − x2|dxdy, với D là miền −1 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 2

1.2 Đổi thứ tự lấy tích phân của các tích phân sau:

a I=

2

R

1

dx

√ 2x−x 2

R

2−x

f (x, y)dy

b I=

2

R

0

dx

√ 2x

R

√

2x−x 2

f (x, y)dy

c I=

e

R

1

dx

ln x

R

0

f (x, y)dy

d I=

2

R

0

dy

1

R

y 2

f (x, y)dx

2 CHƯƠNG 1 TÍCH PHÂN BỘI 1.3 Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi:

a x2 = y; x2 = 2y; y2 = x; y2 = 4x

b y = 4x − x2; y = 2x2− 5x

c x2+ y2 = 2x; x2+ y2 = 2y

d x2+ y2 = 2x; x2+ y2 = 1

Cho mặt cong S có phương trình z = f (x, y) và hình chiếu của S lên mặt phẳng Oxy

là D := chV /Oxy Khi đó, diện tích của mặt S được tính bởi công thức

∆S =

Z Z

D

q

1 + f02

x + f02dxdy

1.4 Tính diện tích phần các mặt cong được chỉ ra sau đậy:

a Phần mặt phẳng x2 +y3 +z4 = 1, bị chặn bởi các mặt phẳng tọa độ

b Phần Parabol Eliptic y = 2 − x2− z2, mằn phía trong mặt trụ x2+ z2 = 1

c Phần mặt nón z =px2+ y2, bị chặn bởi mặt trụ x2+ y2 = 2x

d Phần mặt cầu x2+ y2+ z2 = 1, bị chặn bởi phần mặt trụ z2 = 2y

1.2 Tích phân bội 3

1.5 Tính các tích phân 3 lớp sau:

a I=RRR

V

(x2+ z2)dxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: x2+ z2 = 2y; y = 2; x ≤ 0

b I=RRR

V

z2dxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: x2+y2+z2 = 2; z =px2+ y2; y ≥ 0

c I=RRR

V

x2y2dxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: x2+ y2 = 1; z = 0; z = x2+ y2

d I=RRR

V

y cos(x + z)dxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: y = √

x; y = 0; z = 0; x + z = π2

e I=RRR

V

x2dxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: z = 2 − x2− y2; z = 0; x2+ y2 ≤ 1; x ≤ 0; y ≥ 0

f I=RRR

V

xzdxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: x2+ y2+ z2 = 2; y =√

x2+ z2, (x ≤

0, z ≥ 0)

g I=RRR

V

px2+ y2dxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: x2+y2−z2 = 0; z = 1; x ≤ 0

h I=RRR

V

xyzdxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: x2+ y2 = 2; y = x2; z = 0; z = 1 1.6 Đổi biến thích hợp để tính các tích phân sau:

1.2 TÍCH PHÂN BỘI 3 3

a I=

√

3

R

0

dx

√ 3−x 2

R

0

dy

√

4−x 2 −y 2

R

(x 2 +y 2 )/3

dz

b I=

1

R

−1

dx

√ 1−x 2

R

−√1−x 2

dy

2

R

2(x 2 +y 2 )

px2+ y2dz

c I=

1

R

0

dx

√ 1−x 2

R

0

dy

√

2−x 2 −y 2

R

√

x 2 +y 2

dz

d I=

a

R

0

dx

√

a 2 −x 2

R

0

dy

√

a 2 −x 2 −y 2

R

0

zdz

1.7 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt sau:

a z = 4 − y2; z = y2+ 2; x = 0; x = 2

b z = x2 + y2; z = 2x2 + 2y2; y =

x2; y = x

c z = x2+ y2; y = x2; y = 1; z = 0

d z = x2+y2; z = x2+y2+1; x2+y2 = 1

e y = x2; y + z = 1; z = 0

f z = 4 − x2; x2 + y2 = 4; z = 0

g z = x2+ y2; z = x + y

Chương 2

Tích phân đường

2.1 Tích phân đường loại 1

2.1 Tính các tích phân đường loại 1 trong R2 sau:

a I=R

C

x3dl, với C là cung y = x

2

2 , (0 ≤ x ≤

√ 3)

b I=R

C

xydl, với C là chu tuyến của hình vuông |x| + |y| = 1

c I=R

C

y2dl, với C là cung Cycloit: x = t − sin t, y = 1 − cos t, (0 ≤ t ≤ 2π)

d I=R

C



x4 + y4dl, với C là đường Astroit: x = cos3t, y = sin3t, (0 ≤ t ≤ 2π)

e I=R

C

(y2− x2)dl, với C là cung x2+ y2 = a2, (x ≤ 0, y ≥ 0)

f I=R

C

xydl, với C là đường gấp khúc nối O(0, 0); A(1, 3); B(2, 4)

g I=R

C

(y − x)dl, với C là cung x2+ y2 = 4x, (y ≥ 0)

h I=R

C

px2+ y2dl, với C là cung x2+ y2 = 2y, (y ≥ 1)

2.2 Tính các tích phân đường loại 1 trong R3 sau:

a I=R

C

(x2+ y2+ z2)dl, với C là đường x = cos3t, y = sin3t, z = t, (0 ≤ t ≤ 2π)

b I=R

C

xyzdl, với C là một phần giao tuyến của 2 mặt x2 + y2 + z2 = 4; x2 + y2 =

1, (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0)

c I=R

C

p2y2+ z2dl, với C là một phần giao tuyến của 2 mặt: x2+ y2+ z2 = 2; y = x

d I=R

C

(2z −px2+ y2)dl, với C là đường xoắn ốc x = t cos t, y = t sin t, z = t, (0 ≤

t ≤ 2π)

2.2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2 5

2.2 Tích phân đường loại 2

2.3 Tính các tích phân đường loại 2 sau:

a I=R

C

(2 − y)dx + xdy, với C là cung Cycloit x = t − sin t, y = 1 − cos t, (t : 0 → 2π)

b I=R

C

(x2 − 2xy)dx + (2xy + y2)dy, với C là chu tuyến dương của miền giới hạn bởi

y = x2, y = 0, x = 1

c I=R

C

ydx − (y + x2)dy, với C là phần cung y = 3x − x2, nằm phía trên Ox và theo chiều ngược kim đồng hồ

d I=R

C

(xy − 1)dx + x2ydy, với C là phần cung x = 1 −y

2

4, lấy từ A(1, 0) đến B(0, 2).

e I=R

C

(x2+ y2)dx + (x2− y2)dy, với C là đường cong y = 1 − |1 − x|, với x tăng từ 0 đến 2

f I=R

C

(x + y)dx − (x2+ y2)dy, với C là nửa trên đường tròn x2+ y2 = 1, đi từ A(1, 0) đến B(−1, 0)

g I=R

C

xdy − ydx

p1 + x2+ y2, với C là 14 đường tròn x2+ y2 = 4, đi từ A(2, 0) đến B(0, 2)

h I=R

C

(x + y)dx − (x − y)dy

x2+ y2 , với C là đường tròn x2 + y2 = 4, lấy ngược chiều kim đồng hồ

i I=H

C

x2ydx + x3dy, với C là chu tuyến miền giới hạn bởi y = x2, x = y2

j I=H

C

(6y + x)dx + (3y + 2x)dy, với C là đường tròn (x − 2)2+ (y − 3)2 = 4

k I=R

C

(exsin y + 5xy)dx + (excos y − 5)dy, với C là nửa trên đường tròn x2+ y2 = 2x,

đi từ A(2, 0) đến O(0, 0)

l I=H

C

(xy + x + y)dx + (xy + x − y)dy, với C là đường Elip x

2

a2 + y

2

b2 = 1

m I=R

C

(eysin x − x)dx − (eycos x − 1)dy, với C là 14 đường tròn x2 + y2 = 2x, đi từ O(0, 0) đến A(1, 1)

n I=

(3,2)

R

(1,1)

xdx + ydy

x2+ y2 , theo đường cong không đi qua gốc O

o I=

(3,0)

R

(−2,−1)

(x4+ 4xy3)dx + (6x2y2− 5y4)dy

6 CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

p I=

(1,0)

R

(0,−1)

xdy − ydx (x − y)2 , theo đường cong không cắt đường thẳng y = x

2.4 Tìm các tham số để các tích phân sau không phụ thuộc vào đường lấy tích phân

a I=R

C

(x + y)(xdy − ydx)

(x2+ y2)n , với n là tham số và C là đường cong không đi qua gốc tọa độ

b I=R

C

(1 − ax2)dy + 2bxydx

(1 − x2)2+ y2 , với a, b là tham số và C là đường cong không đi qua các điểm (1, 0) và (−1, 0)

c I=R

C

(x − y)dx + (x + y)dy

(x2+ y2)n , với n là tham số và C là đường cong không đi qua gốc tọa độ

2.5 Tính các tích phân đường loại 2 trong không gian sau:

a

b

c

Chương 3

Tích phân mặt

3.1 Tích phâm mặt loại 1

3.1 Tính các tích phân sau:

a I=RR

S

(3x + 2y + z)ds, với S là phần mặt phẳng x + 2y + z = 1 nằm trong miền

x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0

b I=RR

S

zds, với S là phần mặt Paraboloid z = 2 − x2− y2 nằm trong miền z ≥ 0

c I=RR

S

(x2+ y2)ds, với S là nửa mặt cầu x2+ y2+ z2 = 1 nằm trong miền z ≥ 0

d I=RR

S

xyds, với S là 14 mặt cầu x2+ y2+ z2 = 1 nằm trong miền x ≥ 0, y ≥ 0

e I=RR

S

px2 + y2ds, với S là phần mặt nón x2+y2−z2 = 0 nằm trong miền 0 ≤ z ≤ 1

f I=RR

S

xyzds, với S là phần mặt trụ x2+ y2 = 1 bị cắt bởi các mặt y + z = 1, z = 0

và nằm trong miền x ≥ 0

g I=RR

S

xzds, với S là phần mặt phẳng y + 2z = 6 nằm trong mặt trụ x2+ y2 = 2y

h I=RR

S

(xy + yz + zx)ds, với S là phần mặt nón z = px2+ y2 nằm trong mặt trụ

x2+ y2 = 2x

3.2 Tính diện tích phần mặt phẳng x + 2y + 2z = 5 nằm trong 2 mặt trụ y = x2 và

y = 2 − x2

3.3 Tính diện tích phần mặt cầu x2+ y2+ z2 = 2 nằm trong mặt nón z =px2 + y2 3.4 Tính diện tích xung quanh của vật thể giới hạn bởi x2+ y2 = 1, x + z = 1 và z = 0 3.5 Tính diện tích xung quanh của vật thể giới hạn bởi z =px2+ y2, z = 2 − x2− y2

8 CHƯƠNG 3 TÍCH PHÂN MẶT

3.2 Tích phân mặt loại 2

3.6 Tính trực tiếp các tích phân mặt loại 2 sau

a I=RR

S

xyzdxdy, với S là mặt phía ngoài của 14 mặt cầu x2+y2+z2 = 4, (x ≥ 0, y ≥ 0)

b I=RR

S

xdydz, với S là mặt phía trên (theo hướng Oz) của nửa mặt cầu x2+ y2+ z2 =

4, (z ≥ 0)

c I=RR

S

zdxdy, với S là phần mặt Paraboloid z = x2+ y2 nằm trong miền 0 ≤ z ≤ 1, lấy phía ngoài

d I=RR

S

y2dxdz, với S là mặt phía ngoài của phần mặt Paraboloid z = x2 + y2 nằm trong miền 0 ≤ z ≤ 1

e I=RR

S

z2dydz + xdxdz − 3zdxdy, với S là mặt phía trong của phần mặt trụ z = 4 − y2

nằm trong miền 0 ≤ x ≤ 1, z ≥ 0

f I=RR

S

xdydz + ydxdz + zdxdy, với S là mặt phía trong của phần mặt trụ y = x2

nằm trong miền 0 ≤ z ≤ 1, y ≤ 1

g I=RR

S

xydydz + yzdzdx + zxdxdy, với S là mặt phía trên (theo hướng Oz) của phần mặt phẳng y + z = 2 nằm trong trụ x2+ y2 = 1

3.7 Dùng công thức Ostrogratxki - Gauss để tính các tích phân sau

a I=RR

S

yzdydz + yxdxdz + y2dxdy, với S là biên phía ngoài của tứ diện x + y + z ≤

1, x ≥ 0, y ≥ 0 và z ≥ 0

b I=RR

S

xzdydz + zydxdz + xydxdy, với S là biên phía trong của vật thể giới hạn bởi

x2+ y2 = z2, 0 ≤ z ≤ 1

c I=RR

S

xzdydz +zydxdz +xydxdy, với S là mặt phía ngoài của phần mặt nón x2+y2 =

z2, nằm trong miền 0 ≤ z ≤ 1

d I=RR

S

z2dxdy, với S là mặt phía ngoài của ellipsoid x

2

4 +

y2

9 +

z2

16 = 1.

e I=RR

S

xdydz+ydxdz+zdxdy, với S là mặt phía ngoài của phần mặt cầu x2+y2+z2 = 2z, nằm trong miền 0 ≤ z ≤ 1

f I=RR

S

yzdxdz + xzdydz + xydxdy, với S là biên phía ngoài của vật thể xác định bởi

0 ≤ z ≤ x2+ y2, x2+ y2 ≤ 4, ; x ≥ 0 và y ≥ 0

Chương 4

Phương trình vi phân

4.1 Giải các phương trình vi phân cấp 1 sau:

a tan ydx − x ln xdy = 0

b x(1 + x2)y0− y(x2+ 1) + 2x = 0

c xy0 = xeyx + y + x

d y0− 2y tan x + y2sin2x = 0

e y0cos x = y

f y0− 2y = sin 2x

g x(y0− sinyx) = y

h 3y + 2

x + 1 y

0 = y

2+ 4

√

x2+ 4x + 13

i y0 = 1 + cos x

j (x2 + y)dx + (x − 2y)dy = 0

k x2y0+ y2+ xy + x2 = 0

l ydx − (x + y2sin y)dy = 0

m x2y2y0+ xy3 = 1

n y0 = 1

2x + y

o 2ydx = (2y3− x)dy

p (y + x22)dx + (x − y32)dy = 0

q y0 =√

2x + y − 3

r y0 =p(4x − y + 1)3 2

s y0+ y = xe3x

t (x2− xy)dy + y2dx = 0

u y0 = y(y3cos x + tan x)

v y0 = x − y − 1

x − y − 2

w y0 = sin(y − x − 1)

x (x + 2y)dx − xdy = 0 4.2 Tìm nghiệm riêng của các phương trình sau với điều kiện ban đầu đã cho tương ứng:

a x2(y3+ 5)dx + (x3+ 5)y2dy = 0, thỏa mãn y(0) = 1

b xy0 = y lnyx, thỏa mãn y(1) = 1

c 3dy + (y + 3y4) sin xdx = 0, thỏa mãn y(π2) = 1

d y0 = −3x − 1 + 3y

2(x + y) , thỏa mãn y(0) = 2.

e (√

xy − x)dy + ydx = 0, thỏa mãn y(1) = 1

f (y +px2+ y2)dx − xdy = 0, thỏa mãn y(1) = 0

10 CHƯƠNG 4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

g y0√

1 − x2 + y = arcsin x, thỏa mãn y(0) = 0

h 2ydx + (2x − x3y)dy = 0, thỏa mãn y(12) = 1

4.3 Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 sau:

a (1 − ln x)y00+ y

0

x − y

x2 = 0, biết phương trình có một nghiệm riêng là y = ln x

b y00 + y0tan x − cos2x = 0, biết phương trình có một nghiệm riêng có dạng y =

1

2sin2(x)

c x2y00− xy0 + y = 0, biết phương trình có một nghiệm riêng dạng đa thức

d x2y00− 2y = x2, biết PT thuần nhất tương ứng có một nghiệm riêng là y = x1

e (2x + 1)y00+ (2x − 1)y0− 2y = x2+ x, biết PT thuần nhất tương ứng có một nghiệm riêng dạng đa thức

4.4 Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng sau:

a y00− 3y0+ 2y = 2x2− 6

b y00+ 2y0− 3y = 4ex

c y00− 3y0 = 3x + 7

d y00+ 4y0+ 4y = e2x

e y00− 6y0+ 10y = sin 2x

f y00− 2y = x + e3x

Chương 5

Lý thuyết chuỗi

5.1 Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:

a

∞

P

n=1

(n + 1) sinπ

n

b

∞

P

n=1

1 pn(n + 2)

c

∞

P

n=1

2n+ n

3n+ 1

d

∞

P

n=1

(2n + 1)!!

n!

e

∞

P

n=1

 n2+ 2

2n2+ n

n

f

∞

P

n=1

 n + 1

n + 2

2n 2

g

∞

P

n=1

ln n + 3

n + 1



h

∞

P

n=1

n3+ n

en

i

∞

P

n=1

n − 1

ln2n j

∞

P

n=1

 n2+ n

n2+ 1

n

k

∞

P

n=1

(2n + 1)!

2n.n2

l

∞

P

n=1

2n



1 − 2 n

n(n+1)

m

∞

P

n=1

(−1)n n!

(2n)!!

n

∞

P

n=1

 n2+ 2n 2n2+ 3

2

o

∞

P

n=1

 n − n2

n2+ 1

n

p

∞

P

n=1

1 n!

n e

n

q

∞

P

n=1

√

n + 1 −√

n − 1 n

r

∞

P

n=1

3n(n!)2

(2n)!

s

∞

P

n=1

(−1)ntan√1

n 5.2 Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:

a

∞

P

n=1

(−3)n√n+1

x n √

n

5.3 Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm sau:

a

∞

P

n=1

n +√

n 2n x

n b

∞

P

n=1

 3n2+ 1

5n2− 1

n

xn c

∞

P

n=1

n!

nnxn

d

∞

P

n=1

1

n32n(x + 1)n e

∞

P

n=1

3nx2n 2n + 1. f

∞

P

n=1

(−1)n−1 n2n (2x − 3)n 5.4 Tính tổng

12 CHƯƠNG 5 LÝ THUYẾT CHUỖI

a

∞

P

n=1

x4n−3

4n − 3.

b

∞

P

n=1

(−1)n−1

(2n − 1)3n−1

c

∞

P

n=1

n(n + 1)xn−1 d

∞

P

n=1

(−1)n−1(2n − 1)x2n−2