Bài tập giải tích 2 có lời giải

1 Chương Tích phân bội 1.1 Tích phân kép 1.1 Tính tích phân kép sau: (4x + 2)dxdy, với D miền: ≤ x ≤ 2; x2 ≤ y ≤ 2x a I= D √ y xdxdy, với D miền: x ≥ 0; y ≥ x2 ; y ≤ − x2 b I= D y ln xdxdy, với D miền giới hạn bởi: xy = 1; y = c I= √ x; x = D xydxdy, với D nửa hình tròn: (x − 2)2 + y ≤ 1; y ≥ d I= D e I= D f I= x+y dxdy, với D nửa hình tròn: (x − 1)2 + y ≤ 1; y ≥ x2 + y √ √ xydxdy, với D miền giới hạn bởi: y = 2x − x2 ; y = 3x; y = D x2 + y = (12 − 3x2 − 4y)dxdy với D miền giới hạn g I= D xy dxdy, với D miền giới hạn bởi: x2 + (y − 1)2 = 1; x2 + y = 4y h I= D i I= D √ dxdy , với D miền giới hạn bởi: y = x; y = x; x2 + y = 4x; x2 + 2 +y ) (x2 y = 8x |y − x2 |dxdy, với D miền −1 ≤ x ≤ 1; ≤ y ≤ j I= D 1.2 Đổi thứ tự lấy tích phân tích phân sau: √ f (x, y)dy 2−x √ b I= dx e 2x−x2 a I= dx √ 2x f (x, y)dy 2x−x2 Bài tập Giải tích ln x c I= dx f (x, y)dy d I= dy f (x, y)dx y Giảng viên: Phan Đức Tuấn CHƯƠNG TÍCH PHÂN BỘI 1.3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a x2 = y; x2 = 2y; y = x; y = 4x c x2 + y = 2x; x2 + y = 2y b y = 4x − x2 ; y = 2x2 − 5x d x2 + y = 2x; x2 + y = Cho mặt cong S có phương trình z = f (x, y) hình chiếu S lên mặt phẳng Oxy D := chV /Oxy Khi đó, diện tích mặt S tính công thức + fx2 + fy2 dxdy ∆S = D 1.4 Tính diện tích phần mặt cong sau đậy: a Phần mặt phẳng x + y + z = 1, bị chặn mặt phẳng tọa độ b Phần Parabol Eliptic y = − x2 − z , mằn phía mặt trụ x2 + z = c Phần mặt nón z = x2 + y , bị chặn mặt trụ x2 + y = 2x d Phần mặt cầu x2 + y + z = 1, bị chặn phần mặt trụ z = 2y 1.2 Tích phân bội 1.5 Tính tích phân lớp sau: (x2 + z )dxdydz, với V vật thể giới hạn bởi: x2 + z = 2y; y = 2; x ≤ a I= V z dxdydz, với V vật thể giới hạn bởi: x2 +y +z = 2; z = b I= x2 + y ; y ≥ V x2 y dxdydz, với V vật thể giới hạn bởi: x2 + y = 1; z = 0; z = x2 + y c I= V y cos(x + z)dxdydz, với V vật thể giới hạn bởi: y = d I= √ x; y = 0; z = V 0; x + z = π2 x2 dxdydz, với V vật thể giới hạn bởi: z = − x2 − y ; z = 0; x2 + y ≤ e I= V 1; x ≤ 0; y ≥ xzdxdydz, với V vật thể giới hạn bởi: x2 + y + z = 2; y = f I= √ x2 + z , (x ≤ V 0, z ≥ 0) x2 + y dxdydz, với V vật thể giới hạn bởi: x2 +y −z = 0; z = 1; x ≤ g I= V xyzdxdydz, với V vật thể giới hạn bởi: x2 + y = 2; y = x2 ; z = 0; z = h I= V 1.6 Đổi biến thích hợp để tính tích phân sau: Bài tập Giải tích Giảng viên: Phan Đức Tuấn 1.2 TÍCH PHÂN BỘI √ √ √ −1 dy √ b I= 4−x2 −y 3−x2 dx a I= dx dz x2 + y dz 2(x2 +y ) √ 1−x2 dy dy √ c I= dx (x2 +y )/3 1−x2 √ − 1−x2 a √ dz √ x2 +y √ a2 −x2 d I= dx 2−x2 −y a2 −x2 −y dy zdz 1.7 Tính thể tích vật thể giới hạn mặt sau: a z = − y ; z = y + 2; x = 0; x = d z = x2 +y ; z = x2 +y +1; x2 +y = b z = x2 + y ; z = 2x2 + 2y ; y = x2 ; y = x e y = x2 ; y + z = 1; z = c z = x2 + y ; y = x2 ; y = 1; z = g z = x2 + y ; z = x + y Bài tập Giải tích f z = − x2 ; x2 + y = 4; z = Giảng viên: Phan Đức Tuấn Chương Tích phân đường 2.1 Tích phân đường loại 2.1 Tính tích phân đường loại R2 sau: a I= x3 dl, với C cung y = C √ x2 , (0 ≤ x ≤ 3) b I= xydl, với C chu tuyến hình vuông |x| + |y| = C c I= y dl, với C cung Cycloit: x = t − sin t, y = − cos t, (0 ≤ t ≤ 2π) C d I= 4 x + y dl, với C đường Astroit: x = cos3 t, y = sin3 t, (0 ≤ t ≤ 2π) C e I= (y − x2 )dl, với C cung x2 + y = a2 , (x ≤ 0, y ≥ 0) C f I= xydl, với C đường gấp khúc nối O(0, 0); A(1, 3); B(2, 4) C g I= (y − x)dl, với C cung x2 + y = 4x, (y ≥ 0) C h I= x2 + y dl, với C cung x2 + y = 2y, (y ≥ 1) C 2.2 Tính tích phân đường loại R3 sau: a I= (x2 + y + z )dl, với C đường x = cos3 t, y = sin3 t, z = t, (0 ≤ t ≤ 2π) C b I= xyzdl, với C phần giao tuyến mặt x2 + y + z = 4; x2 + y = C 1, (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) c I= 2y + z dl, với C phần giao tuyến mặt: x2 + y + z = 2; y = x C d I= (2z − x2 + y )dl, với C đường xoắn ốc x = t cos t, y = t sin t, z = t, (0 ≤ C t ≤ 2π) Bài tập Giải tích Giảng viên: Phan Đức Tuấn 2.2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2.2 Tích phân đường loại 2.3 Tính tích phân đường loại sau: a I= (2 − y)dx + xdy, với C cung Cycloit x = t − sin t, y = − cos t, (t : → 2π) C b I= (x2 − 2xy)dx + (2xy + y )dy, với C chu tuyến dương miền giới hạn C y = x2 , y = 0, x = c I= ydx − (y + x2 )dy, với C phần cung y = 3x − x2 , nằm phía Ox theo C chiều ngược kim đồng hồ d I= (xy − 1)dx + x2 ydy, với C phần cung x = − C y2 , lấy từ A(1, 0) đến B(0, 2) e I= (x2 + y )dx + (x2 − y )dy, với C đường cong y = − |1 − x|, với x tăng từ C đến f I= (x + y)dx − (x2 + y )dy, với C nửa đường tròn x2 + y = 1, từ A(1, 0) C đến B(−1, 0) xdy − ydx g I= 1+ C x2 + y2 , với C đường tròn x2 + y = 4, từ A(2, 0) đến B(0, 2) (x + y)dx − (x − y)dy , với C đường tròn x2 + y = 4, lấy ngược chiều kim + y2 x C đồng hồ h I= i I= x2 ydx + x3 dy, với C chu tuyến miền giới hạn y = x2 , x = y C j I= (6y + x)dx + (3y + 2x)dy, với C đường tròn (x − 2)2 + (y − 3)2 = C k I= (ex sin y + 5xy)dx + (ex cos y − 5)dy, với C nửa đường tròn x2 + y = 2x, C từ A(2, 0) đến O(0, 0) l I= (xy + x + y)dx + (xy + x − y)dy, với C đường Elip C m I= (ey sin x − x)dx − (ey cos x − 1)dy, với C C x2 y + = a2 b đường tròn x2 + y = 2x, từ O(0, 0) đến A(1, 1) (3,2) n I= (1,1) xdx + ydy , theo đường cong không qua gốc O x2 + y (3,0) o I= (x4 + 4xy )dx + (6x2 y − 5y )dy (−2,−1) Bài tập Giải tích Giảng viên: Phan Đức Tuấn CHƯƠNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG (1,0) p I= (0,−1) xdy − ydx , theo đường cong không cắt đường thẳng y = x (x − y)2 2.4 Tìm tham số để tích phân sau không phụ thuộc vào đường lấy tích phân a I= C (x + y)(xdy − ydx) , với n tham số C đường cong không qua gốc tọa (x2 + y )n độ (1 − ax2 )dy + 2bxydx , với a, b tham số C đường cong không qua (1 − x2 )2 + y C điểm (1, 0) (−1, 0) b I= (x − y)dx + (x + y)dy , với n tham số C đường cong không qua gốc (x2 + y )n C tọa độ c I= 2.5 Tính tích phân đường loại không gian sau: a b c Bài tập Giải tích Giảng viên: Phan Đức Tuấn Chương Tích phân mặt 3.1 Tích phâm mặt loại 3.1 Tính tích phân sau: (3x + 2y + z)ds, với S phần mặt phẳng x + 2y + z = nằm miền a I= S x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ zds, với S phần mặt Paraboloid z = − x2 − y nằm miền z ≥ b I= S (x2 + y )ds, với S nửa mặt cầu x2 + y + z = nằm miền z ≥ c I= S xyds, với S d I= S mặt cầu x2 + y + z = nằm miền x ≥ 0, y ≥ x2 + y ds, với S phần mặt nón x2 +y −z = nằm miền ≤ z ≤ e I= S xyzds, với S phần mặt trụ x2 + y = bị cắt mặt y + z = 1, z = f I= S nằm miền x ≥ xzds, với S phần mặt phẳng y + 2z = nằm mặt trụ x2 + y = 2y g I= S x2 + y nằm mặt trụ (xy + yz + zx)ds, với S phần mặt nón z = h I= S x2 + y = 2x 3.2 Tính diện tích phần mặt phẳng x + 2y + 2z = nằm mặt trụ y = x2 y = − x2 3.3 Tính diện tích phần mặt cầu x2 + y + z = nằm mặt nón z = x2 + y 3.4 Tính diện tích xung quanh vật thể giới hạn x2 + y = 1, x + z = z = 3.5 Tính diện tích xung quanh vật thể giới hạn z = Bài tập Giải tích x2 + y , z = − x2 − y Giảng viên: Phan Đức Tuấn CHƯƠNG TÍCH PHÂN MẶT 3.2 Tích phân mặt loại 3.6 Tính trực tiếp tích phân mặt loại sau xyzdxdy, với S mặt phía a I= S mặt cầu x2 +y +z = 4, (x ≥ 0, y ≥ 0) xdydz, với S mặt phía (theo hướng Oz) nửa mặt cầu x2 + y + z = b I= S 4, (z ≥ 0) zdxdy, với S phần mặt Paraboloid z = x2 + y nằm miền ≤ z ≤ 1, c I= S lấy phía y dxdz, với S mặt phía phần mặt Paraboloid z = x2 + y nằm d I= S miền ≤ z ≤ z dydz + xdxdz − 3zdxdy, với S mặt phía phần mặt trụ z = − y e I= S nằm miền ≤ x ≤ 1, z ≥ xdydz + ydxdz + zdxdy, với S mặt phía phần mặt trụ y = x2 f I= S nằm miền ≤ z ≤ 1, y ≤ xydydz + yzdzdx + zxdxdy, với S mặt phía (theo hướng Oz) phần g I= S mặt phẳng y + z = nằm trụ x2 + y = 3.7 Dùng công thức Ostrogratxki - Gauss để tính tích phân sau yzdydz + yxdxdz + y dxdy, với S biên phía tứ diện x + y + z ≤ a I= S 1, x ≥ 0, y ≥ z ≥ xzdydz + zydxdz + xydxdy, với S biên phía vật thể giới hạn b I= S x2 + y = z , ≤ z ≤ xzdydz+zydxdz+xydxdy, với S mặt phía phần mặt nón x2 +y = c I= S z , nằm miền ≤ z ≤ z dxdy, với S mặt phía ellipsoid d I= S x2 y z + + = 16 xdydz+ydxdz+zdxdy, với S mặt phía phần mặt cầu x2 +y +z = e I= S 2z, nằm miền ≤ z ≤ yzdxdz + xzdydz + xydxdy, với S biên phía vật thể xác định f I= S ≤ z ≤ x2 + y , x2 + y ≤ 4, ; x ≥ y ≥ Bài tập Giải tích Giảng viên: Phan Đức Tuấn Chương Phương trình vi phân 4.1 Giải phương trình vi phân cấp sau: a tan ydx − x ln xdy = m x2 y y + xy = b x(1 + x2 )y − y(x2 + 1) + 2x = n y = y c xy = xe x + y + x 2x + y o 2ydx = (2y − x)dy d y − 2y tan x + y sin x = e y cos x = y q y = f y − 2y = sin 2x g x(y − sin h y ) x p (y + =y 3y + y2 + y =√ x+1 x2 + 4x + 13 i y = + cos x r y = )dx x2 √ + (x − )dy y2 =0 2x + y − (4x − y + 1)2 s y + y = xe3x t (x2 − xy)dy + y dx = u y = y(y cos x + tan x) x−y−1 x−y−2 j (x2 + y)dx + (x − 2y)dy = v y = k x2 y + y + xy + x2 = w y = sin(y − x − 1) l ydx − (x + y sin y)dy = x (x + 2y)dx − xdy = 4.2 Tìm nghiệm riêng phương trình sau với điều kiện ban đầu cho tương ứng: a x2 (y + 5)dx + (x3 + 5)y dy = 0, thỏa mãn y(0) = b xy = y ln xy , thỏa mãn y(1) = c 3dy + (y + 3y ) sin xdx = 0, thỏa mãn y( π2 ) = d y = − 3x − + 3y , thỏa mãn y(0) = 2(x + y) √ e ( xy − x)dy + ydx = 0, thỏa mãn y(1) = f (y + x2 + y )dx − xdy = 0, thỏa mãn y(1) = Bài tập Giải tích Giảng viên: Phan Đức Tuấn 10 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN g y √ − x2 + y = arcsin x, thỏa mãn y(0) = h 2ydx + (2x − x3 y)dy = 0, thỏa mãn y( 12 ) = 4.3 Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp sau: a (1 − ln x)y + y y − = 0, biết phương trình có nghiệm riêng y = ln x x x b y + y tan x − cos2 x = 0, biết phương trình có nghiệm riêng có dạng y = sin2 (x) c x2 y − xy + y = 0, biết phương trình có nghiệm riêng dạng đa thức d x2 y − 2y = x2 , biết PT tương ứng có nghiệm riêng y = x1 e (2x + 1)y + (2x − 1)y − 2y = x2 + x, biết PT tương ứng có nghiệm riêng dạng đa thức 4.4 Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số sau: a y − 3y + 2y = 2x2 − d y + 4y + 4y = e2x b y + 2y − 3y = 4ex e y − 6y + 10y = sin 2x c y − 3y = 3x + f y − 2y = x + e3x Bài tập Giải tích Giảng viên: Phan Đức Tuấn 11 Chương Lý thuyết chuỗi 5.1 Xét hội tụ chuỗi số sau: ∞ (n + 1) sin a n=1 ∞ b n=1 π n ∞ n+3 n+1 ln g n=1 ∞ n n=1 n3 + n en n=1 ∞ h n(n + 2) ∞ o n=1 ∞ n−1 i n=1 ln n 2n + n n n=1 + ∞ c ∞ d (2n + 1)!! n! n=1 ∞ e n=1 n2 + 2n2 + n n=1 f n=1 n+1 n+2 q (2n + 1)! k 2n n2 n=1 n ∞ 2n l 2n2 ∞ m 1− n (−1)n n=1 n e n=1 n! ∞ ∞ n=1 ∞ n n2 + n n2 + ∞ j n − n2 n2 + ∞ p n=1 n2 + 2n 2n2 + √ n n n+1− n √ n−1 3n (n!)2 n=1 (2n)! ∞ n(n+1) r ∞ n! (2n)!! s (−1)n tan √ n n=1 5.2 Xét hội tụ chuỗi số sau: ∞ a n=1 √ (−3)n n+1 √ xn n 5.3 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm sau: √ ∞ n+ n n a x 2n n=1 ∞ b n=1 3n2 + 5n2 − ∞ d n=1 n n! n n n=1 n x + 1)n e 3n x2n n=1 2n + f (−1)n−1 (2x − 3)n n n2 n=1 ∞ xn ∞ c n3 2n (x ∞ 5.4 Tính tổng Bài tập Giải tích Giảng viên: Phan Đức Tuấn 12 CHƯƠNG LÝ THUYẾT CHUỖI ∞ x4n−3 n=1 4n − c (−1)n−1 n−1 n=1 (2n − 1)3 d ∞ a ∞ b Bài tập Giải tích n(n + 1)xn−1 n=1 ∞ (−1)n−1 (2n − 1)x2n−2 n=1 Giảng viên: Phan Đức Tuấn [...]... n=1 n3 + n en n=1 ∞ 1 h n(n + 2) ∞ o n=1 ∞ n−1 i 2 n=1 ln n 2n + n n n=1 3 + 1 ∞ c ∞ d (2n + 1)!! n! n=1 ∞ e n=1 n2 + 2 2n2 + n n=1 f n=1 n+1 n +2 q (2n + 1)! k 2n n2 n=1 n ∞ 2n l 2n2 ∞ m 2 1− n (−1)n n=1 1 n e n=1 n! ∞ ∞ n=1 ∞ n n2 + n n2 + 1 ∞ j n − n2 n2 + 1 ∞ p n=1 2 n2 + 2n 2n2 + 3 √ n n n+1− n √ n−1 3n (n! )2 n=1 (2n)! ∞ n(n+1) r ∞ n! (2n)!! s 1 (−1)n tan √ n n=1 5 .2 Xét sự hội tụ của các chuỗi... chuỗi hàm sau: √ ∞ n+ n n a x 2n n=1 ∞ b n=1 3n2 + 1 5n2 − 1 ∞ d n=1 n n! n n n=1 n x + 1)n e 3n x2n n=1 2n + 1 f (−1)n−1 (2x − 3)n n n2 n=1 ∞ xn ∞ c 1 n3 2n (x ∞ 5.4 Tính tổng Bài tập Giải tích 2 Giảng viên: Phan Đức Tuấn 12 CHƯƠNG 5 LÝ THUYẾT CHUỖI ∞ x4n−3 n=1 4n − 3 c (−1)n−1 n−1 n=1 (2n − 1)3 d ∞ a ∞ b Bài tập Giải tích 2 n(n + 1)xn−1 n=1 ∞ (−1)n−1 (2n − 1)x2n 2 n=1 Giảng viên: Phan Đức